精品解析：湖北恩施土家族苗族自治州利川市2025-2026学年上学期期末学业质量监测 九年级数学试题

2025-2026学年度上学期期末学业质量监测九年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂共它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既可以看作是中心对称图形又可以看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 下列事件中，随机事件是（ ） A. 一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6 B. 任意画一个三角形，其内角和为 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 在标准大气压下，将水加热到并持续加热，则水会沸腾 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6是不可能事件，不符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，不符合题意； C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意； D、在标准大气压下，将水加热到并持续加热，则水会沸腾是必然事件，不符合题意； 故选：C． 3. 下列一元二次方程中，两根之和是2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式．对于方程，两根之和为，且需满足判别式才有实根，据此分别判断各选项即可． 【详解】解：A：方程，∵，， ∴两根之和为；且，有实根，符合题意． B：方程，∵，， ∴两根之和为，不符合题意． C：方程，∵，， ∴两根之和为；且，无实根，不符合题意． D：方程，∵，， ∴两根之和为，不符合题意． 故选：A． 4. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外， ∴OP＞4， 故选：D． 【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围． 5. 如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， ，，， ， ， 故选：A． 6. 点A（1，），B（3，）是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数图像上的点的坐标特征，将A、B两点坐标带入反比例函数解析式可计算出和的值，即可比较大小． 【详解】解：，是反比例函数图象上的两点， 将点 带入函数式得，， ． 7. 已知抛物线的图象如图所示，则方程的实数根的情况是（ ） A. 方程没有实数根 B. 方程的实数根情况不确定 C. 方程有两个相等的实数根 D. 方程有一正一负两个实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，由图象可知，抛物线与轴有两个交点，即可得方程有两个不相等的实数根，且一正一负． 【详解】解：由图可得：抛物线与轴有两个交点，一个在负半轴，一个在正半轴， ∴方程有一正一负两个实数根． 故选：D． 8. 如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，由圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴由圆周角定理可得， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B． 9. 如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，观察图形并且找出到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等的点是解题的关键．观察图形可知，点C到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等，再根据勾股定理进行验证即可． 【详解】解：如图，两个格点三角形分别为和，连接， 设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1， 由勾股定理得，， 和的每一组对应顶点到点C的距离都相等， 两个格点和的旋转中心是点C， 故选：C. 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，该二次函数的开口向下，对称轴在轴的右侧，从而可得，对称轴为直线，进一步得出，，推出二次函数的开口向上，对称轴在轴的左侧，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由二次函数的图象可得，该二次函数的开口向下，对称轴在轴的右侧， ∴，对称轴为直线， ∴，， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线， 即二次函数的开口向上，对称轴在轴的左侧， 故的图象可能是 ， 故选：D． 二、填空题（本大题有5小题，共15分） 11. 若二次函数可以配成顶点式，则__________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的一般式和顶点式，通过比较二次函数的一般式和顶点式的系数，建立等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 如图，小明在时测得某树的影长为时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________m． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，结合题意证明，由相似三角形的性质可得，然后代入求值即可． 【详解】解：如图，在中，由题意得，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得（负值舍去）， 即树的高度为． 故答案为：4． 13. 如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放．量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由题意可得，再由圆周角定理即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接， ∵点在量角器上对应的刻度为， ∴， 由圆周角定理可得， 故答案为：． 14. 随机掷一枚硬币，正面向上的概率为；随机掷两枚硬币，两枚正面向上的概率为__________；探究并猜想：随机掷枚硬币，枚正面向上的概率为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到随机掷两枚硬币时，两枚正面向上的概率和随机掷三枚硬币，三枚正面向上的概率，进而得到规律求出随机掷枚硬币，枚正面向上的概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，随机掷两枚硬币，一共有4种等可能性的结果数，其中两枚正面向上的结果数有1种， ∴两枚正面向上的概率为； 随机掷三枚硬币，画树状图如下： 由树状图可知，随机掷三枚硬币，一共有8种等可能性的结果数，其中三枚正面向上的结果数有1种， ∴三枚正面向上的概率为， ……， 以此类推，可知随机掷枚硬币，枚正面向上的概率为． 故答案为：；． 15. 如图，将含的三角尺放在平面直角坐标系中，点在轴上，轴，点为斜边的中点．若反比例函数的图象经过、两点，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，含角的直角三角形的性质，勾股定理，作轴于点，则，由题意可得，，求出，结合直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，求出，即可得出，求出，再结合反比例函数的图象经过、两点，得出，计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：作轴于点，则， ， ∵， ∴，， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为斜边的中点， ∴，即， ∵反比例函数的图象经过、两点， ∴， 整理可得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题有9小题，共75分） 16. 解方程：．（用两种不同的方法求解） 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，方法一用十字相乘法分解因式解一元二次方程；方法二用配方法解一元二次方程． 【详解】解：方法一，， 分解因式得：， 可得：或， 当时， 可得：， 当时， 可得：， 方程的解为，； 方法二、， 移项得：， 方程两边同时加上， 可得：， 分解因式可得：， 两边同时开平方得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 方程的解为，． 17. 已知：如图，内接于．按要求作图． 使用直尺和圆规，找到弧的中点；用两种不同的作法完成．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】法一：如图， 法二：如图， 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，尺规作图—作角平分线，垂径定理，圆周角定理，法一：如图，作的垂直平分线，交于点，结合垂径定理即可得出此时点为弧的中点；法二：如图，作的角平分线，交于点，结合圆周角定理即可得出此时点为弧的中点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：法一：作的垂直平分线，交于点， 由垂径定理可得，此时点为弧的中点； 法二：作的角平分线，交于点， 则， 再结合圆周角定理可得，此时点为弧的中点． 18. 如图，点在第一象限的反比例函数图像上．过点作直线交反比例函数在第三象限的图像于点，交轴于点，交轴于点，已知点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若，直接写出点纵坐标的取值范围__________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设该反比例函数的解析式为，将点代入并求解即可； （2）设直线的解析式为，将点代入并整理可得，即直线的解析式为，进而确定点，的坐标，结合，且点在第三象限，确定的取值范围；联立直线解析式和反比例函数解析式，整理可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可得，进一步即可获得答案． 【小问1详解】 解：设该反比例函数的解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴该反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 设直线的解析式为， 将点代入，可得， ∴， ∴直线的解析式为， 令，可得， 令，可得，解得， 即，， ∵，且点在第三象限， ∴，且， ∴，，， 由可得，解得， 由可得，两边同时除以， 得， ∴， ∴， 联立直线解析式和反比例函数解析式， 可得， ∴，整理可得， ∵直线与该反比例函数图像交于点， 即方程的一个根为， 根据一元二次方程的根与系数的关系，可得， 即， ∴该方程的另一个根， 将代入反比例函数解析式，可得， ∵， ∴， ∴点纵坐标的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、一次函数图像与反比例函数图像交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的应用等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． 19. 如图，线段，点是线段上一点（不与A，B重合），将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段．设，的面积为． （1）关于的函数表达式为__________，自变量的取值范围是__________； （2）在平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； （3）当的面积随的增大而减少时，自变量的取值范围是__________． 【答案】（1）， （2）画出函数图象如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，二次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由题意可得，由旋转的性质可得，，再根据三角形的面积公式计算即可得出结果； （2）求出该抛物线的顶点坐标为，令，则，解得，，再描点连线即可得出函数图象； （3）结合函数图象分析即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴的面积为， ∴关于的函数表达式为，自变量的取值范围是． 【小问2详解】 解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， 令，则， 解得，， 【小问3详解】 解：由（2）可得，该抛物线的顶点坐标为， 结合函数图象可得：当的面积随的增大而减少时，自变量的取值范围是． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元． 问题解决 任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？ 任务2 设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为__________元，补进灯管的总价为__________元；（用含x的代数式表示） 任务3 在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？ 【答案】任务一：15600 任务二：； 任务三：100 【解析】 【分析】本题考查了列代数式和一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程． 任务1：根据题意“当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元”列出算式即可求解； 任务2：设镇流器补进件，根据题意列出代数式即可求解； 任务3：根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：任务1：依题意，镇流器补进90件，学校补进镇流器和灯管共元， 答：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共15600元； 任务2：设镇流器补进件，若，则补进镇流器的单价为（元）， 补进灯管的总价为：（元）， 故答案为：；． 任务3：依题意，， 解得， ， ， 答：补进镇流器100件． 21. 如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点． （1）证明：直线与半圆相切； （2）令弧的长度为，弧的长度为，弧的长度为，分析出，，的数量关系__________（直接写出结论）． 【答案】（1） 证明：如图，连接、， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴直线与半圆相切； （2） 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、证明直线是圆的切线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接、，由正方形的性质可得，，再证明，得出，即，即可得证； （2）利用弧长公式分别表示出，，，分析即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵令弧的长度为，弧的长度为，弧的长度为， ∴，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备．发球机经设置按某一角度发球后，把球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系，测得一些数据如表： 0 1 2 3 4 0.45 1.1 1.65 2.1 2.45 2.7 2.85 2.9 2.85 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系，以为横坐标，为纵坐标，描出表中各对应值为坐标的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看成抛物线的一部分． （1）发球机出口点离地高度为__________m； （2）当球离地高度达到最大．此时球离发球机出口点的水平距离为__________m； （3）小亮在训练时发现，当球离地高度的取值范围是时，接球较为舒适．已知标准篮球场地罚球线距离发球机出口A的水平距离为米，此时小亮站在罚球线处，__________（填“能”或“不能”）舒适地接到球，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：小亮站在罚球线处，不能舒适地接到球，理由如下： 在中，当时，， ∵当球离地高度的取值范围是时，接球较为舒适， ∴此时小亮站在罚球线处，不能舒适地接到球， 故答案为：不能． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确求出二次函数的解析式是解此题的关键． （1）由数据表即可得出结果； （2）待定系数法求出抛物线的解析式为，再结合二次函数的性质即可得出结果； （3）求出当时，的值，结合题意判断即可得出结果． 【小问1详解】 解：由数据表可得：发球机出口点离地高度为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为， 由表格可得，当时，；当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当球离地高度达到最大．此时球离发球机出口点的水平距离为， 故答案为：； 【小问3详解】 略 23. 中，，，点是边中点，点是边上一点（不与点、点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、． （1）如图1，若，点刚好落在边上，，则__________； （2）判断、和的数量关系，从图2、图3中任选一种情况进行证明． （3）如图4，当A、F、E在一条直线上时，若，则__________． 【答案】（1） （2） ， 证明如下： 如图2，连接， ， ∵，点是边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 如图，连接， ， ∵，点是边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，由旋转的性质可得，，则为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，再求出，从而得出为的中位线，由中位线的性质计算即可得出结果； （2）连接，由直角三角形的性质可得，由等边对等角得出，由三角形外角的定义及性质可得，由旋转的性质可得，，证明，得出，即可得证； （3）证明，得出，，证明出垂直平分，得出，设，，则，，从而可得， 过点作于点，则，，从而得出，再结合，，得出，求出得到，由勾股定理可得，最后再由正切的定义计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：当时，， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是边中点， ∴为的中位线， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，点是边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点是边中点， ∴垂直平分， ∴， 设，，则，， ∴， 如图，过点作于点， ， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24. 等腰三角形对称且美丽．定义：若抛物线与直线（直线上点的纵坐标为）有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形仅是等腰三角形（顶角非直角），则称抛物线为该直线的“美丽抛物线”；若是等腰直角三角形，则称抛物线为该直线的“最美抛物线”． 已知：在平面直角坐标系中，已知二次函数． 探究（一） （直线为轴） （1）若，求抛物线顶点的坐标；判断它是该直线的“__________抛物线”； （2）当抛物线是该直线的“最美抛物线”时，求出的值； （3）当抛物线是该直线的“美丽抛物线”时，直接写出的取值范围__________； 探究（二） （4）当抛物线是该直线的“美丽抛物线”，且构成的等腰三角形顶角是钝角时，直接写出的取值范围__________． 【答案】（1）；美丽；（2）；（3）且；（4）或 【解析】 【分析】（1）根据题干提供的新定义进行判断即可； （2）先求出抛物线的顶点坐标为，得出抛物线的顶点到x轴的距离为，设，是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系得出：，根据当拋物线是该直线的“最美抛物线”时，抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，且抛物线的顶点为直角顶点，根据等腰直角三角形的性质得出，求出m的值即可； （3）根据抛物线的开口向上，得出当抛物线的顶点在x轴下方时，抛物线是该直线的“美丽抛物线”，得出，求出m的取值范围即可； （4）求出抛物线的顶点坐标为，根据抛物线的开口向上，得出当抛物线的顶点在直线下方时，抛物线是该直线的“美丽抛物线”，，，令，求出，抛物线的顶点到直线的距离为：，根据当抛物线是该直线的“美丽拋物线”，且构成的等腰三角形顶角是钝角时，抛物线与直线的两个交点间的距离大于抛物线顶点到直线的距离2倍，得出，求出或，最后得出答案即可． 【详解】解：（1）把代入得：， ∴抛物线的顶点坐标为， 把代入得：， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为或， 与间的距离为：， 与间的距离为：， 与间的距离为：， ∵， ∴抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形仅是等腰三角形，但不是直角三角形， ∴它是该直线的“美丽抛物线”； （2）二次函数， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点到x轴的距离为， 把代入得：， 设，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ， 当拋物线是该直线的“最美抛物线”时，抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，且抛物线的顶点为直角顶点， ∵等腰直角三角形底边是底边上高的2倍， ∴ 令，则， 整理得：， 解得：或， 当时，，此时抛物线顶点纵坐标为， ∴此时抛物线的顶点在x轴上，抛物线与x轴只有一个交点，不符合题意； 当时，，，此时抛物线顶点纵坐标为， ∴抛物线的顶点在x轴下方， ∵中， ∴抛物线的开口向上， ∴此时抛物线与x轴有两个交点，符合题意， ∴当拋物线是该直线的“最美抛物线”时，； （3）∵中， ∴抛物线的开口向上， ∴当抛物线的顶点在x轴下方时，抛物线是该直线的“美丽抛物线”， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得：， ∵当时，拋物线是该直线的“最美抛物线”， ∴， ∴当抛物线是该直线的“美丽抛物线”时，的取值范围是且； （4）根据解析（2）得出：抛物线的顶点坐标为， ∵中， ∴抛物线的开口向上， ∴当抛物线的顶点在直线下方时，抛物线是该直线的“美丽抛物线”， ∴， 整理得：， 解得：， 令， 整理得：， 设，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ， ∴抛物线与直线的两个交点间的距离为： ， 抛物线的顶点到直线的距离为： ， ∵当抛物线是该直线的“美丽拋物线”，且构成的等腰三角形顶角是钝角时，抛物线与直线的两个交点间的距离大于抛物线顶点到直线的距离2倍， ∴， ∴， 即， ∴ ∵， ∴， ∴不等式可变为：， 即， 解得：或， 又∵， ∴或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，新定义运算，等腰直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，根据题意列出方程或不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末学业质量监测九年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂共它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 冰裂纹 C. 盘长纹 D. 风车纹 2. 下列事件中，随机事件是（ ） A. 一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6 B. 任意画一个三角形，其内角和为 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 在标准大气压下，将水加热到并持续加热，则水会沸腾 3. 下列一元二次方程中，两根之和是2的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（　　） A. B. C. D. 6. 点A（1，），B（3，）是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 不能确定 7. 已知抛物线的图象如图所示，则方程的实数根的情况是（ ） A. 方程没有实数根 B. 方程的实数根情况不确定 C. 方程有两个相等的实数根 D. 方程有一正一负两个实数根 8. 如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有5小题，共15分） 11. 若二次函数可以配成顶点式，则__________． 12. 如图，小明在时测得某树的影长为时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________m． 13. 如图，以点为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放．量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点在量角器上对应的刻度为，连接．那么__________． 14. 随机掷一枚硬币，正面向上的概率为；随机掷两枚硬币，两枚正面向上的概率为__________；探究并猜想：随机掷枚硬币，枚正面向上的概率为__________． 15. 如图，将含的三角尺放在平面直角坐标系中，点在轴上，轴，点为斜边的中点．若反比例函数的图象经过、两点，则__________． 三、解答题（本大题有9小题，共75分） 16. 解方程：．（用两种不同的方法求解） 17. 已知：如图，内接于．按要求作图． 使用直尺和圆规，找到弧的中点；用两种不同的作法完成．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，点在第一象限的反比例函数图像上．过点作直线交反比例函数在第三象限的图像于点，交轴于点，交轴于点，已知点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若，直接写出点纵坐标的取值范围__________． 19. 如图，线段，点是线段上一点（不与A，B重合），将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段．设，的面积为． （1）关于的函数表达式为__________，自变量的取值范围是__________； （2）在平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； （3）当的面积随的增大而减少时，自变量的取值范围是__________． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元． 问题解决 任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？ 任务2 设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为__________元，补进灯管的总价为__________元；（用含x的代数式表示） 任务3 在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？ 21. 如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点． （1）证明：直线与半圆相切； （2）令弧的长度为，弧的长度为，弧的长度为，分析出，，的数量关系__________（直接写出结论）． 22. 篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备．发球机经设置按某一角度发球后，把球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系，测得一些数据如表： 0 1 2 3 4 0.45 1.1 1.65 2.1 2.45 2.7 2.85 2.9 2.85 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系，以为横坐标，为纵坐标，描出表中各对应值为坐标的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看成抛物线的一部分． （1）发球机出口点离地高度为__________m； （2）当球离地高度达到最大．此时球离发球机出口点的水平距离为__________m； （3）小亮在训练时发现，当球离地高度的取值范围是时，接球较为舒适．已知标准篮球场地罚球线距离发球机出口A的水平距离为米，此时小亮站在罚球线处，__________（填“能”或“不能”）舒适地接到球，并说明理由． 23. 中，，，点是边中点，点是边上一点（不与点、点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、． （1）如图1，若，点刚好落在边上，，则__________； （2）判断、和的数量关系，从图2、图3中任选一种情况进行证明． （3）如图4，当A、F、E在一条直线上时，若，则__________． 24. 等腰三角形对称且美丽．定义：若抛物线与直线（直线上点的纵坐标为）有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形仅是等腰三角形（顶角非直角），则称抛物线为该直线的“美丽抛物线”；若是等腰直角三角形，则称抛物线为该直线的“最美抛物线”． 已知：在平面直角坐标系中，已知二次函数． 探究（一） （直线为轴） （1）若，求抛物线顶点的坐标；判断它是该直线的“__________抛物线”； （2）当抛物线是该直线的“最美抛物线”时，求出的值； （3）当抛物线是该直线的“美丽抛物线”时，直接写出的取值范围__________； 探究（二） （4）当抛物线是该直线的“美丽抛物线”，且构成的等腰三角形顶角是钝角时，直接写出的取值范围__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $