精品解析：湖北随州市2025-2026学年度上学期九年级期末学业水平模拟考试数学

2025—2026学年度上学期九年级期末学业水平模拟考试 数学 本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握相关定义是解答本题关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； B选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：A． 2. 如图，把一块长为20cm，宽为15cm的矩形纸板的四角剪去四个边长相等的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，做成一个无盖纸盒．若矩形的面积为，设剪去的小正方形边长为，则列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设剪去小正方形的边长为，则纸盒的底面为长，宽为的长方形，根据纸盒的底面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长为，则纸盒的底面为长，宽为的长方形， 依题意，得：， 故选：D． 3. 如图，以正方形顶点A为圆心，长为半径画圆，下列说法正确的是（ ） A. 点A在圆内 B. 点B在圆内 C. 点C在圆上 D. 点D在圆外 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系， 根据正方形的性质可知，进而得出四个点和圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴点A在圆内，点B，D在圆上，点C在圆外． 故选：A． 4. 为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率，数学兴趣小组做了次重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为次，凸面向下的次数为次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键．根据大量重复试验中事件发生的频率可估计该事件发生的概率进行求解． 【详解】解：∵总共进行了次重复试验，凸面向下的次数为次， ∴凸面向下的频率为， ∴可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为， 故选D． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记一元二次方程的定义和判别式与根的关系是解题关键． 先根据一元二次方程的定义和根的判别式确定且，计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∵，，， ， ∵， ∴，解得：， 综上且． 故选：D． 6. 如图，点，，，为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，正确地理解题意是解题的关键； 连接，，根据题意求得，根据周角为，即可求得正多边形的边数． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵点为正多边形的中心， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数为， 故选：B． 7. 如图，以原点O为位似中心，在第一象限内将的周长缩小到原来的，得到．已知点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键． 直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，进而结合已知得出答案． 【详解】解：∵在第一象限内将周长缩小到原来的，得到， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即点的坐标为． 故选：B． 8. 往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D，根据垂径定理求得OC，利用圆的半径求得CD即可. 【详解】如图，连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D， ∵AB=24， ∴AC=12， ∵OA=13， 在直角三角形OAC中， OC==5， ∴CD=OD-OC=13-5=8， 故选C. 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，过圆心向弦作垂线构造垂径定理是解题的关键. 9. 如图，为测量灯杆的高度，小强在脚下水平放置一平面镜C，然后向后退，保持脚、平面镜C与灯杆底端D在同一直线上，直到他刚好在镜子C中看到灯杆的顶端E．已知小强的眼睛离地面的高度，小强与镜子的水平距离，镜子与灯杆的水平距离，则灯杆的高度约为（ ） A. 6.5m B. 7m C. 7.5m D. 8m 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质．根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， 由图可知，，， ， 根据镜面的反射性质， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故选：C． 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）． A. B. C. D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，能从图象中获取有效信息是解答的关键． A选项考查的取值范围，相乘即可求解，B选项考查当时，的取值范围即可求解，C选项考查图像与轴的交点个数即可求解，D选项考查二次函数的增减性，观察图像即可求解． 【详解】解：选项A：由图可知开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，即，，，那么，故不符合题意； 选项B：当时，，由图可知，当时，，即，故不符合题意； 选项C：由图可知，抛物线与轴有两个交点，即，故不符合题意； 选项D：由图可知，当时，随的增大而减小，故符合题意． 故选：D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 如图，已知四边形内接于，，点在边的延长线上，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，四点共圆的性质，熟练掌握所要考查的知识点是解题的关键． 根据圆周角定理求出的值，再根据四点共圆求出，根据平角的性质求出，推出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵点在边的延长线上， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 已知二次函数的部分图象如图所示，若关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，利用了对称的性质，求出抛物线的对称轴是解本题的关键． 先求出对称轴，再根据对称的性质求解即可． 详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，是的内切圆，，，为切点，，，，的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查内切圆的性质、三角形的面积等，熟练掌握内切圆的性质是解题的关键． 先连接，设圆的半径为，根据题目条件推出，，最后根据三角形的面积公式，运用等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接，设圆的半径为， ∵是的内切圆，，，为切点， ∴，， ∵，，， ∴， ∵ ， 即， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为．如果将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、点的坐标等知识．过点作于点，过点作于点，证明，则，则，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点P的坐标为． ∴， ∵将线段AP绕点A逆时针旋转， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 15. 如图，矩形中，，，是边的中点，是左侧一个动点，连接．若，则线段长度的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，由题意可得，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动，连接，由可知当点三点共线时，线段长度的最大，最大值等于线段的长，再利用勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，点在以点为圆心，为半径的半圆上运动，如图，连接， 则， 可知当点三点共线时，线段长度的最大，最大值等于线段的长， ∵，是边的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值是， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知是方程的一个根． （1）求p的值； （2）求方程另一个根． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本方法，是解题的关键． （1）先将代入方程，求出p的值即可； （2）将p的值代入方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：把代入方程得：， 解得，， ∴另一个根为． 17. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． （1）求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质推出，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转性质推出，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【小问1详解】 解：证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 18. 甲、乙、丙三个同学用随机抽签的方式决定第，，三个赛道进行赛跑（抽出的签不放回），甲同学第一个抽签． （1）填空：甲同学恰好抽中第赛道的概率是________； （2）求乙、丙两个同学在相邻赛道赛跑的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中甲同学恰好抽中第赛道的结果有种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及乙、丙两名同学恰好抽中的赛道相邻的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵共有种等可能的结果，其中甲同学恰好抽中第赛道的结果有种， ∴甲同学抽中第赛道的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 乙 丙 共有种等可能性结果，乙、丙两名同学恰好抽中的赛道相邻的结果有4种，分别为、、、，则乙、丙两个同学在相邻赛道赛跑的概率为． 19. 如图，菱形的边长为2，过点D作，垂足为H，以点A为圆心，长为半径画弧，已知． （1）求证：； （2）求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键． （1）先根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，则，由此即可得证； （2）先求出菱形和的面积，再求出，然后求出扇形的面积，最后根据阴影部分的面积等于求解即可得． 【小问1详解】 证明：∵菱形的边长为2， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵菱形的边长为2，，， ∴，， 由（1）已得：， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 20. 某工厂年3月份至6月份进行为期4个月的环保治污改造，改造过程中月产销额受到一定影响，改造完成后月产销额直线上升．在此改造过程中月产销额y（万元）与月份x之间满足反比例函数关系，改造完成后从7月份起满足一次函数关系，如图，点B，C，D在同一直线上． （1）求今年5月份的产销额； （2）求环保治污改造完成后，月份的产销额比3月份增长了多少万元？ 【答案】（1）万元 （2）万元 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的解析式及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设反比例函数的解析式为，由点代入，解得，则反比例函数的解析式为，当时，即可求出今年5月份的产销额； （2）设一次函数的解析式为，当时，，得，由图可知，当时，，得，解得，，则一次函数的解析式为，当时，，即可解答本题． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为， 由点代入得， 解得， 则反比例函数的解析式为， 当时，， 即今年5月份的产销额为万元； 小问2详解】 解：设一次函数的解析式为， 当时，， ， 得， 由图可知，当时，，得； 解得，， 则一次函数的解析式为， 当时，， ， 则月份的产销额比3月份增长了万元． 21. 已知是的直径，点C是上一点，点D在的延长线上，连接，，，． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，若，E是的中点，且，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的切线的证明、外角的性质、直径所对的圆周角是直角、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接OC，由，，可得，易得，即可完成证明； （2）连接，设，，则，在中，，可得；作，垂足为F，由等面积法易得，运用勾股定理解得，，；在中，，可得，则，在中，，由，求出，则的半径为． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接OC， ，， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 如图所示，连接， 是的直径， ， 设，，则， 在中，， ， ， 作，垂足为F， ， ， ， ， ， 在中，， ， E是的中点， 则， 在中，， ， ， ， ， 则的半径为． 22. 如图，用栅栏围成一块一边靠墙的矩形实验田（靠墙一边不用栅栏），中间再用栅栏把它分成区、区两个矩形和．已知所用栅栏总长为，墙长为．要求区面积是区面积的一半．假设栅栏在安装过程中不重叠、无损耗． （1）填空：________； （2）区的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由； （3）求矩形实验田面积的最大值，此时与墙平行的一边有多长？ 【答案】（1）； （2）区的面积能达到，的长为，理由见解析； （3）当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是，此时，与墙平行的一边BC为45m． 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质和一元二次方程的应用、二次函数的实际应用，具有良好的应用意识是解题的关键． （1）根据矩形的性质，推出，结合区面积是区面积的一半，运用矩形面积公式即可求解； （2）先根据设，则，得出，根据面积公式结合题意建立一元二次方程组，即可求解； （3）先根据（2）得：，，，设矩形实验田面积为，根据矩形面积公式关于的二次函数关系式，再根据配方求出最值即可解题． 【小问1详解】 解：∵矩形和， ∴，， ∵区面积是区面积的一半， ∴， 即：， ， ∴． 【小问2详解】 解：可以，理由如下： ∵由（1）得：， ∴设，则， ∴， ∵墙长为， ∴，解得： ∵栅栏总长为， ∴， ∴据题意得：， 解得：，（舍）， ∴当，区的面积为； 【小问3详解】 解：∵由（2）得：，，， ∵设矩形实验田面积为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴， ∴当时，矩形实验田ABCD的面积最大，最大面积是，此时，与墙平行的一边BC为45m． 23. 已知一个等腰直角三角形三角板与矩形在同一平面内，，． （1）如图1，三角板角的顶点与点重合，直角顶点落在边上，三角板斜边，直角边分别与边交于点，． ①求证：； ②若，求的长； （2）如图2，三角板角的顶点在边上，斜边过点，直角边与边交于点．连接，若，，求的长． 【答案】（1）①见解析；② （2） 【解析】 【分析】(1)①根据矩形的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，由可知，根据同角的余角相等可知，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证结论成立； ②过点作，垂足为，过点作，与边，分别交于点，，可证，根据全等三角形对应边相等可证，，设x，，则，由可得，即可求出的长度； (2)过点作，垂足为，过点作，，与边，分别交于点，，可证，根据全等三角形的性质可知四边形是正方形，设，，，利用勾股定理可得或，可以求出，利用即可求出． 【小问1详解】 ①证明：矩形中，， ， ， ， ， ； ②解：如下图所示，过点作，垂足为，过点作，与边，分别交于点，， ， ， ， ， ， ， 中，，， ， ， 在和中，， ， ，， 设x，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 解得：， ， ， ，， ， ， ， ； 由①得， ， ， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作，垂足为，过点作，，与边，分别交于点，， 四边形是矩形，， ， ， ， 中，， ， ， ， ， ，， 四边形是正方形， 设，，， ， 或， 或 又，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 在中，，则， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形． 24. 定义：如果直线与抛物线有两个交点，则抛物线在直线上方的部分（包括交点）称为“抛物线关于直线的上截线”；抛物线在直线下方的部分（包括交点）称为“抛物线关于直线的下截线”；两个交点称为“截点”． （1）若是抛物线关于直线的下截线，求两个“截点”的坐标及x的取值范围； （2）若是抛物线关于直线的上截线，记两个“截点”分别为A，B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是上一点．若，求点P的坐标； （3）若是抛物线关于直线的上截线，且x的取值范围是或，点是上一点，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）两个“截点”的坐标是，；的取值范围是 （2）点P的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】 （1）理解“下截线”的定义，进行列式计算，得出两个“截点”的坐标是，；结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． （2）理解题意，结合是抛物线关于直线的上截线，记两个“截点”分别为A，B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，得出，，，根据勾股定理得，再证明得，代入数值到计算，即可作答． （3）结合是抛物线关于直线的上截线，且x的取值范围是或，得出，截点坐标分别为，，抛物线的对称轴为，即，依题意，，由题意得，得，则把代入，得顶点坐标为，则抛物线与x轴交于点，，当时，抛物线与直线有唯一的公共点，再运用二次函数的性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，令，则， 整理得， 解得：， ∴两个“截点”的坐标是，； ∵是抛物线关于直线的下截线，且的， ∴开口向上，满足题意的的取值范围是； 小问2详解】 解：∵是抛物线关于直线的上截线，记两个“截点”分别为A，B，点A在点B的左侧， ∴令，则， 整理得， 解得， ∵是抛物线关于直线的上截线，记两个“截点”分别为A，B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C， ∴，，， ∴ ∴， ∵与y轴交于点C，点P是上一点． 设，取点， ∴， 则； ∴， 则， 即， ∵， ∴， 作，垂足为． 则， ∴， ∴， 则， 解得：，（不合题意，舍去）； 把代入，得， 则点P的坐标为． 【小问3详解】 解：∵是抛物线关于直线的上截线，且x的取值范围是或， ∴，截点坐标分别为，， 抛物线的对称轴为直线， 则， 即， 依题意，， 则， ∴， 由题意得， ∵， ∴， ∴，得， 把代入，得， 则顶点坐标为， 令， 解得或， ∴抛物线与x轴交于点，， 当时，抛物线与直线有唯一的公共点， 由点是上一点，得出， 解得，， ，为上截线， 随着a的增大，抛物线开口逐渐变小， ∵抛物线与x轴交于点，， 或， 【点睛】本题考查了二次函数的其他应用，相似三角形的判定与性质，等边对等角，三角形外角性质，勾股定理，新定义，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期九年级期末学业水平模拟考试 数学 本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，把一块长为20cm，宽为15cm的矩形纸板的四角剪去四个边长相等的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，做成一个无盖纸盒．若矩形的面积为，设剪去的小正方形边长为，则列方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，以正方形顶点A为圆心，长为半径画圆，下列说法正确的是（ ） A. 点A在圆内 B. 点B在圆内 C. 点C在圆上 D. 点D在圆外 4. 为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率，数学兴趣小组做了次重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为次，凸面向下的次数为次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向下的概率约为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 6. 如图，点，，，为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 7. 如图，以原点O为位似中心，在第一象限内将的周长缩小到原来的，得到．已知点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 8. 往直径为26cm圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 9. 如图，为测量灯杆的高度，小强在脚下水平放置一平面镜C，然后向后退，保持脚、平面镜C与灯杆底端D在同一直线上，直到他刚好在镜子C中看到灯杆的顶端E．已知小强的眼睛离地面的高度，小强与镜子的水平距离，镜子与灯杆的水平距离，则灯杆的高度约为（ ） A. 6.5m B. 7m C. 7.5m D. 8m 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）． A. B. C. D. 当时，随的增大而减小 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 如图，已知四边形内接于，，点在边的延长线上，则的度数为________． 12. 已知二次函数的部分图象如图所示，若关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解________． 13. 如图，是的内切圆，，，为切点，，，，的半径为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为．如果将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，点的坐标为________． 15. 如图，矩形中，，，是边的中点，是左侧一个动点，连接．若，则线段长度的最大值是______． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知是方程的一个根． （1）求p的值； （2）求方程另一个根． 17. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点在线段的延长线上． （1）求证：； （2）若，求的大小． 18. 甲、乙、丙三个同学用随机抽签的方式决定第，，三个赛道进行赛跑（抽出的签不放回），甲同学第一个抽签． （1）填空：甲同学恰好抽中第赛道的概率是________； （2）求乙、丙两个同学在相邻赛道赛跑的概率． 19. 如图，菱形的边长为2，过点D作，垂足为H，以点A为圆心，长为半径画弧，已知． （1）求证：； （2）求阴影部分的面积（结果保留）． 20. 某工厂年3月份至6月份进行为期4个月的环保治污改造，改造过程中月产销额受到一定影响，改造完成后月产销额直线上升．在此改造过程中月产销额y（万元）与月份x之间满足反比例函数关系，改造完成后从7月份起满足一次函数关系，如图，点B，C，D在同一直线上． （1）求今年5月份的产销额； （2）求环保治污改造完成后，月份产销额比3月份增长了多少万元？ 21. 已知是直径，点C是上一点，点D在的延长线上，连接，，，． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，若，E是的中点，且，求的半径． 22. 如图，用栅栏围成一块一边靠墙的矩形实验田（靠墙一边不用栅栏），中间再用栅栏把它分成区、区两个矩形和．已知所用栅栏总长为，墙长为．要求区面积是区面积的一半．假设栅栏在安装过程中不重叠、无损耗． （1）填空：________； （2）区的面积能达到吗？如果能，求的长；如果不能，请说明理由； （3）求矩形实验田面积的最大值，此时与墙平行的一边有多长？ 23. 已知一个等腰直角三角形三角板与矩形在同一平面内，，． （1）如图1，三角板角的顶点与点重合，直角顶点落在边上，三角板斜边，直角边分别与边交于点，． ①求证：； ②若，求的长； （2）如图2，三角板角的顶点在边上，斜边过点，直角边与边交于点．连接，若，，求的长． 24. 定义：如果直线与抛物线有两个交点，则抛物线在直线上方部分（包括交点）称为“抛物线关于直线的上截线”；抛物线在直线下方的部分（包括交点）称为“抛物线关于直线的下截线”；两个交点称为“截点”． （1）若是抛物线关于直线的下截线，求两个“截点”的坐标及x的取值范围； （2）若是抛物线关于直线的上截线，记两个“截点”分别为A，B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是上一点．若，求点P的坐标； （3）若是抛物线关于直线上截线，且x的取值范围是或，点是上一点，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $