解答题题型归纳01：解三角形【19个题型】讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高三数学一轮复习题型归纳 【解答题题型归纳01：解三角形】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、基础通用约定（△ABC中，所有题型必用前提） 1.内角约束：，且（核心隐含条件）； 2.边角对应：角对边，角对边，角对边； 3.关键参数：外接圆半径，内切圆半径，半周长. 二、核心三大定理（高考必考，解题根基，重点掌握） 1.正弦定理 基本形式： 高频变形（边角互化核心，必背）： 边化角： 角化边： 比例关系：（高频应用） 合比定理： 适用场景：两角一边、两边一对角、求外接圆、边角比例统一、三角恒等化简. 2.余弦定理 基本形式： 求角变形（最常用，必背）： 角类型判断（选填高频）： （直角三角形） （钝角三角形） （锐角三角形，需验证三边） 适用场景：三边已知、两边一夹角、边角混合式、判断角类型、求边长/角范围. 3.射影定理（高考秒杀神器） 第一射影（边射影，必背，秒杀混合式）： 第二射影（角射影，化简辅助）： 适用场景：直接秒杀含与的混合等式，省去正弦/余弦复杂展开. 三、三角恒等变换（解三角形化简必背全公式） （所有公式适配解三角形场景，重点记忆和差化积、积化和差，避免记错符号） 1.同角基本关系 2.内角和诱导公式（解三角形专属，高频应用） 3.和差角公式 4.二倍角;降幂/升幂（化简、求最值核心） 5.和差化积（新增必背，化简高频） 6.积化和差（配套和差化积，全面必备） 7.辅助角公式（求最值/值域核心） 其中 四、三角形面积公式 1.底高型：（基础应用） 2.两边夹角（核心，高考高频）： 3.外接圆结合：（已知外接圆半径时用） 4.内切圆结合：（，选填速算） 5.海伦公式：（三边已知时用） 6.正弦定理变形：（全角已知时用） 五、三角形基本性质（隐含条件，必用，避坑关键） 1.边角不等关系：（判断多解、形状核心） 2.三角不等式：且（验证三角形存在） 3.角范围约束：，任意两角之和（求范围必用） 4.锐角三角形约束：同时成立（易错点） 六、高考高频结论（直接套用，提速得分） 1.正切恒等式（非直角△）：（选填秒杀） 2.内角正弦关系：（等价于，快速判断） 3.外接圆与边：（直接求外接圆半径） 4.射影+正弦联合：（化简验证） 5.等腰判定：；（快速判定） 6.等腰/直角判定：或（选填高频） 题型分类 知识讲解与常考题型 【类型一：代数求值类】 【题型1：求周长】 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．经典例题1例题 (1)求A． (2)若，，求的周长． （2022·全国乙卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．经典例题2例题 (1)证明：； (2)若，求的周长． （2022·北京·高考真题）在中，．小试牛刀1 (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． （2026·安徽芜湖·一模）已知的内角的对边分别为，满足.小试牛刀2 (1)求； (2)若，求的周长. （2026·黑龙江大庆·二模）在中，角的对边分别为，且.小试牛刀3 (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【题型2：求面积】 （2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．经典例题1例题 (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． （2023·上海·高考真题）在中，内角、、所对的边为、、，其中经典例题2例题 (1)若，且，求边长的值； (2)若，，求. （2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．小试牛刀1 (1)求； (2)若，求面积． （2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.小试牛刀2 (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. （2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．小试牛刀3 (1)求的值； (2)若，求的面积． 【题型3：求边长】 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，经典例题1例题 (1)求B； (2)若的面积为，求c． （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．经典例题2例题 (1)求； (2)设，求边上的高． （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．小试牛刀1 (1)若，求； (2)若，求． （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．小试牛刀2 (1)求的面积； (2)若，求b． （2022·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．小试牛刀3 (1)若，求C； (2)证明： 【题型4：求角】 （2007·浙江·高考真题）已知的周长为，且.经典例题1例题 (1)求边的长； (2)若的面积为，求角的度数. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.经典例题2例题 （1）证明：； （2）若，求. （2020·全国I卷·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.小试牛刀1 （1）若a=c，b=2，求的面积； （2）若sinA+sinC=，求C. （2019·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．小试牛刀2 （1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值； （2）若，求的值． （2026·山东泰安·一模）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边AC上的高为，且.小试牛刀3 (1)求证：； (2)若，求. 【类型二：几何图形求值类】 【题型1：求三角形周长面积】 （2026·重庆九龙坡·一模）如图，中，为上一点，．经典例题1例题 (1)若为钝角，与均为等腰三角形，求的面积; (2)若，求AD． （25-26高三上·河北·月考）已知在中，，，所对的边分别为a，b，c，的平分线交于K.经典例题2例题 (1)求证：； (2)若，，，求的面积. （2025·江苏常州·模拟预测）在中，分别为角的对边，且满足．小试牛刀1 (1)求角； (2)若为锐角三角形，设为的中点，若，且，求的面积． （2025·广东广州·模拟预测）如图，在中，的角平分线交于点，且，.小试牛刀2 (1)求证：； (2)求的面积. ．（2025·山东·模拟预测）在四边形中，，，，．小试牛刀3 (1)求的周长 (2)求四边形的面积． 【题型2：求线段长度】 （2025高三下·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，，且成等差数列．经典例题1例题 (1)求； (2)求的长． （2025·湖北·模拟预测）已知的角A，B，C所对的边为a，b，c，且，，延长到点D.经典例题2例题 (1)若，求的长； (2)若，，求的长. （2025·湖北武汉·二模）如图，与存在对顶角，，，且．小试牛刀1 (1)证明：为中点； (2)若，求的长． （2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，.小试牛刀2    (1)若，求△ABC的面积; (2)若，求BP的长. （2024·江西南昌·一模）如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边，，交于点.小试牛刀3 (1)求； (2)求. 【题型3：求角的正余弦值】 （23-24高三下·河南信阳·月考）如图，在中，内角所对的边分别为，且，，为所在平面内一点，且，，为锐角．经典例题1例题 (1)若，求； (2)若，求． （2025·浙江·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.经典例题2例题    (1)求的大小. (2)如图所示，为外一点，，，，求值. （2025·湖北黄石·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.小试牛刀1 (1)求的大小. (2)如图所示，为△ABC外一点，，，，求角D． （2025·湖北黄冈·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，.小试牛刀2 (1)求的值； (2)在边上取一点，使得，求的值. （24-25高三上·湖南株洲·期末）如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设小试牛刀3 (1)求证：不论为何值，恒成立. (2)当和的面积相等时，求的值. 【题型4：与中线相关】 （2026·山东济南·一模）已知分别是内角的对边，.经典例题1例题 (1)若，求的面积； (2)若，求的正切值. （2026·河北·一模）在中，.经典例题2例题 (1)求A; (2)若的周长为20，面积为，D是BC边上一点，从条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段AD 的长. 条件①:AD 是BC 边上的中线；条件②:AD 是的平分线. （2026·四川宜宾·一模）记的内角的对边分别为，已知.小试牛刀1 (1)求角A； (2)已知边上的两条中线相交于点，且，求的余弦值. （2025·四川成都·模拟预测）的内角的对边分别为，已知．小试牛刀2 (1)求； (2)若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． （25-26高三上·四川广安·月考）在中，角，，所对的边分别是，，，且.小试牛刀3 (1)求； (2)若是边的中点，，，求的面积； 【题型5：与角平分线有关】 （2025·浙江·一模）已知的角的对边是且.经典例题1例题 (1)求； (2)若为的中线，为的角平分线，求. （2025·海南·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知经典例题2例题 (1)求； (2)若的平分线与BC交于点，求AD. （25-26高三上·湖南·月考）记的内角，，的对边分别为，，，.小试牛刀1 (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求的周长. （2025·四川遂宁·二模）在中，内角所对的边分别是且.小试牛刀2 (1)求； (2)已知的角平分线交于点.若，.求面积及的长. （2026·重庆·一模）已知中，角的对边分别为的面积为且满足小试牛刀3 (1)求角的大小； (2)若的平分线交于点，且，求的面积． 【题型6：三角形内外接圆/三角形内心外心】 （2022·广东·模拟预测）的内角的对边分别为，且.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.经典例题1例题 ①为的内心；②为的外心；③为的重心. (1)求； (2)若，__________，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. （2024·江苏苏州·模拟预测）在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有．经典例题2例题 (1)求的面积； (2)设内心为，外心为O，，求外接圆半径． 注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径． （2022·福建·三模）的内角，，所对的边分别为，，.小试牛刀1 (1)求的大小； (2)为内一点，的延长线交于点，________，求的面积. 请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题. ①为的外心，； ②为的垂心，； ③为的内心，. （福建省厦门市双十中学2022届高三上学期开学考试考数学试题）在非钝角中，，和分别是的外心和内心，和分别是的外接圆半径和内切圆半径.小试牛刀2 （1）证明：. （2）若，且，求. （23-24高三上·湖南长沙·月考）半径为的圆内接，，为锐角．小试牛刀3 (1)求的大小； (2)若的平分线交于点，，，求的面积． 【类型三：代数最值范围类】 【题型1：求周长最值范围类】 （2025·福建厦门·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且．经典例题1例题 (1)求A； (2)若，求周长的最大值． （2025·福建·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．经典例题2例题 (1)证明：； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． （24-25高二上·浙江·期中）已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．小试牛刀1 (1)求A的值． (2)若，求周长的取值范围． （2024·四川南充·模拟预测）在中，.小试牛刀2 (1)求； (2)若，求周长的最大值. （2020·福建福州·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．小试牛刀3 (1)求B； (2)若的面积等于，求的周长的最小值． 【题型2：求面积最值与范围类】 （24-25高三上·重庆·月考）在中，角，，所对的边长分别为，，，BC的中点为，记的面积为，已知，.经典例题1例题 (1)若，求以及线段AD的长度； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. （2024·福建泉州·模拟预测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，.经典例题2例题 (1)写出命题p：“已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，.若，则是直角三角形”的逆命题q，并判断逆命题q的真假； (2)若外的点D满足，，求面积的最大值. （23-24高一下·甘肃武威·月考）在平面四边形中（在的两侧），.小试牛刀1 (1)若，求； (2)若，求四边形的面积的最大值. （2023·福建漳州·模拟预测）在平面四边形中，，，，.小试牛刀2 (1)求； (2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围. （2023·福建泉州·模拟预测）凸四边形中，，，，．小试牛刀3 (1)当，且时，证明：； (2)求四边形的面积的最大值． 【题型3：求边长最值与范围类】 （2025·湖北黄冈·三模）在中，角，，的对边分别为，，，已知且.经典例题1例题 (1)求角； (2)若为的中点，求线段长的取值范围. （2023·福建厦门·模拟预测）在平面四边形中，，，.经典例题2例题 (1)若，，求的值； (2)若，求的最小值. （2026·湖北宜昌·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，．小试牛刀1 (1)求角的大小； (2)求的取值范围； (3)设是的重心，求的最小值． （2025·湖北·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，满足.小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若的面积，求的取值范围. （2025·湖北·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．小试牛刀3 (1)求C； (2)若边上的高为，求的最小值． 【题型4：求角的最值与范围类】 （2025·湖北十堰·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．经典例题1例题 (1)判断的形状； (2)设，且是边的中点，当最大时，求的面积． （2025·湖北·三模）在中，角所对的边分别为，若，经典例题2例题 (1)若为内的一点，且，求； (2)求角的最大值. （2025·福建福州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知.小试牛刀1 (1)求； (2)若的面积不小于，求的最大值. （24-25高三上·重庆渝中·月考）设的三个内角的对边分别为，已知角为钝角，.小试牛刀2 (1)若，求的周长; (2)求的取值范围. （2023·福建·模拟预测）在中，内角的对边分别为，，，．小试牛刀3 (1)证明：； (2)若，当A取最大值时，求的面积． 【题型5：求比值类的范围与最值】 （2025·福建泉州·模拟预测）的内角的对边分别为，且.经典例题1例题 (1)求； (2)若，求的面积与周长的比值的最大值. （2025·江苏南通·三模）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，面积为，满足．经典例题2例题 (1)求证：； (2)求的取值范围． （24-25高三上·江苏南通·月考）已知锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，．小试牛刀1 (1)求角B的大小； (2)求的取值范围． （23-24高一下·江苏南通·月考）在①；②；③设的面积为，且.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.小试牛刀2 在中，角，，的对边分别为，，，已知 ，且. (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） （23-24高一下·广西·月考）在锐角中，分别为作的对边，且．小试牛刀3 (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【类型四：几何图形最值与范围类】 【题型1：与三角形有关的最值与范围】 （2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且.经典例题1例题 (1)证明：是倍角三角形； (2)若，当取最大值时，求. （2023·福建福州·模拟预测）如图，直线，线段DE与，均垂直，垂足分别是E，D，点A在DE上，且，.C，B分别是，上的动点，且满足.设，面积为.经典例题2例题 (1)写出函数解析式； (2)求的最小值. （2022·福建泉州·模拟预测）如图，某生态农庄内有一三角形区域，，百米，百米．现要修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点）．小试牛刀1 (1)若，求的长度； (2)现计划在区域内种植观赏植物，在区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路的成本为每百米1万元，求三项费用总和的最小值． （2023·福建漳州·三模）如图，平面四边形内接于圆O，内角，对角线AC的长为7，圆的半径为.小试牛刀2 (1)若，，求四边形的面积； (2)求周长的最大值. （20-21高三上·山东菏泽·期末）如图，在平面四边形中，.小试牛刀3 (1)证明：； (2)记与的面积分别为和，求的最大值. 【题型2：与四边形有关的最值与范围】 （2023·福建漳州·模拟预测）密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状､大小完全相同的平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙､不重叠地铺成一片.皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成.为测皇冠图形的面积，测得在平面凹四边形（图2）中，，，.经典例题1例题 (1)若，，求平面凹四边形的面积； (2)若，求平面凹四边形的面积的最小值. （2023·福建·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.经典例题2例题 (1)求C； (2)若，D为的外接圆上的点，，求四边形ABCD面积的最大值. （2023·湖北·一模）已知中，角，，所对的边分别为，，，满足.小试牛刀1    (1)求的大小； (2)如图，，在直线的右侧取点，使得，求为何值时，四边形面积的最大，并求出该最大值． （2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，设的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若，且，点D是外一点，．小试牛刀2 (1)求角B的大小； (2)求四边形面积的最大值． 【题型3：与边长有关的最值与范围】 （24-25高一下·江苏南京·期末）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米．经典例题1例题 (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与之和的最大值． （2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4.经典例题2例题 (1)若，，求的面积； (2)若，求的最大值. （22-23高三上·江苏常州·月考）如图，在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．小试牛刀1 (1)求面积的最大值； (2)若边上的点D满足，求线段长的最大值． （2021·全国·模拟预测）在①，②，③的面积为这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．小试牛刀2 如图，在平面四边形中，，，，_______． （1）求的长； （2）求的最大值． 解三角形好题精选 一、解答题 1．（2025·江苏苏州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积和周长分别为，，且． (1)若，，求； (2)若且，求的最大值． 2．（2025·江苏·模拟预测）在中，角的对边分别为，． (1)若，求的周长； (2)若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围． 3．（2025·江苏·三模）已知为锐角三角形，角、、的对边分别为、、，，. (1)求的取值范围； (2)求的内切圆半径的最大值. 4．（2026·福建泉州·二模）已知锐角三角形中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求的值． 5．（2024·福建·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，. (1)求； (2)求的面积； (3)以为坐标原点，所在直线为轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值. 6．（2024·福建泉州·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点D是BC上靠近C的三等分点 (1)若的面积为，求AD的最小值； (2)若，求． 7．（2024·福建泉州·模拟预测）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有， (1)求角B： (2)若AC边上的高，求. 8．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高三数学一轮复习题型归纳 【解答题题型归纳01：解三角形】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、基础通用约定（△ABC中，所有题型必用前提） 1.内角约束：，且（核心隐含条件）； 2.边角对应：角对边，角对边，角对边； 3.关键参数：外接圆半径，内切圆半径，半周长. 二、核心三大定理（高考必考，解题根基，重点掌握） 1.正弦定理 基本形式： 高频变形（边角互化核心，必背）： 边化角： 角化边： 比例关系：（高频应用） 合比定理： 适用场景：两角一边、两边一对角、求外接圆、边角比例统一、三角恒等化简. 2.余弦定理 基本形式： 求角变形（最常用，必背）： 角类型判断（选填高频）： （直角三角形） （钝角三角形） （锐角三角形，需验证三边） 适用场景：三边已知、两边一夹角、边角混合式、判断角类型、求边长/角范围. 3.射影定理（高考秒杀神器） 第一射影（边射影，必背，秒杀混合式）： 第二射影（角射影，化简辅助）： 适用场景：直接秒杀含与的混合等式，省去正弦/余弦复杂展开. 三、三角恒等变换（解三角形化简必背全公式） （所有公式适配解三角形场景，重点记忆和差化积、积化和差，避免记错符号） 1.同角基本关系 2.内角和诱导公式（解三角形专属，高频应用） 3.和差角公式 4.二倍角;降幂/升幂（化简、求最值核心） 5.和差化积（新增必背，化简高频） 6.积化和差（配套和差化积，全面必备） 7.辅助角公式（求最值/值域核心） 其中 四、三角形面积公式 1.底高型：（基础应用） 2.两边夹角（核心，高考高频）： 3.外接圆结合：（已知外接圆半径时用） 4.内切圆结合：（，选填速算） 5.海伦公式：（三边已知时用） 6.正弦定理变形：（全角已知时用） 五、三角形基本性质（隐含条件，必用，避坑关键） 1.边角不等关系：（判断多解、形状核心） 2.三角不等式：且（验证三角形存在） 3.角范围约束：，任意两角之和（求范围必用） 4.锐角三角形约束：同时成立（易错点） 六、高考高频结论（直接套用，提速得分） 1.正切恒等式（非直角△）：（选填秒杀） 2.内角正弦关系：（等价于，快速判断） 3.外接圆与边：（直接求外接圆半径） 4.射影+正弦联合：（化简验证） 5.等腰判定：；（快速判定） 6.等腰/直角判定：或（选填高频） 题型分类 知识讲解与常考题型 【类型一：代数求值类】 【题型1：求周长】 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．经典例题1例题 (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 （2022·全国乙卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．经典例题2例题 (1)证明：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解. 【详解】（1）证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； （2）解：因为， 由（1）得， 由余弦定理可得， 则， 所以， 故， 所以， 所以的周长为. （2022·北京·高考真题）在中，．小试牛刀1 (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【详解】（1）解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. （2）解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. （2026·安徽芜湖·一模）已知的内角的对边分别为，满足.小试牛刀2 (1)求； (2)若，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦边角关系及三角形内角的性质化简条件得，即可求； （2）由余弦定理及已知得，进而即得. 【详解】（1）由及正弦边角关系得， 而，整理得， 因为，所以； （2）由余弦定理，得， 进而得，得， 所以的周长为. （2026·黑龙江大庆·二模）在中，角的对边分别为，且.小试牛刀3 (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理，即可求解； （2）利用余弦定理和三角形的面积公式，即可求解，从而求出周长. 【详解】（1）由正弦定理得：， 在三角形中，所以， 即， 因为，所以， 因为，所以 （2），所以， 由余弦定理得，所以， 则， 所以的周长为. 【题型2：求面积】 （2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．经典例题1例题 (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 （2023·上海·高考真题）在中，内角、、所对的边为、、，其中经典例题2例题 (1)若，且，求边长的值； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出B根据余弦定理求解； （2）根据正弦定理求出C及c，再由求面积即可. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得， 解得. （2）因为，所以，所以 因为，所以，， 所以， ， 所以. （2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．小试牛刀1 (1)求； (2)若，求面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出． 【详解】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． （2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.小试牛刀2 (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得； (2)由题意可得，则，据此即可求得的面积. 【详解】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. （2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．小试牛刀3 (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积． 【详解】（1）由于， ，则．因为， 由正弦定理知，则． （2）因为，由余弦定理，得， 即，解得，而，， 所以的面积． 【题型3：求边长】 （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，经典例题1例题 (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．经典例题2例题 (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解； （2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可. 【详解】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由 ， 由正弦定理，，可得， ， . （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．小试牛刀1 (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．小试牛刀2 (1)求的面积； (2)若，求b． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【详解】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. （2022·全国乙卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．小试牛刀3 (1)若，求C； (2)证明： 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出． 【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以． （2）由可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． 【题型4：求角】 （2007·浙江·高考真题）已知的周长为，且.经典例题1例题 (1)求边的长； (2)若的面积为，求角的度数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理将中的角化为边，得，再结合的周长即可得解； （2）由，得，再根据余弦定理即可求得的值，从而得解． 【详解】（1）解：由正弦定理知， ， ， 的周长为， ， ． （2）解：的面积， ， 由（1）知，，， 由余弦定理知， ， ． （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.经典例题2例题 （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值. 【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得， 因为，所以，即． 又因为，所以． （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．② 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或， 当时，（舍去）． 当时，． 所以． [方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 即， 而，即， 故有，从而． 由，即，即，即， 故，即， 又，所以， 则． [方法三]：正弦定理、余弦定理相结合 由（1）知，再由得． 在中，由正弦定理得． 又，所以，化简得． 在中，由正弦定理知，又由，所以． 在中，由余弦定理，得． 故． （2020·全国I卷·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.小试牛刀1 （1）若a=c，b=2，求的面积； （2）若sinA+sinC=，求C. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论； （2）方法一 ：将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可得， 的面积； （2）[方法一]：多角换一角 ， ， ， . [方法二]：正弦角化边 由正弦定理及得．故． 由，得． 又由余弦定理得 ，所以，解得． 所以． 【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角. （2019·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．小试牛刀2 （1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c的方程，解方程可得边长c的值； (2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得的值，然后由诱导公式可得的值. 【详解】（1）因为， 由余弦定理，得，即. 所以. （2）因为， 由正弦定理，得，所以. 从而，即，故. 因为，所以，从而. 因此. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力. （2026·山东泰安·一模）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边AC上的高为，且.小试牛刀3 (1)求证：； (2)若，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可得，，再结合即可求证； （2）由结合余弦定理可得，进而结合利用三角恒等变换公式化简求解即可. 【详解】（1）在Rt中，，在Rt中，， 而，则，即， 则. （2）由，得, 所以，又，则，即， 由（1）知，， 所以， 则， 则 ， 即，则， 解得或（舍去） 又，则，所以，即. 【类型二：几何图形求值类】 【题型1：求三角形周长面积】 （2026·重庆九龙坡·一模）如图，中，为上一点，．经典例题1例题 (1)若为钝角，与均为等腰三角形，求的面积; (2)若，求AD． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用三角形面积公式求解. （2）法1，利用三角形面积公式可得，再利用和角的余弦公式，结合直角三角形边角关系列式求解；法2，利用余弦定理、垂直关系的向量表示并结合数量积的运算律列出方程组求解. 【详解】（1）令，， 由为钝角，为等腰三角形，得， 又为等腰三角形，且，则， 在中，，则， 所以的面积为. （2）法1：在中，由，得，而，， 由，得， 由，得， 则， 因此，即，又， 所以. 法2：在中，，由余弦定理得， 而，即，又，则， 即，于是，解得， 则，解得， 所以. （25-26高三上·河北·月考）已知在中，，，所对的边分别为a，b，c，的平分线交于K.经典例题2例题 (1)求证：； (2)若，，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）分别在和由正弦定理得到，，再结合，即可求证； （2）由（1）得到，分别在和中使用余弦定理得到，，再由面积公式即可求解. 【详解】（1）证明：在中，由正弦定理得. 在中，由正弦定理得. 又，， 所以. （2）由（1）知，即. 在中，，，， 所以. 因为，所以. 在中，， 解得，. 所以， 所以的面积为. （2025·江苏常州·模拟预测）在中，分别为角的对边，且满足．小试牛刀1 (1)求角； (2)若为锐角三角形，设为的中点，若，且，求的面积． 【答案】(1)或； (2)3 【分析】（1）利用正弦定理边化角结合三角恒等变换的公式即可求解； （2）在和中运用余弦定理建立方程组，解方程组，最后再根据面积公式即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 因为，所以，所以， 即，所以或， 即或， 若，则， 若，则，因为，所以，即， 综上，或． （2）若为锐角三角形，则， 在中由余弦定理得，即① 在中由余弦定理得② 由①②消去，得，即． 因为，所以， 所以． （2025·广东广州·模拟预测）如图，在中，的角平分线交于点，且，.小试牛刀2 (1)求证：； (2)求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意得，，在中，利用正弦定理即可证明； （2）利用和差公式、倍角公式可得，由，结合倍角公式、同角关系式可得，继而可得，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1），， 的角平分线交于点； ，， 在中，由正弦定理得，即， （2） ， ， ， ， ， ，或（舍）， 所以， ， . ．（2025·山东·模拟预测）在四边形中，，，，．小试牛刀3 (1)求的周长 (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理结合的取值范围可得出角的值，结合及正弦定理可求得的值，然后利用正弦定理可求得、的长，即可得出的周长； （2）根据已知条件分析可知四边形为等腰梯形，，即可得出梯形的面积. 【详解】（1）因为， 所以  因为，所以． 又因为，所以， 所以， 因为，故，所以，， 且 ， 由正弦定理，所以， 则， 故， 所以的周长为. （2）连接， 因为，，， 所以，，所以，且， 所以四边形为等腰梯形，所以，， 则， 又因为，即，设， 所以四边形的面积 . 【题型2：求线段长度】 （2025高三下·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，，且成等差数列．经典例题1例题 (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三项成等差数列得出，再应用余弦定理及正弦定理计算求解； （2）先应用同角三角关系得出，再结合两角差的余弦公式计算即可. 【详解】（1）设． 因为成等差数列，所以，又，所以． 在中，由余弦定理得， 即，即，解得（舍去）． 在中，由正弦定理得， 于是 ，即． （2）由题设知，由（1）知， 又， 所以 ． 在中， ，所以． （2025·湖北·模拟预测）已知的角A，B，C所对的边为a，b，c，且，，延长到点D.经典例题2例题 (1)若，求的长； (2)若，，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简即得. （2）由（1）的结论及已知可得，再利用正弦定理列式化简求出即可求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得 ，整理得， 而，则，又，因此， 在中，由余弦定理得. （2）由（1）得：，， 由，得， 在中，由正弦定理得：，则， 在中，由正弦定理得：，而， 则，， 因此，， 即，而，解得， 所以. （2025·湖北武汉·二模）如图，与存在对顶角，，，且．小试牛刀1 (1)证明：为中点； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，，结合余弦定理，表示出与，根据列式化简可得. （2）先确定角的数量关系，根据求角的三角函数，再在中用正弦定理，可求的长. 【详解】（1）设，，则，. 在中，由余弦定理得： 在中，由余弦定理得：. 由，所以 . 化简得：. 故为中点. （2）如图： 过点做，交与. 则. 由 （）. 所以，又，所以. 所以. 所以，又，. 所以. 由 所以 . 又，所以，所以. 所以 . 即. 在中，根据正弦定理，可得： . （2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，.小试牛刀2    (1)若，求△ABC的面积; (2)若，求BP的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案； （2）首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，再根据三角恒变换求出，最后再根据正弦定理即可. 【详解】（1）中，设角A、B、C的对边分别为、、， 在中由余弦定理得， 即① 因，即， 整理得② ①②解得， 所以. （2）因为， 所以在中由余弦定理可得， 所以 解得， 由正弦定理得， 即，解得， 所以， 中由正弦定理得，则， 解得， 所以. （2024·江西南昌·一模）如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边，，交于点.小试牛刀3 (1)求； (2)求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由锐角三角函数求出、，又，利用两角和的余弦公式求出，最后由余弦定理计算可得； （2）解法1：首先求出，再由，利用面积公式计算可得；解法2：首先得到，再由计算可得. 【详解】（1）由已知，， ， 因为， 所以 ， 所以在中由余弦定理可得 . （2）解法1：因为， 又因为， 所以， 即， 解得. 解法2：因为，所以， 又，， 所以， 又因为，所以，则， 所以. 【题型3：求角的正余弦值】 （23-24高三下·河南信阳·月考）如图，在中，内角所对的边分别为，且，，为所在平面内一点，且，，为锐角．经典例题1例题 (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦二倍角公式以及辅助角公式先求解角，再利用余弦定理求解结果； （2）设，由正弦定理可得，再结合余弦定理以及同角三角函数关系式求解结果. 【详解】（1）由可得 ， 又因为，所以可得， 即，可得； 又，所以可得，因此. 又，若，可得，可得； 又，所以,又， 由余弦定理可得，解得； （2）设，且，，则， 由可得， 在由正弦定理可得，即，可得， 利用余弦定理可得，解得； 所以可得， 又为锐角，所以； 可得． （2025·浙江·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.经典例题2例题    (1)求的大小. (2)如图所示，为外一点，，，，求值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用三角恒等变换求解； （2）令，，在中，利用正弦定理得到，在中，利用正弦定理得到，从而得到求解. 【详解】（1）， 在中，由正弦定理得， ， 由三角形内角和为可得， ， ， 即， ，，， 即， 又，，即， （2）设，令，， 在中，由正弦定理得， ，，. 在中，由正弦定理得，，，， ， 解得， . （2025·湖北黄石·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.小试牛刀1 (1)求的大小. (2)如图所示，为△ABC外一点，，，，求角D． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）首先由正弦定理边化角，再根据三角恒等变换化简等式，即可求解； （2）根据几何关系，在和中，根据正弦定理表示，利用等量关系，即可求解. 【详解】（1）， 在△ABC中，由正弦定理得， ， 由三角形内角和为可得， ，即， ，，，即， 又，，即,. （2）设，令，， 在中，由正弦定理得，，，. 在中，由正弦定理得，，，，， ，解得. （2025·湖北黄冈·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，.小试牛刀2 (1)求的值； (2)在边上取一点，使得，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：利用余弦定理求出，再由正弦定理即可求；方法二：利用几何法，作垂足为，求出，进而可求，再利用勾股定理求出，再利用三角函数求解即可； （2）方法一：利用两角和的正弦公式结合同角三角函数的基本关系即可求解；方法二：由（1）中的几何法及两角差的正切公式求解即可；方法三：由（1）中的几何法，结合正弦定理及角三角函数的基本关系即可求解；方法四：作，垂足为点，结合（1）中的几何法求解即可. 【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法 由余弦定理得，所以. 由正弦定理得 [方法二]：几何法 过点作，垂足为. 在中，由，，可得， 又，所以. 在中，，因此. （2）[方法一]：两角和的正弦公式法 由于，， 所以. 由于，所以，所以. 所以 . 由于，所以. 所以. [方法二]：几何法+两角差的正切公式法 在（1）的方法二的图中，由， 可得， 从而，. 又由（1）可得， 所以 . [方法三]：几何法+正弦定理法 在（1）的方法二中可得，，. 由，可得， 从而. 在中，， 所以. 在中，由正弦定理可得， 由于，所以， 所以. [方法四]：构造直角三角形法 如图，作，垂足为，作，垂足为点. 在（1）的方法二中可得，，. 由，可得， . 在中，， ，. 由（1）知，所以在中，，，从而. 在中，，所以. （24-25高三上·湖南株洲·期末）如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设小试牛刀3 (1)求证：不论为何值，恒成立. (2)当和的面积相等时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先得到，即，再在、分别利用正弦定理即可证明； （2）首先表示出、，结合（1）即可得到，最后由两角差的正弦公式化简计算可得. 【详解】（1）在中，， 又，所以， 在中，所以， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 所以，即不论为何值，恒成立； （2）因为， ， 又，，由（1）可得， 所以， 即， 整理得，所以. 【题型4：与中线相关】 （2026·山东济南·一模）已知分别是内角的对边，.经典例题1例题 (1)若，求的面积； (2)若，求的正切值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由及余弦定理求出，再由正弦定理求出，由内角和求出，由面积公式求解； （2）在中，有，在中，有，两式相比化简求值. 【详解】（1）因为， 所以. 因为，所以， 因为，所以. 所以，又，所以，所以， ， 所以. （2）因为，所以为中点. 由题设及余弦定理可得，因为，所以. . 设，在中，有①， 在中，有②， ①②相除，得： ，所以， 所以，即， 所以的正切值为. （2026·河北·一模）在中，.经典例题2例题 (1)求A; (2)若的周长为20，面积为，D是BC边上一点，从条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段AD 的长. 条件①:AD 是BC 边上的中线；条件②:AD 是的平分线. 【答案】(1)； (2)选择条件，答案见解析. 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及和差角的余弦公式化简，再利用正弦定理角化边，余弦定理求解. （2）根据给定条件，利用三角形面积公式，结合（1）中信息求出，选择条件①，利用向量数量积运算律求解；选择条件②，利用三角形面积公式列式求解. 【详解】（1）在中，由， 得， 整理得，由正弦定理得， 由余弦定理得，而，所以. （2）令的内角所对边长分别为， 由的面积为，得，则， 由的周长为20，得，由，得， 即，解得， 选择条件①：AD 是BC 边上的中线，则， 所以. 选择条件②：AD 是的平分线，由， 得，则， 所以. （2026·四川宜宾·一模）记的内角的对边分别为，已知.小试牛刀1 (1)求角A； (2)已知边上的两条中线相交于点，且，求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得角A的大小； （2）以为基底向量，求，，利用向量的夹角公式求的余弦值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 即，即， 且，则，可得，即， 且，所以. （2）因为，， 由题意可知：， 又因为，， 则，即； ，即； 且； 可得， 所以的余弦值为. （2025·四川成都·模拟预测）的内角的对边分别为，已知．小试牛刀2 (1)求； (2)若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及，得到，再得出的值； （2）由余弦定理得①，又平方可得②，由①②得：，故，根据和面积公式可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 则，又 所以， 因为在中，，所以. （2）由余弦定理得：，即有①； 设为的中点，即，又因为， 所以，即②， 由①，②得：， 所以，所以． 因为为的平分线，所以， 则， 即． （25-26高三上·四川广安·月考）在中，角，，所对的边分别是，，，且.小试牛刀3 (1)求； (2)若是边的中点，，，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得； （2）借助向量模长与数量积的关系计算可得，再利用面积公式计算即可得. 【详解】（1）由，则， 又， 则有， 即，又，故， 则，即，又，则； （2）由是的中点，则， 则 即，则， 解得或（负值，舍去）， 则. 【题型5：与角平分线有关】 （2025·浙江·一模）已知的角的对边是且.经典例题1例题 (1)求； (2)若为的中线，为的角平分线，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理可得，进而由正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，进而求得，可求结论；法二：利用余弦定理可得，结合已知可得，可得结论； （2）不妨设，则，利用余弦定理可得，可求得，利用角平分线定理可求得，可求结论.法二：不妨设，则，利用余弦定理可得，可求得，利用面积法求得，可得结论. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得，又， 所以，所以， 所以，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以. 因为，，所以, 所以或（舍去），所以. 又因为，所以， 因为，， ， 故. 法二：由余弦定理得，所以， 与联立得，，解得，故. （2）不妨设，则， 在中，， 在中，， 所以，，所以. 由，为的角平分线，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 法二：不妨设，则， 在中，， 在中，， 所以，，所以. 由，得， 所以，所以，得， 所以. （2025·海南·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知经典例题2例题 (1)求； (2)若的平分线与BC交于点，求AD. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差的正弦公式即可求解； （2）根据余弦定理求出三边长，再利用即可求解. 【详解】（1）由条件及正弦定理可得， 则， 又因为，所以，故； （2）由余弦定理得， 将代入，得，所以， 因为为的平分线，， 得， 解得.   （25-26高三上·湖南·月考）记的内角，，的对边分别为，，，.小试牛刀1 (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件及正弦定理，再结合二倍角公式可得； （2）根据角平分线分三角形面积之间的关系及余弦定理可得. 【详解】（1）由及正弦定理，得， ，， ，，，，或. ，，，即. （2）如图：   ， ，①， 又在中，由余弦定理可得，即②， 将①代入②得，或（舍）, . 的周长为. （2025·四川遂宁·二模）在中，内角所对的边分别是且.小试牛刀2 (1)求； (2)已知的角平分线交于点.若，.求面积及的长. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用余弦定理，求得，结合三角形的面积公式，求得的面积，再由，结合面积公式，化简求得的长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，可得， 所以，可得， 又因为，所以. （2）由（1）知，又， 利用余弦定理，可得， 因为，所以， 所以的面积为， 又因为的角平分线交于点， 所以， 可得， 整理得. （2026·重庆·一模）已知中，角的对边分别为的面积为且满足小试牛刀3 (1)求角的大小； (2)若的平分线交于点，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知，应用三角形面积公式、余弦定理得，再由三角恒等变换得，即可求角； （2）由及三角形面积公式得，结合余弦定理有，联立求边长，进而求面积. 【详解】（1）由余弦定理，得 所以，又， 所以，可得， 所以，，则； （2）由，则， 即，则， 由余弦定理有，即， 所以，可得， 所以，则，可得，所以. 【题型6：三角形内外接圆/三角形内心外心】 （2022·广东·模拟预测）的内角的对边分别为，且.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.经典例题1例题 ①为的内心；②为的外心；③为的重心. (1)求； (2)若，__________，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选①：；选②：；选③：. 【分析】（1）由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换求得角； （2）选①，由余弦定理求得，由面积公式求得三角形面积，再结合内切圆半径表示三角形面积求得内切圆半径，即可求面积；选②，由余弦定理求得，由正弦定理求得三角形外接圆半径，由圆周角定理和圆心角定理求得，直接由面积公式计算出面积；选③，由余弦定理求得，利用三角形重心的性质，即重心和三角形的三个顶点组成的三个三角形面积相等，用三角形面积公式求解的面积即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ， ， 三角形中，，所以， ，则，所以，； （2）选①O为的内心，如图，分别是内切圆在各边上的切点， 在中由余弦定理得， ， 设内切圆半径为，则，， 所以； 选②O为的外心，在外部，如图，外接圆上， 由（1），所以， 在中由余弦定理得， ，， ． 选③O为的重心，如图，分别是各边上的中点， 在中由余弦定理得， ， 由三角形重心的性质可得，， 故. （2024·江苏苏州·模拟预测）在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有．经典例题2例题 (1)求的面积； (2)设内心为，外心为O，，求外接圆半径． 注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 直接由三角形的面积公式即可求得答案； （2）首先由等面积法可得内接圆的半径，再结合题干给的公式以及正、余弦定理即可求得外接圆半径为R. 【详解】（1）可知，即，解得． （2）可知内接圆的半径． 连接IB、OB，设，则． 不妨设外接圆半径为R，则． 由角度关系，， 因此代入有 ， 整理：． 右式 由于，因此，解得． （2022·福建·三模）的内角，，所对的边分别为，，.小试牛刀1 (1)求的大小； (2)为内一点，的延长线交于点，________，求的面积. 请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题. ①为的外心，； ②为的垂心，； ③为的内心，. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由余弦定理得， ，可得 根据可得答案； （2）选①，设的外接圆半径为，由正弦定理得，为外心得 ，与盾，故不能选①. 选②，为的垂心得，由 ， ，得，利用，求得，可得出为等边三角形，再由面积公式可得答案. 选③，为的内心，所以， 由和正弦定理可得，结合，和面积公式可得答案； 【详解】（1）在中，由余弦定理得，又因为，， 所以，整理得. 在中，由余弦定理得，所以， 即又因为，所以. （2）选①， 设的外接圆半径为，则在中，由正弦定理得，即，因为为外心，所以，与盾，故不能选①. 选②， 因为为的垂心，所以， 又，所以在中，， 同理可得， 又因为，所以，即 ， 又因为在中，， 所以，因此， 故，为方程两根，即， 因为，，所以，所以为等边三角形， 所以. 选③， 因为为的内心，所以， 由， 得， 因为，所以，即， 由（1）可得，即，所以， 即， 又因为，所以，所以. （福建省厦门市双十中学2022届高三上学期开学考试考数学试题）在非钝角中，，和分别是的外心和内心，和分别是的外接圆半径和内切圆半径.小试牛刀2 （1）证明：. （2）若，且，求. 【答案】（1）证明见详解；（2）或． 【分析】（1）根据题意，根据圆的性质和勾股定理可得出，证明，因此可得，由是的内心，得出，即可证明； （2）根据内切圆的性质，求得其内切圆的半径，由和得出，再结合正弦定理的边化角公式，整理得，代入，并结合两角和与差的正弦公式进行化简计算，即可求得的值． 【详解】解：（1）证明：如图，连接交圆于点，连接交圆于点， 连接、，延长交圆于点，，过点作于点，连接， 则，， 因为，而，， 所以，从而， 由，，得， 得，得有，即， 由于是的内心，则是的角平分线，是的角平分线， 得，，又， 则， 则，所以，因此， 即； （2）由题可知，，且， 设，，，已知内切圆的半径为， 在中，，则， 设（如下图），设，则， 根据三角形内切圆的性质，可知， 则，解得：，即， 而，解得：， ， 所以， 由，由（1）得欧拉公式：为的外接圆半径）， 则，即， 有，即， 将，，代入上式， 化简整理得， 即， 易得， 易，则或， 由，求得， 所以或． （23-24高三上·湖南长沙·月考）半径为的圆内接，，为锐角．小试牛刀3 (1)求的大小； (2)若的平分线交于点，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理计算可得； （2）由角平分线的性质得到，再由等面积法求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）由正弦定理，又角为锐角，所以． （2）∵为的平分线，， 设点到和的距离为，则，即， ∴， 又∵， ∴，则有， ∴或（舍去），所以， ∴． 【类型三：代数最值范围类】 【题型1：求周长最值范围类】 （2025·福建厦门·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且．经典例题1例题 (1)求A； (2)若，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得，由正弦定理求得，可得答案； （2）由余弦定理得，利用基本不等式可得，可解周长最大值. 【详解】（1）.，， ， 根据正弦定理， ，， ，即， ，所以，则， ； （2）由余弦定理， 得， 根据基本不等式，，可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以当时，周长的最大值是6. （2025·福建·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．经典例题2例题 (1)证明：； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简以及两角和与差的正弦即可求得结果. （2）利用正弦定理求出，因为三角形为锐角三角形求出，再用余弦定理进一步求出，即可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理，，所以． 又，所以， 所以，所以， 因，所以，即. （2）因为，所以， 因为，所以． 因为，所以， ∵为锐角三角形，∴，∴，∴ 因为，由余弦定理，两式联立得， 又因为，代入上式，得到，则，且， 所以，即． 所以周长的取值范围为． （24-25高二上·浙江·期中）已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．小试牛刀1 (1)求A的值． (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得. （2）使用正弦定理将边化角，再利用三角形内角和为和辅助角公式，将周长转化为一个内角为变量的最值问题，由角的范围进行求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 由余弦定理， 所以，又，所以； （2）由正弦定理得， ∴，. ∴ 在锐角中，，， 又∵，∴，∴， 综上可得， ∴， ∴ ∴周长的取值范围为. （2024·四川南充·模拟预测）在中，.小试牛刀2 (1)求； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 即， 由余弦定理， ，. （2）因为， 即， ，当且仅当时取等号， ，即， 又，所以，当且仅当时取等号， 周长， 即周长的最大值为 （2020·福建福州·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．小试牛刀3 (1)求B； (2)若的面积等于，求的周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式及三角函数即可得解； （2）由题意可得ac＝4，再利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案. 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， ∵，所以， 所以，∴； （2）解：依题意，∴ac＝4， 所以，当且仅当时取等号， 又由余弦定理得， ∴，当且仅当a＝c＝2时取等号， 所以的周长最小值为． 【题型2：求面积最值与范围类】 （24-25高三上·重庆·月考）在中，角，，所对的边长分别为，，，BC的中点为，记的面积为，已知，.经典例题1例题 (1)若，求以及线段AD的长度； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再根据两角差的余弦及三角形内角公式化简可得，向量的运算可求得； （2）利用正弦定理边角互化，再由三角形面积公式可求得，由锐角三角形可求解取值范围，即可求解. 【详解】（1）由正弦定理，， 又，，， ， ， . （2），， ， 是锐角三角形， ， ，， . （2024·福建泉州·模拟预测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，.经典例题2例题 (1)写出命题p：“已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，.若，则是直角三角形”的逆命题q，并判断逆命题q的真假； (2)若外的点D满足，，求面积的最大值. 【答案】(1)逆命题q见解析，假命题； (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合逆命题的定义即可得解，解直角三角形判断真假. （2）结合锐角三角函数定义及正弦定理可求出DB，DC，然后结合三角形面积公式，和差角公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质即可求． 【详解】（1）逆命题q为：已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，， 若是直角三角形，则. 命题q为假命题，理由如下： 由为直角三角形，且，得或，而， 当时，，当时，， 因此逆命题q是假命题. （2）由于外的点D满足，而，则四点共圆， 由，得，且，设，则， 在中，由正弦定理得外接圆直径，， 在中，， 在中，， 则的面积 ， 显然，，因此当时，， 所以面积的最大值为. （23-24高一下·甘肃武威·月考）在平面四边形中（在的两侧），.小试牛刀1 (1)若，求； (2)若，求四边形的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中用余弦定理求出，再由角度之间的关系，在中用正弦定理可求出； （2）将四边形，分成，，的面积为定值，的面积可用余弦定理与三角形面积公式求出最大值. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即. 因为，，所以， 又，所以. 在中，由正弦定理得， 所以， 又，所以，所以； （2）设 ，所以. 在中，由余弦定理得. 所以的面积 ， 所以，此时， 又的面积， 所以四边形的面积的最大值为 （2023·福建漳州·模拟预测）在平面四边形中，，，，.小试牛刀2 (1)求； (2)若为锐角三角形，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由正弦定理可得，从而求得. （2）解法一：由（1）求得 ， ，从而 ，再利用，即可求得面积的取值范围；解法二：作于，作于，交于，求得，，，分别求出，，利用即可求得范围. 【详解】（1）在中， 由正弦定理可得， 所以， 又， 所以. （2）解法一：由（1）可知， ， 因为为锐角， 所以， 所以 ， 在中，由正弦定理得， 所以 ， ， 因为， 且为锐角三角形， 所以， 所以， 所以 ， 所以， 所以， 即， 所以的面积的取值范围为.    解法二：由（1）可知， ， 因为为锐角，所以，， 如图，作于，作于，交于，    所以， ， 所以， 又， 所以. 由图可知， 仅当在线段上（不含端点）时，为锐角三角形， 所以，即. 所以面积的取值范围为. （2023·福建泉州·模拟预测）凸四边形中，，，，．小试牛刀3 (1)当，且时，证明：； (2)求四边形的面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）在中，利用余弦定理和同角三角函数的基本关系得到，然后在中利用正弦定理和同角三角函数的基本关系得到，进而得证； （2）结合（1）的结论和三角形面积公式得到的面积，在中，利用余弦定理和基本不等式得到，再结合三角形面积公式得到面积的最大值，进而求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得： .因为，， 所以， 则在中，由正弦定理得：， 所以. 又因为，所以∠CBD必为锐角，所以，所以∠ADB=∠CBD，所以. （2）由（1）知，所以. 在中，由余弦定理得：， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以当且仅当时，四边形的面积取最大值. 【题型3：求边长最值与范围类】 （2025·湖北黄冈·三模）在中，角，，的对边分别为，，，已知且.经典例题1例题 (1)求角； (2)若为的中点，求线段长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解； （2）由，两边平方，再结合即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即， 由余弦定理可得， 因为，所以； （2）点为的中点，则， ， 因为，由（1）可知，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 故，求出，当且仅当时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 故，又，故， 故，即的取值范围为. （2023·福建厦门·模拟预测）在平面四边形中，，，.经典例题2例题 (1)若，，求的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中借助余弦定理、正弦定理及诱导公式即可解决； （2）以为变量，分别借助余弦定理、正弦定理及诱导公式,转化为三角函数最值问题即可解决. 【详解】（1）因为，，， 在中，由余弦定理得， 所以， 由得. 由正弦定理得, 所以, 所以, 所以 . （2）在中，由得    ①， 又    ②， 且， 所以, 在中 ， 将 ① ， ②代入上式得 . 且， 所以，当时，有最小值3. 所以取最小值. 综上，的最小值为. （2026·湖北宜昌·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，．小试牛刀1 (1)求角的大小； (2)求的取值范围； (3)设是的重心，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求得角； （2）利用正弦定理与和角公式求得，结合锐角三角形求得，利用正切函数的性质即可求得边的取值范围； （3）利用三角形的重心性质和余弦定理，借助于二次函数的性质即可求得答案. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 去分母得，即， 由余弦定理，可得．又，所以． （2）由正弦定理，可得 ． 因为三角形为锐角三角形，所以，解得．则， 则，故． （3）设的中点为，因是的重心，则， 由余弦定理，， 故当时，取得最小值，此时的最小值为 （2025·湖北·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，满足.小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若的面积，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简可得,结合辅助角公式即可求解； （2）由三角形面积公式化简得，由正弦定理可得,化简后结合的范围即可求解. 【详解】（1）, 由正弦定理得：， 因为在中， 所以， 又因为，可得，即， 又因为在锐角中, 可得； （2）因为，可得， 由正弦定理得， 又， 所以， 在锐角中 所以, ， ， 所以的取值范围为 （2025·湖北·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．小试牛刀3 (1)求C； (2)若边上的高为，求的最小值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由正弦定理，化简得，由此即可得解； （2）由余弦定理结合基本不等式可得，然后根据三角形面积公式得，由此即可得解. 【详解】（1）在中，由正弦定理，可得， 又因为，所以， 所以，即， 因为，，所以， 故，于是； （2）由（1）得，根据余弦定理以及基本不等式， 得， 当且仅当时等号成立， 又因为，且， 所以，所以，即， 故的最小值为2. 【题型4：求角的最值与范围类】 （2025·湖北十堰·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．经典例题1例题 (1)判断的形状； (2)设，且是边的中点，当最大时，求的面积． 【答案】(1)为等腰三角形 (2) 【分析】（1）根据条件，利用倍角公式及平方关系得到，进而得到，即可求解； （2）根据条件及余弦定理得到，利用基本不等式得到，进而可得，从而有当最大时，为正三角形，即可求解. 【详解】（1）因为，所以 ，即， 整理得，所以．                因为，则，所以， 即，则为等腰三角形． （2）由（1）及题设，有， 所以 ，当且仅当时，等号成立．      又为三角形内角，所以，即的最大值为，      此时，又，所以 ， 故，可得三角形ACD为直角三角形且．      可得为正三角形， 又，所以当最大时，的面积 ． （2025·湖北·三模）在中，角所对的边分别为，若，经典例题2例题 (1)若为内的一点，且，求； (2)求角的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用三角形内角性质以及三角函数诱导公式，根据余弦定理，整理等式，由化简计算可得答案； （2）利用余弦定理结合不等式求解即可. 【详解】（1）可化为， 在中，，得， 又，所以，因为，所以， 因为， 所以， 则； （2）化为边的关系， 又 ， 因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以. （2025·福建福州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知.小试牛刀1 (1)求； (2)若的面积不小于，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合已知利用余弦定理求得，结合角的范围即可得解. （2）根据得，由正弦定理得，进而由三角形的性质及两角和的正弦公式化简得，即可解答. 【详解】（1）由及余弦定理可知：， 因为，则. （2）因为，所以，即， 由正弦定理可知：， 因为，所以， 由此可得，展开得， 即，又因为，，所以， 同时除以，得， 所以的最大值为. （24-25高三上·重庆渝中·月考）设的三个内角的对边分别为，已知角为钝角，.小试牛刀2 (1)若，求的周长; (2)求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式可得，再利用正弦定理求出，然后利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的信息，利用三角恒等变换，结合正弦函数、二次函数性质求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，而， 则，即有，而为钝角，则为锐角，因此， 由，得，由，为锐角，得， 由正弦定理，得， ， 由余弦定理得， 于是，解得， 所以的周长为. （2）由（1）知， 则 ，又，即， 因此，所以的取值范围. （2023·福建·模拟预测）在中，内角的对边分别为，，，．小试牛刀3 (1)证明：； (2)若，当A取最大值时，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意结合三角恒等变换整理得，再利用正、余弦定理边化角分析运算； （2）利用余弦定理结合基本不等式可得A取最大值时，，，进而可求三角形的面积. 【详解】（1）∵，则， 可得， ∴， 又∵，则， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得：，整理得. （2）由（1）可得：，即， 则， 当且仅当，即时，取最大值， 此时，则， ∵，则，可得， 故． 【题型5：求比值类的范围与最值】 （2025·福建泉州·模拟预测）的内角的对边分别为，且.经典例题1例题 (1)求； (2)若，求的面积与周长的比值的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先将原等式利用和差倍角的余弦公式以及正弦定理进行化简，得到关于角的三角函数，进而可求得角的值. （2）首先根据余弦定理求得关于的等式，然后求三角形的面积和周长，化简的表达式，利用基本不等式和三角形的边长性质求得的范围，进而可求得的最大值. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. 所以. 化简得： 根据正弦定理得：. 因为，所以， 所以.解得，又，所以. （2）由（1）知又， 则的面积为，的周长为， 所以. 由余弦定理得：，化简得， 所以. 又，所以， 化简得，所以， 所以. 令，则， 所以， 所以当时，取最大值为. （2025·江苏南通·三模）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，面积为，满足．经典例题2例题 (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由三角形的面积公式、余弦定理、正弦定理以及两角和、差的正弦公式得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，根据为锐角三角形求出角的取值范围，即可得出的取值范围，然后利用二次函数的基本性质可求得的取值范围． 【详解】（1）由得，即， 由余弦定理得：，即， 化简得：， 由正弦定理有：， 即，化简得：， 因为，，所以， 因为正弦函数在上单调递增，故，即. （2）由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形，则，解得，则， 令，则目标式为，其中， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为，，故， 故当时，. 因此，的取值范围是. （24-25高三上·江苏南通·月考）已知锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，．小试牛刀1 (1)求角B的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式，结合正弦函数单调性求出角B. （2）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换，结合正弦函数性质求解即得. 【详解】（1）在锐角中，，则，， 于是，即，而，则， 所以. （2）由（1）知，，由，得， 由正弦定理得 ， 而，则，， 所以的取值范围是. （23-24高一下·江苏南通·月考）在①；②；③设的面积为，且.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.小试牛刀2 在中，角，，的对边分别为，，，已知 ，且. (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)选①②③的面积都为， (2) 【分析】（1）若选①，由正弦定理化角为边，结合余弦定理求，利用余弦定理求，再由三角形面积公式求面积；选②，通过三角恒等变换求，利用余弦定理求，再由三角形面积公式求面积；若选③，由条件结合三角形面积公式，余弦定理可求，利用余弦定理求，再由三角形面积公式求面积； （2）由题意可求得，利用正切函数的性质可求，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，进而可求解的范围． 【详解】（1）若选①，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 又， 所以， 所以，又 所以，所以，又， 所以， 所以，所以， 又，，所以， 所以的面积， 若选②，由， 所以， 所以，结合三角形内角性质， 所以， 所以，所以，又， 所以， 所以，所以， 又，，所以， 所以的面积， 若选③，因为，又， 所以，又 所以，所以，又， 所以， 所以，所以， 又，，所以， 所以的面积. （2）由（1）可知，， 所以由正弦定理知， 因为为锐角三角形，， 所以，且， 解得， 所以，可得， 所以， 所以的取值范围是. （23-24高一下·广西·月考）在锐角中，分别为作的对边，且．小试牛刀3 (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合正弦定理化简，再根据和差角公式及同角基本关系化简求出. （2）结合余弦定理对所求式子进行分离变形，然后结合对勾函数求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 又因为 所以， 因为，所以，即， 所以，即 因为， 所以， 所以，即； （2）由（1）及余弦定理得 , 因为， 在锐角中，，解得， 所以，所以， 由对勾函数的性质可得， 所以． 【类型四：几何图形最值与范围类】 【题型1：与三角形有关的最值与范围】 （2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且.经典例题1例题 (1)证明：是倍角三角形； (2)若，当取最大值时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明； （2）由正弦定理结合题中条件得到，结合三角形面积公式化为关于的表达式，构造函数，利用导数求得最大值即可. 【详解】（1）因为， 又,所以， 则， 又由余弦定理知，， 故可得， 由正弦定理，, 又, 代入上式可得, 即， ， 则有, 故是倍角三角形. （2）因为，所以, 故，则，又， 又，则, 则 , 设，， 则 令得或者（舍）， 且当时，， 当时，， 则在上单调递增， 在上单调递减， 故当时，取最大值， 此时也取最大值， 故为所求. （2023·福建福州·模拟预测）如图，直线，线段DE与，均垂直，垂足分别是E，D，点A在DE上，且，.C，B分别是，上的动点，且满足.设，面积为.经典例题2例题 (1)写出函数解析式； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2)的最小值为 【分析】（1）根据直角三角形的边角关系得关于的表达式，再根据三角形面积公式即可得函数解析式； （2）利用三角恒等变换化简，再根据函数的性质即可得的最小值. 【详解】（1）结合图形可知，若，则，所以，又，所以， 又在中， 在中， 所以面积为 （2）由（1）， 因为，所以，所以的取值范围是 所以当时，取得最小值. （2022·福建泉州·模拟预测）如图，某生态农庄内有一三角形区域，，百米，百米．现要修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点）．小试牛刀1 (1)若，求的长度； (2)现计划在区域内种植观赏植物，在区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路的成本为每百米1万元，求三项费用总和的最小值． 【答案】(1)（百米）． (2)万元 【分析】（1）首先根据余弦定理求出，再利用正弦定理即可求出的长； （2）设，得到，利用导数求出其最值即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理，得，    因为，，， 所以，，   所以，． 在中，由正弦定理，得，       所以（百米）． （2）设，，由（1）可得，    所以，     又， 所以 设三项费用之和为， 则 ，，   所以，令，解得， 当时，，函数单调递减；       当时，，函数单调递增． 所以，即三项费用总和的最小值为万元． （2023·福建漳州·三模）如图，平面四边形内接于圆O，内角，对角线AC的长为7，圆的半径为.小试牛刀2 (1)若，，求四边形的面积； (2)求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用余弦定理求得，从而证得为等边三角形，求得其面积，再在中利用余弦定理求得，从而利用三角形面积公式求得的面积，由此得解； （2）利用余弦定理得到，从而利用基本不等式推得，由此得解. 【详解】（1）如图所示，连结， 在中，，， 所以， 因为，所以，则， 因为，所以为等边三角形， ， ，， 在中，，即， 又， ， . （2）设，， 则在中，，，则，即，故， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， ，则， ，故，当且仅当时，等号成立， 所以，即周长的最大值为. （20-21高三上·山东菏泽·期末）如图，在平面四边形中，.小试牛刀3 (1)证明：； (2)记与的面积分别为和，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)14 【分析】（1）分别在和中，利用余弦定理表示BD，然后联立求解； （2）结合（1）得到 ，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）证明：在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， ∴， 所以， 即. （2）， ， 则 由（1）知：， 代入上式得， ， ， ∴当时，取到最大值14. 【题型2：与四边形有关的最值与范围】 （2023·福建漳州·模拟预测）密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状､大小完全相同的平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙､不重叠地铺成一片.皇冠图形（图1）是一个密铺图形，它由四个完全相同的平面凹四边形组成.为测皇冠图形的面积，测得在平面凹四边形（图2）中，，，.经典例题1例题 (1)若，，求平面凹四边形的面积； (2)若，求平面凹四边形的面积的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用余弦定理可得，然后利用余弦定理，同角关系式及三角形面积公式即得； （2）利用余弦定理及基本不等式可得，进而可得平面凹四边形面积的最小值. 【详解】（1）如图，连接， 在中，，，， 由余弦定理，得，， 在中，，，， ， ∴， ∴，又， ∴； （2）由（1）知，， 中，， ∴，当且仅当时等号成立， ∴， ∴， ∴， ∴当且仅当时，平面凹四边形面积取得最小值. （2023·福建·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.经典例题2例题 (1)求C； (2)若，D为的外接圆上的点，，求四边形ABCD面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简，即可得出，进而根据角的范围得出答案； （2）解法一：由已知可推出，然后根据正弦定理可求出，进而求出，.设，，表示出四边形的面积，根据基本不等式即可得出答案；解法二：根据投影向量，推出，然后同解法一求得.设，表示出四边形的面积，根据的范围，即可得出答案；解法三：同解法一求得，设点C到BD的距离为h，表示出四边形的面积，即可推出答案；解法四：建系，由已知写出点的坐标，结合已知推得BD是的直径，然后表示出四边形的面积，即可推出答案. 【详解】（1）因为， 在中，由正弦定理得，. 又因为， 所以， 展开得， 即， 因为，故，即. 又因为，所以. （2）解法一： 如图1 设的外接圆的圆心为O，半径为R， 因为，所以， 即，所以， 故BD是的直径，所以. 在中，，，所以. 在中，. 设四边形ABCD的面积为S，，，则， ， 当且仅当时，等号成立. 所以四边形ABCD面积最大值为. 解法二： 如图1 设的外接圆的圆心为O，半径为R，在上的投影向量为， 所以. 又，所以， 所以在上的投影向量为， 所以. 故BD是的直径，所以. 在中，，，所以， 在中，. 设四边形ABCD的面积为S，，， 则，， 所以 ， 当时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为. 解法三： 如图1 设的外接圆的圆心为O，半径为R， 因为，所以，即， 所以. 故BD是的直径，所以. 在中，，，所以. 在中，. 设四边形ABCD的面积为S，点C到BD的距离为h， 则 ， 当时，S最大，所以四边形ABCD面积最大值为. 解法四： 设的外接圆的圆心为O，半径为R， 在中，，， 故外接圆的半径. 即，所以. 如图2，以外接圆的圆心为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy， 则，. 因为C，D为单位圆上的点，设，， 其中，. 所以，， 代入，即，可得， 即. 由可知， 所以解得或，即或. 当时，A，D重合，舍去；当时，BD是的直径. 设四边形ABCD的面积为S， 则， 由知，所以当时，即C的坐标为时，S最大， 所以四边形ABCD面积最大值为. （2023·湖北·一模）已知中，角，，所对的边分别为，，，满足.小试牛刀1    (1)求的大小； (2)如图，，在直线的右侧取点，使得，求为何值时，四边形面积的最大，并求出该最大值． 【答案】(1) (2)，四边形面积的最大，最大值为 【分析】（1）根据正弦定理可得，进而结合两角和的正弦公式及同角三角函数关系化简可得，进而求解即可； （2）由（1）可得为等边三角形，在中，由余弦定理可得，进而结合三角形的面积公式和三角恒等变换公式可得四边形的面积，进而结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意，， 由正弦定理得 即 又因为中，， 所以， 又因为，所以，即． 又，故. （2）由（1）知，， 因为，所以为等边三角形， 在中，由余弦定理得， ， 而， ， 所以四边形的面积为 ， 因为，， 当，即时，取得最大值，为， 故四边形面积的最大值为． （2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，设的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若，且，点D是外一点，．小试牛刀2 (1)求角B的大小； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式，正弦定理以及余弦定理，计算可求得答案. （2）利用三角形面积公式，分别表示出和，然后根据，经过三角恒等变换进行化简，最后可得四边形面积的最大值. 【详解】（1）因为，由得或（舍）．故，由正弦定理得， 所以，所以 （2）设，则 在中， 由①知为正三角形，故， 所以， 因为，故时，． 【题型3：与边长有关的最值与范围】 （24-25高一下·江苏南京·期末）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知射线，为两边夹角为的公路（长度均超过3千米），在两条公路，上分别设立游客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米， 千米．经典例题1例题 (1)求线段的长度； (2)若，求两条观光线路与之和的最大值． 【答案】(1)3千米 (2)6千米． 【分析】（1）在中，根据余弦定理解三角形即可； （2）设，由正弦定理得，，可得，根据可得其最大值. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， ，得， 所以线段的长度为3千米． （2）设，因为， 所以，在中，由正弦定理得， ， 所以，， 因此 因为，所以． 所以当，即时，取到最大值6． 所以两条观光线路与之和的最大值为6千米． （2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4.经典例题2例题 (1)若，，求的面积； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)4； (2). 【分析】（1）在三角形中，根据正弦定理求得，再在三角形中，利用三角形面积公式即可求得结果； （2）设，在三角形中分别用正弦定理表示，从而建立关于的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果. 【详解】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得. 在中，，则，解得. 又，所以； 在中，，，， 所以. （2）设，. 又，所以. 因为，所以. 在中，，由正弦定理得， 即，解得 . 在中，，由正弦定理得， 即，解得， 所以 . 又，所以， 当且仅当，即时，取得最大值1， 所以的最大值为. （22-23高三上·江苏常州·月考）如图，在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．小试牛刀1 (1)求面积的最大值； (2)若边上的点D满足，求线段长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式求出，从而得到面积的最大值； （2）根据得到，平方后得到，结合第一问，求出，令，，故，结合为锐角三角形，得到，从而利用基本不等式，求出线段长的最大值. 【详解】（1）由余弦定理得：， 所以， ∴，当且仅当时取“=” ∴， ∴面积的最大值为. （2）由，可得：， 即，故 ∴ ， 而， ∴ 令，，令， 而为锐角三角形， ∴ ∴， ∵，当且仅当时取“=”， ∴． （2021·全国·模拟预测）在①，②，③的面积为这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．小试牛刀2 如图，在平面四边形中，，，，_______． （1）求的长； （2）求的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）选条件①，先根据条件求出，再利用同角三角函数的基本关系式求出，然后利用三角形内角和定理与两角和的正弦公式求出，最后利用正弦定理求出的长； 选条件②，先根据条件求出，再根据设元，利用余弦定理列方程即可得解； 选条件③，先根据条件求出，再利用三角形的面积公式求出的长，最后利用余弦定理求出的长． （2）利用正弦定理将边化为角，利用三角函数的性质即可求解；或者利用余弦定理建立和的等量关系，然后利用基本不等式求解． 【详解】解：（1）方案一：选条件①． 因为在平面四边形中，，，所以． 由，则为锐角，得， 故． 根据正弦定理得，所以； 方案二：选条件②． 因为在平面四边形中，，，所以． 设，则， 由余弦定理得，即，即， 得或（舍去），所以； 方案三：选条件③． 因为在平面四边形中，，，所以． 由题意得，解得． 由余弦定理可得， 所以； （2）解法一：设，则． 由正弦定理得， 所以，， 所以 ， 其中为锐角，且． 所以当时，取到最大值，且最大值为； 解法二：在中，设，，，， 由余弦定理得， 即，则． 由基本不等式可知， 因此，则． 所以，当时取等号，所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的最值是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 解三角形好题精选 一、解答题 1．（2025·江苏苏州·三模）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积和周长分别为，，且． (1)若，，求； (2)若且，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可列出方程组求出，即可得，即得答案； （2）法一，由已知条件等式结合余弦定理化简可得，再由余弦定理结合基本不等式即可求得答案；法二由已知条件等式结合正弦定理化简可得，再由余弦定理结合基本不等式即可求得答案； 【详解】（1）因为，所以， 消去得，又因为，所以， 所以，即． （2）法一：因为，所以， 即， 又因为，所以， 化简得， 因为，即，所以． 因为，所以（当且仅当时取等号）， 所以，由题意可知A为锐角，且，故， 因此，即的最大值为． 法二：在中，因为，所以， 由正弦定理得， 因为，所以， 即， 又，所以． 所以，所以（当且仅当时取等号）， 所以，因此，即的最大值为． 2．（2025·江苏·模拟预测）在中，角的对边分别为，． (1)若，求的周长； (2)若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求出，即可求解的周长， （2）利用余弦定理可得，即可确定c的取值范围，进而利用正弦定理和面积公式，表示，利用基本不等式即可求解范围. 【详解】（1），，由余弦定理得，， ，解得，或（舍去） ， 的周长为. （2）由余弦定理得，，整理得，， ， ，即， 由正弦定理得，，， ，， ， 令，，， 函数在上单调递增，，即的取值范围是. 3．（2025·江苏·三模）已知为锐角三角形，角、、的对边分别为、、，，. (1)求的取值范围； (2)求的内切圆半径的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理求出的值，可得出角的值，根据为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理与三角恒等变换化简得，根据角的取值范围结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换、正弦函数的基本性质可求出的取值范围，然后利用等面积法得出，即可得出的最大值. 【详解】（1）因为，则， 可得， 由余弦定理可得， 因为为锐角，故， 因为为锐角三角形，则，解得， 由正弦定理可得，故，， 故 ， 因为，则，所以， 故，即的取值范围是. （2）因为 ， 因为，则，故， 故， 又，则，由， 得， 则当，即时，， 所以的内切圆半径的最大值. 4．（2026·福建泉州·二模）已知锐角三角形中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设结合可得，再结合余弦定理求解即可； （2）解法一：由结合两角和与差的余弦公式可得，进而得到，再利用正弦定理可得，代入即可求解； 解法二：由结合余弦函数的性质可得，再利用余弦定理得到，与相加，再结合即可求解； 解法三：由，结合三角恒等变换公式先得到，过作，垂足为，可得，进而结合即可求解. 【详解】（1）由，可得， 则， 因为，故. （2）解法一：由，可得， 则， 因为，所以，， 则，即，所以， 由正弦定理， 可得， 得， 代入，可得， 解得，即. 解法二：由，可得， 则或， 即或， 因为，所以， 由余弦定理可得，则， 又，两式相加可得， 即，得. 解法三：由，可得， 得， 即， 因为，所以， 则，即，即， 则，所以， 如图，过作，垂足为，可得， 故， 所以. 5．（2024·福建·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，. (1)求； (2)求的面积； (3)以为坐标原点，所在直线为轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式得，再由正弦定理可解； （2）由余弦定理和已知得，由等式两边的取值范围可得，从而可得三角形面积； （3）以为坐标原点建立平面直角坐标系，由数量积坐标运算得动点轨迹方程，即，可解问题. 【详解】（1）根据题意，， 因为，所以， 由正弦定理得，所以； （2）由余弦定理，， 代入，得， 两边同时除以，， 由于，当且仅当时等号成立， 而，当且仅当时等号成立， 即， 由余弦定理， 即，的面积； （3）由（1）（2）可知，，所以， 以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，， ， 故可设（为变量） 则， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，由题意得，两边同时除以，，接下来由等式左右两边的范围得是解题的关键. 6．（2024·福建泉州·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点D是BC上靠近C的三等分点 (1)若的面积为，求AD的最小值； (2)若，求． 【答案】(1)2 (2)． 【分析】（1）先通过正弦定理将条件角化边后化简整理可得，再利用面积公式求得，进而利用余弦定理及基本不等式求最值； （2）设，则，利用正弦定理将代入角和边整理计算可得答案. 【详解】（1）由已知及正弦定理可得：（※）， ，所以， 代入（※）可得：，又因为， 所以， 由已知得：，所以， 故， 当且仅当时等号成立． 所以AD的最小值为2； （2）设，则． 在中，由正弦定理得：，即， 在中，由正弦定理得：，即， 将上面两式相比，得：， 即． 7．（2024·福建泉州·模拟预测）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有， (1)求角B： (2)若AC边上的高，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得角的大小; （2）由等面积法可得，再由正弦定理可得的值，再由，可得的值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即 即， 所以， 在三角形中，， 所以， 即，因为，则 可得，则. （2）因为边上的高， 所以① 又② 由①②可得， 由正弦定理可得， 结合（1）中可得， 因为， 所以. 8．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $