精品解析：湖北襄阳市2025-2026学年上学期期末学业质量监测八年级数学试卷

2025——2026学年度上学期期末学业质量监测 八年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，轴对称图形是（ ） A. B. C.     D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义识别图形即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是熟练应用知识点解题；科学记数法的表示形式为为整数，据此表示即可． 【详解】解：∵ ∴故选：D． 3. 如图，用三角尺作边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、是边上的高，故此选项符合题意； C、不是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则，包括同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方，关键是熟练应用运算法则；根据运算法则逐一判断即可. 【详解】解：A、∵ ，∴ A错误； B、∵ ，∴ B错误； C、∵ ，∴ C正确； D、∵ ，∴ D错误； 故选：C 5. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 6. 下列分式是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式判断即可，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】、，不是最简分式，不符合题意； 、是最简分式，符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 、，不是最简分式，不符合题意； 故选：． 7. 如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a，宽为b的长方形的面积+边长为b的正方形的面积，即可解答． 【详解】根据题意得：(a+b)2=a2+2ab+b2， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键． 8. 如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 含角的等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质可得到,即可得到答案． 【详解】解：由题可得，与可重合，即, 是等腰三角形，   故选：A ． 9. 元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺共收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 10. 已知等式（，为正整数），则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键；将等式左边展开，比较左右两边系数可得 和 ，其中 、为正整数. 列举所有可能的计算值即可得到结论． 【详解】解：∵ ， ∴ ，， ∵ 为正整数， ∴ 或或或， ∴ 值为：， ∴ 不可能为 . 故选：C． 二、填空题（本大题有5小题，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则=__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特点、代数式求值，关键是熟练应用知识点解题；根据“关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”，进行求解． 详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，若为正整数，则表示 的值的点落在第_________段．（填序号） 【答案】② 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先将能够进行因式分解的分子或分母进行因式分解，然后进行约分化简，再根据同分母分式加减法进行计算，并结合为正整数，确定结果的取值范围． 【详解】解：原式 ； ∵是正整数， ∴， ∴． 故答案为：②． 13. 如图所示的网格为正方形网格，则______． 【答案】90 【解析】 【分析】先证，则可得，再根据三角形外角定理即可得解． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ∵和中， ， ， ， ∵是的一个外角， ， 即， ， ． 故答案为：90 14. 著名数学家华罗庚先生用诗词表达了“数形结合”的思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图，点B，E，C 在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且那么阴影部分的面积为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了正方形与三角形面积计算、代数化简与整体代入思想，解题的关键是通过面积拆分建立表达式，再利用代数化简和整体代入求出阴影面积． 解题思路：先将阴影面积拆分为正方形与三角形的面积组合，列出代数表达式，再通过化简得到，最后代入已知条件求出结果． 【详解】解：由题意得 ∵正方形与正方形的边长分别为a，b， ∵ ∴． 故答案为：5． 15. 如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；E、F分别为、上一点（不含端点），，沿折叠纸片，使三角形折叠后能盖住D点，则长的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质，含30度角直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，当折叠后，点C和点D重合时，连接，由折叠得到，，，，然后得到，得到，然后结合求解即可． 【详解】解：如图所示，当折叠后，点C和点D重合时，连接， ∵三角形纸片中，，， ∴ 由折叠得，，，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵E为上一点（不含端点） ∴使三角形折叠后能盖住D点，则长的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题有9小题，共75分） 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，关键是熟练应用运算规则进行运算； 先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，多项式除以单项式的运算法则进行化简，再将，代入计算即可． 【详解】解： 当时， 上式． 17. 如图，在中，点、在边上，已知，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质，关键是找到两三角形全等的条件； 通过等边对等角论证，，进而利用角角边论证，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在 和中： ， ∴， ∴． 18. 如图，已知一个顶角为的等腰三角形（）均匀薄板，请按要求找到它的“重心” 点． （1）尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法作图． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图找已知线段的中点，关键是明确重心是三角形三条中线的交点； （1）找到两条中线的交点即可； （2）先作的中线，再作的平分线，萁交点即为所求． 【小问1详解】 分别作边、垂直平分线，找到两边中点，连接两条中线，交点即为重心； 【小问2详解】 作的垂直平分线，找到边中点，边上的中线与的平分线的交点即为重心； 19. 如图：在平面直角坐标系中，的顶点在小正方形网格的格点上（小正方形边长为）． （1）作出关于轴对称的； （2）并写出点，，的坐标：（ ），（ ），（ ）； （3）在轴上求作一点，使的值最小；写出点 的坐标 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变换、最短距离，关键是根据图形变换画出正确的图形； （1）根据关于轴对称的坐标特征画出图形； （2）根据关于轴对称的坐标特征写出坐标即可； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由上图可知： 【小问3详解】 解：作关于轴的对称点， 连接交轴于点，则即为所求， 设直线解析式为：， 则，解得： 即： 当时， ∴ 20. 在对 进行平方运算时，我们发现 这为我们计算形如 （n为正整数）的代数式的值提供了方便． （1）若 ，求代数式的值； （2）结合多项式乘多项式相关知识及以上内容，在（1）的条件下，试求出 的值． 【答案】（1）7 （2）18 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用、分式的化简求值等知识点，灵活利用完全平方公式进行变形以及整体代入思想是解题的关键． （1）根据阅读材料中的方法求解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，然后求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可得， ． 21. 在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容――利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，，求证： 方法一 方法二 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理的证明，熟练掌握利用平行线的性质证明三角形的内角和定理是解答的关键． 方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； 方法二：过点C作，利用平行线的性质得到，即可求解． 【详解】证明：方法一：过点A作． ∵， ∴，． ∵， ∴， 即； 方法二：过点C作． ∵， ∴，， ∴，即． 22. 如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了千克． （1）“丰收号”的单位面积产量________千克/米，“丰收号”的单位面积产量________千克/米； （2）单位面积产量高的是________（填“丰收号”或“丰收号”）； （3）若高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求“丰收号”小麦的试验田的边长． 【答案】（1）， （2）“丰收号” （3）米 【解析】 【分析】（）根据单位面积产量等于产量除以面积即可求解； （）根据（）结论，作商比较大小即可求解； （）根据题意列出方程，解方程即可求解． 本题考查了分式的除法以及分式方程的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，“丰收号”的单位面积产量千克/米，“丰收号”的单位面积产量千克/米， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴“丰收号”单位面积产量高， 故答案为：“丰收号”； 【小问3详解】 解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴“丰收号”小麦的试验田的边长米． 23. 我们可以发现日历中某些数满足一定的规律，我们利用（，且为整数）的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的个数，设这个数分别为，计算“”的值，并探索其运算结果的规律． （1）图①是2026年1月份的日历，当时，小明在其中画出两个的方框，计算出 ， ． 小明猜想的规律是 请你利用整式的运算对其加以证明． （2）请你根据小明的方法，借助2026年2月份的日历，继续进行探究： 可得“”方框的 （用含的式子表示） 【答案】（1），，；见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律探究，关键是 （1）根据日历中前后上下数字的关系列代数式化简即可； （2）根据日历中前后上下数字的关系列代数式化简即可． 【详解】（1）解：；； 规律：； 证明：设 ，则 ，，（日历中横向差，纵向差）， ， （2）设 ，则 ，，， ； 故答案为：（1）；（2）． 24. 根据以下素材，尝试解决问题． 综合与探究：“一线三直角”模型 素材1 “一线三直角”是解决数学几何问题常用的一种模型，通过证明三角形全等从而解决相关问题．模型探究：已知中，，，，三点都在直线l上，且有． 素材2 问题解决 任务1 （1）如图①，当时，若，，则 ； 任务2 （2）如图②，当时，探究线段、、 的数量关系并证明． 任务3 （3）如图③，的顶点落在平面直角坐标系的． 轴上，若，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 任务4 背景数据：“勾三股四弦五”是我国古代数学著作《周髀算经》中记载的经典结论，是直角三角形的特殊数据，是指在直角三角形中，两条直角边分别为、时，斜边一定是；反之，若直角三角形的斜边为，一条直角边为，那么另一条直角边一定为（为正整数）．记住这个固定边长关系，做题时遇到这类直角三角形可直接套用． （4）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接，过点 作 的垂线 ，垂足为，分别交，于点，，把沿折叠，使点落在上的点 ，连接，若，，则点到的距离为 ． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）；（4） 【解析】 【分析】(1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，，根据线段之间的关系即可求出的长度； (2)利用三角形外角的性质可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证； (3)由“一线三直角”可知，利用全等三角形的性质可知，，，根据线段之间的关系可知，根据平面直角坐标系中两点之间的距离可知，根据相反数的定义可知； (4)利用可证，根据全等三角形的性质可得，，由同角的余角相等可证，根据等角对等边可得，利用勾股定理求出，，利用三角形的面积公式即可求出点到的距离． 【详解】(1)解：当时， 可得：， ，， ， 在和中，， ， ，， ； 故答案为：； (2)解：， 证明：是的外角， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ； (3)解：如下图所示，过点作轴，过点作轴， 由(1)可知，， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ； (4)解：四边形和是正方形， ，，， 在中，， ， 在和中，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ，， 在中， ， 整理得：， 解得：，， ， ，， ， 由折叠可知， ， ， 如下图所示，连接，过点作， ， ， ， 点到的距离为. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的性质、解一元二次方程．解决本题的关键是根据“一线三直角”证明三角形全等，根据全等三角形的性质找边、角之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年度上学期期末学业质量监测 八年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，轴对称图形是（ ） A. B. C.     D. 2. 2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A B. C. D. 6. 下列分式是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ） A. B. C D. 8. 如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 含角的等腰三角形 9. 元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 已知等式（，为正整数），则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有5小题，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则=__________． 12. 如图，若为正整数，则表示 的值的点落在第_________段．（填序号） 13. 如图所示的网格为正方形网格，则______． 14. 著名数学家华罗庚先生用诗词表达了“数形结合”的思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图，点B，E，C 在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且那么阴影部分的面积为__________． 15. 如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；E、F分别为、上一点（不含端点），，沿折叠纸片，使三角形折叠后能盖住D点，则长的取值范围是______． 三、解答题（本大题有9小题，共75分） 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 如图，在中，点、在边上，已知，．求证：． 18. 如图，已知一个顶角为等腰三角形（）均匀薄板，请按要求找到它的“重心” 点． （1）尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法作图． 19. 如图：在平面直角坐标系中，的顶点在小正方形网格的格点上（小正方形边长为）． （1）作出关于轴对称的； （2）并写出点，，的坐标：（ ），（ ），（ ）； （3）在轴上求作一点，使的值最小；写出点 的坐标 ． 20. 在对 进行平方运算时，我们发现 这为我们计算形如 （n为正整数）的代数式的值提供了方便． （1）若 ，求代数式的值； （2）结合多项式乘多项式相关知识及以上内容，在（1）的条件下，试求出 的值． 21. 在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容――利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，，求证： 方法一 方法二 22. 如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了千克． （1）“丰收号”的单位面积产量________千克/米，“丰收号”的单位面积产量________千克/米； （2）单位面积产量高的是________（填“丰收号”或“丰收号”）； （3）若高单位面积产量是低的单位面积产量的倍，求“丰收号”小麦的试验田的边长． 23. 我们可以发现日历中某些数满足一定的规律，我们利用（，且为整数）的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的个数，设这个数分别为，计算“”的值，并探索其运算结果的规律． （1）图①是2026年1月份的日历，当时，小明在其中画出两个的方框，计算出 ， ． 小明猜想的规律是 请你利用整式的运算对其加以证明． （2）请你根据小明的方法，借助2026年2月份的日历，继续进行探究： 可得“”方框的 （用含的式子表示） 24. 根据以下素材，尝试解决问题． 综合与探究：“一线三直角”模型 素材1 “一线三直角”是解决数学几何问题常用的一种模型，通过证明三角形全等从而解决相关问题．模型探究：已知中，，，，三点都在直线l上，且有． 素材2 问题解决 任务1 （1）如图①，当时，若，，则 ； 任务2 （2）如图②，当时，探究线段、、 的数量关系并证明． 任务3 （3）如图③，的顶点落在平面直角坐标系的． 轴上，若，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 任务4 背景数据：“勾三股四弦五”是我国古代数学著作《周髀算经》中记载的经典结论，是直角三角形的特殊数据，是指在直角三角形中，两条直角边分别为、时，斜边一定是；反之，若直角三角形的斜边为，一条直角边为，那么另一条直角边一定为（为正整数）．记住这个固定边长关系，做题时遇到这类直角三角形可直接套用． （4）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接，过点 作 的垂线 ，垂足为，分别交，于点，，把沿折叠，使点落在上的点 ，连接，若，，则点到的距离为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $