精品解析：河南信阳市浉河区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试卷

2025－2026学年八年级上学期期末考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．三个大题，满分120分． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意. 2. 2025年春中国影视首部百亿影片《哪吒之魔童闹海》横空出世，《哪吒2》在部分关键镜头中甚至达到了每秒120帧，每帧画面仅用时大约，使得画面效果更加震撼，数据可用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选：B 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除法，平方差公式和单项式乘以多项式等，根据幂的乘方，同底数幂的乘除法，平方差公式和多项式乘以多项式运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B． ， 故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意； D． ，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 4. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 角平分线、高线、中线 B. 中线、高线、角平分线 C. 角平分线、中线、高线 D. 中线、角平分线、高线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠，三角形的角平分线、高线、中线，根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线， 故选：． 5. 已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是（ ） A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系．分腰为3或7两种情况讨论，判断能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形两边长为3和7， 若腰为3，则三边为3、3、7， ∵，不满足三角形三边关系， ∴不能构成三角形． 若腰为7，则三边为7、7、3， ∵，，满足三角形三边关系， ∴能构成三角形，周长为． 故选：C． 6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键． 根据图形得出，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； B、添加，与，不是夹角，不可判定，故选项符合题意； C、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； D、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； 故选：B． 7. 数学刘老师是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：学，爱，我，信，阳，数．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱数学 B. 爱数学 C. 爱信阳 D. 我爱信阳 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用．先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息． 【详解】解：∵， 对应密码字： 我， 爱， 数， 学， 因式相乘的顺序可交换，调整为有意义的词组即可， ∴密码信息为“我爱数学”， 故选：A． 8. 如图①为一块光学直角棱镜，其截面为如图②，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点O入射，折射后到达边上的点D然后反射（即），再从点E垂直于射出，连接，其中为法线（即）．若，则光线在棱镜中的总路线的长度为（ ） A. 10 B. C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的特征，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，先根据含30度角的直角三角形的特征，求出的长，再判定出是等边三角形，从而得到的长，进而得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 9. 如今倡导绿色出行，共享单车和共享电动车成为常见出行工具．假设某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动．一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（        ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据时间差列方程．共享单车先出发6分钟（即小时），同时到达，因此共享单车行驶时间比共享电动车多小时． 【详解】解：设共享单车速度为，则共享电动车速度为， 共享单车行驶时间： 小时， 共享电动车行驶时间： 小时． ∵ 共享单车先出发小时，且同时到达， ∴ ． 故选：B． 10. 如图，在等边中，D为边中点，，P是线段上一动点，则的最小值为（     ）． A. B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质与线段和最值问题，掌握角所对的直角边与斜边的关系是解题关键． 作，垂足为E，由等边三角形的性质可得，，所以．因此可以转化为，当A、P、E三点共线时，取到最小值．又根据垂线段最短可知，当时，最小，即最小，利用等边三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，作，垂足为E， ∵是等边三角形， 又∵点D为边中点， ∴，， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， 当A、P、E三点共线时，取到最小值， 由垂线段最短可知，当时，最小， 由等边三角形的性质可知，当时，，即的最小值为3． 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为的条件，即分子等于，分母不为，计算即可． 【详解】解：由题意得 且 ， 由 解得 ， 由 ，因式分解得， 解得 或 ，不符合分母不为的条件，舍去， 所以实数的值为． 12. 若，，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．利用幂的运算法则，将 转化为 ，再分别计算和的值即可求解． 【详解】解：已知 ，， 则 ， ， 所以 ． 故答案为：． 13. 已知命题“若，则”，则它的逆命题是_______(填“真”或“假”)命题． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，熟知逆命题与判断命题的真假判断是解题的关键．写出逆命题，举出反例，由此即可得出答案． 【详解】解：“若，则”的条件是“”，结论是“”， 其逆命题是“若，则”．例如而， 故原命题的逆命题是假命题． 故答案为：假． 14. 如图，若大正方形与小正方形的面积之差为17，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握正方形、三角形的面积公式是正确解答的前提．设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，由题意可得，将转化为，即，代入计算即可． 【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则， 由于大正方形与小正方形的面积之差是17，即， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数为________．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F，则， 由折叠可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠变换的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）0，（2）无解 【解析】 【分析】本题考查实数的运算及解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键． （1）利用立方根的定义，负整数指数幂，零指数幂计算即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 17. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 【答案】 证明：点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】略 18. 化简求值：，请从0，1，2，3中选取一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，分式有意义的条件，分式加减乘除混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先进行小括号里的运算，再将除法转化为乘法，然后化为最简，再根据分式有意义、运算过程有意义，确定未知数的值代入求值． 【详解】解：原式 ． 要使原来的分式和运算过程有意义， 必须有，且，且， ∴，，， ∴只能取3； 当时，原式． 19. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于； （2）连接，求证：平分． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 证明：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 即平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的尺规作图等知识点． （1）直接作出的垂直平分线得出即可； （2）根据等边对等角求出，再由线段垂直平分线的性质得到，则，由此即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F． （1）求证：； （2）若在中，，，求BE的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，, 点D在的垂直平分线上 ，，平分 ， 在和中， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）连接，,根据的平分线与的垂直平分线交于点D，得到和，进而得到和是全等三角形，根据全等三角形的性质，证得即可； （2）由题意证得和是全等三角形，根据全等三角形的性质，证得，进而证得，计算求解的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ． 答：BE的长为． 21. “激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， （1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6300元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】（1）购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 （2）最多能购买16个型号的纪念品． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意“用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍”列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，根据“所花费用不超过6300元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买16个型号的纪念品． 22. 阅读与思考 下面是信阳市某初中数学小组对某教材一道习题的交流片段，请你仔细阅读并完成任务． 试题：已知是含字母单项式，要使多项式是某个多项式的平方，求．涛涛：根据两数和或差的平方公式，分两种情况： 当为含字母的一次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ， ； 当为含字母的四次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ， ． 综上所述，为或或． 成成：你的思路没有问题，从你的解法中我进行了反思： ①上述解答过程得到等式：；观察等式左边多项式的系数发现：． ②结合多项式的因式分解又如：；，发现这两个多项式的系数规律：，． ③一般地：若关于的二次三项式（、、是常数）是某个含的二项式的平方，则其系数一定存在某种关系． 任务： （1）请你根据成成的反思，写出系数、、之间存在的关系式． （2）若多项式加上一个含字母的单项式，就能表示为一个含的二项式的平方，求出满足条件的单项式； （3）若关于的多项式是一个含的多项式的平方，请求出实数的值． 【答案】（1） （2）或或 （3） 【解析】 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，掌握完全平方公式及关于的二次三项式（、、是常数）是某个含的二项式的平方，则其系数a、b、c之间存在的关系式为是解决问题的关键． （1）根据成成的反思即可得到答案； （2）根据材料中的方法，分两种情况讨论求解即可得到答案； （3）由（1）中结论，直接列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据成成的反思可知：若关于的二次三项式（、、是常数）是某个含的二项式的平方，则其系数a、b、c之间存在的关系式为； 【小问2详解】 解：①当为含字母的一次单项式时，则， ∴或； ②当为含字母的四次单项式时，则； ∴； 综上所述，或或； 【小问3详解】 解：由（1）可知：若关于的二次三项式（、、是常数）是某个含的二项式的平方，则其系数a、b、c之间存在的关系式为， 关于的多项式是一个含的多项式的平方， ， ∴， 解得． 23. 如图，是等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． （1）如图1，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为_______． （2）如图2，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，问与有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图3，直角边的两个端点在两坐标轴上滑动，使点在第二象限内，过点作轴于点，在滑动的过程中，的值是否改变，若变化，说明理由，若不变，求出这个值． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 延长交的延长线于点，如图所示： 轴平分，， 是等腰三角形，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）不变， 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，如图所示，由全等三角形的判定得到，从而得到即可确定点的坐标； （2）延长交的延长线于点，如图所示，先由等腰三角形性质得到，再由全等三角形的判定得到，从而得到，即可确定与的数量关系； （3）过点作于点，如图所示，先证明四边形是长方形，结合长方形性质，再由全等三角形的判定得到，从而得到，进而得到． 【小问1详解】 解：过点作轴于点，如图所示： 则， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 在和中， ， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， ， 点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点，如图所示： 则， 轴， 四边形是长方形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查互余定义、等腰直角三角形的判定与性质、两个三角形全等的判定与性质、求点的坐标、长方形的判定与性质等知识，熟记相关几何性质与判定，并灵活运用是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年八年级上学期期末考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．三个大题，满分120分． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上． 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年春中国影视首部百亿影片《哪吒之魔童闹海》横空出世，《哪吒2》在部分关键镜头中甚至达到了每秒120帧，每帧画面仅用时大约，使得画面效果更加震撼，数据可用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 角平分线、高线、中线 B. 中线、高线、角平分线 C. 角平分线、中线、高线 D. 中线、角平分线、高线 5. 已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是（ ） A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17 6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 数学刘老师是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：学，爱，我，信，阳，数．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱数学 B. 爱数学 C. 爱信阳 D. 我爱信阳 8. 如图①为一块光学直角棱镜，其截面为如图②，所在的面为不透光的磨砂面，，，现将一束单色光从边上的点O入射，折射后到达边上的点D然后反射（即），再从点E垂直于射出，连接，其中为法线（即）．若，则光线在棱镜中的总路线的长度为（ ） A. 10 B. C. 15 D. 9. 如今倡导绿色出行，共享单车和共享电动车成为常见出行工具．假设某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动．一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（        ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边中，D为边中点，，P是线段上一动点，则的最小值为（     ）． A. B. 3 C. D. 6 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 12. 若，，则的值为_____________． 13. 已知命题“若，则”，则它的逆命题是_______(填“真”或“假”)命题． 14. 如图，若大正方形与小正方形的面积之差为17，则图中阴影部分的面积是__________． 15. 如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数为________．（用含的式子表示） 三、解答题（共8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 17. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 18. 化简求值：，请从0，1，2，3中选取一个合适的数代入求值． 19. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于； （2）连接，求证：平分． 20. 如图，的平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别是E，F． （1）求证：； （2）若在中，，，求BE的长． 21. “激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， （1）求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6300元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 22. 阅读与思考 下面是信阳市某初中数学小组对某教材一道习题的交流片段，请你仔细阅读并完成任务． 试题：已知是含字母单项式，要使多项式是某个多项式的平方，求．涛涛：根据两数和或差的平方公式，分两种情况： 当为含字母的一次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ， ； 当为含字母的四次单项式时，原式可以表示为关于的二项式的平方， ， ． 综上所述，为或或． 成成：你的思路没有问题，从你的解法中我进行了反思： ①上述解答过程得到等式：；观察等式左边多项式的系数发现：． ②结合多项式的因式分解又如：；，发现这两个多项式的系数规律：，． ③一般地：若关于的二次三项式（、、是常数）是某个含的二项式的平方，则其系数一定存在某种关系． 任务： （1）请你根据成成的反思，写出系数、、之间存在的关系式． （2）若多项式加上一个含字母的单项式，就能表示为一个含的二项式的平方，求出满足条件的单项式； （3）若关于的多项式是一个含的多项式的平方，请求出实数的值． 23. 如图，是等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． （1）如图1，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为_______． （2）如图2，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，问与有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如图3，直角边的两个端点在两坐标轴上滑动，使点在第二象限内，过点作轴于点，在滑动的过程中，的值是否改变，若变化，说明理由，若不变，求出这个值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $