2026年中考数学一轮专项练习 专题08：反比例函数

专题08：反比例函数-2026年中考数学一轮专项练习 一、单选题 1． 已知反比例函数 的图象， 当 时， 随 的增大而减小， 则 的取值范围是(　　) A． B． C． D． 2．反比例函数 的比例系数是(　　) A．1 B．2 C． D． 3．若点（-3，2）在反比例函数的图象上，则下列各点也在此函数图象上的是（　　） A．（1，6） B．（-1，6） C．（-3，-2） D．（3，2） 4．已知，点P（a，b）在反比例函数y=-的图象上，则下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C．当a>-1时，则b>6 D．当a<-1时，则0<b<6 5．在反比例函数（k为常数）的图象上有三个点（-3，y1），（-1，y2），，则函数值y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2 6．如图，正比例函数 ，一次函数y2=2x+b和反比例函数 的图象在同一直角坐标系中，若y1＞y3＞y2，则自变量x的取值范围是（　　） A．x＜-1 B．-2＜x＜ C． ＜x＜0 D．-2＜x＜-1 学科网（北京）股份有限公司 7．下列关于反比例函数的描述，正确的是（　　） A．它的图象经过点 B．图象的两支分别在第一、三象限 C．当时， D．时，y随x的增大而减小 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点O在坐标原点，点B的坐标为（1，4），点A在第二象限，反比例函数y=的图象经过点A，则k的值是（　　） A．-2 B．-4 C． D． 9．已知反比例函数的图象经过点，且当时，随的增大而增大，则点的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 10．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y=，在第一象限内的图象经过点D，且与AB、BC分别交于E、F两点．若四边形BEDF的面积为6，则k的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 11．已知点，，在反比例函数的图象上，若，则的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 12．如图，点A、B为直线y＝x上的两点，过A、B两点分别作y轴的平行线交双曲线 （x＞0）于点C、D两点.若BD＝2AC，则4OC2﹣OD2的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 13．已知函数y= ，下列说法： ①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，y随x的增大而减小；③若A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在该图象上，且x1+x2=0，则y1=y2。其中说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 14．反比例函数 的图象经过点 ，则这个反比例函数的解析式是　 　． 15．已知反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是　 　 16．若函数y= 的图象经过点（ ，﹣4），则k=　 　，此图象在　 　象限，在每一个象限内随的x减小而　 　． 17．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y= （x＞0）的图象经过点C，反比例函数y= （x＜0）的图象分别与AD，CD交于点E，F，若S△BEF=7，k1+3k2=0，则k1等于　 　． 18．如图，反比例函数y1＝ 与一次函数y2＝mx+b（m≠0）的交点为A（﹣1，4.5），B（3，﹣1.5），当y1≥y2时，写出自变量x的取值范围　 　． 19．反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于 两点，若 两点的横坐标分别为 ，则 的最小值为　 　. 20．如图，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点A（a，3）．则当 的取值范围满足　 　时， . 21．如图，平行于轴的直线与函数和的图象分别相交于，点.点在点的右侧，为轴上的一个动点，若的面积为4，则的值为　 　. 22．如图， 是坐标原点， Rt 的直角顶点 在 轴的正半轴上， ， 反比例函数 的图象经过斜边OB的中点C. （1）k=　 　 （2）D为该反比例函数图象上的一点，若 DB//AC，则OB2-BD2的值为　 　 23．如图，在平面直角坐标系 中， ， ，双曲线 与线段 无公共点，则 的取值范围是　 　． 24．如图，AC⊥x轴于点A，点B在y轴的正半轴上，∠ABC=60°，AB=4，BC=2 ，点D为AC与反比例函数y= 的图象的交点．若直线BD将△ABC的面积分成1：2的两部分，则k的值为　 　． 25．如图，直线 与双曲线 交于 、 两点，若 、 两点的坐标分别为 ， ，则 的值为　 　． 三、解答题 26．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．求点的坐标和反比例函数解析式． 27．已知正比例函数 与反比例函数交于A（-2，a），求这个反比例函数的解析式。 28．已知某品牌显示器的寿命大约为． （1）这种显示器可工作的天数d与平均每日工作的小时数t之间具有怎样的函数关系？ （2）如果平均每天工作，那么这种显示器大约可使用多长时间？ 29．已知 与 成反比例函数关系， 且当 时， ． 求： （1） 与 之间的函数表达式． （2） 当 时， 的值． 30．已知反比例函数y=（m为常数）的图象在一，三象限． （1）求m的取值范围； （2）如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）． ①求出函数解析式； ②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP，则P点的坐标为多少？ 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】 解：∵当 时， 随 的增大而减小 ∴图象在第一象限 ∴k-2＞0 ∴k＞2 故答案为：C. 【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大可得结果. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：反比例函数为，故k=. 故答案为：C. 【分析】一般形如为反比例函数，其中k为比例系数. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ 点（-3，2）在反比例函数的图象上， ∴k=-3×2=-6， ∵1×6=-3×（-2）=3×2=6≠-6=-1×6， ∴A、C、D三个选项都不符合题意，只有B选项符合题意. 故答案为：B. 【分析】利用点（-3，2）求出k，根据反比例函数图象上点的横坐标的乘积等于定值k，即可一一判断得出答案. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：∵k=-6<0 ∴图象位于第二，四象限 当x>0时，y随x的增大而增大 当x<0时，y随x的增大而增大，A，B错误 ∵点P（a，b）在反比例函数y=-的图象上 当-1<a<0时，则b>6， 当a<-1时，0<b<6，C错误 故答案为：D 【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵-k2-3＜0， ∴反比例函数图象位于二、四象限， ∵（-3，y1），（-1，y2）位于第二象限，-3＜-1， ∴y2＞y1＞0， 又∵（，y3）位于第四象限， ∴y3＜0， ∴y3＜y1＜y2． 故答案为：D． 【分析】由-k2-3＜0判断出反比例函数图象所在的象限，再根据其坐标所在象限及反比例函数性质解答即可． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：如图， 把x=2代入 ，得y=1， ∴点A坐标为（2，1）， 所以k=2×1=2， ∴反比例函数解析式为 ， 把y=-4代入反比例函数解析式得 ， 解得 ， 所以点C横坐标为 ， 根据双曲线的对称性得直线 和双曲线 的另一个交点横坐标为-2， ∴点B横坐标为-2， ∴当y1＞y3时，由图象得x＞2或 ， 当y3＞y2时，由图象得 或 ， ∴当y1＞y3＞y2时，-2＜x＜ ． 故答案为：B 【分析】先求出反比例函数解析式为 ，再求出点B横坐标为-2，最后求取值范围即可。 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵反比例函数为， ∴k=-6， A、将点 代入反比例函数，，故选项A错误； B、∵k=-6，∴图象的两支分别在第二、四象限，故选项B错误； C、当x=2时，y=-3，故，故选项C正确； D、∵k=-6＜0，∴在每一个象限内y随x的增大而增大，故选项D错误. 故答案为：C. 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据当k小于0时，图象在二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大；当k大于0时，图象在一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而增大判断选择即可. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E， ∵∠AOC=90°， ∴∠AOD+∠COE=90°， ∵∠AOD+∠OAD=90°， ∴∠OAD=∠COE， 在△AOD和△OCE中， ， ∴△AOD≌△OCE（AAS）， ∴AD=OE，OD=CE， 设A（x，），则C（，﹣x）， ∵点B的坐标为（1，4）， ∴OB==， 直线OB为：y=4x， ∵AC和OB互相垂直平分， ∴它们的交点F的坐标为（，2）， 设直线AC的解析式为：y=﹣x+b， 代入（，2）得，2=﹣×+b，解得b=， 直线AC的解析式为：y=﹣x+， 把A（x，），C（，﹣x）代入得 ，解得k=﹣． 故选C． 【分析】作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，先通过证得△AOD≌△OCE得出AD=OE，OD=CE，设A（x，），则C（，﹣x），根据正方形的性质求得对角线解得F的坐标，根据直线OB的解析式设出直线AC的解析式为：y=﹣x+b，代入交点坐标求得解析式，然后把A，C的坐标代入即可求得k的值． 9．【答案】C 【解析】【解答】解：∵x＞0时，y随x的增大而增大， ∴k＜0， ∴反比例函数y=的图象在第二、四象限， 即点P的坐标的符合为（-，+）或（+，-）. 故答案为：C. 【分析】先根据x＞0时，y随x的增大而增大，得出k＜0，从而得到反比例函数y=的图象在第二、四象限，进而得点P的坐标的符合为（-，+）或（+，-），即可得出符合题意的选项. 10．【答案】B 【解析】【解答】解：设D点坐标为（a，）， ∵点D为对角线OB的中点， ∴B（2a，）， ∵四边形ABCO为矩形， ∴E点的横坐标为2a，F点的纵坐标， ∴E（2a，），F（，）， ∵四边形BEDF的面积=S△DBF+S△BED， ∴到（2a﹣）•（﹣）+（2a﹣a）•（﹣）=6， ∴k=4． 故选B． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征设D点坐标为（a，），由点D为对角线OB的中点，可得B（2a，），再分别表示出E（2a，），F（，），利用四边形BEDF的面积=S△DBF+S△BED得到（2a﹣）•（﹣）+（2a﹣a）•（﹣）=6，然后解方程即可得到k的值． 11．【答案】D 【解析】【解答】根据题意 反比例函数图象在一、三象限内单调递减， 点A和点B必定在同一个象限内， 即 故答案为：D. 【分析】根据反比例函数的性质，判定图象在一三象限单调递减，即随着x的增大y反而减小；据此判定A、B在同一象限，进而判定出a取值范围。 12．【答案】B 【解析】【解答】解：延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F， 设A、B的横坐标分别是a，b， ∵点A、B为直线y=x上的两点， ∴A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）.则AE=OE=a，BF=OF=b， ∵过A、B两点分别作y轴的平行线交双曲线 （x＞0）于点C、D两点， ∴C（a， ），D（b， ）， ∴AC=a- ，BD=b- ， ∵BD=2AC， ∴b- =2（a- ）， ∴ ， ∴ ， 在直角△OCE中，OC2=OE2+CE2= ， 同理OD2= ， ∴4OC2﹣OD2=4（ ）-（ ）=6， 故答案为：B. 【分析】延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F，设A、B的横坐标分别是a，b，进而即可表示出点C，D的坐标，根据BD=2AC列出方程，再利用勾股定理证得OC2=OE2+CE2= ，OD2= ，由此即可求出答案. 13．【答案】B 【解析】【解答】解：函数 根据反比例函数图象的性质，函数分布在第一、二象限，故①错误； 在第一象限y随x的增大而减小 ；在第二象限y随x的增大而增大，故②错误； ∵x1+x2=0 ∴x1、x2互为相反数 ∵A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在该图象上 ∴y1=y2，故③正确 ∴正确的个数是1个 故答案为：B 【分析】首先根据去绝对值的法则，分类讨论化简函数，再根据反比例函数的性质即可得到答案. 14．【答案】 【解析】【解答】解：设反比例函数的关系式为 ，把 代入得， k=（-4）×（-3）=12， 所以反比例函数的关系式为 ， 故答案为： ． 【分析】利用待定系数法求函数的关系式． 15．【答案】 【解析】【解答】解：∵反比例函数y＝图像在第二、四象限， ∴ ∴ 故答案为：． 【分析】在反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时，双曲线位于一三象限；当k＜0时，双曲线位于二四象限，据此解答即可. 16．【答案】﹣4 ；二、四；减小 【解析】【解答】解：将（ ，﹣4）代入可得﹣4= ， 解得：k=﹣4 ， ∵k=﹣4 ＜0， ∴函数图象在二、四象限，在每一个象限内随x的减小而减小． 【分析】将（ ，﹣4）代入可得出k的值，k＞0则函数图象在一、三象限，若k＜0则函数图象在二、四象限，根据k的值也可判断出函数的增减性． 17．【答案】9 【解析】【解答】解：设点B的坐标为（a，0），则A点坐标为（﹣a，0）， 由图象可知，点C（a， ），E（﹣a，﹣ ），D（﹣a， ）， ∵k1+3k2=0，∴k2=﹣ k1，∴F（﹣ ， ）， 矩形ABCD面积为：2a• =2k1， ∴S△DEF= ， S△BCF= ， S△ABE= ， ∵S△BEF=7， ∴2k1+ ﹣ +k2=7， 又∵k2=﹣ k1， ∴ k1+ ×（﹣ ）=7， ∴k1=9 故答案为：9 【分析】由S△BEF=7，则S矩形ABCD-S△DEF-S△BCF-S△ABE=S△BEF=7，由此等式构造方程即可；可设B点的坐标为（a，0），分别用含a，k1，k2，表示出点A，C，D，F的坐标，并分别表示出S△DEF，S△BCF，S△ABE，结合k1+3k2=0，构造只关于k1的方程，解出即可。 18．【答案】﹣1≤x＜0或x≥3． 【解析】【解答】由函数图象可知，当双曲线不在直线下方时，﹣1≤x＜0或x≥3． 故答案为，﹣1≤x＜0或x≥3． 【分析】根据函数图象，当双曲线不在直线下方时，x的取值范围便是所示答案． 19．【答案】 【解析】【解答】解：令 ，即 ， 由题意可知， ， ， ， 当 时， 有最小值为 ， 故答案为 . 【分析】联立反比例函数解析式与一次函数解析式，可得 ，即 ，由根与系数关系可得，，根据，利用偶次幂的非负性即可求解. 20．【答案】-1＜x＜0或x＞1 【解析】【解答】解：∵点A在上， 把点A （a，3），代入得3=3a， 解得a=1， ∴A（1，3） ， 把A（1，3） 代入得， 解得k=3， ∴， 联立方程组得， 解得，， ∵， 观察图像得 -1＜x＜0或x＞1， 故答案为：-1＜x＜0或x＞1. 【分析】先运用点A在上，求出A点，再把A点代入y2，解出y2，联立方程组即可求出两个函数的交点坐标，再观察图像即可求解. 21．【答案】8 【解析】【解答】解：设：A、B点的坐标分别是A（，m）、B（，m）， ∴△ABC的面积＝•AB•yA＝•（﹣）•m＝4， ∴k1﹣k2＝8， 故答案为：8 【分析】根据反比例函数k的几何意义结合题意即可得到△ABC的面积＝•AB•yA＝•（﹣）•m＝4，进而即可求解。 22．【答案】（1） （2）4 【解析】【解答】（1）由题意可知B点的坐标为（，2） ∵C是OB的中点，则C点的坐标为（，1） C在反比例函数上，所以k=×1=. 故答案为：. （2）A点的坐标为（，0），设直线AC的解析式为y=k1x+b（k1≠0）， 则， 解得k1=，b=2， ∵DB//AC， ∴直线BD的解析式为y=x+4， ∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，则联立两个解析式得 解得D的坐标为（+3，2-）或（-3，2+） BD2=32+=12， ∴OB2-BD2=16-12=4； 故答案为：4． 【分析】（1）通过题意可以知道B点的坐标，C是OB的中点，就可以知道C点的坐标了，而k等于C点的横坐标×纵坐标； （2）由A、C两点的坐标就可以求出直线AC的解析式，而DB//AC，说明直线DB和AC的解析式中k是一样的，纵坐标上的点是直线AC的两倍，因为D是反比例函数与直线BD的交点，故联立两个解析式可以求出D点的坐标，但不管D点的坐标是（+3，2-）或（-3，2+），BD2的值是一样的，故代入可以求解. 23．【答案】 或 或 【解析】【解答】当双曲线 过点 时，有 ； 当双曲线 过点 时，有 ； 数形结合可知，双曲线 与线段 无公共点时k的取值范围为 或 或 ． 故答案为： 或 或 ． 【分析】分别求出双曲线 过点A，B时对应的k值，然后数形结合即可得出答案． 24．【答案】﹣4或﹣8 【解析】【解答】解：如图所示，过C作CE⊥AB于E， ∵∠ABC=60°，BC=2 ， ∴Rt△CBE中，CE=3， 又∵AB=4， ∴△ABC的面积= AB×CE= ×4×3=6， 连接BD，OD， ∵直线BD将△ABC的面积分成1：2的两部分， ∴点D将线段AC分成1：2的两部分， 当AD：CD=1：2时，△ABD的面积= ×△ABC的面积=2， ∵AC∥OB， ∴△DOA的面积=△ABD的面积=2， ∴ |k|=2，即k=±4， 又∵k＜0， ∴k=﹣4； 当AD：CD=2：1时，△ABD的面积= ×△ABC的面积=4， ∵AC∥OB， ∴△DOA的面积=△ABD的面积=4， ∴ |k|=4，即k=±8， 又∵k＜0， ∴k=﹣8， 故答案为：﹣4或﹣8． 【分析】直线BD将△ABC的面积分成1：2的两部分可分为两种情况，上1下2或上2下1，这两个三角形同高，因此底边长的比就等于面积比，∵AC∥OB，△DOA的面积=△ABD的面积，可用k 的代数式表示△DOA面积，即 |k|=2或4，双曲线过D，k取负值即可. 25．【答案】-4 【解析】【解答】解：∵点A、B在双曲线y= 上， ∴x1y1=2，x2y2=2， 又∵A、B是y=kx与双曲线y= 的交点， ∴y1与y2互为相反数， 即y1=-y2， ∴x1y2+x2y1=-x1y1-x2y2 =-（x1y1+x2y2）， =-（2+2）， =-4. 故答案为：-4. 【分析】根据反比例函数图象上点的特征可得x1y1=2，x2y2=2；由正比例函数与反比例函数交点特征可得y1=-y2，代入x1y2+x2y1即可得-（x1y1+x2y2），计算即可得出答案. 26．【答案】解：由题意知： 令y=2， ∴， 解得， ∴， 把代入反比例函数中得： ∴反比例函数解析式为：. 【解析】【分析】先把点A的坐标代入 ，正比例函数 中，求出a的值，得出点A的坐标，再把点A代入 反比例函数 中，求出k值即可. 27．【答案】解：将点A（-2，a）代入 中，解得： 故点A的坐标为：（-2，6） 设反比例函数的解析式为： （k≠0） 将点A的坐标代入得： 解得： ∴这个反比例函数的解析式为： . 【解析】【分析】将点A坐标代入正比例函数的解析式中，即可求出点A的坐标，然后设出反比例函数的解析式，将点A坐标代入反比例函数解析式中，即可求出反比例函数的解析式. 28．【答案】解：（1）∵dt＝，d＝ ； （2）当t＝10时，＝， ∴这种显示器大约可使用天． 【解析】【分析】（1）根据日工作时间乘以天数＝总寿命列式即可求出答案. （2）将t＝10代入解析式即可求出答案. 29．【答案】（1）解：∵y与x-2成反比例函数关系， ∴设该函数的表达式为 ∵x=-2时，y=3，∴3=_ ∴y与x之间的函数表达式为 （2）解：当y=-6时 即-6（x-2）=-12 ∴x=4 【解析】【分析】（1）根据 与 成反比例函数关系可设反比例函数解析式，再根据 当 时， 可得k的值，即可得函数解析式； （2）把y=-6代入（1）中解析式即可得x的值. 30．【答案】解：（1）根据题意得1﹣2m＞0， 解得m＜； （2）①∵四边形ABOD为平行四边形， ∴AD∥OB，AD=OB， 而点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）， ∴D（3，4）； 把D（3，4）代入y=得k=4×3=12， ∴反比例函数解析式为y=， ②∵反比例函y=的图象关于原点对称， 而OD=OP时， ∴点D关于原点对称的点为P点，此时P（﹣3，﹣4）， ∵反比例函y=的图象关于直线y=x对称， ∴点D关于直线y=x对称的点为P点，此时P（4，3）， 同样求出点（4，3）关于原点的对称点（﹣4，﹣3）也满足要求， ∴P点坐标为（4，3），（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3）． 故答案为（4，3），（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3）． 【解析】【分析】（1）根据反比例函数的性质得1﹣2m＞0，然后解不等式即可； （2）①根据平行四边形的性质得AD∥OB，AD=OB，则可确定D（2，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k，从而得到解析式； ②利用反比例函数关于原点和直线y=x对称的性质去确定P点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $