精品解析：天津市第五十五中学2025—2026学年第一学期九年级数学期末试卷

2025—2026学年度第一学期九年级数学学科学业质量监测 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是位似图形，位似中心为原点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 5. 把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，将绕点旋转得到，当点恰好落在直线上时，的长为（ ） A. B. C. D. 6 11. 如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F．求的值为（ ） A. B. 2.5 C. D. 12. 如图，在等边中，．动点P从点A出发，沿方向运动；动点Q同时从点C出发，沿的延长线方向运动，当点P到达点B时，动点P，Q同时停止运动，Q，P两点的运动速度均为．过点P作，垂足为D，，相交于点E．设运动的时间为（）． ①当为直角三角形时，；②； ③设四边形的面积为，则； ④在运动的过程中，当时， 以上说法正确的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，共18分． 13. 计算：_______________________． 14. 一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在，则袋子中的黄球有_______个 15. 如图，树在路灯O的照射下形成投影．若树高，路灯高度，树与路灯的水平距离，则树影________． 16. 如图，在中，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，与边相交于点F，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，与相交于点E，连接，当时，的长为________． 17. 如图，已知正方形的边长为10，对角线交于点O，点E为的中点，连接与交于点F，点G为的中点，连接并延长，与交于点H，则 （1）___________； （2）的长为___________． 18. 如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A，B均在格点上，以为直径作圆，点M为弧的中点． （I）线段的长度等于________． （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在圆上找一点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）． 三、解答题：本题共7小题，19-20每题8分，21-25每题10分，共68分 19. 解不等式组：，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_________； （2）解不等式②，得_________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_________． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围： （2）若方程有一个根为，求方程的另一根． 21. 如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点． （1）求的度数； （2）若，求直径的长． 22. 随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得广场处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高（点在同一平面内）． （1）求仰角的正弦值； （2）求两点之间的距离（结果精确到）． 23. 某公园要修建一个截面抛物线形的拱门，其最大高度为，宽度为6米，现以地面（所在的直线）为x轴建立平面直角坐标系（如图1所示） （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）如图所示，公园想在抛物线拱门距地面3米处钉两个钉子以便拉一条横幅，请计算该横幅的宽度为多少米？ （3）为修建该拱门，施工队需搭建一个矩形“支架”（由四根木杆组成），使，两点在抛物线上．，两点在地面上（如图2所示），请你帮施工队计算一下最多需要准备多少米该种木杆？ 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点A，点B在第一象限，矩形的顶点，点D在第二象限．将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为．设． （1）如图①，当 时，与交于F点，此时点的坐标为 ，点F的坐标为 ； （2）当时，矩形与重叠部分的图形为 ，当时，矩形与重叠部分的图形为 ； A．三角形 B．四边形 C．五边形 （3）若矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，分别与交于点G，与交于点H．与交于点N，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围； ②当时，直接写出S的取值范围． 25. 已知抛物线（，，为常数，）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点． （1）当时， ①求点和点的坐标； ②若直线（为常数，）与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值； （2）若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期九年级数学学科学业质量监测 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 2. 已知，则点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，以及绝对值、算术平方根的非负性．先求出，的值，再结合关于原点对称这个条件，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴点， ∴点关于原点对称的点的坐标为． 故选：A． 3. 如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是位似图形，位似中心为原点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据点和点的坐标得到，根据位似图形的性质得到，且三点共线，则点D为的中点，据此根据中点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵五边形与五边形是位似图形，位似中心为原点O， ∴，且三点共线， ∴点D为的中点， ∵， ∴点的坐标为， 故选：A． 4. 如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，圆周角定理，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，根据圆周角定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∴， ∴该正多边形的边数为10， 故选：C． 5. 把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，再根据“左加右减，上加下减”的原则写出平移后的抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位， 得 ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 故选：A 6. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，同弧或等弧所对的圆周角相等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 连接，根据圆周角定理可得，由是的直径，，由四边形内接于，可得，即可得解． 【详解】解：连接，如图所示， ， ， 是的直径， ， ， 四边形内接于， ， ． 故选：D． 7. 如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等边中，是边上的中点，可知扇形的半径为等边三角形的高，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】是等边三角形，是边上的中点 ， 扇形 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，熟练等边三角形性质和扇形面积公式,求出等边三角形的高是解题的关键． 8. 如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键． 根据旋转可得，再结合旋转角即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A． 9. 如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等边对等角、余弦的定义等知识点，发现是解题的关键． 由勾股定理可得、，易得，由等边对等角可得，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：依题意，如图所示： 设小正方形网格的边长为1， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，在中，，，，将绕点旋转得到，当点恰好落在直线上时，的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质以及特殊锐角三角函数的应用，由题意得，在中，利用特殊锐角三角函数得出和，进一步即可得出． 【详解】解：绕点旋转得到， ， ， ， , 又， 在中， ， ， ， ， ． 故选：D． 11. 如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F．求的值为（ ） A. B. 2.5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，勾股定理求出的长，运用等积法，即，即可求出的值． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， 连接， ∵过点P分别作和的垂线，垂足为E，F， ∴， ∴． 故选：C． 12. 如图，在等边中，．动点P从点A出发，沿方向运动；动点Q同时从点C出发，沿的延长线方向运动，当点P到达点B时，动点P，Q同时停止运动，Q，P两点的运动速度均为．过点P作，垂足为D，，相交于点E．设运动的时间为（）． ①当为直角三角形时，；②； ③设四边形的面积为，则； ④在运动的过程中，当时， 以上说法正确的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据直角三角形的性质可得，列方程求解，当为直角三角形时，的值；证得，根据全等三角形的性质得到、，再列式计算；根据，结合面积关系列出方程求解即可． 【详解】解：是等边三角形 ，为直角三角形 ， 故①正确； 过点Q作于点H，如图： 、、 ， 、、 、 即， 故②③正确； 解得或（舍去） 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共有4个， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，共18分． 13. 计算：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案． 【详解】解： = = =0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键． 14. 一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在，则袋子中的黄球有_______个 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率， 首先根据频率得出摸到红球的概率为，再设黄球为x，并根据概率公式得出方程，求出解即可． 【详解】解：∵经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率为． 设黄球为x个，根据题意，得， 解得． 经检验，是该方程的解， 所以袋子中的黄球有4个． 故答案为：4． 15. 如图，树在路灯O的照射下形成投影．若树高，路灯高度，树与路灯的水平距离，则树影________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：由题意知，， 又， ， ， ， 解得， 故答案为：6． 16. 如图，在中，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，与边相交于点F，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，与相交于点E，连接，当时，的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形全等，尺规作图，及相似三角形的性质，根据尺规作图可知，是角平分线，再由与全等得到对应边相等，再由，列方程即可解答． 【详解】解：由尺规作图可知，平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，已知正方形的边长为10，对角线交于点O，点E为的中点，连接与交于点F，点G为的中点，连接并延长，与交于点H，则 （1）___________； （2）的长为___________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理； （1）由正方形得到，则，得到，； （2）由点G为的中点和，得到，延长与交于点，证明，得到，，再由，得到，代入得到，，即可得到． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为10， ∴，，，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵点G为的中点，， ∴， ∴， 延长与交于点，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A，B均在格点上，以为直径作圆，点M为弧的中点． （I）线段的长度等于________． （Ⅱ）请用无刻度的直尺，在圆上找一点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）如图所示 由作图可知：是等腰直角三角形， ∴， ∵点O是的中点，点R是的中点， ∴， ∴， ∵点P是弧的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可； （Ⅱ）取格点，连接，，使得是等腰直角三角形，交于点Q，连接，取的中点R，连接交于点P（此时），连接，，点P即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）， 故答案为：； （Ⅱ）略 【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题：本题共7小题，19-20每题8分，21-25每题10分，共68分 19. 解不等式组：，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_________； （2）解不等式②，得_________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_________． 【答案】（1） （2） （3）图见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． （1）根据不等式的性质，按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可得； （2）根据不等式的性质，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可得； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来即可得； （4）根据（3）写出不等式组的解集即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 所以解不等式①，得， 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 所以解不等式②，得， 故答案为：． 【小问3详解】 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ． 【小问4详解】 解：由上可知，原不等式组的解集为， 故答案为：． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根． （1）求的取值范围： （2）若方程有一个根为，求方程的另一根． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式的作用是解本题的关键． （1）根据题意可得根的判别式和一元二次方程的定义，列出不等式组求解即可； （2）把代入到关于的一元二次方程求出值，解出一元二次方程的解即可． 【小问1详解】 关于的一元二次方程有两个不等的实数根， 且， 故答案为：的取值范围是且； 【小问2详解】 把代入到关于的一元二次方程中，得 ， ， ， ，， 故答案为：方程的另一根是． 21. 如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点． （1）求的度数； （2）若，求直径的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，再根据，得出，即，得出，进而计算即可得出答案； （2）连接，根据圆周角定理，得出，再根据中点的定义，得出，再根据同弧或同弦所对的圆周角相等，得出，再根据正切的定义，得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出，进而即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴的直径的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、等边对等角、圆周角定理及其推论、锐角三角函数、含角的直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 22. 随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得广场处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高（点在同一平面内）． （1）求仰角的正弦值； （2）求两点之间的距离（结果精确到）． 【答案】（1）；（2）B，C两点之间的距离约为51m． 【解析】 【分析】（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，利用四边形BDFE为矩形得到EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，则AF＝40m，然后根据正弦的定义求解； （2）先利用勾股定理计算出EF＝30m，再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD，然后计算BD＋CD即可． 【详解】解：（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F， ∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°， ∴四边形BDFE为矩形， ∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m， ∴AF＝AD−DF＝41.6−1.6＝40（m）， 在Rt△AEF中，sin∠AEF=，即sin=． 答：仰角的正弦值为； （2）在Rt△AEF中，EF＝m， 在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6 m， ∵tan∠ACD=， ∴CD＝41.6÷tan63°＝41.6÷1.96≈21.22m， ∴BC＝BD＋CD＝30＋21.22≈51m． 答：B，C两点之间的距离约为51m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 23. 某公园要修建一个截面抛物线形的拱门，其最大高度为，宽度为6米，现以地面（所在的直线）为x轴建立平面直角坐标系（如图1所示） （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）如图所示，公园想在抛物线拱门距地面3米处钉两个钉子以便拉一条横幅，请计算该横幅的宽度为多少米？ （3）为修建该拱门，施工队需搭建一个矩形“支架”（由四根木杆组成），使，两点在抛物线上．，两点在地面上（如图2所示），请你帮施工队计算一下最多需要准备多少米该种木杆？ 【答案】（1）（2）米（3）最多需要准备米该种木杆． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值，二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）把抛物线的解析式设成顶点式，再代入，求得结果； （2）令，求出的解，再求其横坐标之差的绝对值便可； （3）设，用表示矩形的周长，根据周长关于的函数解析式求出其最大值便可． 【详解】解：（1）由题意知抛物线的顶点坐标为，则 设抛物线的解析式为：， 抛物线上有一点， ， ， 抛物线的解析式为， 即； （2）当时，， ， 解得，，， 该横幅的宽度为：（米， 答：该横幅的宽度为米； （3）设 四边形是矩形， ， 根据抛物线的轴对称性，可得：， ，即， 令． 当，最大值为13， 、、、的长度之和最大值为13米， 答：最多需要准备13米该种木杆． 24. 在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点A，点B在第一象限，矩形的顶点，点D在第二象限．将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为．设． （1）如图①，当 时，与交于F点，此时点的坐标为 ，点F的坐标为 ； （2）当时，矩形与重叠部分的图形为 ，当时，矩形与重叠部分的图形为 ； A．三角形 B．四边形 C．五边形 （3）若矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，分别与交于点G，与交于点H．与交于点N，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围； ②当时，直接写出S的取值范围． 【答案】（1）； （2）B，C （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可推出是等腰直角三角形，据此即可求解； （2）作，可得，即可求解； （3）①作，根据即可求解；②时，矩形与重叠部分为等腰直角三角形，时，矩形与重叠部分为五边形，据此即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得： ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴点F的坐标为，点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解： 作，如图所示： ∵是等腰直角三角形， ∴ 当时，与点重合，此时矩形与重叠部分的图形为三角形； 当时，矩形与重叠部分的图形为五边形； 故答案为：B，C 【小问3详解】 解：①由题意得：， 作，如图所示： 则 ∴ ∵ ∴ ∴均是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴ ∴ ②时，矩形与重叠部分为等腰直角三角形， ∴； 时，矩形与重叠部分为五边形， ∴； ∴． 【点睛】本题综合考查了几何动点问题，涉及了矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识点，根据时间画出对应的几何图是解题关键． 25. 已知抛物线（，，为常数，）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点． （1）当时， ①求点和点的坐标； ②若直线（为常数，）与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值； （2）若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值． 【答案】（1）①， ② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、点到直线的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①利用点的坐标确定抛物线解析式，即可求解； ②将的长度转化为点到直线的距离，通过求二次函数的最大值确定的值； （2）通过几何变换将折线最短路径问题转化为直线距离，结合勾股定理求解． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， 解得：， 将代入抛物线方程：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 顶点横坐标为，此时， ∴， 当时，， 解得：或， ∴， ∴，； ②如图： 过点作直线，由题意知，当直线与抛物线相切时，的值最大， 设直线的解析式为：， 则有，解得， ∴直线：， ∴可设直线的解析式为：， 联立，整理得， ∴， 解得：， 代入方程得， 解得：， ∴的横坐标为， 即； 【小问2详解】 如图： 由题意知，抛物线解析式为：， ∵， ∴有，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∴，，，， 过点作，且， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴ ， 当时， 解得：或， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $