精品解析：河南郑州市第二高级中学2025-2026学年上学期高二年级期末学情调研数学试题

2025—2026学年上期高二年级期末学情调研 数学学科 命题人：胡乐 审题人：冯丽娟 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角直角的关系计算即可. 【详解】设直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 所以当时，. 故选：B 2. 如图，平行六面体中，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，由空间向量的加减运算可得. 【详解】因为  ，  ，  ， 所以  ， 故选：A. 3. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式即可解答. 【详解】对于选项A， 故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误； 故选：C. 4. 已知直线，，且，则（ ） A. B. C. 1或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由知，，解得. 故选：A． 5. 在正方体ABCD—中，异面直线AD，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体边长为1，则， 则， 设异面直线AD，所成角为， 则. 故选：D 6. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简曲线方程，表示圆心为，半径为的圆在轴以及右侧的部分，由直线与曲线的交点个数可以确定的取值范围. 【详解】表示的曲线是圆心为，半径为的圆在轴以及右侧的部分，如图所示： 直线必过定点， 当直线与圆相切时，直线和圆恰有一个交点， 即，结合直线与半圆的相切可得， 当直的斜率不存在时，即时，直线和曲线恰有两个交点， 所以要使直线和曲线有两个交点， 则. 故选：B. 7. 已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得当时，；当时，递增，故只需，代入求解即可. 【详解】当时，递增，则； 当时，递增， 若为递增数列，则， 且， 即，解得； 综上，. 故选：B. 8. 已知双曲线C：的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得，，，利用，借助正切值列方程求双曲线的离心率. 【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为， ，则有，到渐近线的距离， ，，∴，， 则，，， 由，有，即， 解得，则有，所以离心率. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列满足则（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过构造法求数列的通项公式可得选项C正确；根据通项公式可得选项A正确；求出数列的前3项可得选项B错误；通过定义法证明等比数列可得选项D正确. 【详解】由得则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，从而，C正确. 由得，A正确. 由得， 故数列不是等比数列，B错误. 由得， 故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则（ ） A. B. C. 侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 直线AM与CN所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】把分别用表示，再根据数量积的运算律计算分析，即可判断ABD，连接，在上取点，使得，连接，则平面，解即可判断C. 【详解】由正四面体ABCD，可得， 对于A，， 则， 所以，故A正确； 对于B，， 则 ，故B错误； 对于D，， 则， ， 设直线所成角为， 则， 所以直线所成角余弦值为，正弦值为,故D正确； 对于C，连接，在上取点，使得，连接， 则平面， 则即为直线与平面所成角的平面角， 在中，， 则， 由正四面体的结构特征可得，直线与平面所成角的相等， 所以侧棱与底面所成角的余弦值为，故C正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则（ ） A. 的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为16 D. 为钝角 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接求抛物线准线方程判断A；直线的斜率不存在时和直线的斜率存在两种情况分别求解，当直线的斜率存在时，设其方程为)，与抛物线方程联立，得出根与系数的关系，再由抛物线定义表示出，可判断BC；由判断D． 【详解】如图： 由已知得焦点，准线方程为，A正确； 当直线的斜率不存在时，，其中， 当直线的斜率存在时，设其方程为， 与抛物线方程联立，得， ，， 由抛物线定义知，， 若，则，B正确； ， 所以的最小值为16，C错误； 由 ， 所以为钝角，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义可得的值，将点的坐标代入切线方程可得，即可得解. 【详解】由导数几何意义可得，将点的坐标代入切线方程可得， 因此，. 故答案为：. 13. 抛物线上一动点到直线的最短距离为_________ . 【答案】 【解析】 【分析】设点，则过点的切线斜率为，设过点的切线方程为，联立方程组，结合条件可求，结合点到直线距离公式求结论. 【详解】设抛物线上动点， 由题意可得，当点到直线的距离最小时， 点为抛物线的一条切线的切点，且该切线平行于直线， 设直线与抛物线相切，则的， 解得，则有，，即 ， 所以点到直线的最小距离 . 故答案为：. 14. 如图，已知二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱．若，，，，平面与平面夹角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律以及模长公式可表示的长，建立方程得到，进而求解面面夹角即可. 【详解】由条件知，，， 得到 可得，所以, 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，已知M（1，6）是BC边上一点，边AB，AC所在直线的方程分别为． （1）若，求直线BC的方程； （2）若，求直线BC的横截距． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据垂直关系，利用点斜式求解方程； （2）建立方程求出，得出直线BC的方程即可得解. 【详解】（1）由题边AB，AC所在直线的方程分别为． 的交点就是， 若，， 所以直线BC的方程：即； （2）设， 所以解得， 所以 所以直线的方程为，即， 令得， 直线BC的横截距. 16. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离； 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理即可求证； （2）建立空间直角坐标系，然后求出直线的方向向量及平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）利用点到平面距离的向量法即可求解. 【小问1详解】 由题意知、分别、中点，则得， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由平面ABC，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则， 故线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 17. 在等差数列中，已知公差，，前项和为.且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件结合等比中项的性质及等差数列通项公式列方程求，由此可求数列数列的通项公式； （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【小问1详解】 由题意知，，，， 因为，，成等比数列，所以， 即，整理得，解得或， 因为，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 则① ② ①②得， ， ， ， 所以. 18. 圆心在直线上的圆与轴的负半轴相切，圆截轴所得弦的长为. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）若圆上恰好有3个点到直线的距离为1，求的值. 【答案】（1）； （2）或； （3）或. 【解析】 【分析】（1）设圆心，则，结合弦长公式求出的值即可求出圆的方程； （2）由题意结合圆的标准方程可知圆心到直线的距离，按斜率是否存在分情况讨论圆心到的距离，即可解出切线方程； （3）由题意可得圆心到直线的距离为1，利用点到直线的距离公式列式求解即可. 【小问1详解】 因为圆的圆心在直线上，所以可设圆心， 因为圆与轴的负半轴相切，所以，半径， 又圆截轴所得弦的长为，所以，解得， 所以圆的圆心，半径， 所以圆标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知圆的圆心，半径， 因为与圆相切，所以圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离符合题意， 当直线斜率存在时，设斜率为，则，即， 此时圆心到直线的距离，解得， 此时方程为， 综上切线的方程为或. 【小问3详解】 因为圆上恰好有3个点到直线距离为1， 所以直线分割圆为一段优弧和一段劣弧， 在劣弧上有且仅有一个点到直线的距离为1，且该点为劣弧的中点， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得或. 19. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点． （ⅰ）求证：四边形的面积为定值； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据题设条件求出的值，即得椭圆方程； （2）（ⅰ）设，写出直线的直线方程，求出点的坐标，进而求得长，由代入化简计算即可证明其为定值；（ii）求出直线的方程及弦长，进而计算的面积，利用基本不等式求出其最大值，结合（i）的结论即可求出面积的最大值. 【小问1详解】 由题意可得，， 则，. 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）可得：，， 设，，，且，即. 则：，令，，， 则：，令，，， 则， 故 故四边形面积为定值； （ⅱ）由，可得直线：，即， 则到直线的距离为且． 则． 当且仅当，即，时等号成立． 所以的面积， 即面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上期高二年级期末学情调研 数学学科 命题人：胡乐 审题人：冯丽娟 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2 如图，平行六面体中，设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，，且，则（ ） A B. C. 1或 D. 或 5. 在正方体ABCD—中，异面直线AD，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C：的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列满足则（ ） A. B. 等比数列 C. D. 是等比数列 10. 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点M，N分别为棱BC，AD的中点，则（ ） A. B. C. 侧棱与底面所成角的余弦值为 D. 直线AM与CN所成角的正弦值为 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，则（ ） A. 的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为16 D. 为钝角 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则______. 13. 抛物线上一动点到直线的最短距离为_________ . 14. 如图，已知二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱．若，，，，平面与平面夹角的余弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，已知M（1，6）是BC边上一点，边AB，AC所在直线的方程分别为． （1）若，求直线BC的方程； （2）若，求直线BC的横截距． 16. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离； 17. 在等差数列中，已知公差，，前项和为.且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和 18. 圆心在直线上的圆与轴的负半轴相切，圆截轴所得弦的长为. （1）求圆标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）若圆上恰好有3个点到直线的距离为1，求的值. 19. 已知椭圆焦点在轴上，焦距为2，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点． （ⅰ）求证：四边形的面积为定值； （ⅱ）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $