精品解析：江西南昌市第二中学2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题

南昌二中2025-2026学年度上学期高一数学期末试卷 命题人：高鹏 审题人：刘三红 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每题四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数解析式可得其单调性，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】由函数，则易知函数在上单调递增， 由，，，，， 即，则函数在内存在零点. 故选：C. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，由特殊值判断A，D；根据对数函数的定义域判断B；根据指数函数的单调性判断C. 【详解】对于A，若，则，而，所以A不正确； 对于B，当时，均无意义，所以B不正确； 对于C，因为函数是减函数，所以由，可得，所以C正确； 对于D，，则，而，所以D不正确. 故选：C. 3. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再求得的值即可 【详解】已知函数， 所以 则. 故选：D. 4. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 213石 B. 152石 C. 169石 D. 196石 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，可计算出夹谷的频率，从而可解． 【详解】根据题意，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则样本中夹谷的频率为， 则这批米内夹谷约为（石， 故选：C 5. 已知一组正数，，的方差，则数据，，的平均数为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用方差的计算公式求出的平均数，然后利用平均数的结论求解即可. 【详解】正数的方差， 又 ， 所以， 所以， 所以数据的平均数为： . 故选：C 6. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为整体，根据同角三角关系可得，再结合诱导公式运算求解. 【详解】因为，则， 又因为，则，且， 所以. 故选：D. 7. 已知是定义在上的偶函数，在上是增函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的知识可得，，，由函数是定义在上的偶函数，则，又由函数在上是增函数，即可求解. 【详解】根据题意， ，， 又由函数是定义在上的偶函数，则， 则有，又由函数在上是增函数， 故，即. 故选：A． 8. 已知函数，若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的单调性与奇偶性，由已知等式可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对任意的，，即恒成立， 所以，函数的定义域为， 因为， 所以，， 所以，，故函数为奇函数， 当时，函数、均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在上为增函数， 由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，可得， 又因为，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为8. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 一体育比赛，7个评委打分，相对之前的分数，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，下列说法正确的是（ ） A. 中位数一定不变 B. 平均数一定不变 C. 方差不变或变小 D. 极差不变或变小 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差、极差定义理解及求法判断各项的正误. 【详解】设个原始分分数为，去掉一个最高分，去掉一个最低分后有效分为， 原始分的中位数为，有效分的中位数也为，故A正确， 原始分的平均数，有效分的平均数， 则， 又具体值不知，故平均数变化不确定，故B错误， 去掉一个最高分，去掉一个最低分后数据更加集中，数据的离散程度会减小，故方差变小， 当时，方差不变，故C正确， 原始分的极差，有效分的极差，，故极差变小或不变，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知为随机事件，，则下列结论正确的有（    ） A. 若为互斥事件，则 B. 若为互斥事件，则 C. 若相互独立，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件性质可求得A正确，B错误，再由相互独立事件性质可得C正确，利用对立事件及条件概率公式可得D正确. 【详解】对于A，若为互斥事件，则，即可得A正确； 对于B，由可得， 又为互斥事件，则，又，即B错误； 对于C，若相互独立，则, 所以，即C正确； 对于D，若，所以； 可得，即D正确. 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（     ） A. 函数的图像关于点对称 B. 函数的周期为 C. D. 函数与函数的图象有个不同的公共点 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数的对称性即可判断选项A，利用赋值法结合周期定义，即可判断选项B，利用周期性和对称性分别求出，即可判断选项C，根据函数的性质，以及函数值的大小关系，画出草图，即可判断选项D. 【详解】因为， 所以函数的图像关于点对称，A正确； 由， 可得函数的图像关于对称， 即， 令，可得， 令，可得， 所以， 所以函数的周期为，B正确； 因为，， 且当时，， 所以，解得， 所以当时，， 又， 且， 且， 所以，C错误； 因为当时，， 又， 且， 所以当时，， 结合的对称中心和对称轴，可得一个周期草图如下， 因为函数为偶函数， 且时，， 所以在上单调递增， 在上单调递减， 且，， 又，， 且， 所以可得当时，两函数草图如下， 又，， 且， 当时，两函数草图如下， 综上，与函数的图象有个不同的公共点，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题“，”，则______. 【答案】， 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题否定规则直接写出即可. 【详解】命题 “，”， 则“，”. 故答案为：， 13. “打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为_____________．（参考数据：） 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意得，即，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可. 【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以,故. 故答案为：4 14. 若非空集合A满足：，都有，则称集合A具有“对称特征”.已知集合，从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求得集合的非空子集有个，再利用列举法得到具有“对称特征”的子集的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由集合，可得集合的非空子集有个， 其非空子集中，具有“对称特征”的子集有，共有7个， 所以选取的集合具有“对称特征”的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．   （1）当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； （2）设，点到轴的距离与到轴的距离之比是，求的值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）设圆心角，应用扇形面积公式计算求解即可； （2）设，根据题意得到，最后应用诱导公式计算求解即可. 【小问1详解】 设圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S．因为， 圆O的半径为，所以，所以，. ， 所以图中阴影部分的面积为． 【小问2详解】 设，则有，，所以，即， ，，，， 所以. 16. 在某次30秒单摇跳绳比赛中，对1000名选手的跳绳成绩进行统计，跳绳成绩都在区间（单位：次），将数据按照分成7组，整理得到如下频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）用分层抽样的方法从和两组中抽取了5人，再从这5人中随机选出2人，求这2人不在同一组的概率； （3）估计这1000名选手的跳绳成绩的分位数. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据直方图面积为1求解； （2）根据古典概型概率计算公式求解； （3）根据直方图估算频率求解. 【小问1详解】 由图可得：， 解得； 【小问2详解】 组中共有人， 组中共有人， 从中抽取5人，其中从组中抽取人，设为, 从组中抽取人，设为， 则从这5人中随机选出2人， 样本空间， 共10个样本点， 用表示“2人不在同一组”，则， 共6个样本点， 所以 【小问3详解】 因为7组数据所占频率分别为，且， 所以成绩的分位数落在内， 由， 所以估计这1000名选手的跳绳成绩的分位数为. 17. 已知函数，对于任意的，都有. （1）求实数a，b的值； （2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先判断为上的奇函数，由求出，由可推出； （2）分离参数后根据基本不等式求最值即可得解. 【小问1详解】 因为对于任意的，都有， 所以为上的奇函数， 故，所以分子为0，即，解得， 此时，故， 故，即对任意的恒成立， 所以，即， 故. 【小问2详解】 由（1）知， 在上能成立，即在上能成立， 故在上能成立， 则. 因为，所以，即， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故，即实数m的取值范围是. 18. 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭投入壶中计算得分，每场投中情况分“有初”、“贯耳”、“散射”、“双耳”、“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，投不中算“零筹”.现有比赛分两轮，第一轮是每人单独进行两场，只要获得筹数之和不为零就可以进入第二轮；第二轮为淘汰赛，两人比赛三场，以获得的总筹数多者为胜．假设每场比赛中甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同， （1）求乙每场比赛获得的筹数不超过两筹的概率； （2）求甲能进入第二轮的概率； （3）现甲、乙两人均进入第二轮．且比赛第一场，两人平局，第二场，甲投中“贯耳”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，求甲获胜的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式计算即可. （2）根据对立事件的概率公式计算即可. （3）根据独立事件的概率乘法公式及古典概型枚举法计算即可. 【小问1详解】 每场比赛获得的筹数与概率列表如下： 筹数 2 4 5 6 10 0 设乙每场比赛获得的筹数不超过两筹为事件， 【小问2详解】 设甲能进入第二轮为事件B，. 【小问3详解】 若甲获胜，则在第三场比赛中，甲比乙至少多得三筹．分以下四种情况： ①甲得“四筹”，乙得“零筹”，此种情况发生的概率； ②甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率； ③甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，此种情况发生的概率；. ④甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹”或“六筹”，此情况发生的概率， 故甲获胜的概率． 19. 已知函数的定义域为，且，若存在，使得，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质？证明你的结论； （2）若函数具有性质，求实数的取值范围； （3）函数，证明对任意实数，函数都具有性质. 【答案】（1）不具有性质，证明： 函数定义域为， 令，，即，化简得， 两边同乘得，，方程无解， 所以不存在使得， 所以函数不具有性质. （2） （3） 由题意当时，定义域为，方程有解， 即有解， 整理得有解， 令，则在上的图象是连续的， 当时，，，故在上至少存在一个零点， 当时，，，故在上至少存在一个零点， 综上对任意实数，在上都有零点，即方程总有解， 所以对任意实数，函数都具有性质. 【解析】 【分析】（1）利用性质的定义，判断方程是否有解即可； （2）利用函数具有性质可得方程有实数解，即有实数解，按和分类讨论即可； （3）当时，方程有解，令，利用零点存在定理证明当和时存在零点即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数具有性质，由定义域可知， 所以方程有实数解， 即，整理得， 当时，有实数根， 当时，由解得或， 综上实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2025-2026学年度上学期高一数学期末试卷 命题人：高鹏 审题人：刘三红 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每题四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 213石 B. 152石 C. 169石 D. 196石 5. 已知一组正数，，的方差，则数据，，的平均数为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 6. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，在上是增函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 一体育比赛，7个评委打分，相对之前的分数，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，下列说法正确的是（ ） A. 中位数一定不变 B. 平均数一定不变 C. 方差不变或变小 D. 极差不变或变小 10. 已知为随机事件，，则下列结论正确的有（    ） A. 若为互斥事件，则 B. 若为互斥事件，则 C. 若相互独立，则 D. 若，则 11. 已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是（     ） A. 函数的图像关于点对称 B. 函数的周期为 C. D. 函数与函数的图象有个不同的公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题“，”，则______. 13. “打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为_____________．（参考数据：） 14. 若非空集合A满足：，都有，则称集合A具有“对称特征”.已知集合，从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限．   （1）当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； （2）设，点到轴的距离与到轴的距离之比是，求的值. 16. 在某次30秒单摇跳绳比赛中，对1000名选手的跳绳成绩进行统计，跳绳成绩都在区间（单位：次），将数据按照分成7组，整理得到如下频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）用分层抽样的方法从和两组中抽取了5人，再从这5人中随机选出2人，求这2人不在同一组的概率； （3）估计这1000名选手的跳绳成绩的分位数. 17. 已知函数，对于任意的，都有. （1）求实数a，b的值； （2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围. 18. 投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭投入壶中计算得分，每场投中情况分“有初”、“贯耳”、“散射”、“双耳”、“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，投不中算“零筹”.现有比赛分两轮，第一轮是每人单独进行两场，只要获得筹数之和不为零就可以进入第二轮；第二轮为淘汰赛，两人比赛三场，以获得的总筹数多者为胜．假设每场比赛中甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同， （1）求乙每场比赛获得的筹数不超过两筹的概率； （2）求甲能进入第二轮的概率； （3）现甲、乙两人均进入第二轮．且比赛第一场，两人平局，第二场，甲投中“贯耳”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，求甲获胜的概率． 19. 已知函数的定义域为，且，若存在，使得，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质？证明你的结论； （2）若函数具有性质，求实数的取值范围； （3）函数，证明对任意实数，函数都具有性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $