精品解析：山西省怀仁大地高中学校等校2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】， ， 解得. 故选：D. 2. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意设与平行的直线方程为，代入点后即可求得，进而得到直线方程. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 代入，可得，解得， 故所求直线方程为. 故选：A. 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程直接写出焦点坐标即可. 【详解】由抛物线可得，， 所以焦点坐标为. 故选：B 4. 已知为等差数列，，则的公差为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为. 因为， 所以，即，解得. 故选：C 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. << B. << C. << D. << 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义即函数图象增长速度越快，其导数值越大，结合图象即可求解. 【详解】由的图象可知，在上单调递增且增长得越来越慢， 所以，即 故选：B. 6. 已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为8，M是该双曲线上一点，且，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的定义结合双曲线的方程，即可解得的值. 【详解】设双曲线的半焦距为.因为，所以， 所以，解得. 由双曲线的定义可得， 所以，解得或，且有， 当时，，不符合题意，故舍去， 当时，，满足题意.综上，. 故选：A. 7. 已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，得到导函数的范围，即切线斜率的范围，从而得到倾斜角的范围. 【详解】由题意得，即， 由倾斜角的范围，解得. 故选：D 8. 如图，点A，B为射线OP上两动点（与O不重合），且，，若射线OQ上至少有一点C，使得，则线段OA长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点、为轴建系，由，设由得；即在以为直径的圆上，该圆与轴至少有一个公共点，则圆心纵坐标不大于半径. 【详解】以为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系. 因为，所以可设，. 由可得，解得. 由于，所以点在以为直径的圆上， 则以为直径的圆与射线至少有一个公共点， 圆心为，它到轴的距离小于或等于半径， 即，解得.所以. 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中两条直线，的方向向量分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与共面 B. 在上的投影向量的模是 C. D. 两直线夹角的余弦值是 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用空间向量共面定理即可判断；对于B，利用投影向量的模长公式即可判断；对于C，利用空间向量平行的坐标表示即可判断；对于D，根据两直线夹角公式计算. 【详解】对于A，不共线，假设向量与共面， 则，使得， 则，解得， 所以，因此与共面，故A正确； 对于B，在上的投影向量的模是，故B正确； 对于C，易知，因为，不成立，故C错误； 对于D，由题知，两直线夹角余弦值是，故D错误. 故选：AB. 10. 记正项等比数列的前n项积为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. 当取得最小值时， D. 使n的最小值为14 【答案】ABD 【解析】 【详解】设的公比为.， 对于A，由题意可得， 解得，故A正确； 对于B，，故递增数列，故B正确； 对于C，， 是开口向上的抛物线，其对称轴为，所以当或7时，取得最小值， 选项C的表述未包括“”，故C错误； 对于D，令，即，解得或， 因为，所以使的的最小值为14，故D正确. 故选：ABD. 11. 中国结是一种手工编织工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其形状类似打横的阿拉伯数字8，对应着数学曲线中的双纽线.在直角坐标系中，把与定点的距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线，P是双纽线C上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 双纽线C上存在唯一的点P，使得 B. 双纽线C关于x轴､y轴均对称，也关于原点对称 C. 若，则周长的最小值为16 D. 点满足 【答案】ABD 【解析】 【分析】由双纽线的定义可得其方程为：，对于A，若，则点在轴上，令，有唯一解，故A正确；对于B，双纽线上任意一点关于原点的对称点为，易得也在双纽线上，故双纽线关于原点中心对称，同理可证双纽线与轴，轴对称，故B正确；对于C，由双纽线的定义可得，则的周长为，但取等号时三点共线，无法构成三角形，故周长取不到16，C错误；对于D，根据双纽线的方程，可得，则，故D正确. 【详解】设，则，根据双纽线的定义可得， 即，整理得. 对于A，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即， 把代入曲线方程，解得，即点满足， 所以这样的点有且仅有一个，故A正确； 对于B，双纽线上任意一点关于原点的对称点为， 用替换方程中的，方程不变，即点也在双纽线上，所以双纽线关于原点中心对称， 同理点关于轴的对称点与关于轴的对称点， 替换方程中的，方程不变，即点，也在双纽线上， 所以双纽线关于轴对称，也关于轴对称，故B正确； 对于C，若，则，所以的周长为 ， 当且仅当时等号成立，但此时三点共线，无法构成三角形， 因此的周长取不到16，故C错误； 对于D，根据双纽线的方程，可得，则，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的递推公式可得数列是周期为3的周期数列，根据数列的周期性即可得解. 【详解】， ，，， 则是周期为3的周期数列， 又， . 故答案为：. 13. 圆与圆的公共弦的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】两个圆的方程相减，得到相交弦所在的直线方程，结合点到直线距离公式、圆的弦长公式进行求解即可. 【详解】两圆为① ，② ， ②-①可得，即两圆的公共弦所在直线的方程为. 圆的圆心为点，半径为， 圆心到公共弦的距离为公共弦的长为. 故答案为： 14. 已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过求导得到函数的单调性，根据函数的单调性即可求解. 【详解】由题可知的定义域为， 因为，所以在上单调递增， 则，在上恒成立， 令，则， 因为在上恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以， 又，所以不等式的解集为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上. （1）求线段的中垂线l的方程； （2）求圆C的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出的中点坐标、线段的中垂线的斜率，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）求出圆心坐标、圆的半径可得答案. 【小问1详解】 由可知其中点. 设线段的中垂线的斜率为， 则， 易知过点，所以，即； 【小问2详解】 由解得，故圆心坐标为， 圆的半径为， 故圆的标准方程为. 16. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求C的方程； （2）过点的直线m与C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由椭圆的方程结合离心率公式即可求解； （2）先考虑直线斜率不存在的情况，经验证此情况舍，则设直线的方程为，与椭圆联立后由韦达定理得，，结合条件中A是PB的中点，最终可求得直线m的斜率. 【小问1详解】 因为长轴长为4，所以， 又因为离心率为，所以半焦距，则， 故的方程为. 【小问2详解】 设，由是的中点，得. 由（1）可知的上、下顶点分别是， 不满足，即直线的斜率存在. 设直线的方程为，如图所示. 将代入， 得， 其中， 且①，②. 因为是的中点，所以③. 将③代入①②，得， 所以，且， 解得或， 所以直线的斜率为或. 17. 设函数. （1）若当时，取得极值，求a的值，并说明此时的单调性； （2）若存在极值，求a的取值范围. 【答案】（1），在上单调递增，在上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值点的性质即可求出，通过导数与函数单调性的关系即可求出单调性； （2）对求导得，，分为和两种情况讨论，在讨论时，再判断是否在定义域中，结合极值的概念，即可求出答案. 【小问1详解】 ， 依题意有，解得， 从而， 易知的定义域为， 令，可得或， ∵当时，，当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由题可知的定义域为， 方程的判别式， ①若，即，则在内，恒成立， 故无极值； ②若，即或， 则有两个不同的实根， 当时，，， ，， ，， ， 从而在内没有零点，故无极值； 当时，，， ， ，在内有两个不同的零点， 当时，，当时，， 易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极大值，在处取得极小值. 综上，当存在极值时，的取值范围为. 18. 如图，正四棱锥的高为设平面与直线交于点G. （1）求平面AEF与底面ABCD夹角的余弦值； （2）求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面法向量的定义，结合面面夹角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可； （2）根据平面四点共面的性质结合空间向量共面定理进行求解即可. 【小问1详解】 连接，交于点，连接，以的方向分别为轴､轴､轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 由于正四棱锥的高为，所以， 则有. 由于， 所以， 故， 于是. 设平面的法向量为， 则，即， 不妨令， 易知底面的一个法向量为， 设平面与底面的夹角为， 则， 即平面与底面夹角的余弦值为. 【小问2详解】 假设， 则. 因为四点共面，所以存在唯一的实数对， 使得， 即， 列方程组即为，解得， 所以. 19. 如图，曲线下有一系列等腰直角三角形为坐标原点），这些三角形的底边均在x轴上，点均在曲线上，设边的长度为. （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）设曲线在点P，处的切线斜率为k，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据是等腰直角三角形，点均在曲线上，可得答案； （2）利用点在曲线上和可得答案； （3）利用求出点的横坐标，再求导得到，然后利用裂项相消求和可得答案. 【小问1详解】 依题意，为等腰直角三角形，且， 观察图象得，而点在曲线上， 即，解得. 为等腰直角三角形，且， 点在曲线上，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 令为的前项和，则点， ，于是点在曲线上， 则，即， 当时，， 两式相减，得， 整理得， 由于，所以， 而满足上式，因此. 所以是首项，公差的等差数列， ， 即的通项公式是； 【小问3详解】 由（2）知，当时，， 则点的横坐标， 显然满足上式， 因此. 由求导得，，于是. 当时，， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 10 2. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为等差数列，，则的公差为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A << B. << C. << D. << 6. 已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为8，M是该双曲线上一点，且，则（ ） A 9 B. 6 C. 3 D. 1 7. 已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A，B为射线OP上两动点（与O不重合），且，，若射线OQ上至少有一点C，使得，则线段OA长度取值范围为（ ） A B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中两条直线，的方向向量分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与共面 B. 在上的投影向量的模是 C. D. 两直线夹角的余弦值是 10. 记正项等比数列的前n项积为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. 当取得最小值时， D. 使的n的最小值为14 11. 中国结是一种手工编织工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其形状类似打横的阿拉伯数字8，对应着数学曲线中的双纽线.在直角坐标系中，把与定点的距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线，P是双纽线C上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 双纽线C上存在唯一的点P，使得 B. 双纽线C关于x轴､y轴均对称，也关于原点对称 C. 若，则周长的最小值为16 D. 点满足 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，若，则__________. 13. 圆与圆的公共弦的长为__________. 14. 已知函数，则不等式的解集为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上. （1）求线段的中垂线l的方程； （2）求圆C的标准方程. 16. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求C的方程； （2）过点直线m与C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率. 17. 设函数. （1）若当时，取得极值，求a的值，并说明此时的单调性； （2）若存在极值，求a的取值范围. 18. 如图，正四棱锥的高为设平面与直线交于点G. （1）求平面AEF与底面ABCD夹角的余弦值； （2）求. 19. 如图，曲线下有一系列等腰直角三角形为坐标原点），这些三角形的底边均在x轴上，点均在曲线上，设边的长度为. （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）设曲线在点P，处的切线斜率为k，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $