数学二模模拟卷03（全国二卷通用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的极值点为（    ） A． B．0 C． D． 3．已知非零复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．通过调查某省100家能够提供儿科夜间急诊服务的医疗机构，并统计其夜间提供急诊的时长（单位：h），绘制得到频率分布直方图如图所示，根据图中数据，下列结论错误的是（    ）    A． B．估计夜间提供急诊时长的平均数为12.36 C．估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为11.33 D．估计夜间提供急诊时长的众数为14 5．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若，都有，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知椭圆的右焦点为，若过原点的直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，，，若对任意的，都有，则正整数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若与方向相反，则 B．若，则 C．若，则在上的投影向量的坐标为 D．若，则与的夹角的余弦值为 10．已知双曲线的右顶点为，其左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，记，内切圆的圆心分别为，半径分别为，则下列说法正确的是（    ） A．是锐角三角形 B．，，三点共线 C． D． 11．在棱长为的正方体中，点分别是的中点，点满足，记为过点的平面，则下列说法正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，点到平面的距离为 C．存在实数使得平面截该正方体所得到的截面是四边形 D．当时，平面截该正方体所得到的截面是五边形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 . 13．中国象棋是一种古老而富有智慧的棋类游戏，其蕴含着丰富的传统文化内涵和哲学思想.一副中国象棋中，具有红黑两个阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，其中“马”棋子走法尤为特别，其走法如图1所示，称为“马走日”；当距“马”最近的交叉线处有棋子时，走法数会减少，如图2，图3所示，称为“绊马腿”.若将矩形棋盘（如图4）视作平面直角坐标系，棋盘的左下角为坐标原点，如图5所示，假如棋盘中有如图5所示的四个棋子固定不动且不能被“马”吃掉，问黑方的“马”从原点朝着红方阵营（轴正方向）出发到达点，有 种不同的行进路线.       14．已知各项均为正数的数列是等差数列，且，，则的通项公式为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角的对边分别是，且，. (1)求证：； (2)若是锐角，求的值. 16．（15分） 已知函数. (1)若直线是曲线的一条切线，求实数的值； (2)求在区间上的最大值. 17．（15分） 为不断提高人民群众的身体健康水平，提升生活的幸福感，我国医药制造业的工作者不断探索与创新.某医药公司针对某种疾病研发出两种药物——药和药，为了比较这两种药物的治疗效果，该公司招募了名志愿患者，随机选择一半志愿患者服用药，另一半志愿患者服用药，得到这两种药物的治疗效果情况如表所示： 治愈人数 未治愈人数 合计 服用药 服用药 合计 (1)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析药的治疗效果是否比药好； (2)以样本估计总体，以频率估计概率，从患有该疾病的患者中随机抽取名服用药，名服用药，求服用药的治愈人数比服用药的治愈人数多的概率. 参考公式：，. 参考数据： 18．（17分） 已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，且，点关于轴的对称点为，点是抛物线上的两个点. (1)求； (2)若为坐标原点，直线经过点，且的面积为12，求直线的方程； (3)若直线不经过点，且直线与直线的斜率之积为4，过点作直线垂直于点，求点到的准线距离的最大值. 19．（17分） 离散曲率是用于描述多面体顶点处局部几何性质的一个概念，它考虑了与该顶点相邻的各个面之间的角度关系，其定义如下：设点是多面体的一个顶点，则称（其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面为多面体的所有以为公共点的平面）为多面体在点处的离散曲率.如图，已知多面体由四棱锥和直四棱柱拼接而成，其中四边形是菱形，且，四棱锥的顶点在平面上的射影为四边形的中心，多面体在点处的离散曲率为. (1)若直四棱柱是正方体，求二面角的余弦值； (2)设多面体在点处的离散曲率为. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）当四棱锥的体积取得最大值时，求的值（保留小数点后两位）. 参考数据：，，. / 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前， 考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 数 题；字体工整、笔迹清晰」 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 霆 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效. 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5. 正确填涂一 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C[D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 設 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 ，共18分) 9[A][B][C][D] 10[AB][C][D] 11[AJB][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分）》 12 13 14 茶 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) D C A C A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的极值点为（    ） A． B．0 C． D． 3．已知非零复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．通过调查某省100家能够提供儿科夜间急诊服务的医疗机构，并统计其夜间提供急诊的时长（单位：h），绘制得到频率分布直方图如图所示，根据图中数据，下列结论错误的是（    ）    A． B．估计夜间提供急诊时长的平均数为12.36 C．估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为11.33 D．估计夜间提供急诊时长的众数为14 5．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若，都有，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知椭圆的右焦点为，若过原点的直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，，，若对任意的，都有，则正整数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若与方向相反，则 B．若，则 C．若，则在上的投影向量的坐标为 D．若，则与的夹角的余弦值为 10．已知双曲线的右顶点为，其左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，记，内切圆的圆心分别为，半径分别为，则下列说法正确的是（    ） A．是锐角三角形 B．，，三点共线 C． D． 11．在棱长为的正方体中，点分别是的中点，点满足，记为过点的平面，则下列说法正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，点到平面的距离为 C．存在实数使得平面截该正方体所得到的截面是四边形 D．当时，平面截该正方体所得到的截面是五边形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 . 13．中国象棋是一种古老而富有智慧的棋类游戏，其蕴含着丰富的传统文化内涵和哲学思想.一副中国象棋中，具有红黑两个阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，其中“马”棋子走法尤为特别，其走法如图1所示，称为“马走日”；当距“马”最近的交叉线处有棋子时，走法数会减少，如图2，图3所示，称为“绊马腿”.若将矩形棋盘（如图4）视作平面直角坐标系，棋盘的左下角为坐标原点，如图5所示，假如棋盘中有如图5所示的四个棋子固定不动且不能被“马”吃掉，问黑方的“马”从原点朝着红方阵营（轴正方向）出发到达点，有 种不同的行进路线.       14．已知各项均为正数的数列是等差数列，且，，则的通项公式为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角的对边分别是，且，. (1)求证：； (2)若是锐角，求的值. 16．（15分） 已知函数. (1)若直线是曲线的一条切线，求实数的值； (2)求在区间上的最大值. 17．（15分） 为不断提高人民群众的身体健康水平，提升生活的幸福感，我国医药制造业的工作者不断探索与创新.某医药公司针对某种疾病研发出两种药物——药和药，为了比较这两种药物的治疗效果，该公司招募了名志愿患者，随机选择一半志愿患者服用药，另一半志愿患者服用药，得到这两种药物的治疗效果情况如表所示： 治愈人数 未治愈人数 合计 服用药 服用药 合计 (1)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析药的治疗效果是否比药好； (2)以样本估计总体，以频率估计概率，从患有该疾病的患者中随机抽取名服用药，名服用药，求服用药的治愈人数比服用药的治愈人数多的概率. 参考公式：，. 参考数据： 18．（17分） 已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，且，点关于轴的对称点为，点是抛物线上的两个点. (1)求； (2)若为坐标原点，直线经过点，且的面积为12，求直线的方程； (3)若直线不经过点，且直线与直线的斜率之积为4，过点作直线垂直于点，求点到的准线距离的最大值. 19．（17分） 离散曲率是用于描述多面体顶点处局部几何性质的一个概念，它考虑了与该顶点相邻的各个面之间的角度关系，其定义如下：设点是多面体的一个顶点，则称（其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面为多面体的所有以为公共点的平面）为多面体在点处的离散曲率.如图，已知多面体由四棱锥和直四棱柱拼接而成，其中四边形是菱形，且，四棱锥的顶点在平面上的射影为四边形的中心，多面体在点处的离散曲率为. (1)若直四棱柱是正方体，求二面角的余弦值； (2)设多面体在点处的离散曲率为. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）当四棱锥的体积取得最大值时，求的值（保留小数点后两位）. 参考数据：，，. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得，故，所以. 故选：C. 2．函数的极值点为（    ） A． B．0 C． D． 【详解】由题可得，令，解得. 因为是函数的变号零点， 因此是函数的极值点. 故选：A. 3．已知非零复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【详解】方法一：设（且不同时为）， 由得，即， 所以，得或（不满足题意）， 故的虚部为. 方法二：因为，且，所以，即. 设（且不同时为0），则， 解得，则的虚部为. 故选：A. 4．通过调查某省100家能够提供儿科夜间急诊服务的医疗机构，并统计其夜间提供急诊的时长（单位：h），绘制得到频率分布直方图如图所示，根据图中数据，下列结论错误的是（    ）    A． B．估计夜间提供急诊时长的平均数为12.36 C．估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为11.33 D．估计夜间提供急诊时长的众数为14 【详解】对于A，由频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A正确； 对于B，估计夜间提供急诊时长的平均数为 ，所以B正确； 对于C，第三四分位数为第75百分位数， 因为，所以第三四分位数一定位于内， 由，则估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为14，所以C错误； 对于D，估计夜间提供急诊时长的众数为，所以D正确. 故选：C. 5．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若，都有，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】方法一，因为， 则， 将图象向右平移个单位长度， 则. 若，都有， 则，恒成立， 即，恒成立， 故，， 解得，. 综合选项可知B正确. 故选：B. 方法二，同方法一，得到 ， 由， 则 ， 因为，恒成立， 所以，则，， 又，所以的最小值为. 故选B. 方法三，由题意知， ， 根据正弦型函数的图象与性质可知， 将正弦型、余弦型函数的图象向左（或向右）平移半个周期之后与原图象关于轴对称， 所以符合题意的的最小值就是函数的半个周期， 由的周期为，所以. 故选：B. 6．如图，已知椭圆的右焦点为，若过原点的直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，取椭圆的左焦点，连接，，，则四边形为平行四边形. 又，所以四边形为矩形.设，则， 由椭圆的定义知，，. 在中，，即，得； 在中，，即， 所以，所以椭圆的离心率为. 故选：D. 7．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，，，若对任意的，都有，则正整数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【详解】设数列的公比为. 由得，所以，故. 因为，显然， 所以，得，所以. 因为对任意的都成立，等比数列的各项均为正数， 所以对任意的都成立，所以. 记，则，， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即. 所以当或时，取得最大值， 所以或，对任意的，都有， 所以正整数的最大值为5. 故选： 8．已知关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得， 因为函数为函数，函数是增函数， 所以函数在上单调递增， 令，则， 由可得， 所以有两个实数根等价于有两个实数根， 构造函数，则， 令，解得，令，解得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 则. 考虑到当时，函数的增长速度远远快于函数的增长速度， 因此， 当，且时，函数的图象会无限逼近于函数的图象， 因此， 作出直线和的大致图象，如图所示， 要想保证函数的图象与函数的图象有两个交点， 只需满足， 所以， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A．若与方向相反，则 B．若，则 C．若，则在上的投影向量的坐标为 D．若，则与的夹角的余弦值为 【详解】选项A：若与方向相反，则,, 所以，所以（舍去）或，解得，故A正确. 选项B：若，则，解得，故B错误. 选项C：若，则，， 故，， 所以在上的投影向量的坐标为，故C正确. 选项D：若，则，， 所以，，， 所以与的夹角的余弦值为，故D错误. 故选：AC. 10．已知双曲线的右顶点为，其左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，记，内切圆的圆心分别为，半径分别为，则下列说法正确的是（    ） A．是锐角三角形 B．，，三点共线 C． D． 【详解】    因为点是的内心，所以，同理可得. 因为，所以，即，故是直角三角形，故选项A错误； 设双曲线的焦距为，实轴长为，作轴，作，作，则根据三角形内心的性质及双曲线的定义可得 ， 所以点就是双曲线的右顶点，则轴. 同理可证轴，因此，，三点共线，故选项B正确； 由题可得，由选项B可知， 所以，故选项C正确； 在中，由射影定理可得， 则由基本不等式可得，当且仅当，即，时等号成立，故选项D错误. 故选：BC. 11．在棱长为的正方体中，点分别是的中点，点满足，记为过点的平面，则下列说法正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，点到平面的距离为 C．存在实数使得平面截该正方体所得到的截面是四边形 D．当时，平面截该正方体所得到的截面是五边形 【详解】 解法一，选项A，B：如图1， 当时，平面截该正方体所得到的截面图形是正六边形，且其顶点分别为，，，，，的中点， 连接，，，，，， 此时平面平面平面，且平面，所以平面， 而平面与平面的距离是， 则点到平面的距离是平面与平面的距离的一半， 因此点到平面的距离为，故A正确，B正确； 选项C，D：延长交的延长线于点，延长交的延长线于点， 连接并延长交或其延长线于点，连接交于点，连接， 当点与重合时，易得，此时， 平面截该正方体所得到的截面是五边形，如图2所示, 当时，点位于上，此时平面截该正方体所得到的截面是五边形，如图3所示, 当时，点位于的延长线上，设交于点，交于点， 连接，则平面截该正方体所得到的截面是六边形. 因此不存在截面是四边形的情况，故C错误，D正确. 故选：ABD. 解法二，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则. 选项A：，，则， 当时，，，所以平面，故A正确； 选项B：，则，当时，， 则点到平面的距离为，故B正确； 选项C，D：因为，所以平面只可能与棱，，，相交， 当平面与棱（含端点，不含端点）相交时， 设交点为（），则， 由得，得，所以； 当平面与棱（不含端点）相交时， 设交点为，则， 由得，得，所以； 当平面与棱（不含端点）相交时， 设交点为，则， 由得，得，所以； 当平面与棱（不含端点）相交时， 设交点为，则， 由得，得，所以. 综上，当时，平面与棱，分别交于点， 此时平面截该正方体所得到的截面是五边形， 当时，平面与棱，，分别交于点， 此时平面截该正方体所得到的截面是六边形，故C错误，D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 . 【详解】由是定义在上的奇函数，得， 是上的偶函数，由，得， 则，由在上递增，得在上递减， 当时，，不等式成立，因此； 当时，，解得； 当时，，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 13．中国象棋是一种古老而富有智慧的棋类游戏，其蕴含着丰富的传统文化内涵和哲学思想.一副中国象棋中，具有红黑两个阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，其中“马”棋子走法尤为特别，其走法如图1所示，称为“马走日”；当距“马”最近的交叉线处有棋子时，走法数会减少，如图2，图3所示，称为“绊马腿”.若将矩形棋盘（如图4）视作平面直角坐标系，棋盘的左下角为坐标原点，如图5所示，假如棋盘中有如图5所示的四个棋子固定不动且不能被“马”吃掉，问黑方的“马”从原点朝着红方阵营（轴正方向）出发到达点，有 种不同的行进路线.       【详解】因为要朝着轴正方向出发，“马”在棋盘所处的位置可用坐标表示， 它的每一步走法对应位置的坐标可分成4种情况： ①，②，③，④. 如图，“马”从点出发必经过点，再从点出发有4种选择：. 要到达点必经过点，要想经过点，必经过点或者点. 综合以上分析，可理解为分别从这4点出发， 到达点或者点的不同路线有多少.    （1）：选2个①和1个③进行排列， 有①①③，①③①，③①①3种情况， 检验发现③①①为“绊马腿”，应舍去，所以有种路线， ：选2个③和1个①进行排列， 有①③③，③①③，③③①3种情况， 检验发现③①③，③③①为“绊马腿”，应舍去，所以有种路线， 故从点出发到达点有3种路线； （2）：选2个③和1个②进行排列，经检验有种路线， ：无符合要求的路线， 故从点出发到达点有3种路线； （3）：选①③④进行排列，经检验有种路线， ：选2个③和1个④进行排列，经检验有种路线， 故从点出发到达点有9种路线； （4）：选2个①和1个④进行排列或者选2个②和1个③进行排列，经检验有种路线， ：同， 经检验有种路线.故从点出发到达点有12种路线， 综上，从点出发到达点共有种路线. 故答案为：. 14．已知各项均为正数的数列是等差数列，且，，则的通项公式为 . 【详解】由等差数列的性质，可得， 所以，可得的公差为， 又由，可得，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角的对边分别是，且，. (1)求证：； (2)若是锐角，求的值. 【详解】（1）根据及余弦定理得，，（3分） 由，得，所以，（4分） 则，（5分） 所以，即.（6分） （2）由正弦定理得，.（7分） 又，， 所以有.（9分） 由及，得， 所以有， 展开可得， 即，.（10分） 因为为锐角，所以， 所以，解得.（13分） 16．（15分） 已知函数. (1)若直线是曲线的一条切线，求实数的值； (2)求在区间上的最大值. 【详解】（1）由题意知，， 设曲线上一点，则，（1分） 曲线在点处的切线斜率为， 于是曲线在点处的切线方程为， 即，（3分） 又直线是曲线的一条切线， 所以.（5分） 令， 则， 所以在上单调递减，（6分） 由于，所以方程有唯一解， 因此的解为， 代入，得.（7分） （2）易知在上单调递增， 当时，，在上，所以在上单调递增，的最大值为；（8分） 当时，，在上，所以在上单调递减，的最大值为；（9分） 当时，，，存在，使得，（10分） 当时，，当时，，所以在上单调递减， 在上单调递增，所以的最大值是或，（11分） 当时，，所以的最大值为；（12分） 当时，，所以的最大值为；（13分） 当时，，所以的最大值为.（14分） 因此，当时，的最大值为；当时，的最大值为.（15分） 17．（15分） 为不断提高人民群众的身体健康水平，提升生活的幸福感，我国医药制造业的工作者不断探索与创新.某医药公司针对某种疾病研发出两种药物——药和药，为了比较这两种药物的治疗效果，该公司招募了名志愿患者，随机选择一半志愿患者服用药，另一半志愿患者服用药，得到这两种药物的治疗效果情况如表所示： 治愈人数 未治愈人数 合计 服用药 服用药 合计 (1)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析药的治疗效果是否比药好； (2)以样本估计总体，以频率估计概率，从患有该疾病的患者中随机抽取名服用药，名服用药，求服用药的治愈人数比服用药的治愈人数多的概率. 参考公式：，. 参考数据： 【详解】（1）由已知数据可补全列联表如下： 治愈人数 未治愈人数 合计 服用药 服用药 合计 （2分）零假设：是否治愈与服用药、药相互独立，即两种药物的治疗效果没有差异. ，（4分） 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两种药物的治疗效果没有差异.（6分） （2）由题可得：服用药且治愈的概率为，服用药且治愈的概率为，（8分） 设名服用药的患者中有名治愈为事件，名服用药的患者中有名治愈为事件， 则，；，；（10分） 则服用药的治愈人数比服用药的治愈人数多的概率为： .（15分） 18．（17分） 已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，且，点关于轴的对称点为，点是抛物线上的两个点. (1)求； (2)若为坐标原点，直线经过点，且的面积为12，求直线的方程； (3)若直线不经过点，且直线与直线的斜率之积为4，过点作直线垂直于点，求点到的准线距离的最大值. 【详解】（1）设过点的抛物线的切线方程为， 联立得，化简得，（2分） 则，整理得. 设切线的斜率分别为，， 因为，所以，得，即，（3分） 解得.（4分） （2）由（1）知，. ∵直线的斜率不可能为0，∴设直线的方程为， 联立得，化简得， 则，∴. 设，，则，， 则， （6分） 点到直线的距离为，（7分） 则，即， 整理得或， 解得或，（8分） 故直线的方程为或.（9分） （3） 设直线的方程为， 联立得，化简得，则，即， 设，，则，. ∴，.（10分） 又，所以，即， ，代入得，即，（11分） 即，即，即. 又直线不经过点，所以，则， 所以直线的方程为，因此直线恒过定点. 由，得，解得或.（12分） 解法一  由题可知，直线的方程为， 由得， 则点到的准线的距离.（13分） 令， 根据对勾函数的单调性可知： 若，则，，且，即.（14分） 若，则，当，即时，； 当，即时，，且，即； （15分） 当，即时，由基本不等式可知：，当且仅当，即时取等号.（16分） 因此点到的准线距离的最大值为.（17分） 解法二  连接，因为，所以点在以为直径的圆上，（13分） 所以点到的准线的距离的最大值为圆心到的准线的距离加上半径，即， 此时（15分）， ，满足题意，（因为点的轨迹不是一个完整的圆，因此要验证取得最大值时的点是否符合题意） 因此点到的准线距离的最大值为.（17分） 19．（17分） 离散曲率是用于描述多面体顶点处局部几何性质的一个概念，它考虑了与该顶点相邻的各个面之间的角度关系，其定义如下：设点是多面体的一个顶点，则称（其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面为多面体的所有以为公共点的平面）为多面体在点处的离散曲率.如图，已知多面体由四棱锥和直四棱柱拼接而成，其中四边形是菱形，且，四棱锥的顶点在平面上的射影为四边形的中心，多面体在点处的离散曲率为. (1)若直四棱柱是正方体，求二面角的余弦值； (2)设多面体在点处的离散曲率为. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）当四棱锥的体积取得最大值时，求的值（保留小数点后两位）. 参考数据：，，. 【详解】（1）由题易得四棱锥是正四棱锥， 如图，连接，设，连接，取的中点，连接， 则， 则是二面角的平面角.（2分） 因为多面体在点处的离散曲率为， 所以， 易知，，所以，（3分） 又，，故，又，所以， 故， 易知二面角的大小为，（4分） 所以， 因此二面角的余弦值为.（5分） （2）（ⅰ）由题可得，所以， 则，（6分） 因为，所以，解得. 由（1）可知，， 在中，， 又，， ，（8分） 所以， （9分） 则，得，故的取值范围为.（10分） （ⅱ）四棱锥的底面积为， （11分） 则四棱锥的体积为 ，，（12分） 令， 则，， 令，，（13分） 则，. 考虑到的两个根分别为和，（14分） 其中，， 则函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减，（15分） 因此当时，函数取得最大值， 故当时，函数取得最大值.（16分） 因此当四棱锥的体积取得最大值时，， 即.（17分） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A A C B D B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BC ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）根据及余弦定理得，，（3分） 由，得，所以，（4分） 则，（5分） 所以，即.（6分） （2）由正弦定理得，.（7分） 又，， 所以有.（9分） 由及，得， 所以有， 展开可得， 即，.（10分） 因为为锐角，所以， 所以，解得.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由题意知，， 设曲线上一点，则，（1分） 曲线在点处的切线斜率为， 于是曲线在点处的切线方程为， 即，（3分） 又直线是曲线的一条切线， 所以.（5分） 令， 则， 所以在上单调递减，（6分） 由于，所以方程有唯一解， 因此的解为， 代入，得.（7分） （2）易知在上单调递增， 当时，，在上，所以在上单调递增，的最大值为；（8分） 当时，，在上，所以在上单调递减，的最大值为；（9分） 当时，，，存在，使得，（10分） 当时，，当时，，所以在上单调递减， 在上单调递增，所以的最大值是或，（11分） 当时，，所以的最大值为；（12分） 当时，，所以的最大值为；（13分） 当时，，所以的最大值为.（14分） 因此，当时，的最大值为；当时，的最大值为.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由已知数据可补全列联表如下： 治愈人数 未治愈人数 合计 服用药 服用药 合计 （2分）零假设：是否治愈与服用药、药相互独立，即两种药物的治疗效果没有差异. ，（4分） 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两种药物的治疗效果没有差异.（6分） （2）由题可得：服用药且治愈的概率为，服用药且治愈的概率为，（8分） 设名服用药的患者中有名治愈为事件，名服用药的患者中有名治愈为事件， 则，；，；（10分） 则服用药的治愈人数比服用药的治愈人数多的概率为： .（15分） 18．（17分） 【详解】（1）设过点的抛物线的切线方程为， 联立得，化简得，（2分） 则，整理得. 设切线的斜率分别为，， 因为，所以，得，即，（3分） 解得.（4分） （2）由（1）知，. ∵直线的斜率不可能为0，∴设直线的方程为， 联立得，化简得， 则，∴. 设，，则，， 则， （6分） 点到直线的距离为，（7分） 则，即， 整理得或， 解得或，（8分） 故直线的方程为或.（9分） （3） 设直线的方程为， 联立得，化简得，则，即， 设，，则，. ∴，.（10分） 又，所以，即， ，代入得，即，（11分） 即，即，即. 又直线不经过点，所以，则， 所以直线的方程为，因此直线恒过定点. 由，得，解得或.（12分） 解法一  由题可知，直线的方程为， 由得， 则点到的准线的距离.（13分） 令， 根据对勾函数的单调性可知： 若，则，，且，即.（14分） 若，则，当，即时，； 当，即时，，且，即； （15分） 当，即时，由基本不等式可知：，当且仅当，即时取等号.（16分） 因此点到的准线距离的最大值为.（17分） 解法二  连接，因为，所以点在以为直径的圆上，（13分） 所以点到的准线的距离的最大值为圆心到的准线的距离加上半径，即， 此时（15分）， ，满足题意，（因为点的轨迹不是一个完整的圆，因此要验证取得最大值时的点是否符合题意） 因此点到的准线距离的最大值为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由题易得四棱锥是正四棱锥， 如图，连接，设，连接，取的中点，连接， 则， 则是二面角的平面角.（2分） 因为多面体在点处的离散曲率为， 所以， 易知，，所以，（3分） 又，，故，又，所以， 故， 易知二面角的大小为，（4分） 所以， 因此二面角的余弦值为.（5分） （2）（ⅰ）由题可得，所以， 则，（6分） 因为，所以，解得. 由（1）可知，， 在中，， 又，， ，（8分） 所以， （9分） 则，得，故的取值范围为.（10分） （ⅱ）四棱锥的底面积为， （11分） 则四棱锥的体积为 ，，（12分） 令， 则，， 令，，（13分） 则，. 考虑到的两个根分别为和，（14分） 其中，， 则函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减，（15分） 因此当时，函数取得最大值， 故当时，函数取得最大值.（16分） 因此当四棱锥的体积取得最大值时，， 即.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $