专题12因式分解题型突破讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题12因式分解题型突破讲义 基础 过关题 1.判定是否是因式分解 2.公因式 3.提公因式法分解因式 4.判断能否用公式法分解因式 5.平方差公式分解因式 6.完全平方公式分解因式 能力 提升题 7.综合运用公式法分解因式 8.提公因式与公式法的综合应用 9.因式分解在简算中的应用 10.因式分解的应用 拓展 拔高题 11.十字相乘法分解因式 12.分组分解法分解因式 13.已知因式分解的结果求参数 一、基本概念（必背） 1.因式分解定义把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解（与整式乘法是互逆变形）。 2.判断标准（三句话） 左边：多项式 右边：整式 × 整式 × … 必须分解到不能再分解为止（在有理数范围内） 3.与整式乘法的区别 整式乘法：积 → 和差（展开） 因式分解：和差 → 积（变形） 二、因式分解的基本方法（必考） 1. 提公因式法（最基础、第一步必想） 公因式：系数最大公约数 + 相同字母最低次幂 步骤： (1)找公因式 (2)提出来，剩下的写括号里 公式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 易错： (1)提完后括号内项数不变 (2)首项为负时，一般先提负号，括号内各项变号 (3)公因式是多项式时整体提取（如 a(x−y)+b(x−y)=(x−y)(a+b)） 2. 公式法（必须背熟、会识别结构） （1）平方差公式 a2−b2=(a+b)(a−b) 结构特征：两项、异号、都能写成平方 （2）完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 结构特征：三项式，首尾平方，中间是两倍乘积 符号： 加 → 和的平方 减 → 差的平方 易错：漏 “2 倍”、符号看错、系数未开方 3. 十字相乘法（重点，常考二次三项式） 对 x2+px+q 型： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 关键：找两个数，积 = 常数项，和 = 一次项系数 对 ax2+bx+c(a1)： 二次项系数、常数项分别拆分，交叉相乘再相加等于一次项系数。 三、因式分解的一般步骤（固定套路） 做题按这个顺序，几乎不会错： 一提：先看有没有公因式，有就先提 二套：提完看是否能用公式（平方差 / 完全平方） 三分：不能用公式再考虑十字相乘 四查：检查是否还能再分解，必须分解彻底 四、常见易错点（学生高频丢分） 1.分解不彻底（如 x4−1 只分解到 (x2+1)(x2−1) 就停） 2.结果不是乘积形式（还带加减） 3.提公因式时漏项（如 x2+x=x(x)） 4.符号错误（提负号括号内不变号） 5.完全平方漏 2ab 6.混淆整式乘法与因式分解（题目要求分解，却展开） 【题型1.判断是否是因式分解】 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的定义逐项作出判断即可． 【详解】A．等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B．等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C．是因式分解，故本选项符合题意； D．该变形是整式乘法，是因式分解的逆运算，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】③④ 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的对象是多项式，结果是几个整式的积，与整式乘法互为逆运算是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各等式变形是否符合定义． 【详解】解：等式①左边为积的形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 等式②左边为单项式，不是多项式，不符合因式分解对象要求； 等式③左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式④左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式⑤右边不是积的形式，因此不是因式分解． 故答案为：③④． 3．下列多项式中，能分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据因式分解的意义求解即可，利用因式分解的意义是解题的关键． 【详解】解：A、 是平方和，无法分解，不符合题意； B、，无法分解，不符合题意； C、，无法分解，不符合题意； D、，符合平方差公式，分解为，符合题意； 故选：D． 【题型2.公因式】 4．多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的确定方法．解题的关键是找到系数的最大公因数以及相同的字母． 先找出各项系数的最大公因数，再找出各项都含有的相同字母，最后确定相同字母的最低次幂，将这几部分组合起来就是公因式． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为． 最大公因数是3． 多项式的每一项都含有字母y，y在各项中的次数都是1次， 综合系数的最大公因数3和相同字母y的最低次幂y， 所以该多项式的公因式是． 故答案为：． 5．下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；据此即可求得答案． 【详解】解：A、、的公因式为，不符合题意； B、、的公因式为，符合题意； C、、的公因式为，不符合题意； D、、的公因式为，不符合题意； 故选：B． 6．与的公因式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了公因式的确定能力，运用公因式的定义和提公因式法因式分解进行求解，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． 【详解】解：∵，， ∴与的公因式是， 故答案为：． 7．将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 确定公因式需考虑系数、字母及多项式部分，注意与的关系，通过转换统一形式后提取最大公约数和最低次幂. 【详解】解：∵ ， ∴ 原式化为 . 系数和的最大公约数为，字母和的最低次幂为，多项式的最低次幂为， ∴ 公因式为 ， 故选：A. 【题型3.提公因式法分解因式】 8．分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分解因式，观察多项式，两项均含有公因式，直接提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 9．把分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，掌握先提取公因式，再检查剩余多项式是否能继续分解，分解要彻底是解题的关键． 通过提取公因式，将多项式分解为与二次式的乘积，并验证其他选项是否等价． 【详解】解：A、 ，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 故选：A． 10．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先提取公因式 ，再化简代数式，最后代入已知条件求值． 【详解】解：原式 = = = 代入 ，，得 ， 故答案为： -60． 【点睛】本题的核心是整体代换思想：当已知 和 的值时，无需单独求解、，只需将代数式因式分解为含 和 的形式，即可快速求值． 11．把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的方法，重点考查提取公因式法中的符号处理，能准确识别因式分解过程中的错误是解题的关键． 检查因式分解每一步的符号和变形，发现步骤①将原式的负号错误改为正号，导致后续步骤基于错误表达式进行． 【详解】解：原式为， ∵， ∴正确变形应为， 但步骤①写为，符号错误， ∴ 开始出现错误的一步是①． 故选：A． 解答题 12．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，掌握找公因式的方法，提取公因式后检查括号内的项是否完整是解题的关键． （1）找出多项式各项的公因式，提取公因式后，将剩余部分整理成括号内的代数式； （2）确定两项的公因式，提取公因式，确保括号内的多项式不再有公因式； （3）观察三项的系数与字母，提取公因式，注意最后一项提取后剩余，不要遗漏． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型4.判断能否用公式法分解因式】 13．下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征：，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可． 【详解】解：A中，，故选项不符合题意； B中，，故选项不符合题意； C中，，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故选项符合题意； D中，，故选项不符合题意； 故选：C． 14．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 15．下列变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘法公式：分别进行判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不合题意； B、不能进行因式分解，故该选项不合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查用乘法公式进行化简和因式分解，解题关键是熟练掌握乘法公式． 【题型5.平方差公式分解因式】 16．因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法分解因式．利用平方差公式直接分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 17．把因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式因式分解，熟练掌握该方法是解题的关键． 直接应用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 18．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，因式分解简化计算，掌握观察式子结构并构造平方差的方法是解题的关键． 通过观察，该表达式可以运用平方差公式进行简化计算． 【详解】解：原式 = = = 计算得：， 因此原式 = = = 5.08． 故答案为：． 19．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．如果一个数是“流星数”，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是“流星数”，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“流星数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“流星数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是”流星数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“流星数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“流星数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“流星数”， 此后，每连续四个数中有三个“流星数”． ∴第4个“流星数”为， 第7个“流星数”为， 第10个“流星数”为， ∴第个流星数为， 故选：C． 解答题 20．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，掌握用公式分解，分解后合并同类项并检查是否能继续分解是解题的关键． （1）观察式子为平方差形式，将看作，看作，直接用平方差公式分解； （2）将和看作平方项，用平方差公式分解后合并括号内的同类项； （3）将和看作平方项，用平方差公式分解后化简，再提取公因式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型6.完全平方公式分解因式.】 21．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查因式分解，解题关键在于掌握相关运算法则． 利用完全平方公式分解因式即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 22．下列各式中，是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用完全平方式进行因式分解，熟练掌握完全平方式的基本形式是解题的关键． 通过检查每个表达式是否可写成整式的平方的形式来判断是否为完全平方式． 【详解】解：A、，是二次二项式，缺少中间项，不是完全平方式，不符合题意； B、，它是完全平方式，符合题意； C、，中间项不是， 不是完全平方式，不符合题意； D、，最后一项为负，不是完全平方式，不符合题意； 故选：B． 23．利用因式分解计算： ． 【答案】36 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算，正确计算是解题的关键． 观察表达式，发现其符合完全平方公式的形式，通过完全平方公式进行因式分解简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 24．下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】检查每个多项式是否适用于平方差公式或完全平方公式进行因式分解； 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ① = = = ，能用平方差公式分解； ② = = ，能用平方差公式分解； ③ = ，能用完全平方公式分解； ④ 无法用公式法分解； 能用公式法因式分解的有①、②、③，共3个． 故选：C． 25．已知，为整数，且，则 (填“”，“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式以及因式分解的应用；将两式作差并利用完全平方公式计算后再与0比较大小即可． 【详解】解： ∵ ∴ 故答案为：． 【题型7.综合运用公式法分解因式】 26．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方差公式因式分解可得，又因为可得，进而求得． 【详解】解：∵ ，， ∴ ∴ 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握乘法公式是快速解决本题的关键． 27．在实数范围内因式分解 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】 ． 故答案为：． 28．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 29．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，公式法进行因式分解，正确计算是解题的关键． 根据非负数的性质，绝对值和算术平方根均为非负数，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出 m 和 n 的值，然后利用公式法进行因式分解，代入数据进行求值即可． 【详解】解：， 且，， ∴，， 解得：，， 则 当，时， 原式 故答案为： ． 【题型8.提公因式与公式法的综合应用】 30．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的常用方法． 先提公因式a，再利用完全平方公式继续分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 31．计算的结果为（    ） A．2026 B．20260 C．202600 D．2026000 【答案】C 【分析】通过提取公因数2026，简化表达式后计算完全平方公式，最后相乘得到结果． 本题主要考查了用公式法分解因式，能够将原式进行正确变形是解决此题的关键． 【详解】解：原式 = + + 故选：C． 32．已知，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了提取公因式法和平方差公式在指数式中的应用，掌握提取公因式后用平方差公式分解因式，再对比指数求解是解题的关键． 通过提取公因式和平方差公式将左边化简，再与右边对比指数得出结果． 【详解】解：左边： 右边：． 因此，， 约去非零因子 和 ，得 ， 所以 ． 故答案为：． 33．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有一条信息，信息中，，，，，分别对应下列六个字：春、爱、我、宜、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．宜春游 C．我爱宜春 D．美我宜春 【答案】C 【分析】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 先对给定表达式进行因式分解，提取公因式后利用平方差公式分解，得到四个因式，再根据密码手册中的对应关系找出对应的汉字，组合后与选项对比． 【详解】解：∵ 原式   ， 又∵ 对应“我”， 对应“爱”， 对应“宜”， 对应“春”， ∴ 结果呈现的密码信息为“我爱宜春”， 故选：C． 解答题 34．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （3）先将变形为，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （4）先将前三项用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【题型9.因式分解在简算中的应用】 35．计算：4.3×202.2+7.6×202.2-1.9×202.2= ． 【答案】2022 【分析】利用提公因式法将原式变为202.2×（4.3+7.6-1.9）再进行计算即可． 【详解】解：4.3×202.2+7.6×202.2-1.9×202.2 =202.2×（4.3+7.6-1.9） =202.2×10 =2022， 故答案为：2022． 【点睛】本题考查提公因式法分解因式，掌握提公因式的方法是正确应用的前提． 36．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．利用平方差公式因式分解得，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 37．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 38．计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键． 【题型10.因式分解的应用】 39．若，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：5． 40．若a是实数，则整式的值（   ） A．不是负数 B．恒为正数 C．恒为负数 D．不等于0 【答案】A 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式， 先从后两项中提出2，再提出，然后得完全平方公式解答即可. 【详解】解：原式， 所以整式的值不是负数. 故选：A. 41．若关于的二次三项式能被整除，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的除法，根据题意设出多项式分解因式的结果是解题的关键． 根据题意设出多项式分解因式的结果，利用多项式乘多项式法则及多项式相等的条件即可求出的值． 【详解】解：根据题意可设， 解得 则的值为． 故答案为：． 42．在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．－5 B．7 C．9 D．21 【答案】A 【分析】此题主要考查了因式分解和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握计算法则，正确确定原多项式． 小刚看错常数项但一次项系数正确，从小刚分解可得；小明看错一次项系数但常数项正确，从小明分解可得，再求. 【详解】解：∵ 小刚分解为，且看错常数项但一次项系数正确， ∴ . ∵ 小明分解为，且看错一次项系数但常数项正确， ∴ . ∴ . 故选：A． 【题型11.十字相乘法分解因式】 43．分解因式 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是关键． 利用十字相乘法进行分解因式即可得到结果． 【详解】解： 故答案为：． 44．下列算式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，将多项式分解为两个一次因式的乘积，需找到两个数满足和为1（一次项系数）、积为（常数项），通过分析确定这两个数为4和，从而分解为． 【详解】解：， 故选：C． 45．图中各块图形面积之和为，例如，当，时，各块图形面积之和为，则因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，体现了数形结合的数学思想，根据面积相等得到等式是解题的关键． 经过观察发现：是这个大长方形的面积，观察图形得到这个大长方形的长和宽，得到大长方形的面积为长×宽，根据面积相等即可得出答案． 【详解】解：经过观察发现：是这个大长方形的面积， 而这个大长方形的长为，宽为，面积为， ∴， 故答案为：． 46．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，熟练运用提公因式法和公式法是解题关键． 对各多项式进行因式分解，检查是否含有因式． 【详解】解：∵ A、 ，不含有，符合题意； B、，含有，不符合题意； C、，含有，不符合题意； D、，含有，不符合题意； ∴结果中不含有因式的是A． 故选：A． 【题型12.分组分解法分解因式】 47．分解因式： ． 【答案】 【分析】把多项式分成两部分，分别利用公式法和提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的分组分解法，熟练运用公式法和提取公因式法，把多项式的每一项正确分组是解决问题的关键． 48．用分组分解法分解多项式时，下列分组方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查分组分解法分解因式，分组后都可运用公式，熟练掌握分组分解法分解因式是解答本题的关键． 将分为一组，再观察剩下的式子，即． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 49．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据已知得出，原式化为即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 即 ∴ 故答案为：． 50．已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 解答题 51．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． （1）将式子分成两组，提出公因式后，先运用完全平方公式，再运用平方差公式计算即可； （2）将式子进行分组，运用提公因式法、平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为，， 所以原式． 【题型13.已知因式分解的结果求参数】 52．若关于的多项式因式分解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式将展开即可求出，的值，由此即可求解． 【详解】解：多项式因式分解为， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查多项式的因式分解，掌握多项式乘法可以检验多项式因式分解是解题的关键． 53．若多项式因式分解的结果是，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解未知系数，根据多项式乘法展开后的对应系数关系，建立方程求解即可. 【详解】解：多项式 因式分解为 ，展开右边得： ， ∴，， 解得：，， 故选：A． 54．将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意， 因为多项式进行因式分解得到， 所以 那么，， 故，， 所以， 故答案为：． 55．关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解，代数式求值，负整数指数幂，根据题意可得，再利用多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开得到，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于的代数式分解因式得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 解答题 56．完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，对比二次三项式的系数列方程求解即可； （2）将展开，对比二次三项式的系数列方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12因式分解题型突破讲义 基础 过关题 1.判定是否是因式分解 2.公因式 3.提公因式法分解因式 4.判断能否用公式法分解因式 5.平方差公式分解因式 6.完全平方公式分解因式 能力 提升题 7.综合运用公式法分解因式 8.提公因式与公式法的综合应用 9.因式分解在简算中的应用 10.因式分解的应用 拓展 拔高题 11.十字相乘法分解因式 12.分组分解法分解因式 13.已知因式分解的结果求参数 一、基本概念（必背） 1.因式分解定义把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解（与整式乘法是互逆变形）。 2.判断标准（三句话） 左边：多项式 右边：整式 × 整式 × … 必须分解到不能再分解为止（在有理数范围内） 3.与整式乘法的区别 整式乘法：积 → 和差（展开） 因式分解：和差 → 积（变形） 二、因式分解的基本方法（必考） 1. 提公因式法（最基础、第一步必想） 公因式：系数最大公约数 + 相同字母最低次幂 步骤： (1)找公因式 (2)提出来，剩下的写括号里 公式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 易错： (1)提完后括号内项数不变 (2)首项为负时，一般先提负号，括号内各项变号 (3)公因式是多项式时整体提取（如 a(x−y)+b(x−y)=(x−y)(a+b)） 2. 公式法（必须背熟、会识别结构） （1）平方差公式 a2−b2=(a+b)(a−b) 结构特征：两项、异号、都能写成平方 （2）完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 结构特征：三项式，首尾平方，中间是两倍乘积 符号： 加 → 和的平方 减 → 差的平方 易错：漏 “2 倍”、符号看错、系数未开方 3. 十字相乘法（重点，常考二次三项式） 对 x2+px+q 型： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 关键：找两个数，积 = 常数项，和 = 一次项系数 对 ax2+bx+c(a1)： 二次项系数、常数项分别拆分，交叉相乘再相加等于一次项系数。 三、因式分解的一般步骤（固定套路） 做题按这个顺序，几乎不会错： 一提：先看有没有公因式，有就先提 二套：提完看是否能用公式（平方差 / 完全平方） 三分：不能用公式再考虑十字相乘 四查：检查是否还能再分解，必须分解彻底 四、常见易错点（学生高频丢分） 1.分解不彻底（如 x4−1 只分解到 (x2+1)(x2−1) 就停） 2.结果不是乘积形式（还带加减） 3.提公因式时漏项（如 x2+x=x(x)） 4.符号错误（提负号括号内不变号） 5.完全平方漏 2ab 6.混淆整式乘法与因式分解（题目要求分解，却展开） 【题型1.判断是否是因式分解】 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 3．下列多项式中，能分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【题型2.公因式】 4．多项式的公因式是 ． 5．下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 6．与的公因式是 ． 7．将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【题型3.提公因式法分解因式】 8．分解因式： ． 9．把分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，则的值为 ． 11．把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 解答题 12．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【题型4.判断能否用公式法分解因式】 13．下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 14．在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有 个． 15．下列变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型5.平方差公式分解因式】 16．因式分解 ． 17．把因式分解，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 18．计算： ． 19．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 解答题 20．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【题型6.完全平方公式分解因式.】 21．因式分解： ． 22．下列各式中，是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 23．利用因式分解计算： ． 24．下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．已知，为整数，且，则 (填“”，“”或“”)． 【题型7.综合运用公式法分解因式】 26．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 27．在实数范围内因式分解 ． 28．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 29．若，则 ． 【题型8.提公因式与公式法的综合应用】 30．分解因式： ． 31．计算的结果为（    ） A．2026 B．20260 C．202600 D．2026000 32．已知，则的值为 ． 33．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有一条信息，信息中，，，，，分别对应下列六个字：春、爱、我、宜、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．宜春游 C．我爱宜春 D．美我宜春 解答题 34．把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． (4)． 【题型9.因式分解在简算中的应用】 35．计算：4.3×202.2+7.6×202.2-1.9×202.2= ． 36．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 37．计算： ． 38．计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【题型10.因式分解的应用】 39．若，，则 ． 40．若a是实数，则整式的值（   ） A．不是负数 B．恒为正数 C．恒为负数 D．不等于0 41．若关于的二次三项式能被整除，则的值为 ． 42．在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（   ） A．－5 B．7 C．9 D．21 【题型11.十字相乘法分解因式】 43．分解因式 44．下列算式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 45．图中各块图形面积之和为，例如，当，时，各块图形面积之和为，则因式分解 ． 46．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（   ） A． B． C． D． 【题型12.分组分解法分解因式】 47．分解因式： ． 48．用分组分解法分解多项式时，下列分组方法正确的是（   ） A． B． C． D． 49．若，，则的值为 ． 50．已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 解答题 51．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【题型13.已知因式分解的结果求参数】 52．若关于的多项式因式分解为，则的值为 ． 53．若多项式因式分解的结果是，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 54．将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 55．关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 解答题 56．完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $