精品解析：山西大学附属中学校2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试题

山西大学附中2025～2026学年第一学期期末考试 高二数学 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：李小英 一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 等差数列中,若，则公差的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】由，解得. 故选：D. 2. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的方程及焦距的概念求解. 【详解】由，得，所以， 所以椭圆焦距为. 故选：C 3. 若上的可导函数在处满足，则（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数在某点处的导数定义即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 4. 已知在等比数列中，，，前n项和，则（ ）． A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的求和公式列方程可求出结果. 【详解】因为，， 所以，所以. 故选：D 5. 若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得，再由离心率的计算公式，即可求解. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 则，所以的离心率为， 故选：D. 6. 已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义将转化为点到准线的距离，结合几何意义，求得的最小值为点到抛物线准线的距离. 【详解】抛物线的准线方程为． 设到准线的距离为到准线的距离为， 则， 则最小值为6． 故选：C 7. 在等比数列中，公比，前87项和，则（ ） A. B. 60 C. 80 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到构成公比为的等比数列，设，得到，进而求得的值. 【详解】在等比数列中，由公比， 可得构成公比为的等比数列， 设，则， 因为数列的前87项和， 所以，解得，所以. 故选：C. 8. 已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的对称性可得，则，设为直线的倾斜角，可得，进而求得的范围，得解. 【详解】由题意知，由知为平行四边形，则、关于轴对称， 设，（不妨设），将点坐标代入椭圆方程可得， 因为，设为直线的倾斜角，则， 所以，所以， . 所以椭圆离心率的取值范围为. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面正确的是（ ） A. 在等比数列中，若，，则 B. 等差数列的前项和为，且，则的最大值为 C. 在等差数列中，若，，则 D. 在等比数列中，若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由等比中项的性质可得A正确；由等差数列的性质可得B正确；由等差的性质可得C错误；由等比数列下标的性质可得D错误； 【详解】对于A，因为为等比数列，所以，故A正确； 对于B，因为，，而， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，因为为等差数列，所以， 所以，故C错误； 对于D，因为为等比数列，所以，故D错误； 故选：AB. 10. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. C. 的面积为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据条件求出，再联立直线与抛物线求出，进而求出结论． 【详解】解：点在抛物线上， ， ，焦点为，准线为，对， 因为， 故， 故直线为：， 联立或， ，， ，， ，错， ，对， 的面积为．故错， 故选：． 11. 已知双曲线的左右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为的内心，则（ ） A. 若，则 B. 周长的最小值为 C. 点与点均在同一条定直线上 D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出双曲线方程为，利用双曲线的定义得到；周长即为，当且仅当轴时，周长的最小值为16；点与点的横坐标均为1，所以点与点均在同一条定直线上；设直线倾斜角为，则，得到，从而有的取值范围是. 【详解】由题意得双曲线方程为.对于A，不妨设，则， 由可知：，即或（舍）， 从而，故A正确； 对于B，由知周长即为. 当且仅当轴时最小，此时，则周长的最小值为16，故B错误； 对于C，如图内切圆的切点为,设 所以 ，所以 ； 所以点与点的横坐标均为1，即有轴，所以点与点均在同一条定直线上，故C正确； 对于D，不妨设直线倾斜角为，则，则 所以，所以，从而 ; 从而有的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 函数的图象在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出，求导，得到，利用导数几何意义得到切线方程. 【详解】， 故切线方程为，即. 故答案为： 13. 已知数列满足，，，则数列的通项公式是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式直接两边取倒数，可求得数列是等差数列，可求得通项公式. 【详解】因为，且，可知， 可得，即， 可知数列是首项为，公差为4的等差数列， 可得，所以. 故答案为： 14. 数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为 .扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3：进行构造，第1 次得到数列1，2，3；第2 次得到数列1， 2， 3；；依次构造，记第 次得到的数列的所有项之和为 Tn， 则 ______________. 【答案】514 【解析】 【分析】先设第次构造后得的数列为1，，3，求出此时所有项之和，接着得到第次构造后得到的数列，并求出，观察与的关系，结合等比数列定义得到数列是等比数列即可求解. 【详解】设第次构造后得的数列为1，，3，则， 则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，3， 于是，， 显然，而， 因此数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 则，即， 所以. 故答案：514. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】利用基本初等函数的求导公式，导数的运算法则，复合函数的求导法则即可一一求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 16. 已知等差数列的前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式； （2）由（1）可推得，进而利用裂项相消法求即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以， 得 17. 已知双曲线的离心率为，实轴长为2. （1）求双曲线的标准方程 （2）设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）不存在；理由见解析； 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及实轴长计算可得结果； （2）联立直线与双曲线方程，由根与系数得关系以及向量数量积的坐标表示求出，并结合交点个数可判断结论. 【小问1详解】 由实轴长为2可得，即； 再由离心率为可得，即， 所以， 可得双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 如下图所示： 联立，整理可得， 显然，且，解得且； 设，可得， 所以 ， 即，解得，不满足且，不合题意； 因此不存在满足. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先得，进一步由的关系得是以为首项，为公比的等比数列，由此即可求解； （2）由等差数列求和公式、错位相减法求得表达式，进一步原问题等价于不等式恒成立，由此即可求解. 【小问1详解】 因为，① 当时可得，即. 当时，，② 由①-②得，即， 即是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 两式相减得，， 即，则， 故. 由，得，即， 依题意，不等式恒成立， 因为随着增大而减小， 所以，即的取值范围为. 19. 已知椭圆，设过点的直线交椭圆于M，N两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点. （1）椭圆的离心率为，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3），，或，，成等差数列 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，结合，求得，进而求得； （2）设点，表示出，结合可得，结合可得不等式，即可求得答案； （3）设点，，①若直线斜率为0，直接验证；②直线斜率不为0，设直线，，，则，，，与椭圆方程联立，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 由题意知，，故， 又离心率，故，于是. 【小问2详解】 设点，其中，且， 则， 由，得， ，，，，，，只需， 又，故， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 ，，或，，成等差数列，证明如下： 若，则，设点，. ①若直线斜率为0，则点，不妨令点，， 则，，，此时，，的任意排列，，均不成等比数列，，，或，，成等差数列. ②直线斜率不为0，设直线，，，则点， 由得，， 故，， 因为，，， 所以 ， 所以，，或，，成等差数列 综合上述，，，或，，成等差数列. 【点睛】关键点睛：本题第三问与数列进行了综合，关键在于判断出结论，进而证明.先由直线斜率为0时，直接验证，，或，，成等差数列；直线斜率不为0时，结合直线方程联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合进行化简验证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西大学附中2025～2026学年第一学期期末考试 高二数学 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：李小英 一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 等差数列中,若，则公差的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 2. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 3. 若上可导函数在处满足，则（ ） A. 6 B. C. 3 D. 4. 已知在等比数列中，，，前n项和，则（ ）． A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 5. 若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（　　） A B. C. D. 6. 已知为抛物线上动点，为的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 在等比数列中，公比，前87项和，则（ ） A. B. 60 C. 80 D. 160 8. 已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面正确的是（ ） A. 在等比数列中，若，，则 B. 等差数列的前项和为，且，则的最大值为 C. 在等差数列中，若，，则 D. 在等比数列中，若，，则 10. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. C. 的面积为 D. 11. 已知双曲线的左右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为的内心，则（ ） A. 若，则 B. 周长的最小值为 C. 点与点均同一条定直线上 D. 的取值范围是 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 函数的图象在点处的切线方程为__________. 13. 已知数列满足，，，则数列的通项公式是_________. 14. 数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为 .扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3：进行构造，第1 次得到数列1，2，3；第2 次得到数列1， 2， 3；；依次构造，记第 次得到的数列的所有项之和为 Tn， 则 ______________. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 已知等差数列的前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 17. 已知双曲线离心率为，实轴长为2. （1）求双曲线的标准方程 （2）设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围. 19. 已知椭圆，设过点的直线交椭圆于M，N两点，交直线于点，点为直线上不同于点的任意一点. （1）椭圆的离心率为，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）若，记直线，，的斜率分别为，，，问是否存在，，的某种排列，，（其中，使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $