精品解析：广东省茂名市第一中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

2024—2025学年度第一学期期末考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求. 1. 已知数列，，，，，，，则是这个数列的（    ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 【答案】C 【解析】 【分析】令，解出即可得. 【详解】令，解得， 所以是这个数列的第项. 故选：C. 2. 已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用推出关系去判断充要关系即可. 【详解】当时，是等差数列，不是等比数列， 当既是等差数列又是等比数列，则， 故“既是等差数列又是等比数列”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 3. 若直线：​与直线：平行，则​的值为 （ ） A. 或 B. ​ C. ​或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行时斜率相等，列出方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到答案. 【详解】因为直线：​与直线：平行 则，解得：或， 当时，两直线重合，舍去；当时，验证满足. 故选:B. 4. 已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 5. 已知等比数列的公比q为整数，且，，则（ ） A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的性质有，结合已知求出基本量，再由即可得答案. 【详解】因为，，且q为整数， 所以，，即q=2. 所以 故选：A 6. 如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出. 【详解】. 故选：C 7. 某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度 (单位: 厘米)，将测量数据分成6组， 整理得到如图所示的频率分布直方图. 如果要让 90% 的产品长度不超过厘米，根据直方图估计，下列最接近的数是（ ） A. 93.5 B. 94.1 C. 94.7 D. 95.5 【答案】C 【解析】 【详解】根据给定的频率分布直方图，结合第90百分位数求出. 【解答】观察频率分布直方图，得， 则，，所以，与最接近的数为. 故选：C 8. 设为直线上的动点，过点作圆：的切线，则切线长的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线最小时为圆心到直线上的点的距离最小时可以求出圆心到直线的距离，再求出切线长即可. 【详解】圆心为，半径为，设切点为， 要使得切线长最小，则最小，此时， 所以，所以， 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 袋中有大小和质地均相同的5个球，其中2个红球，3个黑球．现从中随机摸取2个球，下列结论正确的有（ ） A. “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件 B. “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件 C. “至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件 D. “至少有一个红球”和“都是红球”是互斥事件 【答案】BC 【解析】 【分析】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为.将事件用集合表示出来，即可得出答案. 【详解】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为. 对于A项， “恰有一个红球”可用来表示，“都红球”可用事件来表示. 所以，事件互斥，但不是对立事件，故A项错误； 对于B项， “恰有一个黑球” 可用来表示，“都是黑球”可用事件来表示. 所以事件互斥，故B项正确； 对于C项， “至少有一个黑球”可用事件来表示，“都是红球”可用事件来表示. 所以，事件为互斥事件，也是对立事件，故C项正确； 对于D项， “至少有一个红球” 可用事件来表示，“都是红球”可用事件来表示. 所以，事件，即交事件为“都是红球”，故D项错误. 故选：BC. 10. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（ ） A. F的坐标为 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义域标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上， 则焦点，所以A错误； 由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确； 由，可得，所以，则，所以C正确； 由，所以D正确． 故选：BCD． 11. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 满足的最小值是14 C. 满足的最大值是14 D. 数列的最小项为第8项 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，即可根据等差的求和公式判定啊ABC，根据，即可求解D. 【详解】由可知． 对于选项A：由为负，为正可知，最小，A正确． 对于选项B：， 则满足的最小值为14，满足的最大值是13,故B正确，C错误． 对于选项D：由为负，为正，且为负，为正可知： 为负．考虑到，故最大，即最小，正确． 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出值，进而求出离心率即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，即， 因此双曲线方程为，所以双曲线的离心率. 故答案为： 13. 已知向量，，，若三个向量共面，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量共面的性质可得，列出方程组解出即可. 【详解】因为三向量共面，所以可设， 即， 所以，解得，，所以. 故答案为：-4 14. 已知集合 是集合 的真子集且 ， 如果 ， 使得 ， 其中 ， 则称 是集合 的一组有序基底集，记为 .已知 ，且 为 的一组有序基底集，则集合 中的元素之和小于 4 的概率为___________________________ . 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，满足集合 的基底集可以为： ，，，，，， ，，，，，共有11组； 再把每组中的两个集合调换位置，此时也是11组， 综上可得，共计22组，其中满集合中元素之和小于4的有9组，所以概率为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤. 15. 甲乙两人进行答题活动，每人各答两道题.已知甲答对第1道题的概率为，答对第2道题的概率为，乙答对每道题的概率都为.甲乙答对与否互不影响，各题答对与否也互不影响. （1）求甲答对一道题的概率； （2）求甲乙两人答对题目的个数相等的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式求解即可； （2）利用相互独立事件和互斥事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意所求概率为； 【小问2详解】 乙答对一题的概率为， 甲乙都没有答对一题的概率为， 甲乙都答对一题的概率为， 甲乙都答对两题的概率为， 所以甲乙两人答对题目的个数相等的概率为. 16. 记为等比数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设求数列的前20项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据得等比数列公比为2，结合条件计算的值，得到的通项公式.（2）由（1）计算，利用分组求和的方法得出数列的前20项和. 【小问1详解】 由题意有：当时， 所以，所以等比数列公比. 当时，由 有，，解得 所以 所以 【小问2详解】 由题意得，当为奇数时，， 当偶数时，， 所以 所以 17. 已知圆过点、且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据，结合两点间的距离公式，求出的值，可求出圆的半径，进而可得出圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 根据题意，设圆心为， 由，可得，解得， 所以，圆心为，半径为， 因此，圆的方程为. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，直线与圆相交于点、，且， 则， 又因为直线经过点， 当直线的斜率不存在时，则直线的方程为， 点到的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 此时直线的方程为，即． 所以直线的方程为或． 18. 如图所示，在五面体中，已知平面平面，底面是平行四边形，是正三角形，. （1）证明：平面； （2）证明：四边形为矩形； （3）若点是棱上的动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）应用线面平行判定定理证明线面平行再应用线面平行性质定理即可证明； （2）应用面面垂直的性质定理证明线面垂直进而可证； （3）先设，再应用空间向量法求线面角，最后计算求参. 【小问1详解】 底面是平行四边形， ，又平面平面， 平面，又平面，且平面平面， ，又平面平面， 平面； 小问2详解】 如图，取中点，连接，又是正三角形， ，又平面平面，平面平面， 平面，又平面， ，又，且，平面， 平面，又平面， ，又四边形为平行四边形， 四边形为矩形； 【小问3详解】 根据题意（2）可以所在直线为轴，以所在直线为轴，以过且平行的直线为轴，建系如图： 则，设 设平面的法向量为， 则，取， 直线与平面所成角的正弦值为： 解得， 19. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，设点，在中，，周长为. （1）求椭圆方程； （2）设不经过点的直线与椭圆相交于、两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标； （3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由. 【答案】（1）；（2）过定点；（3）见解析. 【解析】 【详解】试题分析：(1)由题意布列关于的方程组，从而得到椭圆方程；(2) 设直线方程：，联立方程可得：，利用根与系数的关系及，得到过定点.（3）设直线与椭圆相切，，两切线到的距离分别为，根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数. 试题解析： （1）由得： ，所以………① 又周长为，所以………② 解①②方程组，得 所以椭圆方程为 （2）设直线方程：，交点 依题：即： 过定点. （3）， 设直线与椭圆相切， 得两切线到的距离分别为 当时，个数为0个 当时，个数为1个 当时，个数为2个 当时，个数为3个 当时，个数为4个 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求. 1. 已知数列，，，，，，，则是这个数列的（    ） A 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 2. 已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若直线：​与直线：平行，则​的值为 （ ） A. 或 B. ​ C. ​或 D. 4. 已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列的公比q为整数，且，，则（ ） A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 6. 如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（ ） A B. C. D. 7. 某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度 (单位: 厘米)，将测量数据分成6组， 整理得到如图所示的频率分布直方图. 如果要让 90% 的产品长度不超过厘米，根据直方图估计，下列最接近的数是（ ） A. 93.5 B. 94.1 C. 94.7 D. 95.5 8. 设为直线上的动点，过点作圆：的切线，则切线长的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 袋中有大小和质地均相同的5个球，其中2个红球，3个黑球．现从中随机摸取2个球，下列结论正确的有（ ） A. “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件 B. “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件 C. “至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件 D. “至少有一个红球”和“都红球”是互斥事件 10. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（ ） A. F的坐标为 B. C. D. 11. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 满足的最小值是14 C. 满足的最大值是14 D. 数列的最小项为第8项 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为______． 13. 已知向量，，，若三个向量共面，则______． 14. 已知集合 是集合 的真子集且 ， 如果 ， 使得 ， 其中 ， 则称 是集合 的一组有序基底集，记为 .已知 ，且 为 的一组有序基底集，则集合 中的元素之和小于 4 的概率为___________________________ . 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤. 15. 甲乙两人进行答题活动，每人各答两道题.已知甲答对第1道题的概率为，答对第2道题的概率为，乙答对每道题的概率都为.甲乙答对与否互不影响，各题答对与否也互不影响. （1）求甲答对一道题的概率； （2）求甲乙两人答对题目的个数相等的概率. 16. 记为等比数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设求数列前20项和． 17. 已知圆过点、且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 18. 如图所示，在五面体中，已知平面平面，底面是平行四边形，是正三角形，. （1）证明：平面； （2）证明：四边形为矩形； （3）若点是棱上的动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 19. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，设点，在中，，周长为. （1）求椭圆的方程； （2）设不经过点的直线与椭圆相交于、两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标； （3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $