第二讲二次根式、实数的运算--2026年中考数学一轮复习【精讲精练+分层练习】（全国通用）

1．（2025·福建）下列实数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查比较实数的大小，首先确定各数的正负性，再按负数小于0小于正数的顺序比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数为； 故选：A 2．下列实数中，平方最小的数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】有理数大小比较、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的大小比较和有理数的乘方，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵，，，， ∵， ∴最小的数是：． ∴平方最小的数是． 故选：A． 3．（2025·江苏徐州）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 4．（2024·重庆）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 5．（2025·河北）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 6．已知，，则的值为（    ）． A．8 B．6 C．3 D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题可先利用平方差公式将进行因式分解，再代入、的值分别计算和，最后将结果相乘得出答案．本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：D． 7．（2025·四川凉山）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 8．（2025·江苏淮安）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（2025·江苏南京）计算的结果是 ． 【答案】2 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【详解】解： ． 故答案为：2． 10．已知是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的的值，这个的值为 ． 【答案】3（答案不唯一） 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】先根据被开方数不小于零的条件求出n的取值范围，再根据题意求取n的值即可．本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键． 【详解】解：由题可知， ， 则． 要使也是一个正整数， 则n可取3． 故答案为：3（答案不唯一）． 11．（2025·湖南长沙）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 12．（2025·山东济南）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 13．如图所示，从一个大正方形中截去面积分别为5和20的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（    ）． A．11 B．20 C．24 D．25 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质求面积、二次根式的应用 【分析】此题考查了二次根式的应用，利用二次根式化简求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，求出大正方形的面积，即可得到阴影面积，正确掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为5与20， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：， ∴图中阴影部分面积为， 故选：B． 14．已知最简二次根式与可以合并，则的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．11 【答案】D 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．也考查二次根式化简．先把化简，再根据同类二次根式的定义得到，从而可确定m的值． 【详解】解：∵，最简二次根式与可以合并， ∴和是同类二次根式， ， 解得：． 故选D． 15．（2024·河北）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则 ； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）由即可得到答案； （2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，而， ∴； 故答案为：； （2）∵a，b，n均为正整数． ∴，，为连续的三个自然数，而， ∴，， 观察，，，，，，，，，，， 而，，，，， ∴与之间的整数有个， 与之间的整数有个， ∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个）， 故答案为：． 16．观察下列等式：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；第4个等式为：，…．根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第5个等式为______； (2)猜想：第个等式为______（为正整数）； (3)根据你的猜想，计算：． 【答案】(1) (2) (3)40 【知识点】与实数运算相关的规律题、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化和规律探究，找到规律是解题的关键； （1）根据已知的等式找到规律即可解答； （2）根据（1）等式规律即可解答； （3）根据（2）的规律将每一项变形后再计算加减即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； 第4个等式为：， ∴第5个等式是； 故答案为：． （2）解：由（1）题的等式规律可得：第个等式为（为正整数）； 故答案为：； （3）解： ． 17．我们知道．是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)的整数部分是_________，的小数部分是_________； (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根； (3)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)3， (2) (3)11 【知识点】二次根式的加减运算、无理数整数部分的有关计算、求一个数的平方根 【分析】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握无理数的大小估算方法． （1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分； （2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根； （3）由得即，从而得，y=，将x、y的值代入原式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为， ∵， ∴， ∴即， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为， （2）∵，a是的整数部分， ∴， ∵， ∴的整数部分为1， ∵b是的小数部分， ∴， ∴ ∵9的平方根等于， ∴的平方根等于； （3）∵， ∴即， ∵，其中x是整数，且， ∴，y=， ∴． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲 二次根式、实数的运算 教材知识 中考考点 课标要求 二次根式 1.二次根式的相关概念 了解二次根式、最简二次根式的概念 掌握二次根式的有关性质，能够运用性质进行二次根式的化简 2.二次根式的性质 3.二次根式的运算 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 实数的运算 4.实数的大小比较 可能利用有理数估算一个无理数的大致范围； 能比较实数的大小 5.实数的混合运算 理解乘方的意义； 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）； 理解有理数的运算律，能用运算律简化运算 命题点1 二次根式的概念、有意义的条件 1、二次根式：一般地，形如的式子叫做二次根式，叫做被开方数，“”称为二次根号. 2、二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0. 【要点解读】 ①二次根式有意义的条件是被开方数，若二次根式在分母上，则被开方数. ②表示的意义是非负数的算数平方根. 3、最简二次根式：一般地，（1）被开方数不含分母（也就是说分母中不含根号）；（2）也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. 4、同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，如，，是同类二次根式. 1．（2025·山东德州）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 2．（2025·四川绵阳）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江绥化）若式子有意义，则的取值范围是 ． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 命题点2 二次根式的性质 1、的双重非负性： 【要点解读】 ①如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数每个都必须为0. ②非负性常见于绝对值、偶次方、二次根式中，若与同时存在，则都为0，即. 2、 3、 4、. 5、. 5．（2023·江苏连云港）计算： ． 6．（2021·江苏连云港）化简： ． 7．（2023·内蒙古）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 8．（2023·湖北黄冈）请写出一个正整数m的值使得是整数； ． 9．（2022·内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ）    A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a 命题点3 二次根式的运算 类别 法则 示例 乘法 除法 加减法 ①将二次根式化成最简二次根式； ②将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并. 【要点解读】 二次根式分母有理化的方法 （1）分母为单项式：凑平方 ①； ②. （2）分母为多项式：凑平方差 . 10．（2025·上海）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·广东）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 12．（2024·山东济宁）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·四川自贡）计算： ． 14．（2025·天津）计算的结果为 ． 15．（2025·甘肃）计算：． 命题点4 二次根式的估值 1、确定一个数（如）在哪两个相邻整数之间 （1）先对根式平方，如； （2）找出与平方后所得数字相邻的两个开的尽方的整数，如； （3）同时开方，即可确定这个根式的值在那两个相邻整数之间，如，则在3和4之间. 2、确定一个数（如）离哪两个整数较近 （1）确定这个二次根式在哪两个相邻整数之间，如； （2）求这两个整数的平均数，如； （3）用平方法比较根式与平均数的大小，若根式的平方大于平均数的平方，则离较大的整数近，否则离较小的整数近，如，，因为，所以离3较近. 【要点解读】 记住常见开方数的值可以快速解题，如，，. 3、确定的整数部分 （1）确定在哪两个连续整数之间，如（为整数）； （2）确定整数部分：的整数部分为，小数部分为. 16．（2025·四川广安）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 17．（2024·重庆）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 18．（2025·陕西）满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）． 19．（2025·山东烟台）实数的整数部分为 ． 20．（2025·重庆）若为正整数，且满足，则 ． 命题点5 实数的大小比较 1、数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大. 2、法则比较法：正数负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 3、作差比较法：；；. 4、作商比较法： （1）若，则；；. （2）若，则；； 5、平方比较法：若，则，则.如，则. 【要点解读】 适用于含根号的无理数与其他数比较大小或二次根式的估值. 6、倒数比较法：若，则. 7、特殊值法：含有字母时，给字母取特殊值更加简便快捷. 21．（2025·山西）下列各数中比小的数是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·山东）下列实数中，平方最大的数是（    ） A．3 B． C． D． 23．（2025·江苏扬州）下列温度中，比低的温度是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·安徽）在，0，2，5这四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C．2 D．5 25．（2025·青海西宁）下列四个实数中，最大的是（   ） A． B．0 C． D． 26．（2023·江苏）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ）．    A． B． C． D． 27．（2025·湖北武汉）在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是 ． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 28．（2025·海南）写出一个比大的实数： ． 29．（2024·山西）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 命题点6 实数的运算 1、实数的运算法则 （1）四则运算 ①加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数. ②减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即. ③乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数同0相乘，仍得0，即，， ，. ④除法：除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，即，. （2）乘方运算：求几个相同因数积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. （3）零指数幂与负整数指数幂 ①； ②（，为正整数）. （4）幂的运算：. （5）绝对值： 2、实数混合运算的顺序 （1）先乘方、开方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，注意一定先计算各小项的值. （2）同级运算按从左往右的顺序运算. 3、运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 角度1 实数的简单运算 30．（2025·江苏镇江）计算的结果是（   ） A．5 B． C．1 D． 31．（2025·四川成都）如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（   ） A． B． C． D． 32．（2025·四川自贡）若，则内的数字是（    ） A． B．2 C．4 D． 33．（2025·天津）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 角度2 实数的混合运算 34．（2025·山东威海）计算： ． 35．（2025·陕西）计算：． 36．（2025·江苏镇江）计算：． 37．（2025·四川广元）计算：． 38．（2025·四川泸州）计算：． 角度3 实数的混合运算（创新考法） 39．（2024·甘肃）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 40．（2025·江苏南通）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 41．（2024·山东德州）观察下列等式： …… 则的值为 ． 42．（2025·河北）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 43．（2025·安徽）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 1．（2025·山东淄博）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 2．（2025·青海西宁）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·天津）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 5．（2023·山东临沂）设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川德阳）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 8．已知为实数，则式子的值为 ． 9．（2020·湖北武汉）化简二次根式的结果等于 ． 10．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知为实数，且，则的值为 ． 11．（2023·四川凉山）计算 ． 12．比较下列两个数的大小： ． 13．（2023·四川广安）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是 ． 14．（2024·甘肃兰州）计算：． 15．（2024·陕西）计算：． 16．（2025·上海）计算：． 17．（2025·广东深圳）计算：． 18．（2025·重庆）下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 19．（2024·安徽）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 20．已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为 ． 21．（2022·湖北荆州）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是 ． 22．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 23．（2024·四川南充）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲 二次根式、实数的运算 教材知识 中考考点 课标要求 二次根式 1.二次根式的相关概念 了解二次根式、最简二次根式的概念 掌握二次根式的有关性质，能够运用性质进行二次根式的化简 2.二次根式的性质 3.二次根式的运算 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 实数的运算 4.实数的大小比较 可能利用有理数估算一个无理数的大致范围； 能比较实数的大小 5.实数的混合运算 理解乘方的意义； 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）； 理解有理数的运算律，能用运算律简化运算 命题点1 二次根式的概念、有意义的条件 1、二次根式：一般地，形如的式子叫做二次根式，叫做被开方数，“”称为二次根号. 2、二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0. 【要点解读】 ①二次根式有意义的条件是被开方数，若二次根式在分母上，则被开方数. ②表示的意义是非负数的算数平方根. 3、最简二次根式：一般地，（1）被开方数不含分母（也就是说分母中不含根号）；（2）也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. 4、同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，如，，是同类二次根式. 1．（2025·山东德州）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 2．（2025·四川绵阳）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键． 逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可． 【详解】解：选项A：，故一定有意义； 选项B：当时，，故不一定有意义； 选项C：当时，，故不一定有意义； 选项D：，故仅在时有意义， 故选：A． 3．（2025·黑龙江绥化）若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为零． 根据二次根式以及分式有意义，得出关于x的不等式，解出即可得出x的取值范围． 【详解】解：要使式子有意义， 即， ∴． 故答案为：． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、零指数幂、二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 命题点2 二次根式的性质 1、的双重非负性： 【要点解读】 ①如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数每个都必须为0. ②非负性常见于绝对值、偶次方、二次根式中，若与同时存在，则都为0，即. 2、 3、 4、. 5、. 5．（2023·江苏连云港）计算： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 6．（2021·江苏连云港）化简： ． 【答案】5 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的化简，直接根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 7．（2023·内蒙古）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解． 【详解】由数轴位置可知， ． 【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质是关键． 8．（2023·湖北黄冈）请写出一个正整数m的值使得是整数； ． 【答案】8（答案不唯一）． 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】要使是整数，则要是完全平方数，据此求解即可 【详解】解：∵是整数， ∴要是完全平方数， ∴正整数m的值可以为8，即，即， 故答案为：8（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到要是完全平方数是解题的关键． 9．（2022·内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ）    A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简 【分析】根据数轴得∶ 0<a<1，得到a>0， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可． 【详解】解∶∵根据数轴得∶ 0<a<1， ∴a>0， a-1<0， ∴原式=|a|+1+1-a =a+1+1- a =2． 故选∶B． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握是解题的关键． 命题点3 二次根式的运算 类别 法则 示例 乘法 除法 加减法 ①将二次根式化成最简二次根式； ②将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并. 【要点解读】 二次根式分母有理化的方法 （1）分母为单项式：凑平方 ①； ②. （2）分母为多项式：凑平方差 . 10．（2025·上海）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意． 故选：C ． 11．（2025·广东）计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．直接相乘得出答案． 【详解】． 故选：B． 12．（2024·山东济宁）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 13．（2025·四川自贡）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简，再合并即可. 【详解】解：； 故答案为：． 14．（2025·天津）计算的结果为 ． 【答案】60 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：60． 15．（2025·甘肃）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 命题点4 二次根式的估值 1、确定一个数（如）在哪两个相邻整数之间 （1）先对根式平方，如； （2）找出与平方后所得数字相邻的两个开的尽方的整数，如； （3）同时开方，即可确定这个根式的值在那两个相邻整数之间，如，则在3和4之间. 2、确定一个数（如）离哪两个整数较近 （1）确定这个二次根式在哪两个相邻整数之间，如； （2）求这两个整数的平均数，如； （3）用平方法比较根式与平均数的大小，若根式的平方大于平均数的平方，则离较大的整数近，否则离较小的整数近，如，，因为，所以离3较近. 【要点解读】 记住常见开方数的值可以快速解题，如，，. 3、确定的整数部分 （1）确定在哪两个连续整数之间，如（为整数）； （2）确定整数部分：的整数部分为，小数部分为. 16．（2025·四川广安）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键； 根据，可得，即可得到答案 【详解】解：∵， ∴， ∴估计的值在1和2之间， 故选：A 17．（2024·重庆）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：C 18．（2025·陕西）满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，先整理得，结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴整数可以是， 故答案为：3（答案不唯一） 19．（2025·山东烟台）实数的整数部分为 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、化为最简二次根式 【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴实数的整数部分为， 故答案为： 20．（2025·重庆）若为正整数，且满足，则 ． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 命题点5 实数的大小比较 1、数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大. 2、法则比较法：正数负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 3、作差比较法：；；. 4、作商比较法： （1）若，则；；. （2）若，则；； 5、平方比较法：若，则，则.如，则. 【要点解读】 适用于含根号的无理数与其他数比较大小或二次根式的估值. 6、倒数比较法：若，则. 7、特殊值法：含有字母时，给字母取特殊值更加简便快捷. 21．（2025·山西）下列各数中比小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可判断求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于负数， ∴比小的数在，，中， ∵两个负数，绝对值大的数反而更小， 又∵， ∴， ∴比小的数是， 故选：． 22．（2024·山东）下列实数中，平方最大的数是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数的大小比较、有理数的乘方运算 【分析】本题考查的是实数的大小比较，乘方运算，先分别计算各数的乘方，再比较大小即可. 【详解】解：∵，，，， 而， ∴平方最大的数是3； 故选A 23．（2025·江苏扬州）下列温度中，比低的温度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数大小的比较．根据题意，选出比小的数即可． 【详解】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知， 所以比低的温度是． 故选：． 24．（2025·安徽）在，0，2，5这四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】A 【知识点】有理数大小比较 【分析】解题思路为：依据有理数大小比较规则，即负数小于，小于正数，来比较这四个数的大小，找出最小数 ．本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握“负数小于，小于正数”的大小比较规则是解题的关键． 【详解】解：有理数大小比较规则：负数正数． 对于、、、这四个数， 是负数，是零，、是正数， ， 即最小的数是． 故选：． 25．（2025·青海西宁）下列四个实数中，最大的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查比较实数大小，无理数的估算，掌握比较实数大小的法则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键，根据比较实数大小的法则求解即可． 【详解】解：负数小于0，0小于正数， ， 又，，且， ， ， 最大的是， 故选：． 26．（2023·江苏）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较 【分析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：由图可知，，， A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选D． 【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键． 27．（2025·湖北武汉）在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是 ． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 【答案】液态氧 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，根据有理数比较大小的方法比较出四个物质凝固点的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴凝固点最低的物质是液态氧， 故答案为：液态氧． 28．（2025·海南）写出一个比大的实数： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握其估算方法是解题的关键．根据，可得，因此，即可写出比大的实数． 【详解】解：， ， ， 比大的实数可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 29．（2024·山西）比较大小： 2（填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查实数的大小比较，根据即可推出． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 命题点6 实数的运算 1、实数的运算法则 （1）四则运算 ①加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数. ②减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即. ③乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数同0相乘，仍得0，即，， ，. ④除法：除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，即，. （2）乘方运算：求几个相同因数积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. （3）零指数幂与负整数指数幂 ①； ②（，为正整数）. （4）幂的运算：. （5）绝对值： 2、实数混合运算的顺序 （1）先乘方、开方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，注意一定先计算各小项的值. （2）同级运算按从左往右的顺序运算. 3、运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 角度1 实数的简单运算 30．（2025·江苏镇江）计算的结果是（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题关键．根据有理数的加法法则计算即可得． 【详解】解：， 故选：C． 31．（2025·四川成都）如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，用中午的气温减去下降的气温进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 32．（2025·四川自贡）若，则内的数字是（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查的是有理数的乘法运算，根据可得答案. 【详解】解：∵， ∴则内的数字是， 故选：A 33．（2025·天津）计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 角度2 实数的混合运算 34．（2025·山东威海）计算： ． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 35．（2025·陕西）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、二次根式的乘法 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 36．（2025·江苏镇江）计算：． 【答案】4 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 37．（2025·四川广元）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算、特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂等知识，先计算特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂并化简绝对值，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 38．（2025·四川泸州）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算45度角的正切值，再计算零指数和算术平方根，接着计算乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 角度3 实数的混合运算（创新考法） 39．（2024·甘肃）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】8 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】根据定义，得， 故答案为：8． 40．（2025·江苏南通）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 41．（2024·山东德州）观察下列等式： …… 则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 42．（2025·河北）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【知识点】有理数四则混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 43．（2025·安徽）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 【答案】 2 11 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数； （2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案． 【详解】解；（1）∵， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为， 故答案为；11． 1．（2025·山东淄博）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数、实数的大小比较 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 【详解】解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 2．（2025·青海西宁）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意； 故选B． 3．（2025·安徽）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根、同底数幂相乘、幂的乘方运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 4．（2024·天津）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键，要估计的值，可以通过比较已知的平方数来确定其范围． 【详解】解：∵，，且10介于9和16之间， ∴应在3和4之间， 故选：C． 5．（2023·山东临沂）设，则实数m所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的加减运算、无理数的大小估算 【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键． 6．（2024·四川德阳）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 7．（2025·北京）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．已知为实数，则式子的值为 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得： ，即， ，即， 故二次根式有意义时， 当时，原式． 故答案为：． 9．（2020·湖北武汉）化简二次根式的结果等于 ． 【答案】3 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 10．已知为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、化为最简二次根式 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，二次根式的化简，求得的值是解题的关键．根据算术平方根的非负性，求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 11．（2023·四川凉山）计算 ． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、利用二次根式的性质化简 【分析】根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一个不为零的数的零次幂都是1是解题的关键． 12．比较下列两个数的大小： ． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】通过平方去掉根号，再比较大小．因为两个数都是正数，平方大的原数也大． 【详解】解：分别对两个数进行平方： ； ． ∵，且两个数都是正数， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和平方比较法．解题关键是利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过平方将根式比较转化为有理数比较． 13．（2023·四川广安）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】先根据可得一个关于的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键． 14．（2024·甘肃兰州）计算：． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的运算，先根据二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 15．（2024·陕西）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂 【分析】本题考查了零次幂，化简绝对值，有理数的乘法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先计算有理数的乘法，零次幂，化简绝对值，再计算加减，即可作答． 【详解】解： ． 16．（2025·上海）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、分数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的混合运算，分数指数幂的含义，先分母有理化，计算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可. 【详解】解： . 17．（2025·广东深圳）计算：． 【答案】7 【知识点】实数的混合运算、零指数幂 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可. 【详解】原式 . 18．（2025·重庆）下列四个数中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数大小比较、用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的应用能力，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再进行比较、求解．关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】解：，，，， ， ， ∴四个数中，最大的是， 故选：D． 19．（2024·安徽）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】> 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【详解】解：∵，， 而， ∴， ∴； 故答案为： 20．已知最简二次根式与另一个二次根式合并后的结果为，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】同类二次根式、化为最简二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的概念，解题关键是明确“只有同类二次根式才能合并”，从而确定被开方数相等，建立方程求解． 先将化为最简二次根式，根据同类二次根式才能合并，可知与​的最简形式是同类二次根式，进而建立等式求解． 【详解】解：． ∵最简二次根式能与另一个二次根式合并得到， ∴​是的同类二次根式，且是最简二次根式，因此有： ． 故答案为：． 21．（2022·湖北荆州）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是 ． 【答案】2 【知识点】二次根式的混合运算、无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】先由得到，进而得出a和b，代入求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵ 的整数部分为a，小数部分为b， ∴，． ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法． 22．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 ． 【答案】3 【知识点】利用二次根式的性质化简、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质等知识，先根据数轴得出，则，然后根据二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 23．（2024·四川南充）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与无理数、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，设 ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．（2025·福建）下列实数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D．2 2．下列实数中，平方最小的数是（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·江苏徐州）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·重庆）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知，，则的值为（    ）． A．8 B．6 C．3 D． 7．（2025·四川凉山）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 8．（2025·江苏淮安）计算： ． 9．（2025·江苏南京）计算的结果是 ． 10．已知是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的的值，这个的值为 ． 11．（2025·湖南长沙）计算：． 12．（2025·山东济南）计算：． 13．如图所示，从一个大正方形中截去面积分别为5和20的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（    ）． A．11 B．20 C．24 D．25 14．已知最简二次根式与可以合并，则的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．11 15．（2024·河北）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则 ； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个． 16．观察下列等式：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；第4个等式为：，…．根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第5个等式为______； (2)猜想：第个等式为______（为正整数）； (3)根据你的猜想，计算：． 17．我们知道．是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)的整数部分是_________，的小数部分是_________； (2)若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根； (3)若，其中是整数，且，求的值． 第1页，共3页 第1页，共3页 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