同学们好，今天我们来讲与球有关的组合体问题。今天我们先讲外接球与长方体或者是正方体相关的模型。我们首先来看一下这一道例题，棱长为二的正方体点P是其表面上的一个动点，该正方体内切球的一条直径是MN那么求PM向量乘以PN向量的取值范围。如果说对于空间向量的重难点题型非常熟悉的同学，我们应该知道这个一定会涉及到有一个非常重要的结论，就是极化恒等式。在此我们可以简单的回忆一下，极化恒等式实际上就是有两个向量和的平方和两个向量差的平方之和或者是之差的推导而来的就是它的变形。所以这个极化恒等式实际上就是两个向量的数量积乘积一定是等于04分之A加B向量的平方，然后我们减去A向量减B向量的平方。大家看这个极化恒等式有一个什么样的好处呢？就是把两个向量数量积的形式，把它转化成两个向量和或差。那么既然两个向量和或差，因为往往会有一个共同的起点，有一个共起点的话就会有一定的几个意义。所以说这个题目我们来看一下，这个PM向量乘以PN向量，一定根据计划恒等式，它一定可以转化成4分之1。Pm向量加上PN向量的平方减去PM向量减去一个PN向量的平方。然后我们把它的几何一可以表示出，我们看这个图，PM向量加PN向量，我们取假设MN的终点是F也是内切球的球心连接PF在空间里面任意三点组成的三角形中，PM向量加PN向量一定是等于两倍的PF向量。所以说上方这个式子可以变成两倍的PF向量整体的平方减去PM向量，减去PN向量就是等于NM向量。所以后面这个括号就是NM向量的平方，这就是它的几何意义。那么再除以四等于上方就是四倍的PF向量模的平方，再除以4就变成了PF向量，模的平方减去MN我们这就是直径。那么在正方体中很简单，内切球的直径就是正方体的棱长是22的平方，就是四减去4分之4，就在减去1，就是此题PM乘以PN这个数量级的取值范围就可以转化成PF的这个范围。那我们再看O这个F，它是正方体的中心，P是在正方体的表面上在动，其实它动的时候很明显，什么时候最短呢？当前紧张P位于M点N点等跟表面相切的时候。对的，所以说当P位于切点的时候，切点如图中的，就是与侧面的焦点的时候，如图中标的M的位置，切点时pm PF有最小值，那么这个最小值就是它的半径就是一。那么当P位于哪里呢？当然由这个图我们可以知道位于四个顶点的八个顶点的位置的时候，很明显它是最长的。所以说当位于正方体正方体顶点时，根据对称性我们做的都是一样的。这个PF达到它的最大值。这个最大值也很简单，就是体重也变了一半。这体对角线就是2分之1根号下二方加二方再加上一个二方。这个算完之后就是三四十二，二倍根号3就是根号3。所以这个PF的平方就是属于1到3。所以说既然是1到3再减个一之后，那就是0到2。所出现的答案，我们就填的是引导日。今天关于外接求知长方体正方体模型我们就讲到这里，下期视频我们再见。