精品解析：广东省河源市龙川一中2025-2026学年高一上学期期末数学试题

龙川一中2025-2026学年度第一学期高一年级期末考试 数学试卷 答卷时间：120分钟 满分：150分 命题人：王妙胜 审题人：黄益勇 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 函数的定义域为 A. B. C. D. 3. 化简的值是（ ） A. B. C. D. 4. 若为偶函数，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 5. 如果点位于第三象限，那么角所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 7. 命题“，使得”成立的一个必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 8. 若是方程的解，是方程的解，则（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，下面结论正确的是 A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上是增函数 C. 函数的图像关于直线对称 D. 函数是奇函数 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 11. 狄利克雷是德国著名数学家，函数，被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（ ） A. 若x是无理数，则 B. 函数的值域是 C. D. 若且T为有理数，则对任意的恒成立 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则________． 13. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，则________． 14. tan70°·cos10°(tan20°1)等于___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求的值； （2）若，求. 16. 计算下列式子 （1） （2） 17. 已知幂函数为偶函数，． （1）求的解析式； （2）若对于恒成立，求k的取值范围. 18. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. （1）试用表示的长，并求的取值范围； （2）求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 19. 已知函数是奇函数． （1）求λ的值； （2）判断的单调性，并用证明你的结论； （3）对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙川一中2025-2026学年度第一学期高一年级期末考试 数学试卷 答卷时间：120分钟 满分：150分 命题人：王妙胜 审题人：黄益勇 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系求出参数即可. 【详解】因为，所以，解得． 故选：C. 2. 函数的定义域为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由故选D. 3. 化简的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式和常见三角函数值得出结论即可. 【详解】 故选：D 4. 若为偶函数，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：根据偶函数的定义求解即可；方法二：根据多项式的奇次项系数为0即可求解. 【详解】方法一：因为为偶函数，所以恒成立， 即恒成立， 则恒成立，所以恒成立， 故，解得． 方法二：，要使函数为偶函数， 只需多项式的奇次项系数为0，即，即． 故选：D. 5. 如果点位于第三象限，那么角所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给的点在第三象限，得出这个点的横坐标和纵坐标都小于零，得到角的正弦值大于零，余弦值都小于零，从而可得角是第二象限的角. 【详解】点位于第三象限，， ，是第二象限的角， 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的定义以及三角函数在象限内的符号，属于基础题. 6. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变形，再由最小正周期公式求解即可. 【详解】由， 所以函数的最小正周期是， 故选：A． 7. 命题“，使得”成立的一个必要不充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将命题转化为二次不等式恒成立问题，求得的取值范围，再利用充分必要条件与集合的关系，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】，使得，等价于在R上恒成立， 所以，解得，即， 要得到命题“，使得”成立的一个必要不充分条件， 则为正确选项对应的集合的真子集， 对于A，，故A错误；对于B，不是的真子集，故B错误； 对于C，，故C错误；对于D，是的真子集，故D正确. 故选：D. 8. 若是方程的解，是方程的解，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用方程解的意义建立等式，再借助同构思想构造函数，利用导数确定单调性即可得解. 【详解】依题意，，且，则， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 而，因此，所以. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，下面结论正确的是 A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上是增函数 C. 函数的图像关于直线对称 D. 函数是奇函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】先化简函数，对于选项A,求出函数的最小正周期判断得解；对于选项B,利用复合函数的单调性分析判断；对于选项C,利用三角函数的奇偶性分析判断；对于选项D,利用函数的奇偶性判断得解. 【详解】由题意，可得， 对于选项A,,所以选项A正确； 对于选项B,在上是减函数，所以函数在区间上是增函数 ,所以选项B正确； 对于选项C,,所以函数是偶函数，所以其图像关于直线对称，所以选项C正确； 对于选项D,由于函数是偶函数 ,所以选项D错误； 故选ABC 【点睛】本题主要考查诱导公式化简，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断AD，通过举反例判断BC，由此确定结论. 【详解】对于选项A：，∴，故，∴ ∴，即，故A正确； 对于选项B，当时， 有，，但此时，，故选项B错误； 对于选项C，当时，有，， 但此时，，故选项C错误； 对于选项D，∵，∴，故， ∴，即， 再由不等式的同项可加性，由和可得，故选项D正确. 故选：AD. 11. 狄利克雷是德国著名数学家，函数，被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（ ） A. 若x是无理数，则 B. 函数的值域是 C. D. 若且T为有理数，则对任意的恒成立 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，根据函数的对应法则知若是无理数，；对于B，根据函数的对应法则知值域为；对于C，根据函数奇偶性的定义,可得是偶函数；对于D，根据函数的表达式,结合有理数和无理数的性质,得成立. 【详解】对于A，当x为有理数时，；当x为无理数时，， 当x为有理数时，；当x为无理数时，， 即不管x是有理数还是无理数，均有，故A不正确； 对于B，函数的值域为不是，故B不正确； 对于C，有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， 对任意，都有，故C正确； 对于D，若x是有理数，则也是有理数；若x是无理数，则也是无理数， 根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，对任意的恒成立，故D正确． 故选：CD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算性质计算可得所求函数值. 【详解】因为，则，故. 故答案为：. 13. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，以及函数符合的等式条件，求出结果即可. 【详解】由，可得， 因为是定义在上的奇函数，所以， 因为时， 所以. 故答案为：. 14. tan70°·cos10°(tan20°1)等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用同角三角函数关系实现切化弦，再利用辅助角公式以及正弦的降幂扩角公式，整理化简，即可得到代数式的值. 【详解】tan70°·cos10°(tan20°-1)=·cos10° =· = =1. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用同角三角函数关系以及辅助角公式、降幂扩角公式化简求值，属综合基础题. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求的值； （2）若，求. 【答案】(1)1 (2) 【解析】 【详解】试题分析：（1）将代入解析式，直接计算即可；（2）由，求出的值，利用两角差的余弦公式展开计算即可. 试题解析： （1） （2）∵，， ∴ 考点：1.同角三角函数基本关系；2.三角恒等变换. 16. 计算下列式子 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质求解； （2）根据对数的运算性质和换底公式求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 17. 已知幂函数为偶函数，． （1）求的解析式； （2）若对于恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可. （2）首先讲题意转化为对于恒成立，再分类讨论求解即可. 【小问1详解】 因为幂函数为偶函数， 所以，解得或. 当时，，定义域为R，， 所以为偶函数，符合条件. 当时，，定义域为R，， 所以为奇函数，舍去. 所以. 【小问2详解】 因为， 所以对于恒成立， 等价于对于恒成立， ①， ②， ③， 综上： 18. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. （1）试用表示的长，并求的取值范围； （2）求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】（1）； （2），且时元. 【解析】 【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解； （2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，再利用基本不等式求出最小值即可. 【小问1详解】 设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. 19. 已知函数是奇函数． （1）求λ的值； （2）判断的单调性，并用证明你的结论； （3）对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 函数为增函数，证明如下： 任取，因为， 由于是增函数，所以，又因为， 所以， 所以， 所以函数为增函数． （3） 【解析】 【分析】（1）法一，利用奇函数的定义结合待定系数法计算即可；法二、利用计算参数，再根据定义验证即可； （2）利用单调性的定义作差计算即可； （3）先利用函数的单调性脱去函数符号，再根据整体思想分离参数得出，结合换元法构造新函数，由单调性的定义判定其单调性计算函数最值即可. 【小问1详解】 法一、因为函数是R上奇函数， 所以恒成立， 则， 由于，则，所以． 法二、因为函数是R上奇函数， 所以， 即，解得． 当时，由于， 此时函数是奇函数，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为为单调增函数， 当，不等式恒成立， 所以恒成立， 即， 则， 在为增函数，则， 所以， 有． 令， 则， 令，由于，设， 则， 由于， 则， 所以， 所以在单调递增． 所以函数在为增函数， 则，则， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $