精品解析：浙江宁波市余姚市2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学试卷

余姚市2025-2026学年第一学期初中期末考试 九年级数学 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 在一个只装有红球的袋中，摸出红球 B. 打开电视，正在播放新闻 C. 射击运动员射击一次，命中10环 D. 投掷一枚硬币，正面向上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件的概念，解决本题的关键是熟练掌握必然事件的概念． 必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件，选项A中袋中只有红球，摸出红球是必然的；其他选项都可能不发生，不是必然事件，由此判断选项即可． 【详解】解：袋中只有红球，则摸出红球是必然事件； B、C、D选项的事件都具有不确定性，可能发生，可能不发生，不是必然事件． 故选：A． 2. 已知⊙O的半径为2，点P在⊙O内，则OP的长可能是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解：∵⊙O的半径为2，点P在⊙O内， ∴OP＜2． 故选A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r． 3. 一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆内接正多边形的性质，熟练掌握圆心角与边数的关系是解决本题的关键． 设边数为，根据所有圆心角之和为，列式求解即可． 【详解】解：∵圆内接正多边形每条边所对的圆心角相等，且所有圆心角之和为， ∴设边数为，则， 解得， ∴该正多边形边数为9． 故选：B． 4. 若线段，，则，的比例中项线段是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的定义，设线段a，b的比例中项为x，然后列比例式求解即可． 【详解】解：设线段a，b的比例中项为x，由题意得，，即 ∴（负值舍去）． 故选：C． 5. 将抛物线的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键掌握抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．根据二次函数图象的平移的特点解答即可． 【详解】解： 原抛物线的顶点为，向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为， 可设新抛物线的解析式为：，代入得：． 故选C． 6. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶5 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的性质即可得出答案． 【详解】由位似变换的性质可知， △ABC与△DEF的相似比为：1∶2 △ABC与△DEF的面积比为：1∶4 故选C． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 7. 如图，是的直径，点C、D在上，连接．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，掌握在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题关键． 根据圆周角定理和补角的概念解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 8. 抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论． 【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示： ∵开口向上，与轴的交点位于轴上方， ∴，， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 9. 如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系可近似看作二次函数，图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（ ） A. 小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B. 若，则小球的最大速度为 C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度是 D. 当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可． 【详解】解：A、小球从刚开始接触弹簧速度并未开始减速，该选项错误，故不符合题意， B、由图象，抛物线的对称轴为直线， ∴的对称点为， 假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，函数值最大，最大值为， ∴若，在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为，该选项错误，不符合题意； C、由图象，可知当弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，该选项正确，符合题意； D、当弹簧的长度为时，被压缩了，即， 由图象可知，二次函数的对称轴是，则与对应的速度相等， ∴时，小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等，该选项错误，故不符合题意． 故选：C． 10. 如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，把沿折叠，点落在上的点处，若的延长线恰好经过点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，折叠，勾股定理，平行线的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据矩形的性质，设，，，再根据折叠和平行线的性质等，可求出，，最后利用勾股定理，求出的值即可． 【详解】解：矩形， 设，，， 由折叠可得，，，，，， ， ，， ， ， 同理可得，，则， ， ， 的延长线恰好经过点， ， ，， ， ， ， 在中，， 则，化简得， 、均大于0， ， 在中，． 故选：B． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，解决本题的关键是熟练掌握比例的性质． 根据比例的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况，从该校全体5000名学生中，随机调查了100名学生，统计结果显示仅有3名学生从未使用该平台辅助学习．由此，估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有______名． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，解决本题的关键是熟练掌握由样本所占百分比估计总体的数量的计算方法． 根据样本中从未使用该平台辅助学习的学生所占比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有150名． 故答案为：150． 13. 若扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的弧长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用弧长公式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：. 【点睛】此题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解本题的关键． 14. 如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为24，观景位与之间的直线距离为13，则这座圆形观景台的半径是______． 【答案】16.9 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的实际应用．由题意可得，，过圆心作交于，交于，连接、，设半径，由垂径定理得到，，结合，得到，，即可求出，再根据列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，， 过圆心作交于，交于，连接、，设半径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，抛物线与直线交于点，，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，得到一个“爱心”图，若点在“爱心”图上，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一次函数的交点问题，折叠问题，先联立，求出，进而得到点在第一象限，点的左侧或点在第四象限，点的左侧，当点在第一象限时，将直接代入即可求解；当点在第四象限时，由点关于直线的对称点坐标是在第二象限，且在抛物线的图象上，将直接代入即可求解． 【详解】解：联立， 则，即，解得， 由题意得， ∵点横坐标为2， ∴得到点在第一象限，点的左侧或点在第四象限，点的左侧， 当点在第一象限时， 将代入， 则； 当点在第四象限时， ∵点关于直线的对称点坐标是， ∴在第二象限，且在抛物线的图象上， 将代入， 则，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； 综上，的值为或． 16. 如图，在中，点在边上，，，连结，在上取一点，使，连结，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质等知识，构造平行线是解题的关键． 延长交于点G，过点D作交于点H，则，设，则，再由平行线分线段成比例定理得，得，从而，再证明，得，由此求得x的值，进而求得． 【详解】解：如图，延长交于点G，过点D作交于点H， 则， 设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值是关键；根据特殊角三角函数值计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 新城市争霸赛激战正酣．其积分规则如下：每场比赛获胜的球队积2分，失利的球队积1分． （1）请用列表或画树状图的方法，写出甲队连续两场比赛积分和的所有可能结果． （2）求甲队连续两场比赛积分和为4分的概率． 【答案】（1） 树状图如下： 则甲队连续两场比赛积分和的所有可能结果是2分，3分，3分，4分； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率的方法是解题的关键． （1）根据题意画出树状图即可； （2）列出所有可能出现的结果数及甲队连续两场比赛积分和为4分的结果数，然后代入概率公式求概率即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：两场比赛积分和的所有可能结果有4种，其中积分和是4分的是1种， 则甲队连续两场比赛积分和为4分的概率为． 19. 如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请按要求画图． （1）在图1中，将绕点顺时针旋转，作出经旋转后的．（其中点，分别是点，的对应点） （2）在图2中，用无刻度直尺在上画点，使．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图1所示为所求： （2） 如图2所示为所求： 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，相似三角形的性质．熟练掌握旋转作图，相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）取格点，利用网格的特征过格点作的平行线交于点，易证，得到，即可得到点即为所作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知二次函数（为常数，）的图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 2 3 … … 1 1 … （1）求该二次函数的表达式． （2）直接写出的值． （3）求该函数图象的顶点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解与性质应用，解题的关键是利用待定系数法求出函数表达式，并结合二次函数的增减性确定取值范围． （1）将表格中的点代入二次函数，通过待定系数法求出、、的值，得到函数表达式． （2）将点代入（1）中所求解析式计算即可； （3）将（1）中所求解析式化为顶点式即可解答． 【小问1详解】 解：由表得，二次函数（为常数，）的图象过点， 则， 解得 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由表得，二次函数的图象过点， 则； 【小问3详解】 解：由（1）知二次函数的表达式为， ∴， ∴该二次函数的顶点坐标为． 21. 如图，内接于，是的直径，过点作交于点，交于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：因为是的直径， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，直径所对的圆周角是直角，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识点是关键； （1）由直径所对的圆周角是直角及平行线的性质得，由垂径定理即可证明； （2）由三角形中位线定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， 所以点是的中点， 因为点是的中点， 所以是的中位线， 因为，所以， 因为，所以， 所以． 22. 综合与实践 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．过点作的垂线，交于点． 观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法． （1）圆圆说：“．”你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由． （2）方方说：“．”请你证明方方的结论． （3）小明说：“若，则．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1） 圆圆的说法正确，理由如下： 由作图可知， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． （2） 证明：因为，， 所以， 所以， 所以． （3） 小明的说法正确，理由如下： 因为， 所以， 因为， 所以，， 所以， 因为， 所以． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边对等角，余角的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得，由及，得； （2）易得，由相似三角形的性质即可证明； （3）由得，结合得，，从而得，由即可证明结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 已知抛物线（为常数，）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，B（点A在原点O的左侧），． ①求a的值； ②设，抛物线的一段夹在两条均与x 轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值． 【答案】（1）对称轴为直线 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的对称轴的计算公式即可求解； （2）①令，设该方程的两根为，由，得，根据，可求得的值，进而求得a的值； ②由①得抛物线的解析式，由题意得上方的平行线不能在顶点下方，要使最大，则直线经过顶点，从而得直线，由此求得m与n的值，即可求得的最大值． 【小问1详解】 解：因为， 所以该抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 ①解：令，则， 设该方程的两根为， 因为点在原点的左侧，， 所以， 由根与系数关系得：， 即， 所以，， 把代入， 得， 所以； ②解：因为， 所以该函数表达式为， 所以该抛物线的顶点坐标为， 因为该抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线和之间，且， 所以如图，上方的平行线不能在顶点下方， 因为直线和之间的距离为9， 所以要使最大，则直线经过顶点， 此时直线为， 所以当时， 解得，， 所以的最大值为． 24. 如图，四边形内接于，点是上一点，连结交于点，交的延长线于点，连结，若是的直径，． （1）求证：． （2）求证：． （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：因为， 因为，， 所以． （2） 证明：因为， 所以， 因为是的直径， 所以， 所以，， 所以， 因为和是所对的圆周角， 所以， 所以． （3） 【解析】 【分析】（1）由得，，从而证得结论成立； （2）由得，由是直径，得，，则有，从而，即可得结论成立； （3）连结，由（2）得，得，由已知可得，再证明，得，则有；设，则，，从而求得，由，求得，再由勾股定理求得，进而求得，再由即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：连结， 由（2）得， 所以，即 因为， 所以， 因为， 所以， 因为是的直径， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以，即 所以， 设，则，， 所以， 因为， 因为，， 所以， 所以（负值已舍去）， 所以，，， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 【点睛】本题是圆与相似三角形的综合，考查了直径所对的圆周角是直角，弧、弦与圆周角的关系，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余姚市2025-2026学年第一学期初中期末考试 九年级数学 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 在一个只装有红球的袋中，摸出红球 B. 打开电视，正在播放新闻 C. 射击运动员射击一次，命中10环 D. 投掷一枚硬币，正面向上 2. 已知⊙O的半径为2，点P在⊙O内，则OP的长可能是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 4. 若线段，，则，的比例中项线段是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 5. 将抛物线的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为( ) A. B. C. D. 6. 如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶5 7. 如图，是的直径，点C、D在上，连接．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系可近似看作二次函数，图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（ ） A. 小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B. 若，则小球的最大速度为 C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度是 D. 当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 10. 如图，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，把沿折叠，点落在上的点处，若的延长线恰好经过点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则的值为______． 12. 为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况，从该校全体5000名学生中，随机调查了100名学生，统计结果显示仅有3名学生从未使用该平台辅助学习．由此，估计该校全体学生中，从未使用该平台辅助学习的学生有______名． 13. 若扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的弧长为_________． 14. 如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为24，观景位与之间的直线距离为13，则这座圆形观景台的半径是______． 15. 如图，抛物线与直线交于点，，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，得到一个“爱心”图，若点在“爱心”图上，则的值为______． 16. 如图，在中，点在边上，，，连结，在上取一点，使，连结，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 新城市争霸赛激战正酣．其积分规则如下：每场比赛获胜的球队积2分，失利的球队积1分． （1）请用列表或画树状图的方法，写出甲队连续两场比赛积分和的所有可能结果． （2）求甲队连续两场比赛积分和为4分的概率． 19. 如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请按要求画图． （1）在图1中，将绕点顺时针旋转，作出经旋转后的．（其中点，分别是点，的对应点） （2）在图2中，用无刻度直尺在上画点，使．（保留作图痕迹） 20. 已知二次函数（为常数，）的图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： … 0 2 3 … … 1 1 … （1）求该二次函数的表达式． （2）直接写出的值． （3）求该函数图象的顶点坐标． 21. 如图，内接于，是的直径，过点作交于点，交于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 22. 综合与实践 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．过点作的垂线，交于点． 观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法． （1）圆圆说：“．”你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由． （2）方方说：“．”请你证明方方的结论． （3）小明说：“若，则．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 23. 已知抛物线（为常数，）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，B（点A在原点O的左侧），． ①求a的值； ②设，抛物线的一段夹在两条均与x 轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值． 24. 如图，四边形内接于，点是上一点，连结交于点，交的延长线于点，连结，若是的直径，． （1）求证：． （2）求证：． （3）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $