第三讲代数式、整式及其运算（含因式分解）--2026年中考数学一轮复习【精讲精练+分层练习】（全国通用）

该初中数学中考复习讲义覆盖代数运算、因式分解、代数式求值、规律探究等核心考点，构建“考点梳理-方法指导-真题训练”教学流程，通过真题串联知识点内在联系，帮助学生突破因式分解、整式运算等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“真题情境化”教学策略，如用图形面积验证代数恒等式培养几何直观，月历幻方问题渗透模型意识，设基础、提升、挑战分层练习。配合即时反馈机制，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师提供精准复习节奏指导。

1．（2025·广西）因式分解：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 故选：A 2．（2024·四川广元）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值、判断点所在的象限 【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 解得，， ∴点在第四象限， 故选：D 3．（2022·青海）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、提公因式法分解因式 【分析】根据合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解计算即可． 【详解】A.选项，3x2与4x3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意； B.选项，原式= ，故该选项计算错误，不符合题意； C.选项，原式= ，故该选项计算错误，不符合题意； D.选项，原式=，故该选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全平方公式展开有三项是解题的易错点． 4．（2023·四川攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ②       ③   ④   其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案． 【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积． 5．（2024·广西）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 6．（2025·山西）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润． 【详解】解：售出一个布老虎增加的利润为（元）， 则售出a个布老虎增加的利润为． 故答案为：． 7．（2023·江苏泰州）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由，可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值．解题的关键在于正确的运算． 8．（2025·四川成都）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题中定义，找到等式左右两边代数式的变化规律是解答的关键．先根据题中定义，结合题干例子可求解第一空；分别求得、5、7…对应等式，由此得到等式左右两边代数式的变化规律，进而可得答案． 【详解】解：； 由题意， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 当时，， 又， ∴对于任意奇数k（），， 故答案为：；． 9．（2022·内蒙古包头）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】设这个多项式为A，由题意得：，求解即可． 【详解】设这个多项式为A，由题意得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键． 10．（2020·江苏宿迁）已知 ，代数式 ，则的值是 ． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用． 先把进行平方，再根据，得到的值． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故． 故答案为：2. 11．（2025·四川乐山）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，再进行合并，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 12．（2023·江苏宿迁）若实数m满足，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键． 13．（2022·江苏南通）已知实数m，n满足，则的最大值为（    ） A．24 B． C． D． 【答案】B 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】先将所求式子化简为，然后根据及求出，进而可得答案． 【详解】解： ； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出的取值范围是解题的关键． 14．（2024·重庆）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】多项式的项、项数或次数、单项式规律题、数字类规律探索 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，， 当时，则， ∴，，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，； 当时，， 满足条件的整式有：； ∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意； 满足条件的整式共有个．故③符合题意； 故选D 15．（2024·四川成都）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ． 【答案】 9 144 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可． 【详解】解：当时，只有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，四种取法，则； 故当时，有，，，，，六种取法，则； 当时，有，，，，，，，，九种取法，则； 依次类推， 当n为偶数时，， 故当时，， 故答案为：9，144． 16．（2025·湖北）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）11，3（4） 【知识点】列代数式、日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为：； （2）由图可知：； 故答案为：； （3）由题意，得：，； 故答案为：11，3； （4）∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲 代数式、整式及其运算（含因式分解） 教材知识 中考考点 课标要求 代数式 1.列代数式 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示 2.代数式求值 会把具体数代入代数式进行计算 整式及其运算 3.整式的加减 了解整数指数幂的意义和基本性质； 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则； 能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算； 理解乘法公式，，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理 4.幂的运算 5.整式的乘除 6.整式的混合运算 因式分解 7.因式分解 能用提公因式法、公式法等进行因式分解 命题点1 代数式的意义、列代数式及代数式求值 （一）、代数式 1、代数式：用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子．例．特别地，单独一个数或一个字母也是代数式． 【要点解读】 列出的代数式化为最简后，若最后一步是加、减时，有单位必须将代数式用括号括起来再加单位． 2、代数式的值：用具体数值代替式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的结果． 3、代数式求值的一般方法： （1）直接代入法：把字母所表示的数值直接代入，并按原来的运算顺序计算求值； （2）整体代入法：①观察已知条件和所求代数式； ②将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，过程中一般会用的因式分解、乘法公式等； ③把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值． 4、非负数： （1） 常见的非负数有：，， （2） 若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0，例：若，则，，， 即 0 ． 1．（2025·上海）用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川广安）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是 元． 3．（2025·内蒙古）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 4．（2024·四川成都）若，为实数，且，则的值为 ． 5．（2024·广东广州）若，则 ． 6．（2024·山东济宁）已知，则的值是 ． 命题点2 整式的相关概念及其运算 （一）、整式的相关概念 1、整式：单项式和多项式统称为整式 2、单项式：由数与字母的乘积表示的式子（单独一个数或一个字母也是单项式）．例如：，，，． 类别 定义 示例 系数 单项式中的数字因数 次数 单项式中，所有字母的指数的和 3、多项式：几个单项式的和．例如：，，． 类别 定义 示例 项 组成多项式的每个单项式 项数 组成多项式的单项式的个数 次数 多项式中次数最高项的次数 （二）、整式的运算 1、整式的加减 整式的加减的实质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项 （1） 合并同类项 将同类项的系数相加，字母与其指数不变，如 【要点解读】 ①同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，如与是同类项； ②常数项都是同类项． （2） 去（添）括号法则 符号 法则 示例 括号前是“＋” 去、添括号不变号 括号前是“－” 去、添括号都变号 2、幂的运算 类别 运算法则 表示 逆用 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加 （都是正整数） （都是正整数） 幂的乘方 底数不变，指数相乘 （都是正整数） （都是正整数） 积的乘方 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 （都是正整数） （都是正整数） 同底数幂的除法 底数不变，指数相减 （，都是正整数，并且） （，都是正整数，并且） 零次幂 任何非零数的0次幂都等于1 ____ 负指数幂 指数转正，再取倒数 （，是正整数） ____ 3、整式的乘除 （1）整式的乘法 类别 运算法则 示例 单项式×单项式 ①系数相乘； ②同底数幂相乘； ③单独含有的字母连同指数不变 单项式×多项式 ①单项式乘多项式的每一项； ②积相加 多项式×多项式 ①将多项式的每一项分别相乘； ②积相加 （2）整式的除法 类别 运算法则 示例 单项式÷单项式 ①系数相除； ②同底数幂相除； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变 多项式÷单项式 ①用多项式的每一项除以单项式； ②商相加 4、乘法公式 （1）平方差公式：． 【要点解读】 平方差公式的实质是符号相同项的平方减去符号相反项的平方，与位置、系数、指数、项数都无关． ①位置：； ②系数：； ③指数：； ④项数：． （2）完全平方公式： 【要点解读】 完全平方公式的拓展： ①； ②； ③ 4、 整式的混合运算 整式混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行． 角度一：整式的相关概念 7．（2022·四川攀枝花）下列各式不是单项式的为（    ） A．3 B．a C． D． 8．（2024·山东泰安）单项式的次数是 ． 9．（2024·吉林长春）单项式的系数是 ． 10．（2020·四川绵阳）若多项式是关于x，y的三次多项式，则 ． 角度二：整式的运算（同类项、加减运算） 11．（2024·四川内江）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 12．（2022·湖南永州）若单项式的与是同类项，则 ． 13．（2025·江苏无锡）请写出单项式的一个同类项： ． 14．（2020·贵州黔南）若单项式与单项式的和仍是一个单项式，那么 ． 15．（2022·山东德州）已知 ，（a 为任意实数），则的值（      ） A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定 16．（2024·四川德阳）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 17．（2023·辽宁沈阳）当时，代数式的值为 ． 18．（2023·四川德阳）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 ． 16 7 4 角度三：整式的运算（含幂的运算） 19．（2025·湖南）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 20．（2024·河南）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·河北）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2025·湖北）下列运算的结果为的是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·陕西）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 24．（2025·山东滨州）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 25．（2025·山东济南）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 26．（2025·四川南充）计算： ． 27．（2025·四川乐山）已知：，则， ． 角度四：乘法公式及其应用 28．（2023·浙江湖州）计算： ． 29．（2020·江西）计算： ． 30．（2022·甘肃兰州）计算：（    ） A． B． C． D． 31．（2024·上海）计算 ． 32．（2024·四川乐山）已知，，则 ． 33．（2022·广西）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（    ） A． B． C． D． 34．（2024·四川眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 35．（2023·甘肃兰州）计算：． 36．（2025·甘肃兰州）计算： ． 角度五：整式的化简及求值 37．（2025·江苏扬州）计算：． 38．（2025·河南）化简：． 39．（2025·吉林长春）先化简．再求值：，其中． 40．（2025·湖南）先化简，再求值：，其中． 41．（2025·浙江）化简求值：，其中． 42．（2024·甘肃）先化简，再求值：，其中，． 43．（2024·内蒙古赤峰）已知，求代数式的值． 命题点3 因式分解 1、 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解． 2、 基本方法： （1） 提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式． 【要点解读】 ①公因式：指多项式中各项都含有的相同的因式，可以是单项式，也可以是多项式． ②提公因式后，多项式的项数与原多项式的项数相同；当原多项式的某项与公因式相同时，提公因式后，所得的对应项为，如 ③ （2） 公式法 利用乘法公式分解因式的方法叫做公式法． 类别 表示 示例 平方差公式 完全平方公式 典例： 【要点解读】 我们把和这样的式子（两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍）叫做完全平方式 （3）十字相乘法 借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式因式分解． 将二次项的系数分解，写在十字的左边，将常数项分解写在十字的右边，交叉相乘再相加为一次项系数． 【要点解读】 ① 当常数项为正数时，分解成同号两因数，且与一次项系数符号相同． ② 当常数项为负数时，分解成异号两因数，绝对值大的因数与一次项系数符号相同． （4）分组分解法 当项数多于三项时，例如，没有公因式，又不能直接利用公式法分解时，可以利用分组分解法将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组，再提公因式，即可达到因式分解的目的． 如： 44．（2025·湖南长沙）分解因式： ． 45．（2022·山东菏泽）分解因式： ． 46．（2025·山东青岛）因式分解 47．（2025·山东东营）因式分解 ． 48．（2021·湖北荆门）把多项式因式分解，结果为 ． 49．（2023·黑龙江绥化）因式分解： ． 50．（2010·山东潍坊）分解因式： 51．（2023·四川凉山）已知是完全平方式，则的值是 ． 52．（2022·黑龙江大庆）已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为 ． 命题点4 规律探究题 角度1 数式规律的探究 53．（2025·云南）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 54．（2023·西藏）按一定规律排列的单项式：，，，，．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示） 55．（2025·西藏）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 56．（2023·湖南岳阳）观察下列式子： ；；；；；… 依此规律，则第（为正整数）个等式是 ． 57．（2025·四川内江）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 角度2 图形规律的探究 58．（2025·重庆）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 59．（2025·陕西）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 60．（2025·黑龙江绥化）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 1．（2025·湖南长沙）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏南通）若，则的值为（    ） A．24 B．20 C．18 D．16 3．（2025·四川广元）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2023·四川攀枝花）以下因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川绵阳）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6……第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（   ） A．36 B．96 C．226 D．426 6．（2024·四川雅安）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 7．（2024·广东广州）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    8．（2024·四川绵阳）已知单项式与是同类项，则 ． 9．（2025·天津）计算的结果为 ． 10．（2025·四川自贡）若，则的值为 ． 11．（2023·山东临沂）观察下列式子 ； ； ； …… 按照上述规律， ． 12．（2024·新疆）如图，在正方形中，若面积，周长，则 ． 13．（2025·江苏盐城）先化简，再求值：，其中． 14．（2025·山东潍坊）先化简，再求值：，其中，满足． 15．（2025·福建）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·吉林长春）已知，则代数式的值为 ． 17．（2025·浙江）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．（2025·广西）因式分解：（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川广元）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2022·青海）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ②       ③   ④   其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·广西）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 6．（2025·山西）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）． 7．（2023·江苏泰州）若，则的值为 ． 8．（2025·四川成都）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 9．（2022·内蒙古包头）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为 ． 10．（2020·江苏宿迁）已知 ，代数式 ，则的值是 ． 11．（2025·四川乐山）先化简，再求值：，其中． 12．（2023·江苏宿迁）若实数m满足，则 ． 13．（2022·江苏南通）已知实数m，n满足，则的最大值为（    ） A．24 B． C． D． 14．（2024·重庆）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 15．（2024·四川成都）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ． 16．（2025·湖北）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲 代数式、整式及其运算（含因式分解） 教材知识 中考考点 课标要求 代数式 1.列代数式 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示 2.代数式求值 会把具体数代入代数式进行计算 整式及其运算 3.整式的加减 了解整数指数幂的意义和基本性质； 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则； 能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算； 理解乘法公式，，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理 4.幂的运算 5.整式的乘除 6.整式的混合运算 因式分解 7.因式分解 能用提公因式法、公式法等进行因式分解 命题点1 代数式的意义、列代数式及代数式求值 （一）、代数式 1、代数式：用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子．例．特别地，单独一个数或一个字母也是代数式． 【要点解读】 列出的代数式化为最简后，若最后一步是加、减时，有单位必须将代数式用括号括起来再加单位． 2、代数式的值：用具体数值代替式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的结果． 3、代数式求值的一般方法： （1）直接代入法：把字母所表示的数值直接代入，并按原来的运算顺序计算求值； （2）整体代入法：①观察已知条件和所求代数式； ②将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，过程中一般会用的因式分解、乘法公式等； ③把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值． 4、 非负数： （1） 常见的非负数有：，， （2） 若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0，例：若，则，，， 即 0 ． 1．（2025·上海）用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键； “a与b差的平方”指先求a减b的差，再将这个差整体平方，即． 【详解】解：A. ：这是平方差公式的结果，表示的平方减去的平方，而非差的平方，错误，不符合题意； B. ：表示先求差再平方，正确，符合题意； C. ：仅对平方后减去，未对差整体平方，错误，不符合题意； D. ：表示减去的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2025·四川广安）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是 元． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，按标价的8折出售，即按原价的倍出售，据此求解即可． 【详解】解；一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是元， 故答案为；． 3．（2025·内蒙古）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 【答案】/ 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键． 根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式． 【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：， 故答案为：． 4．（2024·四川成都）若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 5．（2024·广东广州）若，则 ． 【答案】11 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键． 由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：11． 6．（2024·山东济宁）已知，则的值是 ． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的运用．根据对已知条件进行变形得到，代入进而即可求解 【详解】解：， ， 故答案为：2 命题点2 整式的相关概念及其运算 （一）、整式的相关概念 1、整式：单项式和多项式统称为整式 2、单项式：由数与字母的乘积表示的式子（单独一个数或一个字母也是单项式）．例如：，，，． 类别 定义 示例 系数 单项式中的数字因数 次数 单项式中，所有字母的指数的和 3、多项式：几个单项式的和．例如：，，． 类别 定义 示例 项 组成多项式的每个单项式 项数 组成多项式的单项式的个数 次数 多项式中次数最高项的次数 （二）、整式的运算 1、整式的加减 整式的加减的实质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项 （1） 合并同类项 将同类项的系数相加，字母与其指数不变，如 【要点解读】 ①同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，如与是同类项； ②常数项都是同类项． （2） 去（添）括号法则 符号 法则 示例 括号前是“＋” 去、添括号不变号 括号前是“－” 去、添括号都变号 2、幂的运算 类别 运算法则 表示 逆用 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加 （都是正整数） （都是正整数） 幂的乘方 底数不变，指数相乘 （都是正整数） （都是正整数） 积的乘方 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 （都是正整数） （都是正整数） 同底数幂的除法 底数不变，指数相减 （，都是正整数，并且） （，都是正整数，并且） 零次幂 任何非零数的0次幂都等于1 ____ 负指数幂 指数转正，再取倒数 （，是正整数） ____ 3、整式的乘除 （1）整式的乘法 类别 运算法则 示例 单项式×单项式 ①系数相乘； ②同底数幂相乘； ③单独含有的字母连同指数不变 单项式×多项式 ①单项式乘多项式的每一项； ②积相加 多项式×多项式 ①将多项式的每一项分别相乘； ②积相加 （2）整式的除法 类别 运算法则 示例 单项式÷单项式 ①系数相除； ②同底数幂相除； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变 多项式÷单项式 ①用多项式的每一项除以单项式； ②商相加 4、乘法公式 （1）平方差公式：． 【要点解读】 平方差公式的实质是符号相同项的平方减去符号相反项的平方，与位置、系数、指数、项数都无关． ①位置：； ②系数：； ③指数：； ④项数：． （2）完全平方公式： 【要点解读】 完全平方公式的拓展： ①； ②； ③ 5、 整式的混合运算 整式混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行． 角度一：整式的相关概念 7．（2022·四川攀枝花）下列各式不是单项式的为（    ） A．3 B．a C． D． 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，根据单项式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意； B、a是单项式，故本选项不符合题意； C、不是单项式，故本选项符合题意； D、是单项式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键． 8．（2024·山东泰安）单项式的次数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可． 【详解】解：单项式中，的指数是，的指数是， ∴此单项式的次数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键． 9．（2024·吉林长春）单项式的系数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数是解题的关键． 根据单项式系数的定义解答即可． 【详解】解：单项式的系数是． 故答案为：． 10．（2020·四川绵阳）若多项式是关于x，y的三次多项式，则 ． 【答案】0或8 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案． 【详解】解：多项式是关于，的三次多项式， ，， ，， 或， 或， 或8． 故答案为：0或8． 【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键． 角度二：整式的运算（同类项、加减运算） 11．（2024·四川内江）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同类项的判断 【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，据此判断即可． 【详解】解：A．是同类项，此选项符合题意； B．字母a的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； D．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：A． 12．（2022·湖南永州）若单项式的与是同类项，则 ． 【答案】6 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】由题意直接根据同类项的概念，进行分析求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”即相同字母的指数相同． 13．（2025·江苏无锡）请写出单项式的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】同类项的判断 【分析】本题主要考查的是同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项”，据此求解即可，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：单项式的一个同类项：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 14．（2020·贵州黔南）若单项式与单项式的和仍是一个单项式，那么 ． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题关键．由题意知单项式与单项式是同类项，再根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，求出、，即可求解． 【详解】解：单项式与单项式的和仍是一个单项式， 和是同类项， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 15．（2022·山东德州）已知 ，（a 为任意实数），则的值（      ） A．小于 0 B．等于 0 C．大于 0 D．无法确定 【答案】C 【知识点】配方法的应用、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了非负数的性质．熟练掌握整式的加减，完全平方式与配方法，非负数的性质，是解题的关键． 根据完全平方式利用配方法把的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴大于0， 故选：C． 16．（2024·四川德阳）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为 ． 故答案为： 17．（2023·辽宁沈阳）当时，代数式的值为 ． 【答案】2 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得，再把前两项提取，然后把的值代入可得结果. 【详解】解： 当时，原式， 故答案为：． 【点睛】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键. 18．（2023·四川德阳）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 ． 16 7 4 【答案】39 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】设第一列中间的数为，则三个数之和为，再一次把表格的每一个数据填好，从而可得答案． 【详解】解：如图，设第一列中间的数为，则三个数之和为，可得： 16 7 4 ∴， 故答案为：39 【点睛】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意，设出合适的未知数是解本题的关键． 角度三：整式的运算（含幂的运算） 19．（2025·湖南）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂相乘的运算规则，掌握其运算法则是关键． 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，由此即可求解． 【详解】解：根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加， ∴， 故选：B． 20．（2024·河南）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案． 【详解】解：， 故选D 21．（2024·河北）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 22．（2025·湖北）下列运算的结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，逐一计算各选项的结果，判断是否为. 【详解】解：A. ，结果为，非， B. ，结果为，非， C. ，结果为，符合题意， D. ，结果为，非； 故选：C 23．（2025·陕西）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D． 24．（2025·山东滨州）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 25．（2025·山东济南）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、合并同类项、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 26．（2025·四川南充）计算： ． 【答案】 【知识点】合并同类项、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，合并同类项，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 27．（2025·四川乐山）已知：，则， ． 【答案】12 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 角度四：乘法公式及其应用 28．（2023·浙江湖州）计算： ． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，直接利用平方差公式进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 29．（2020·江西）计算： ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题的关键．直接利用完全平方公式计算即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 30．（2022·甘肃兰州）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】根据完全平方公式展开即可． 【详解】解：原式= 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 31．（2024·上海）计算 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】根据平方差公式计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 32．（2024·四川乐山）已知，，则 ． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 33．（2022·广西）如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a，宽为b的长方形的面积+边长为b的正方形的面积，即可解答． 【详解】根据题意得：(a+b)2=a2+2ab+b2， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键． 34．（2024·四川眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． 35．（2023·甘肃兰州）计算：． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可． 【详解】解： ． 【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 36．（2025·甘肃兰州）计算： ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算．先计算平方差和单项式乘多项式，再合并同类项即可．熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 角度五：整式的化简及求值 37．（2025·江苏扬州）计算：． 【答案】 【分析】先计算单项式乘以多项式、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 38．（2025·河南）化简：． 【答案】1 【详解】解： ． 39．（2025·吉林长春）先化简．再求值：，其中． 【答案】，4 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】主要考查整式的混合运算，根据完全平方公式将括号展开后合并得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 40．（2025·湖南）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 41．（2025·浙江）化简求值：，其中． 【答案】，13 【知识点】整式的加减中的化简求值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 42．（2024·甘肃）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 43．（2024·内蒙古赤峰）已知，求代数式的值． 【答案】． 【分析】由得，化简代数式可得，代入计算即可求解； 本题考查了实数的混合运算，代数式化简求值，掌握实数和整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 命题点3 因式分解 1、 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解． 2、 基本方法： （1） 提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写出公因式与另一个因式的乘积的形式． 【要点解读】 ①公因式：指多项式中各项都含有的相同的因式，可以是单项式，也可以是多项式． ②提公因式后，多项式的项数与原多项式的项数相同；当原多项式的某项与公因式相同时，提公因式后，所得的对应项为，如 ③ （2） 公式法 利用乘法公式分解因式的方法叫做公式法． 类别 表示 示例 平方差公式 完全平方公式 典例： （3）十字相乘法 借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式因式分解． 将二次项的系数分解，写在十字的左边，将常数项分解写在十字的右边，交叉相乘再相加为一次项系数． 【要点解读】 ① 当常数项为正数时，分解成同号两因数，且与一次项系数符号相同． ② 当常数项为负数时，分解成异号两因数，绝对值大的因数与一次项系数符号相同． （4）分组分解法 当项数多于三项时，例如，没有公因式，又不能直接利用公式法分解时，可以利用分组分解法将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组，再提公因式，即可达到因式分解的目的． 如： 44．（2025·湖南长沙）分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，注意计算的准确性即可； 【详解】解：， 故答案为： 45．（2022·山东菏泽）分解因式： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了平方差公式分解因式．直接应用公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 46．（2025·山东青岛）因式分解 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 47．（2025·山东东营）因式分解 ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为： 48．（2021·湖北荆门）把多项式因式分解，结果为 ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法 【分析】直接提取公因式x，进而利用十字相乘法分解因式得出答案． 【详解】解： ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确应用公式是解题关键． 49．（2023·黑龙江绥化）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、分组分解法 【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 50．（2010·山东潍坊）分解因式： 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】把前两项与后两项分别分组，再根据提公因式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，解答此类分解因式的问题要先看是否可以提取公因式，再分析是否可以采用公式法． 51．（2023·四川凉山）已知是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：． 52．（2022·黑龙江大庆）已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为 ． 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】直接利用完全平方公式求解． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键． 命题点4 规律探究题 角度1 数式规律的探究 53．（2025·云南）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式规律题 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 故选：A． 54．（2023·西藏）按一定规律排列的单项式：，，，，．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示） 【答案】 【知识点】列代数式、数字类规律探索 【分析】根据系数和字母的次数与单项式的序号关系写出即可． 【详解】解：系数为，次数为1； 系数为，次数为2； 系数为，次数为3； 系数为，次数为4； 第n个单项式的系数可表示为：，字母a的次数可表示为：n， ∴第n个单项式为：． 【点睛】本题考查数字变化类规律探究，掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律是解题的关键． 55．（2025·西藏）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是， 小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9， ∴第n个数小数部分是， ∴第n个数是， 故选：A． 56．（2023·湖南岳阳）观察下列式子： ；；；；；… 依此规律，则第（为正整数）个等式是 ． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解． 【详解】解：∵；；；；；… ∴第（为正整数）个等式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键． 57．（2025·四川内江）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索、点坐标规律探索、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 角度2 图形规律的探究 58．（2025·重庆）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 59．（2025·陕西）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【答案】21 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 60．（2025·黑龙江绥化）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 1．（2025·湖南长沙）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和． 【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数， 故选：D． 2．（2023·江苏南通）若，则的值为（    ） A．24 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据得到，再将整体代入中求值． 【详解】解：， 得， 变形为， 原式． 故选：D． 【点睛】本题考查代数式求值，将变形为是解题的关键． 3．（2025·四川广元）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算、合并同类项、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，包括同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握各类运算的法则，明确同类项的定义及不同公式的区别，避免运算错误． 根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A.，故运算正确． B.与，不是同类项，不能合并，不符合题意； C.，运算错误，不符合题意； D.，运算错误，不符合题意． 故选：A． 4．（2023·四川攀枝花）以下因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法 【分析】利用平方差公式，还可分解因式；利用十字相乘法，． 【详解】解：；故A不正确，不符合题意． ；故B正确，符合题意． ；故C，D不正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键． 5．（2024·四川绵阳）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6……第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（   ） A．36 B．96 C．226 D．426 【答案】C 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给排列方式，发现从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：（n为大于等于2的整数）是解题的关键． 根据所给排列方式，发现每行最后一个数可表示为两个连续整数的积，据此发现第三行开始的每行左起第3个数的规律即可解答． 【详解】解：由题知，， 所以第n行的最后一个数可表示为， 则从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：（n为大于等于2的整数）． 因为，故A选项不符合题意； 因为，故B选项不符合题意； 因为且，故C选项符合题意； 因为，故D选项不符合题意． 故选：C． 6．（2024·四川雅安）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查的是列代数式，由总高度H等于杯子底部到杯沿底边的高h加上n个杯子的杯沿高即可得到答案； 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：； 7．（2024·广东广州）如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．    【答案】220 【知识点】有理数乘法运算律、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据，将数值代入计算即可． 【详解】解：， 当，，，时， ， 故答案为：220． 8．（2024·四川绵阳）已知单项式与是同类项，则 ． 【答案】2 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义是解题关键． 直接利用同类项的定义即可求得n的值． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，解得：． 故答案为：2． 9．（2025·天津）计算的结果为 ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 10．（2025·四川自贡）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 11．（2023·山东临沂）观察下列式子 ； ； ； …… 按照上述规律， ． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可． 【详解】解：∵； ； ； …… ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律． 12．（2024·新疆）如图，在正方形中，若面积，周长，则 ． 【答案】40 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形、矩形的性质，完全平方公式等知识，设正方形、的边长分别为a、b，先求出，然后根据求解即可． 【详解】解：设正方形、的边长分别为a、b， 根据题意，得， ∴， ∴ ， 故答案为：40． 13．（2025·江苏盐城）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 14．（2025·山东潍坊）（1）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】，； 【分析】先由单项式乘以多项式，完全平方公式进行化简，然后合并同类项化成最简，再把代入求解即可； 【详解】解：， 因为， 所以． 15．（2025·福建）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值． 【详解】解：， ，且、、为整数， ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ． 故选：C． 16．（2025·吉林长春）已知，则代数式的值为 ． 【答案】3 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键． 将化为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：3． 17．（2025·浙江）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【答案】 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $