2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册综合测试卷

湘教版高中数学选择性必修第二册综合测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)选择性必修第二册第1-4章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.若函数f(x)在x=2处的导数为1，则1i f(2+△x)-f(2)-() △x0 △x A.4 B.2 C.1 D. 2.若向量a=(2,2,3),b=（←1,2,1)，c=0,1,1),则a(6+c)=() A.5 B.8 C.10 D.12 3.已知随机变量X~N(4,o2),且P(X<5)=0.8,则P(3<X<4)=() A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 4.对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正 确的是() , ●● 相关系数 相关系数 相关系数 A.i>>3 B.3>3>i C.1>3>2 D.73>2> 5.若函数f(x)=x2-anx+1在[1，+o)上单调递增，则实数a的取值范围是() A.[0,2] B.(-0,1] C.[2,+0) D.(-,2] 6.平行六面体ABCD-APCD,中，底面ACD为正方形，∠44D=∠44B=号4=AB=1, E为CD的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为() Dy A.0 B.3 C. D. 5 4 7.甲、乙进行射击训练.已知甲、乙射中10环的概率分别为0.5和0.4，且两人是否射中 10环互不影响.甲、乙各射击1次，若10环被射中，则只被甲射中的概率为() A君 B.} c D. 8.以下四个命题，其中正确的个数有() ①经验回归直线=r+a必过样本中心点（低，）： ②在经验回归方程)=12-0.3x中，当变量x每增加一个单位时，变量)平均增加0.3个单位； ③由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀， 则他有99%的可能物理优秀： ④在一个2×2列联表中，由计算得x2=13.709,则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系 (其中P(x2≥10.828=0.001) A.1个 B.4个 C.3个 D.2个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.为保护环境，我国近几年大力发展新能源汽车，新能源汽车的产销量迅速位居全球第一，我 国某省2024年9月份至2025年1月份这5个月新能源汽车月销量y(单位：千辆)与月份 代码x的数据如表所示： 月份 2024年9月 2024年10月 2024年11月 2024年12月 2025年1月 月份代码x 2 3 4 5 月销量y/千 21 52 m+12 109 辆 若y与x线性相关，且经验回归方程为=21.4x+5.8,则（) A.m=78 B.样本相关系数在(0,1]内 C.相对于点(3，m)的残差为-8 D.2025年2月份的销量一定为13.42万辆 10.下列说法正确的是() A.一组样本数据x,x2,,x的平均数等于x+1,x2+1,,xn+1的平均数 B.样本数据1,1,1,0,2的标准差大于方差 C.若随机变量5服从二项分布专~B9, 则D(5)=2 D.若随机变量5服从正态分布5~N(2,62）,且P(5≥4)=0.21，则P(5>0)=0.79 山.已知函数()=心方-，则下列说法正确的是(） A.函数f(x)在R上单调递增 B.x=0是函数f(x)的极值点 C.过原点O仅有一条直线与曲线y=f(x)相切 D.若a+b>0,则f(a)+f(b)>2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知问=4，空间向量为单位向盘，a到行则空间向量在向量方向上技影的 模为 13.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天 气温 气温（℃） 14 12 8 6 用电量（度） 22 26 34 38 由表中数据所得回归直线方程为y=-2x+b,据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约 为 C. 1 14.已知函数f(x)=二x3+e1+x-3,若当x∈(1,2)时，函数f(x)存在最小值，则实数m 的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)己知函数f(x)=(x2-3x+1)e. (1)求∫(x)的单调区间： (2)求∫(x)在区间[-2,0]上的最大值和最小值. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,且底面ABCD是菱形，E是 PA的中点， E …》D B (1)证明：PC/平面BDE. (2)若PA=AB=6,四棱锥P-ABCD的体积为72，且PF=2FC,求平面BDF与平面PCD 的夹角， 17.(15分)随着巴黎奥运会的举办，中国义乌再度吸引全球目光，“义乌制造'再次被奥运 “带火”.某义乌体育用品公司承接了部分巴黎奥运会体育产品的制造，假设该产品在试产阶 段采用A,B两种不同的方案进行生产，已知每种方案均有三道加工工序，每道工序的加工结 果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品方能出厂进行销售，若某道加工工序不合 测该产品停止加工，已知方案A:每道加工工序合格的概率均为：方案B:第 423 三道加工工序合格的概率分别为 534 (1)若分别采用A,B两种方案各自生产一件产品，求生产的两件产品中只有一件产品可以出 厂销售的概率； (2)若方案A:每件产品每道工序的加工成本为10元，销售时单价为100元；方案B:每件 产品的第一、二、三道工序的加工成本分别为5元，10元和15元，销售时单价为100元.若 以每件产品获利的数学期望为决策依据，请判断该公司应采用哪种方案进行加工生产， 18.(17分)某校在2024年开展了两次劳动基地除草耕地活动，首次活动有800名学生参 加.活动结束后，经评估发现有70%的学生的劳动技能得到了提升.为进一步增强劳动教 育效果，学校汲取首次活动的经验并进行改进，第二次活动面向未参加第一次活动的学生开 展.不仅增加了辨别杂草种类、合理使用农具等具有挑战性的任务，还特邀农业专家进行现 场指导.已知第二次活动吸引了1200名学生参加，且活动结束后，有960名学生的劳动技 能得到了提升. (1)补充完整下面的2×2列联表： 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 第二次活动 合计 (2)依据小概率值，=0.01的独立性检验，能否认为该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技 能提升与活动改进有关？ (3)从参加第二次除草耕地活动的学生中按照劳动技能是否提升进行分层，用分层随机抽样 的方法抽取20名学生进行意见调查，再从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，求其 中恰好有2名学生的劳动技能提升的概率， 附：X2= n(ad-be) n=a+b+c+d. (a+b)(a+c)(b+d)(c+d) 0.10 0.05 0.01 Xa 2.706 3.841 6.635 19.(17分)己知函数f(x)=ax2-2血x (1)当a=1时，求y=f(x)在点1，f(1)处的切线方程； (②若对x,3,都有f)≤4恒成立，求a的取值范围： (3)已知a>0,若3x,x2且满足0<x1<x2,使得f(x)=f(x2),求证：Va(x+x,-2(x+x,)>0. 湘教版高中数学选择性必修第二册综合测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第1-4章 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若函数在处的导数为1，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 2．若向量，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 3．已知随机变量，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 4．对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 7．甲、乙进行射击训练．已知甲、乙射中10环的概率分别为0.5和0.4，且两人是否射中10环互不影响．甲、乙各射击1次，若10环被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 8．以下四个命题，其中正确的个数有（ ） ①经验回归直线必过样本中心点； ②在经验回归方程中，当变量x每增加一个单位时，变量平均增加0.3个单位； ③由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀； ④在一个列联表中，由计算得，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系（其中）． A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为保护环境，我国近几年大力发展新能源汽车，新能源汽车的产销量迅速位居全球第一．我国某省2024年9月份至2025年1月份这5个月新能源汽车月销量（单位：千辆）与月份代码的数据如表所示： 月份 2024年9月 2024年10月 2024年11月 2024年12月 2025年1月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量/千辆 21 52 109 若与线性相关，且经验回归方程为，则（   ） A． B．样本相关系数在内 C．相对于点的残差为 D．2025年2月份的销量一定为13.42万辆 10．下列说法正确的是（   ） A．一组样本数据，，…，的平均数等于，，…，的平均数 B．样本数据1，1，1，0，2的标准差大于方差 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从正态分布，且，则 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．是函数的极值点 C．过原点仅有一条直线与曲线相切 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 13．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温． 气温（℃） 14 12 8 6 用电量（度） 22 26 34 38 由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为 ℃． 14．已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面，且底面是菱形，是的中点． (1)证明：平面． (2)若，四棱锥的体积为72，且，求平面与平面的夹角． 17．（15分）随着巴黎奥运会的举办，中国义乌再度吸引全球目光，“义乌制造”再次被奥运“带火”．某义乌体育用品公司承接了部分巴黎奥运会体育产品的制造，假设该产品在试产阶段采用两种不同的方案进行生产，已知每种方案均有三道加工工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品方能出厂进行销售，若某道加工工序不合格，则该产品停止加工．已知方案：每道加工工序合格的概率均为；方案：第一、二、三道加工工序合格的概率分别为． (1)若分别采用两种方案各自生产一件产品，求生产的两件产品中只有一件产品可以出厂销售的概率； (2)若方案：每件产品每道工序的加工成本为10元，销售时单价为100元；方案：每件产品的第一、二、三道工序的加工成本分别为5元，10元和15元，销售时单价为100元．若以每件产品获利的数学期望为决策依据，请判断该公司应采用哪种方案进行加工生产． 18．（17分）某校在2024年开展了两次劳动基地除草耕地活动，首次活动有800名学生参加．活动结束后，经评估发现有70%的学生的劳动技能得到了提升．为进一步增强劳动教育效果，学校汲取首次活动的经验并进行改进，第二次活动面向未参加第一次活动的学生开展．不仅增加了辨别杂草种类、合理使用农具等具有挑战性的任务，还特邀农业专家进行现场指导．已知第二次活动吸引了1200名学生参加，且活动结束后，有960名学生的劳动技能得到了提升． (1)补充完整下面的列联表； 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 第二次活动 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关？ (3)从参加第二次除草耕地活动的学生中按照劳动技能是否提升进行分层，用分层随机抽样的方法抽取20名学生进行意见调查，再从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，求其中恰好有2名学生的劳动技能提升的概率． 附：，． 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 19．（17分）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若对，都有恒成立，求的取值范围； (3)已知，若，且满足，使得，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学选择性必修第二册综合测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第1-4章 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若函数在处的导数为1，则（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】，故选：C 2．若向量，则（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，则.故选：C 3．已知随机变量，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】由，可知其对称轴为：，又， 所以，由对称性可知：，故选：C 4．对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案. 【详解】由散点图可知第1个图表示的正相关， 故； 第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中， 故，且，故，综合可得，即，故选：C 5．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，再利用给定单调区间及单调性列出列式，分离参数求解即得. 【详解】函数，求导得， 由在上单调递增，得，，而恒有， 则，又时，，在上单调递增， 所以实数a的取值范围是.故选：D 6．平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】由求解即可． 【详解】解：由题意，，， 又，， 所以，即有，故选：A． 7．甲、乙进行射击训练．已知甲、乙射中10环的概率分别为0.5和0.4，且两人是否射中10环互不影响．甲、乙各射击1次，若10环被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式进行求解即可. 【详解】设事件：甲射中10环，事件：乙射中10环，事件：10环被射中， 则，，所以， 因为，所以．故选：C． 8．以下四个命题，其中正确的个数有（ ） ①经验回归直线必过样本中心点； ②在经验回归方程中，当变量x每增加一个单位时，变量平均增加0.3个单位； ③由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀； ④在一个列联表中，由计算得，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系（其中）． A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】由线性回归方程性质可判断AB选项正误；由独立性检验定义可判断CD选项正误. 【详解】A选项，线性回归方程必过，故①正确； B选项，当变量x每增加一个单位时，变量平均减少0.3个单位，故②错误； C选项，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指这种判断出错的概率为，并不指某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀，故③错误； D选项，由独立性检验知识可知当，时，可认为99.9%的把握确认这两个变量间有关系，故④正确.故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为保护环境，我国近几年大力发展新能源汽车，新能源汽车的产销量迅速位居全球第一．我国某省2024年9月份至2025年1月份这5个月新能源汽车月销量（单位：千辆）与月份代码的数据如表所示： 月份 2024年9月 2024年10月 2024年11月 2024年12月 2025年1月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量/千辆 21 52 109 若与线性相关，且经验回归方程为，则（   ） A． B．样本相关系数在内 C．相对于点的残差为 D．2025年2月份的销量一定为13.42万辆 【答案】AB 【分析】先根据样本中心点的计算方法求出和，再利用样本中心点在经验回归直线上求出的值；然后根据经验回归方程的性质判断样本相关系数的范围；接着根据残差的定义计算相对于点的残差；最后根据经验回归方程的预测性质判断2025年2月份的销量情况. 【详解】根据题意得，， 又必过样本中心点，所以，解得，故A正确； 因为，具有较强的线性相关关系，且经验回归方程为， 所以，具有较强的正相关关系，故样本相关系数在内，故B正确； 当时，，故残差为，故C错误； 当时，，故2025年2月份的销量约为13.42万辆，故D错误． 故选：AB． 10．下列说法正确的是（   ） A．一组样本数据，，…，的平均数等于，，…，的平均数 B．样本数据1，1，1，0，2的标准差大于方差 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【分析】A选项由平均数公式得到两组数据的平均数的关系，然后比较即可；B选项先求出数据的平均数，然后分别求出方差和标准差即可；C选项由二项分布得到结合对应的方差公式即可得到；D选项由正态分布的对称性得到，即可求出. 【详解】A选项：设，则，所以A选项错误；B选项：这组数据的平均数，所以方差， 标准差，∴，即标准差大于方差，B选项正确； C选项：由可知，所以，C选项正确； D选项：由可知，∴由对称性可得， ∴，D选项正确. 故选：BCD. 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．是函数的极值点 C．过原点仅有一条直线与曲线相切 D．若，则 【答案】ACD 【分析】求导根据导函数即可得出函数的单调性以及极值，进而判断A、B项；设出切点坐标，根据已知列出关系式，构造函数，根据导数研究函数的性质得出函数零点的个数，即可判断C项；根据函数的单调性，得出，整理即可构造，利用导函数求出函数的最小值，即可得出D项. 【详解】对于A项，由已知可得，令，则. 解可得，，所以在上单调递增； 解可得，，所以在上单调递减. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值， 所以，恒成立，即恒成立， 所以函数在上单调递增，故选项A正确； 对于B项，由A可知，在上单调递增，故B项错误； 对于选项C，设切点的坐标为， 根据导数的几何意义可知，切线的斜率， 所以过的切线方程为. 又切线经过原点，所以有， 整理为.令，有， 当时，，有；当时，，有. 所以恒成立，函数单调递增.又由，， 根据零点存在定理可得函数在区间内有且仅有一个零点. 故过原点仅有一条直线与曲线相切，选项C正确； 对于D选项，若，有，由函数单调递增， 有，. 令，有． 令，有（当且仅当时取等号）， 可得恒成立，所以函数单调递增.又由， 所以时，，，所以在上单调递减； 时，，，所以在上单调递增. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值， 所以，故成立，选项D正确．故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 【答案】2 【分析】利用投影的定义计算然后求模即可． 【详解】空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为．故答案为：． 13．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温． 气温（℃） 14 12 8 6 用电量（度） 22 26 34 38 由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为 ℃． 【答案】 【分析】利用回归直线经过样本点的中心，先算出，然后令代入回归直线进行求解. 【详解】根据表格数据可得，，，根据回归直线性质，经过样本点中心，即，故，得，故回归直线为，当，. 故答案为： 14．已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得在上单调递增，则得，从而可得存在极小值点，从而可求解. 【详解】由题意可得在时有最小值，即在上有极小值即可， 因为在上单调递增，所以只需 即解得， 这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增， 即函数在区间上有极小值也即是最小值．所以的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)递减区间为，递增区间为和；(2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数大于0或小于0的x取值集合即可作答. （2）利用（1）的结论，借助单调性即可求解的最大值和最小值. 【详解】（1）函数定义域为R，， 当或时，，当时，，即在，上递增，在上递减，所以的递减区间为，递增区间为和. （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减, 因此，在区间上的最大值为，而，，即有，所以在区间上的最大值为，最小值为. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面，且底面是菱形，是的中点． (1)证明：平面． (2)若，四棱锥的体积为72，且，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，交于点，利用线面平行的判定推理即得. （2）利用锥体体积计算判断菱形的形状，再建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，进而求出面面夹角. 【详解】（1）连接，交于点，连接，由是菱形，得为的中点， 而E为的中点，则，平面，平面， 所以平面. （2）由底面，得， 则，即，于是菱形为正方形， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，由，得，则， ， 设平面的法向量为，，令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 显然，所以平面与平面的夹角为. 17．（15分）随着巴黎奥运会的举办，中国义乌再度吸引全球目光，“义乌制造”再次被奥运“带火”．某义乌体育用品公司承接了部分巴黎奥运会体育产品的制造，假设该产品在试产阶段采用两种不同的方案进行生产，已知每种方案均有三道加工工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品方能出厂进行销售，若某道加工工序不合格，则该产品停止加工．已知方案：每道加工工序合格的概率均为；方案：第一、二、三道加工工序合格的概率分别为． (1)若分别采用两种方案各自生产一件产品，求生产的两件产品中只有一件产品可以出厂销售的概率； (2)若方案：每件产品每道工序的加工成本为10元，销售时单价为100元；方案：每件产品的第一、二、三道工序的加工成本分别为5元，10元和15元，销售时单价为100元．若以每件产品获利的数学期望为决策依据，请判断该公司应采用哪种方案进行加工生产． 【答案】(1) (2)公司应采用方案进行加工生产． 【分析】（1）首先求出采用方案、加工的产品可以出厂销售的概率，再根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）用表示方案每件产品的利润，求出的分布列，从而求出；用表示方案每件产品的利润，求出的分布列，从而求出，即可判断. 【详解】（1）采用方案加工的产品可以出厂销售的概率为； 采用方案加工的产品可以出厂销售的概率为， 故生产的两件产品只有一件可以出厂销售的概率． （2）用表示方案每件产品的利润， 则的所有可能取值为， ，， ，， 所以的分布列为： 则． 用表示方案每件产品的利润，则的所有可能取值为， ，， ，， 则的分布列为： 则． 因为，所以该公司应采用方案进行加工生产． 18．（17分）某校在2024年开展了两次劳动基地除草耕地活动，首次活动有800名学生参加．活动结束后，经评估发现有70%的学生的劳动技能得到了提升．为进一步增强劳动教育效果，学校汲取首次活动的经验并进行改进，第二次活动面向未参加第一次活动的学生开展．不仅增加了辨别杂草种类、合理使用农具等具有挑战性的任务，还特邀农业专家进行现场指导．已知第二次活动吸引了1200名学生参加，且活动结束后，有960名学生的劳动技能得到了提升． (1)补充完整下面的列联表； 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 第二次活动 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关？ (3)从参加第二次除草耕地活动的学生中按照劳动技能是否提升进行分层，用分层随机抽样的方法抽取20名学生进行意见调查，再从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，求其中恰好有2名学生的劳动技能提升的概率． 附：，． 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)列联表见详解 (2)能 (3) 【分析】（1）由已知条件即可完成列联表； （2）由独立性检验知识可以完成判断； （3）依据组合的知识和古典概型公式即可求解. 【详解】（1）首次活动劳动技能提升的学生人数70%人； 首次活动劳动技能未提升的学生人数人； 第二次活动劳动技能提升的学生人数为人； 第二次活动劳动技能未提升的学生人数人， 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 560 240 800 第二次活动 960 240 1200 合计 1520 480 2000 （2）零假设为 该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关，该推断犯错误的概率不超过. （3）抽取的名学生中劳动技能得到提升的人数为人，抽取的名学生中劳动技能未得到提升的人数为人， 记从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，其中恰好有2名学生的劳动技能提升为事件，则. 19．（17分）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若对，都有恒成立，求的取值范围； (3)已知，若，且满足，使得，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，，求导，根据导数的几何意义可得，由两点式可得切线的方程． （2）问题可转化为，对求导，分析单调性，求出得最大值，使得它小于等于，进而可得的取值范围． （3）问题转化为只需证明，由，，且函数在上单调递增，推出只需证明，也即，再构造函数，利用的单调性，即可得出答案． 【详解】（1）当时，，所以，得到， 又，所以在处的切线方程为． （2）由题意知，当时，，又， ①当时，恒成立，即在上单调递减， 所以恒成立，所以， ②当时，由，得到，由，得到， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当，即时，在区间上单调递增， 所以，（舍去）， 当，即时，在上单调递减，，所以， 当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，得到，所以，综上，的取值范围为． （3）因为，要证，只需证明， 由（2）可知，要证，只需证明， 因为，，且函数在区间上单调递增， 所以只需证明，又因为，即证， 令， 即， 注意到， 因为， 则在上单调递减，所以在恒成立， 所以，即满足. 学科网（北京）股份有限公司 $相教版高中数学选择性必修第二册综合测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)选择性必修第二册第14章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题。每小题5分。共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.若函数f(x)在x=2处的导数为1，则im f(2+A)-f(2)-() △x A.4 B.2 C.1 D. 【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解 【详解】im 2+A-包=f(2)=1,故选：C △x 2.若向量a=(2,2,3),b=（1,2,1),c=0,1,1),则a(6+)=() A.5 B.8 C.10 D.12 【答案】C 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果 【详解】由题意可得，五+c=（-1,3,2),则ā：（亿+c)=2×(-1)+2×3+3×2=10.故选：C 3.已知随机变量X~N(4,o2),且P(X<5)=0.8,则P(3<X<4)=() A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 【答案】C 【分析】由正态分布的对称性即可求解 【详解】由X~N(4,o2),可知其对称轴为：x=4,又P(X<5)=0.8, 所以P(4<X<5)=0.8-0.5=0.3,由对称性可知：P(3<X<4)=P(4<X<)=0.3,故选：C 4.对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正 确的是() 。。 ● 相关系数 相关系数 相关系数 A.T>2>3 B.3>3>1 C.1>73>2 D.I3>2>方 【答案】C 【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负以及大小关系， 可得答案 【详解】由散点图可知第1个图表示的正相关，故1>0； 第2,3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中， 故，<0，且>5，故3<<0，综合可得<5<，即>乃>乃2，故选：C 5.若函数f(x)=x2-anx+1在[1，+o)上单调递增，则实数a的取值范围是() A.[0,2] B.（-o,1] C.[2,+w) D.(-m,2] 【答案】D 【分析】求出函数∫(x)的导数，再利用给定单调区间及单调性列出列式，分离参数求解即 得 【详解】函数fx)=x2-anx+1,求导得f)=2x-C, 由f(x)在[1，+o)上单调递增，得x≥1，f'(x)≥0a≤2x2,而恒有2x2≥2， 则a≤2，又a=2时，)=26-令20，f60在[1+om)上单调递增， 所以实数a的取值范围是(-o,2].故选：D 6.平行六面体ABCD-ACD,中，底面ABCD为正方形，∠44D=∠A4B=号4=AB=1, E为CD的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为() D D B A.0 B. 3 c. D. 4 【答案】A 【分析】由BE.DC- 4+AD-】ABAB求解即可 2 T咩解】解：由题意，4MAB=A4MD=1 x1x cos，-,ABAD=0 又DC=AB,8驱=A亚-G=AM+AD,+D西-AB=AM+AD-B, 所以BEDC= a4+D西=}0}0，即有E1心放适： 7.甲、乙进行射击训练.已知甲、乙射中10环的概率分别为0.5和0.4，且两人是否射中 10环互不影响.甲、乙各射击1次，若10环被射中，则只被甲射中的概率为() B.4 1 3 C. 7 D. 7 【答案】C 【分析】利用条件概率公式进行求解即可 【详解】设事件A:甲射中10环，事件B:乙射中10环，事件C:10环被射中， 则P(A)=0.5,P(B)=0.4,所以P(C=1-P(AB)=1-1-0.5)×1-0.4)=0.7, 因为P4BC)=P(4=0.5×Q-0,4=0,3,所以P(4BC1C9=03-?.故选：C. 0.77· 8.以下四个命题，其中正确的个数有() ①经验回归直线)=bx+a必过样本中心点（低，）； ②在经验回归方程少=12-0.3x中，当变量x每增加一个单位时，变量)平均增加0.3个单 位； ③由独立性检验可知，有99的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀， 则他有99%的可能物理优秀； ④在一个2×2列联表中，由计算得x2=13.709,则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系 (其中P(x2≥10.828)=0.001). A.1个 B.4个 C.3个 D.2个 【答案】D 【分析】由线性回归方程性质可判断AB选项正误；由独立性检验定义可判断CD选项正误 【详解】A选项，线性回归方程必过(，可)，故①正确： B选项，当变量x每增加一个单位时，变量)平均减少0.3个单位，故②错误； C选项，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指这种判断出错的概率为1%，并 不指某人数学成绩优秀，则他有9%的可能物理优秀，故③错误： D选项，由独立性检验知识可知当x2=13.709,P(x2≥10.828)=0.001时，可认为99.9%的 把握确认这两个变量间有关系，故④正确故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.为保护环境，我国近几年大力发展新能源汽车，新能源汽车的产销量迅速位居全球第一，我 国某省2024年9月份至2025年1月份这5个月新能源汽车月销量y(单位：千辆)与月份 代码x的数据如表所示： 月份 2024年9月 2024年10月 2024年11月 2024年12月 2025年1月 月份代码x 2 4 月销量y/千 21 52 m+12 109 辆 若y与x线性相关，且经验回归方程为)=21.4x+5.8, 则() A.=78 B.样本相关系数在(0,1]内 C.相对于点(3，m)的残差为-8 D.2025年2月份的销量一定为13.42万辆 【答案】AB 【分析】先根据样本中心点的计算方法求出x和歹，再利用样本中心点在经验回归直线上求 出m的值：然后根据经验回归方程的性质判断样本相关系数的范围：接着根据残差的定义 计算相对于点(3，)的残差：最后根据经验回归方程的预测性质判断2025年2月份的销量情 况 【详解】根据题意得x-1+2+3+4+5=3,少=21+52+m+m+12+109_194+2 5 又=214+58必过样本中心点(，)，所以194+2=214×3+58，解得m=78,故A 5 正确： 因为x,y具有较强的线性相关关系，且经验回归方程为少=21.4x+5.8, 所以x,y具有较强的正相关关系，故样本相关系数在(0，内，故B正确： 当x=3时，y=21.4×3+5.8=70,故残差为m-70=8,故C错误： 当x=6时，少=21.4×6+5.8=134.2，故2025年2月份的销量约为13.42万辆，故D错误 故选：AB. 10.下列说法正确的是() A.一组样本数据x,x2,,x的平均数等于x+1,x2+1,…,xn+1的平均数 B.样本数据1,1,1,0,2的标准差大于方差 2 C.若随机变量5服从二项分布5~B9, 则D(5)=2 3 D.若随机变量5服从正态分布5~N(2,62),且P(5≥4)=0.21，则P(5>0)=0.79 【答案】BCD 【分析】A选项由平均数公式得到两组数据的平均数的关系，然后比较即可；B选项先求出 数据的平均数，然后分别求出方差和标准差即可：C选项由二项分布得到，P结合对应的方 差公式即可得到D()；D选项由正态分布的对称性得到P(5≤O),即可求出P(5>O) 【详解A选项：设x=+,++区，则当+1++1++比1=++，+x+”=+1, 所以A选项错误：B选项：这组数据的平均数x-1+1+1+0+2-1,所以方差 5 =0-+0-1+0-1+0-1j+e-12 标准差=VF=c,0?2,即标准差大于方差，B选项正确： 5 555 2 C选项：由5B9 可知n=9,p=2,所以D(写)=p(1=p)=9×二×=2，C选项正确 33 D选项：由5~N(2,62)可知u=2,∴由对称性可得 P(5≥4)=P(5≥2+2)=P(5≤2-2)=P(5≤0)=0.21， ∴.P(5>0)=1-P(5≤0)=1-0.21=0.79，D选项正确 故选：BCD. 11.己知函数f(x)=e- 人2-，则下列说法正确的是() A.函数f(x)在R上单调递增 B.x=0是函数f(x)的极值点 C.过原点O仅有一条直线与曲线y=f(x)相切 D.若a+b>0,则f(a)+f(b)>2 【答案】ACD 【分析】求导根据导函数即可得出函数的单调性以及极值，进而判断A、B项；设出切点坐 标，根据已知列出关系式，构造函数，根据导数研究函数的性质得出函数零点的个数，即可 判断C项：根据函数的单调性，得出f()+∫(b)>∫亿)+∫(b),整理即可构造 h(x)=e+ex-x2,利用导函数求出函数的最小值，即可得出D项 【详解】对于A项，由已知可得f'(x)=e-x-1,令g(x)=e-x-1,则g'(x)=e-1. 解8(x)>0可得，x>0,所以8(x)在(0，+o)上单调递增： 解g'(x)<0可得，x<0,所以g(x)在(-0，O)上单调递减 所以，8(x)在x=0处取得唯一极小值，也是最小值g(0)=0, 所以，8(x)≥0恒成立，即'(x)≥0恒成立， 所以函数∫(x)在R上单调递增，故选项A正确： 对于B项，由A可知，f(x)在R上单调递增，故B项错误： 对于选项C,设切点P的坐标为me-)2-m, 2 根据导数的几何意义可知，切线的斜率k=e”--1, 所以过P的切线方程为)-Q-m-m-(e-m-x-训 又切线经过服点，所以有-。--加小上(e-m-取， 整理为m-e--0令A()-(x-e-,有公()=(e-), 当x≥0时，e≥1，有h(x)>0:当x<0时，e<1,有H(x)>0 所以h(x)≥0恒成立，函数h(x)单调递增.又由h(0)=-1<0,h(2)=e2-2>0, 根据零点存在定理可得函数h(x)在区间(0,2)内有且仅有一个零点 故过原点O仅有一条直线与曲线y=∫(x)相切，选项C正确： 对于D选项，若a+b>0,有a>-b,由函数f(x)单调递增， 有f@>/-).f儿@>fof-b-e-b+e+b=e+e*- 2 令h(x)=e+ex-x2,有h(x)=e-ex-2x. 令p(d)=e-e-2x,有p(x)=e*+e*-2≥2We.ex-2=0(当且仅当x=0时取等号)， 可得p(x)≥0恒成立，所以函数p(x)单调递增.又由p(0)=0, 所以x<0时，p(x)<0,i(x)<0,所以h(x)在(-o,0)上单调递减： x>0时，p(x)>0,(x)>0,所以h(x)在(O,+o)上单调递增 所以，h(x)在x=0处取得唯一极小值，也是最小值h(O)=2, 所以h(x)≥h(0)=2,故f(a)+f(b)>2成立，选项D正确.故选：ACD 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12,已如问=4，空间向量：为年位向量，a司-子则空间刷量在时量：方向上技影的 模为 【答案】2 【分析】利用投影的定义计算然后求模即可」 【详解】空间向量a在向量e方向上的投影为dc0s(a,e)=4xc0s2π=-2， 3 所以投影的模为2.故答案为：2. 13.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天 气温. 气温（℃） 14 12 P 6 用电量（度） 22 26 34 38 由表中数据所得回归直线方程为y=-2x+b,据此预测当气温为5C时，用电量的度数约 为 C 【答案】40 【分析】利用回归直线经过样本点的中心，先算出b,然后令x=5代入回归直线进行求解， 【详解】根据表格数据可得，x-14+12+8+6-10,y=2+26+34+38 30,根据回归直 4 4 线性质，y=-2x+b经过样本点中心（化，y),即10,30），故-20+b=30,得b=50,故回归 直线为y=-2x+50,当x=5,y=40 故答案为：40 1 14.已知函数f(x)=x2+e+x-3,若当x∈(1,2)时，函数f(x)存在最小值，则实数m 31 的取值范围是 【答案】（-e-4,-2) f'(1)<0 【分析】根据题意可得f'(x)=x2+e1+m在x∈(1,2)上单调递增，则得 /(2)>0’从而可 得存在极小值点xo∈(1,2)xo∈(1,2)，从而可求解， 【详解】由题意可得f(x)在x∈(1,2)时有最小值，即f'(x)=x2+e1+m在(1,2)上有极小值 即可， 因为f'(x)=x2+e1+m在x∈(1,2)上单调递增，所以只需 [f"1)<0 f(2)>0 [+2<0, 即 4+e+m>0, 解得-e-4<<-2, 这时存在xo∈(1,2)，使得f(x)在区间(1，x)上单调递减，在区间[x。,2]上单调递增， 即函数f(x)在区间(1,2)上有极小值也即是最小值.所以m的取值范围是(-e-4,-2): 故答案为：(-e-4,-2) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)己知函数f(x)=(x2-3x+1)e. (1)求f(x)的单调区间： (2)求f(x)在区间[-2,0]上的最大值和最小值. 【答案】（山递减区间为(-12），递增区间为（←0，-1）和(2，+)：2)最大值为。，最小值为1 【分析】(1)求出函数f(x)的导数，判断导函数大于0或小于0的x取值集合即可作答 (2)利用(1)的结论，借助单调性即可求解f(x)的最大值和最小值 【详解】(1)函数f(x)=(2-3x+1)e定义域为R,fx)=2-x-2e=x+1-2)e, 当x<-1或x>2时，f(x)>0,当-1<x<2时，f"(x)<0,即f(x)在(-0，-1)，(2，+0)上 递增，在(-1,2)上递减，所以f(x)的递减区间为(-1,2)，递增区间为(-o,-1)和(2，+∞) (2)由(1)知，f(x)在[-2，-1)上单调递增，在(-1,0]上单调递减， 因比，八在区间-20小上的0大值为-)=是，面/回=1,2列-号共>1，即有 f(x)。=1,所以f(x)在区间[-2,0]上的最大值为三，最小值为1 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,且底面ABCD是菱形，E是 PA的中点。 D B (1)证明：PC/平面BDE. (2)若PA=AB=6,四棱锥P-ABCD的体积为72，且PF=2FC,求平面BDF与平面PCD 的夹角 【答案】(1)证明见解析： (2)90° 【分析】(1)连接AC,交BD于点O,利用线面平行的判定推理即得. (2)利用锥体体积计算判断菱形ABCD的形状，再建立空间直角坐标系，求出平面BDF与 平面PCD的法向量，进而求出面面夹角 【详解】(1)连接AC,交BD于点O,连接OE,由ABCD是菱形，得O为AC的中点， 而E为AP的中点，则OE//PC,OEC平面BDE,PC丈平面BDE, 所以PCII平面BDE. Z▲ B (2)由PA1底面ABCD,得，Ac=4B ADsin∠BAD.PA=6sin∠BAD=72, 则sin∠BAD=1,即∠BAD=90°，于是菱形ABCD为正方形， 以点A为原点，直线AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(6,0,0),C(6,6,0)D(0,6,0),P(0,0,6), PC=(66,-可，由PF=2C,得PF=2PC=4,4-4),则F4,4,2), 3 BD=(-6,6,0),BF=(-2,4,2),PD=(0,6,-6), [i.BD=6x+6y=0 设平面BDF的法向量为n=(x,y,), 令x=1,，得n=1,1,-1), iBF=-2x+4y+2z=0 设平面PCD的法向量为m=(ab,c),则 mPC=6a+60-c=0,令b=1,得m=0.11, i.PD=6凸-6c=0 显然.=0，所以平面BDF与平面PCD的夹角为90° 17.(15分)随着巴黎奥运会的举办，中国义乌再度吸引全球目光，“义乌制造”再次被奥运 “带火”.某义乌体育用品公司承接了部分巴黎奥运会体育产品的制造，假设该产品在试产阶 段采用A,B两种不同的方案进行生产，己知每种方案均有三道加工工序，每道工序的加工结 果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品方能出厂进行销售，若某道加工工序不合 格，则该产品停止加工。已知方案A:每道加工工序合格的额率均为子：方案：第一、一、 三道加工工序合格的概率分别为 423 534