精品解析：安徽池州市青阳县2025-2026学年第一学期期末考试九年级数学试题

2025-2026学年度第一学期期末考试九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若（），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 把抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 在反比例函数（m为常数）的图象上有三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F，与相交于点H，如果，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，，在此函数图象上有，，三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数（）与二次函数（）的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 7. 如图，，则下列结论中正确的有（ ） ①；②平分；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 校园里一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则．正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 如图，一块等腰直角三角板，它的斜边，内部的各边与的各边分别平行，且它的斜边，则的面积与阴影部分的面积之比为_____． 12. 太阳光线与水平地面的夹角称为太阳高度角，某地的太阳高度角的范围是，测得一棵树的影子长为10米，则树的最大高度可以是_____米． 13. 如图，矩形与反比例函数()的图象交于点M，N，与反比例函数()的图象交于点B，连接，，则四边形的面积为_______． 14. 如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形称为“倍边三角形”．如果一个直角三角形是倍边三角形，那么它较大的锐角的正弦值为______． 15. 已知二次函数． （1）若该二次函数过原点，那么函数的对称轴为_____． （2）当时，对于每一个的值，始终成立，则的取值范围是________． 三、解答题（第16-18题各7分，第19-20题各8分，第21题10分，第22题13分；共60分） 16. 已知，且，求c的值． 17 求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60° 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）在所给的网格中画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为，并写出点的坐标． 19. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，． （1）求，，的值． （2）当时，直接写出自变量取值范围． 20. 某数学研究性学习小组，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量小岛面积 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 如图，表示湖中小岛，，先在湖岸边取点D，使点C，B，D在同一条直线上；再过点D作，在上取点E，用皮尺测得长28米，在点E处用测角仪测得 根据表格提供的信息，解决下面问题， （参考数据：） （1）求的长； （2）求小岛的面积． 21. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． （1）求出与之间的函数关系式； （2）若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 22. 如图，矩形，点是的中点，连接，，过点作的垂线交于，于点，．设． （1）当时，求证：； （2）求证：； （3）连接，若，求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末考试九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若（），则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．将等式两边分别同时除以12和，即可判断答案． 【详解】解：对于选项A、B和D， ，且 ， 两边同时除以12，得 ， 即， 故选项A正确，符合题意；选项B和D错误，不符合题意； 对于选项 C， 将两边同时除以，得 ， 即， 故选项C错误，不符合题意； 故选：A． 2. 把抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，直接运用二次函数图象的平移规律解答即可，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：∵向上平移1个单位， ∴； ∵向右平移个单位， ∴； ∴得到的抛物线解析式为， 故选：． 3. 在反比例函数（m为常数）的图象上有三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出的大小关系即可． 【详解】解：， ∵， ∴反比例函数（m为常数）的图象在二、四象限，并且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点在第四象限， ∴， ∵， ∴点在第二象限， ∴， ∴． 故选：A． 4. 如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F，与相交于点H，如果，那么的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理可求出的值． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 又， 设， ∴， ∴， 解得，， 所以，的值为， 故选：D． 5. 已知函数，，在此函数图象上有，，三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据已知可得该抛物线开口向下，再求出抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性，求出点关于直线的对称点，再利用增减性即可解答. 【详解】解：, , , 对称轴为直线, 关于直线的对称点为, ， 图象开口向下，当时，随的增大而增大， , ， 故选：． 6. 一次函数（）与二次函数（）的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．观察图象得∶当时，一次函数图象位于二次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 即， 观察图象得∶当时，一次函数图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式的解集为． 故选：C． 7. 如图，，则下列结论中正确的有（ ） ①；②平分；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质；①由三边对应成比例的两三角形相似，即可判断；②无法判断平分；③由相似三角形的性质得，结合三角形内角和，即可判断； ④由相似三角形的性质，即可判断；掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：①， ， 故①结论正确； ②无法判断平分； 故②结论错误； ③， ， ， ， ， ， ， ， 故③结论错误； ④， ， ， 故④结论正确． 故选：B． 8. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．直接利用黄金分割的定义计算出的长即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， 故选：C． 9. 如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则．正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，，由二次函数的对称轴可得，即可判断①；设抛物线对称轴与x轴交点为，则，求出点B坐标为，即可判断②；再由二次函数的图象与性质即可判断③④；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴直线， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴，①错误； 如图，设抛物线对称轴与x轴交点为，则， ∵．， ∴，即点B坐标为， ∴时，， ，②错误： ∵， ∴，③正确； 当时，，④错误； ∵时，y取最小值， ，即，⑤正确． 故选：B． 10. 如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°， ∴△ABC，ACD都是等边三角形， ∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°． 如图1，当0≤x≤1时，AQ=2x，AP=x， 作PE⊥AB于E， ∴， ∴， 故D选项不正确； 如图2，当1＜x≤2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2， 作PF⊥BC与F，作QH⊥AB于H， ∴， ， ∴， 故B选项不正确； 当2＜x≤3时，CP=x-2，CQ=2x-4， ∴PQ=x-2， 作AG⊥CD于G， ∴， ∴， 故C不正确． 故选：A 【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 如图，一块等腰直角三角板，它的斜边，内部的各边与的各边分别平行，且它的斜边，则的面积与阴影部分的面积之比为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题目已知条件并结合图形添加适当的辅助线．根据已知把向两边延长，交 于点，交于点，先证明，然后求出它们的面积比即可解答． 【详解】解：把向两边延长，交于点，交于点， ∵， ，， ∵， ， ， ∵， ， ， ， ，， ， 的面积与阴影部分的面积比为：， 故答案为：． 12. 太阳光线与水平地面的夹角称为太阳高度角，某地的太阳高度角的范围是，测得一棵树的影子长为10米，则树的最大高度可以是_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．分别求出当太阳高度角和时树的高度，即可求解． 【详解】解：当太阳高度角时，树的高度为米， 当太阳高度角时，树的高度为米， ∵太阳高度角的范围是， ∴树的高度的范围为10米到米之间， ∴树最大高度可以是米． 故答案为： 13. 如图，矩形与反比例函数()的图象交于点M，N，与反比例函数()的图象交于点B，连接，，则四边形的面积为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查矩形性质、反比例函数（）中的几何意义，解题的关键是用的几何意义求相关三角形面积，再通过矩形与三角形面积关系算四边形面积． 设，由在得（矩形面积）；、在上，用的几何意义得、面积均为；矩形面积减两三角形面积和即得四边形面积． 【详解】解：设（）． ∵ 在上， ∴ ，即（矩形面积为）． ∵ 在上且在上，横坐标为，纵坐标为， ∴ 面积． 同理，在上且在上，面积 ∴ 四边形面积． 故答案为：． 14. 如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形称为“倍边三角形”．如果一个直角三角形是倍边三角形，那么它较大的锐角的正弦值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，勾股定理，正弦三角函数；当时，由勾股定理及正弦三角函数定义即可求解，当时，同理可求；理解新定义，掌握勾股定理，正弦三角函数，能进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：当时，如图， ， ； 当时，如图， ， ； 故答案：或． 15. 已知二次函数． （1）若该二次函数过原点，那么函数的对称轴为_____． （2）当时，对于每一个的值，始终成立，则的取值范围是________． 【答案】 ①. 直线 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由于二次函数过原点，代入点可求得的值，再根据二次函数对称轴公式求解； （2）由得到关于的不等式，整理后分析二次函数在上的取值情况，分和讨论． 【详解】解：（1）∵二次函数过原点， ∴当时，， 代入函数解析式：， 解得， 所以函数为， 所以对称轴为 ， 故答案为：直线； （2）由，得：， 整理得：， 即： 令， ∵当时，， ∴当时，，所以，恒成立， 当时，需要在上恒成立， 由于， 当时，随着的增大而增大， 当时，，当时，， 故在上，， 所以， 即， 又， 所以， 综上，的取值范围是或， 故答案为：或． 三、解答题（第16-18题各7分，第19-20题各8分，第21题10分，第22题13分；共60分） 16. 已知，且，求c的值． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设k法得到关于k的方程是解题的关键． 设，则，，．再根据，可得关于k的方程，解方程求出k，进一步求得c的值． 【详解】解：设，则，，． ∵， ∴，解得． ∴． 17. 求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60° 【答案】． 【解析】 【分析】把特殊角的三角函数值代入运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）在所给的网格中画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、位似变换，熟练掌握轴对称的性质与位似变换的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据位似变换性质作图即可，再写出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求，点的坐标是 19. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，． （1）求，，的值． （2）当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1），， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把点代入得到；把点代入得到，把代入得到； （2）根据函数图象即可得到结论． 【小问1详解】 解：把点代入，得， ∴； 把点代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为， 把代入得， ∴； 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，， ∴当时，自变量x的取值范围为或． 20. 某数学研究性学习小组，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量小岛面积 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 如图，表示湖中小岛，，先在湖岸边取点D，使点C，B，D在同一条直线上；再过点D作，在上取点E，用皮尺测得长为28米，在点E处用测角仪测得 根据表格提供的信息，解决下面问题， （参考数据：） （1）求的长； （2）求小岛的面积． 【答案】（1）的长为21米 （2）小岛的面积为441平方米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解； （2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积． 【小问1详解】 解：由题意可得：，长28米， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：过点A作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴（米）， ∴小岛的面积为：（平方米）． 即：小岛的面积为441平方米． 21. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．不妨设该种品牌玩具的实际销售单价为元，销售该品牌玩具获得的利润为元． （1）求出与之间的函数关系式； （2）若商场只获得了6000元的销售利润，求该玩具销售单价为多少元？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价为90元 （3）最大利润是10000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）一件的利润为元，涨价后的销售量为元，根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出函数关系式； （2）由所得函数关系式，求出当函数值为6000时，解一元二次方程即可求出自变量的值； （3）由题意解不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润． 【小问1详解】 解：由题意得：， 整理得：； 答：与之间函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 答：该玩具销售单价为90元； 【小问3详解】 解：由题意得：， 解得：； ∵，， ∴当时，函数取得最大值，且最大值为10000； 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 22. 如图，矩形，点是的中点，连接，，过点作的垂线交于，于点，．设． （1）当时，求证：； （2）求证：； （3）连接，若，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）由，可得，所以四边形是正方形，则，，然后通过同角的余角相等得，证明，所以，又点是的中点，故有，从而求证； （）由四边形是矩形，得，，然后通过同角的余角相等得，证明，则，所以，又，从而求证； （）由（）知，，则，然后证明，所以，又，则，所以，在中，，设，则，，则，所以，则，从而得，所以． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：由（）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，同角的余角相等，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $