精品解析：广东省茂名市2025-2026学年高二上学期普通高中教学质量监测数学试题

2025—2026学年第一学期茂名市普通高中教学质量监测 高二数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据7，8，7，9，5，4，9，10，7，4的第75百分位数为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解. 【详解】数据从小到大排列4，4，5，7，7，7，8，9，9，10， ， ∴第75百分位数为由小到大第8位数9. 故选：A 2. 椭圆的长轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义可知长轴长为. 【详解】由方程知，所以长轴. 故选：C. 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点关于平面对称的点的坐标为. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为. 故选：B. 4. 若直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后，回到原来的位置，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，直线平移后的直线方程，根据两直线重合，求得. 【详解】直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后， 得到的直线方程为，即. ∴，∴. 故选：B. 5. 已知F是抛物线C：的焦点，点O是C的顶点，点A在C上，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式求出点坐标求解即可, 【详解】设， 由可知，则， ∴，∴， 则. 故选：D 6. 已知等差数列的前n项和为，，则（ ） A. 7 B. 10 C. 14 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列性质可知，代入求出，再由等差数列前n项和公式得出结论. 【详解】因为， 所以，解得， 则. 故选：A. 7. 双曲线的左右焦点分别为，，若在双曲线的右支上存在点P满足，则离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的定义结合，得到，再结合即可求解. 【详解】根据双曲线的定义， 而，∴， ∵， ∴， ∴.∴. 故选：D. 8. 已知，，若圆C：上存在点P使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求出点的轨迹方程为，由题意，两圆有公共点，根据两圆位置关系列式求解即得. 【详解】设，由得，化简得：， ∴P的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 因为点P在圆C上，则两圆有公共点，因此两圆圆心距满足：. 又，，则，即， ∴. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-16，则（ ） A. A，B两点的纵坐标之积为-9 B. C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对称性求出点的坐标，进而求出，再结合离心率、渐近线的意义逐项求解. 【详解】设，依题意，点A，B两点关于原点对称，则，不妨设， 对于A，由，得，则，，即，A正确； 对于B，，代入双曲线方程得，B错误； 对于C，双曲线半焦距，双曲线离心率为：，C正确； 对于D，，则双曲线的渐近线方程为，D错误. 故选：AC 10. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，E为的中点，则（ ） A. B. C. 直线与夹角的余弦值为 D. 若，则点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据四棱锥的性质，结合已知条件，构造空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，利用向量加减法求出，判断选项A；求出向量，求数量积判断选项B；利用向量夹角余弦公式求向量与夹角的余弦值，判断选项C；利用向量夹角余弦公式求出夹角的余弦值，进而求出正弦值，进而计算点到直线的距离，判断选项D． 【详解】平面，平面， ，，在正方形中，有， ，，两两互相垂直，以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 而，E为的中点，， 从而，，，，，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，，故，故B正确； 对于C，，，则直线与夹角的余弦值为 ，故C错误； 对于D，，，故， ， ， 点E到直线的距离为，故D正确． 故选：ABD． 11. 设A，B是两个随机事件，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若A与B互斥，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用和事件的概率公式，及相互独立事件同时发生的概率公式即可求解；对于B，利用互斥事件的关系即可求解； 对于C，根据积事件的概率公式，及事件的关系即可求解； 对于D,根据和事件的概率公式求出再由相互独立事件的定义得到A与B相互独立再利用和事件的概率公式即可求解 【详解】若A与B相互独立，则， ∴，故A正确； 若A与B互斥，则，∴，故B错误； ∵，∴， ∴，故C正确； ∵，∴， ∴A与B相互独立.∴与B相互独立，A与相互独立. ∴ ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列为等差数列，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的定义求出首项和公差即可. 【详解】设的公差为d，则， 解得， 所以. 故答案为：. 13. 已知一组数据：，则这组数据的方差为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】方法一：先计算平均数再应用方差公式计算求解；方法二：应用特殊值法计算求解. 【详解】方法一：，，，，的平均数， 所以方差为 . 方法二（特殊值法）： 令，则，，，，与1，2，3，4，5的方差是一样的， 经计算得平均数，这组数据的方差为. 故答案为:2. 14. 在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】设中点为R，，连接，则有，且，从而得，解得，可得，由重心性质可得，设，且，从而可得，最后由D，E，F，G四点共面，即可求得答案. 【详解】如图所示：设中点为R，，连接， 由P，R，C，Q，S，G共面， 可知与平面的交点即与的交点D. 因为，，， 设， 则， 设， 则， 故， 故， 解得，代入， 可得，即. 由重心性质可得， 设， 又， 则， 故，解得， 故， 则， 由D，E，F，G四点共面， 可知：（其中）， 所以， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点和圆C：. （1）若P在直线：上，求直线被圆C截得的弦的长； （2）若点Q在C上运动，M为线段的中点，求点M的轨迹方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）将点代入直线：中求出直线方程，再由勾股定理求直线被圆截得的弦长； （2）设点、，将点Q坐标用点M坐标表示为，再代入圆方程整理即可得出结论. 【小问1详解】 由题可知圆心，半径， 因为点在直线：上 所以，即直线：. 设圆心C到直线：的距离为d，则. 所以弦. 【小问2详解】 设，. 由中点坐标公式可知， 则. 又因为点Q在圆C上， 所以， 即. 整理得点M的轨迹方程是. 16. 如图，正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】(1)以D为原点，以，，分别作为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.求得平面的一个法向量，利用在该法向量上的投影的绝对值求得点到平面的距离； （2）根据面面角的向量求法求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 由题意，以D为原点，以，，分别作为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系得， 则，，，. ∴，，. 设平面的一个法向量为， 则，所以， 故可取，得，则. 设点到平面的距离为，则. 【小问2详解】 平面的一个法向量为. 由（1）可知平面的一个法向量为， 则. 设平面与平面夹角为θ，则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 某学校组织150名学生参加生物竞赛，成绩（单位：分）均在内，成绩的频数分布表如图所示： 分数 频数 10 30 60 30 20 （1）估计这150名学生生物竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替，结果精确到0.1）； （2）评卷老师采用分层抽样的方法从竞赛成绩的学生中抽出5人，再从这5人中随机抽取2人的答题卡进行查阅，求选取的2人中恰有1人成绩在内的概率； （3）已知成绩在内考生成绩的平均值和方差分别为74和40，成绩在内的考生成绩的平均值和方差分别为86和61，求成绩在内的考生成绩的方差. 【答案】（1）76.3. （2） （3）79. 【解析】 【分析】由样本平均数计算公式得出结论. 先根据分层抽样法确定和需要抽取的学生人数，再列出样本空间，找到满足条件的样本点，由古典概型公式得出结论. 已知各层均值和方差求总体均值和方差. 【小问1详解】 平均数为， 所以估计这150名学生生物竞赛成绩的平均数为. 【小问2详解】 由分层抽样法，在内抽取的学生有人，记为a，b，c. 在内抽取的学生有人，记为A，B. 从这5人中抽取2人的样本空间为共10个样本点. 设事件M=“选取的2人中恰好有1人成绩在内”， 则M包含：，，，，，共6个样本点. 所以. 选取的2人中恰有1人成绩在内的概率为. 【小问3详解】 成绩在内的考生成绩的平均值为， 所以方差为. 成绩在内考生成绩的方差为79. 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点在C上. （1）若点P在x轴上方，且，求点P的坐标； （2）已知直线：. （i）证明：直线与C相切； （ⅱ）若与直线交于点Q，过点Q作直线的垂线，垂足为H，求的取值范围. 【答案】（1）或. （2）（i）证明见解析；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式及求解即可； （2）（i）联立直线和椭圆方程，由判别式即可判断，（ⅱ）确定，结合向量数量积的坐标表示得到，再结合，即可求解. 【小问1详解】 由已知可得，， 代入解得， ∴或. 【小问2详解】 （ⅰ）联立，得①. ∵，∴①式可化为. 即. ∴与相切，切点即为. （ii）对：令，得，∴. . ∵，∴的取值范围为. 19. 已知抛物线C：的焦点，点O为坐标原点，过点作直线，分别交抛物线C于A，B两点和C，D两点，直线与直线交于点E. （1）求抛物线C的方程； （2）若的角平分线所在的直线方程为，求直线的方程； （3）抛物线C在第一象限的图象上是否存在定点M，使得的面积为定值，若存在，求出该定值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）由题意得到，进而可求解； （2）设，，确定直线： .设上一点，由到直线距离相等列出等式，进而可求解； （3）由直线：，直线：，求得坐标，从而确定点E在直线上，再确定使得的面积为定值的点一定在过点F且与平行的直线上，进而可求解. 【小问1详解】 由题意得，则. ∴. 【小问2详解】 设，，显然， 则直线：，整理得. ∵直线过点，∴.① ∵角平分线方程为， 设上一点，直线：，直线：， ∴. 整理得， 令， 即，是方程的两根. ∴，. ∵，∴，，. ∴直线的方程为. 【小问3详解】 ，， 同理可得.② 又∵直线：， 直线：， ∴， ， 将①②代入上式化简得. ∴点E在直线上， ∴使得的面积为定值的点一定在过点F且与平行的直线上， 由解得或（舍）， 此时，. ∴点F到直线的距离. ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期茂名市普通高中教学质量监测 高二数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据7，8，7，9，5，4，9，10，7，4的第75百分位数为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 5 2. 椭圆的长轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后，回到原来的位置，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知F是抛物线C：的焦点，点O是C的顶点，点A在C上，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知等差数列的前n项和为，，则（ ） A. 7 B. 10 C. 14 D. 35 7. 双曲线的左右焦点分别为，，若在双曲线的右支上存在点P满足，则离心率的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知，，若圆C：上存在点P使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为-16，则（ ） A. A，B两点的纵坐标之积为-9 B. C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线方程为 10. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，E为的中点，则（ ） A B. C. 直线与夹角的余弦值为 D. 若，则点到直线的距离为 11. 设A，B是两个随机事件，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若A与B相互独立，则 B. 若A与B互斥，则 C 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列为等差数列，，，则______. 13. 已知一组数据：，则这组数据的方差为_____. 14. 在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知点和圆C：. （1）若P在直线：上，求直线被圆C截得的弦的长； （2）若点Q在C上运动，M为线段中点，求点M的轨迹方程. 16. 如图，正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，. （1）求点到平面距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 某学校组织150名学生参加生物竞赛，成绩（单位：分）均在内，成绩的频数分布表如图所示： 分数 频数 10 30 60 30 20 （1）估计这150名学生生物竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替，结果精确到0.1）； （2）评卷老师采用分层抽样的方法从竞赛成绩的学生中抽出5人，再从这5人中随机抽取2人的答题卡进行查阅，求选取的2人中恰有1人成绩在内的概率； （3）已知成绩在内的考生成绩的平均值和方差分别为74和40，成绩在内的考生成绩的平均值和方差分别为86和61，求成绩在内的考生成绩的方差. 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点在C上. （1）若点P在x轴上方，且，求点P的坐标； （2）已知直线：. （i）证明：直线与C相切； （ⅱ）若与直线交于点Q，过点Q作直线的垂线，垂足为H，求的取值范围. 19. 已知抛物线C：的焦点，点O为坐标原点，过点作直线，分别交抛物线C于A，B两点和C，D两点，直线与直线交于点E. （1）求抛物线C的方程； （2）若的角平分线所在的直线方程为，求直线的方程； （3）抛物线C在第一象限的图象上是否存在定点M，使得的面积为定值，若存在，求出该定值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $