精品解析：河北沧州市沧县中学2025-2026学年第一学期期末监测高二数学试题

2025—2026学年第一学期期末监测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一､二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点到平面距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 2. 数列满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 3. 若椭圆的一个焦点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 4 设函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知三个向量共面，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 某公司第一年的利润为800万元，计划从第二年起，每一年该公司的利润是上一年的1.5倍.若预计前年的利润总和为6500万元，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知函数数列满足，若为递增数列，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，直线，下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 对于任意的，直线的斜率都存在 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知数列的前项和为是以为公差，为首项的等差数列，则（ ） A. B. C. 是公差为的等差数列 D 11. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 13. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则__________. 14. 已知为坐标原点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆在第一象限与交于点，延长与的另一个交点为，若为的中点，则双曲线的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设等差数列的前项和为且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知函数. （1）若有两个极值点，且一个大于0，一个小于0，求的取值范围； （2）若函数，讨论的单调性. 17. 在直三棱柱中，分别为线段，中点. （1）证明：平面. （2）求异面直线与所成角的余弦值. （3）求平面与平面夹角余弦值. 18. 已知抛物线的焦点为上一点到焦点的距离为4. （1）求抛物线的方程. （2）过焦点的直线与交于两点，过两点分别作抛物线的切线，这两条切线相交于点. ①求的值； ②求面积的最小值. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意的，都有，求的取值范围； （3）若正数满足，证明：对任意的，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末监测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一､二册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】空间中点坐标到平面的距离就是该点竖坐标的绝对值. 【详解】因为，所以点到平面的距离为6. 故选：B. 2. 数列满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得数列是周期数列进而可得所求值. 【详解】由，所以，两个式子相除得， 所以数列是以2为周期的周期数列，且，所以. 故选：B 3. 若椭圆的一个焦点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由焦点坐标确定焦点所在轴，进而得到的值，结合，即可求得的值. 【详解】因为椭圆的一个焦点坐标为，所以， 则，解得. 故选：D. 4. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导后代入即可求得的值. 【详解】由题意得， 令，得，解得. 故选：A. 5. 已知三个向量共面，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】因为三个向量共面，由空间向量基本定理及向量线性运算的坐标运算可得. 【详解】因为三个向量共面，由空间向量基本定理， 设， 所以，解得. 故选：D. 6. 某公司第一年的利润为800万元，计划从第二年起，每一年该公司的利润是上一年的1.5倍.若预计前年的利润总和为6500万元，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知各年的利润成等比数列，由等比数列前项和的公式即可求得的值. 【详解】由题意知各年的利润成等比数列，记该数列为，前年的利润总和记为，公比. 由，解得， 故选：B. 7. 已知函数数列满足，若为递增数列，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得对数函数部分单调递增，设，则有，二次函数部分在上单调递增，设，则有，结合的取值范围，可得，因为为递增数列，所以有，即，综上，可求得的取值范围并以此判断选项是否满足该范围. 【详解】由题意，则有时，， 当时，， 因为为递增数列， 设，则在上单调递增， 则有，， 即，， 整理得，因为，解得， 设，易得时单调递增， 且有，即，，解得， 综上，的取值范围是，只有选项C满足该范围， 故选：C. 8. 已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆的切线，若切线长的最小值为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，过某点的切线长最小时，该点到圆心的距离也为最小值，即为圆心到直线的距离，结合，即可求得的值. 【详解】由题意得，圆心，半径，切线长为， 过某点的切线长最小时，该点到圆心的距离也为最小值，则有， 即为圆心到直线的距离，解得， 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，直线，下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 对于任意的，直线的斜率都存在 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由题意得，若直线过定点，则有，，即可求得直线所过定点，对于B，由题意得的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，对于C，由可得两直线斜率之积为，对于D，由可得两直线斜率相等. 【详解】对于A，由题意得，即， 若直线过定点，则有，解得，定点为，故A正确； 对于B，直线的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，故B正确； 对于C，因为，所以有，解得或，故C错误； 对于D，因为，所以，解得，故D错误. 故选：AB. 10. 已知数列的前项和为是以为公差，为首项的等差数列，则（ ） A. B. C. 是公差为的等差数列 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先由是等差数列可得，进而可判断A，再由与的关系可得，从而可判断BCD选项. 【详解】因为是以为公差，为首项的等差数列，所以， 则，故，所以A错误； 当时，，当时，， 因为也满足上式，且，所以是公差为等差数列， 且，所以B正确，C错误. 令，即，解得，即数列的前4项为正数，自第5项以后都是负数，所以，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由中间值法判断的大小，再用分析法判断，并用导数判断函数单调性可得. 【详解】因为，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且当时，. 对于A，因为，所以，所以A错误； 对于B，要证，只需证，即证， 因为,所以, 所以，所以，所以B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，则，所以C正确； 对于D，因，所以，所以D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由两圆相交可得，结合条件即可解得的取值范围. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径为，圆的圆心，半径为， 且， 由两圆相交，可得，解得，即的取值范围为， 故答案为：. 13. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则__________. 【答案】2或4 【解析】 【分析】由空间中点到平面距离公式，结合条件即可求得的值. 【详解】因为，所以点到平面的距离， 解得或. 故答案为：2或4. 14. 已知为坐标原点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆在第一象限与交于点，延长与的另一个交点为，若为的中点，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，且，所以有，设，由双曲线的定义，利用和勾股定理的关系，即可求得双曲线的离心率. 【详解】因为点是以为直径的圆在第一象限与的交点，则有， 因为是的中位线，所以，又，所以. 由题意得点在双曲线的右支上.由，令，则， 又为的中点，则点在双曲线的左支上. 因为，且是的中点， 所以，所以. 在中，由勾股定理可得， 即，整理可得. 在，由勾股定理可得， 即，化简得， 又，所以，则. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设等差数列的前项和为且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，，联立后即可求得和，使用等差数列通项公式即可求得的通项公式； （2）由题意得，使用裂项相消即可求得数列的前项和. 【小问1详解】 由题意得，即， 又，即， 联立，解得， 则. 故的通项公式为. 【小问2详解】 因为， 所以. 16. 已知函数. （1）若有两个极值点，且一个大于0，一个小于0，求的取值范围； （2）若函数，讨论的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得的零点一个大于0，一个小于0，由二次函数根的分布结合韦达定理，即可求得的取值范围； （2）由题意求出后得到的零点或，分类讨论根的位置即可得到的单调性. 【小问1详解】 由题意得. 由题意知方程有一个正根和一个负根， 所以，解得，即的取值范围为. 【小问2详解】 因为， 所以. 令，则或， ①当时，即时，恒成立，所以在上单调递增； ②当时，即时，则有当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， ③当时，即时，则有当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， ④当时，即时，则有当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 综上：当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 17. 在直三棱柱中，分别为线段，的中点. （1）证明：平面. （2）求异面直线与所成角的余弦值. （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，以为原点，建立空间直角坐标系，证明垂直于平面的法向量，即可得证平面； （2）使用向量夹角公式即可求得异面直线与所成角的余弦值； （3）先求平面的法向量，结合（1）中的法向量，使用向量夹角公式即可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 由已知，两两垂直，以为原点，正方向所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 已知分别为线段，的中点， 则，所以. 易得为平面的一个法向量. 因为，所以， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 设平面的一个法向量为， 由（1）（2）知， 则，令，得. 又平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知抛物线的焦点为上一点到焦点的距离为4. （1）求抛物线的方程. （2）过焦点的直线与交于两点，过两点分别作抛物线的切线，这两条切线相交于点. ①求的值； ②求面积的最小值. 【答案】（1） （2）①0；②4. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义，可解得的值，进而可得抛物线的方程； （2）①设过焦点的直线方程为，联立直线与抛物线，结合韦达定理可得，且，设出切线方程，与抛物线联立，由可得，联立并结合，即可求出；②由弦长公式求出和点到直线的距离，即的高，进而可求出含的，易得当时，的面积取得最小值. 【小问1详解】 因为，所以，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 ①由（1）知焦点的坐标为. 设直线的方程为. 联立，得， 则，且. 设切线的方程为， 联立，得， 令，得， 即，解得， 所以切线的方程为，即， 设切线的方程为， 联立，得， 令，得， 即，解得， 所以切线的方程为，即， 联立，得， 因为，所以即，所以 ，即 ②因， 点到直线的距离， 所以， 显然，当时，的面积取得最小值4. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意的，都有，求的取值范围； （3）若正数满足，证明：对任意的，都有. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出后代入，求得切线斜率和切点纵坐标，即可通过点斜式求出切线方程； （2）先求出，再分类讨论的取值范围，若，易得恒成立，则，若，则有，结合两种情况即可求得的取值范围. （3）由（2）得，当时，对任意的，即，则有，，进而可得. 【小问1详解】 因为，所以. 又，故切线方程为，即， 所以所求的切线方程为. 【小问2详解】 由，得. ①当时，由，得，，所以，则恒成立， 此时在上单调递增，所以， 故当时，对任意的，都有. ②当时，令，解得， 则有在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 则，不满足题意， 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，对任意的， 易得当时，， 则对任意的，都有. 因为都大于0，所以对任意的，有，， 所以. 因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $