第二十七章 相似 单元同步卷 2025-2026学年人教版九年级数学下册寒假提前学系列

2025-2026学年人教版九年级数学下册寒假提前学系列之 第二十七章 相似（单元同步卷） 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，，相交于点，则的长为（　　） A． B．4 C． D．6 3．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　） A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． D． 4．如图，在中，点在边上，若，，且，则线段的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆轴，点A的坐标为，木杆在x轴上的影长为6，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于数学测量的数学著作．其中第一题是测量海岛高度的问题．如图，点E、H、G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度．若，，，则海岛的高为（　　） A． B． C． D． 7．如图，E（-4，2），F（-1，-1），以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E`的坐标为（　　） ​​ A．（2，-1）或（-2，1） B．（8，-4）或（-8，4） C．（2，-1） D．（8，4） 8．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，3），（﹣12，8），△ABO与△A′B′O是以原点O为位似中心得位似图形．若点A′的坐标为（2，﹣1），则点B′的坐标为（　　） A．（﹣4， ） B．（4，﹣ ） C．（﹣6，4） D．（6，﹣4） 9．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（　　） A． B． C． D． 10．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，要测量池塘两端A、B的距离，可先取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使，连接并延长到E，使，连接，如果量出的长为25米，那么池塘宽为　 　米． 12．如图，中，，是边上的一点，，，，则　 　． 13．如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是　 　． 14．如图，，，且，则与是位似图形，与的位似比为 　 　． 15．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条边，测得边离地面的高度，则树高　 　． 16．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形 ． 连结并延长，交于点 ，点为的中点．若， 则的长为　 　． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小军的眼睛距地面1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求这座建筑物的高度． 18．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D=∠CAE. （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）若AC=8，CE=4，求BD的长度. 19．图中的小方格都是边长为1的正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）求与的相似比； （3）以点O为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于． 20．某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 方案一：借助太阳光线，测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量：距离，仰角，仰角． 请你选择一个方案，求出塔的高度．（参考数据：，，，，，） 21．如图，△ABC中，AD、BE是高． （1）求证：； （2）连接DE，那么△CDE与△CAB是位似图形吗？ 22．如图1，矩形ABCD，点E在射线AB上，将沿ED翻折，使得点A与点G重合，连接AG交DE于点F． （1）求证：． （2）如图2，若点G落在BC边上，且，求BE的长． （3）如图3，点P为BG中点，连接AP，，点E在射线AB上运动过程中，求AP长的最大值． 23．某校数学实践小组利用数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据： 项目 测量某塔AB的高度 方案 方案一：测量标杆长，影长，塔影长． 方案二：测量距离，仰角，仰角． 测量 示意图 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量 数据 （1）根据“方案一”的测量数据，此塔的高度为　 　米． （2）根据“方案二”的测量数据，求出此塔的高度．（参考数据：，，，，，） 24．【知识技能】 如图1所示，在正方形中，点E是对角线上的一点，线段绕点B顺时针旋转至， 连接． （1） 求证：． 【拓展探索】 （2） 如图2所示，连接，直线交于点G，交于点H，若： ①求证： ②求出的值． 25．【定义】 例如，如图1，过点A作交于点B，线段的长度称为点A到的垂直距离，过A作平行于y轴交于点C，的长就是点A到的竖直距离． 【探索】 当与x轴平行时，， 当与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为 时，___________． 【应用】 如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处， （1）___________． （2）如图3，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值． 【拓展】 （3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出最高应为多少？ 参考答案 1-5AADBB 6-10DABBC 11．【答案】50 12．【答案】 13．【答案】－1 14．【答案】 15．【答案】750 16．【答案】 17．【答案】33米 18．【答案】（1）证明：∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB， ∴180°–∠ABC=180°–∠ACB. ∴∠ABD=∠ACE 又∵∠D=∠CAE ∴△ABD∽△ECA （2）解：∵△ABD∽△ECA， ∵AB=AC=8.，CE=4 ∴BD=16 19．【答案】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：与的位似比等于； （3）解：如图所示，即为所求． 20．【答案】解：（方案一）解：如图， 由题意可知，， ， ， ， 即， 解得， 答：塔的高度为52米； （方案二）解：如图， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 即． 米 答：塔的高度为52.5米． 21．【答案】（1）证明：∵AD、BE是高， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠C=∠C， ∴△ADC∽△BEC， ∴； （2）解：如图，△CDE与△CAB不是位似图形． 因为DE、AB的交点不为点A． 23．【答案】（1）证明：∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F， ∴DA=DG，∠AFD=∠GFD=90°， ∵DF=DF， ∴△ADF≌△GDF， ∴AF=FG． （2）解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴∠DAE=90°， ∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F， ∴∠AFD=90°， ∵∠ADF=∠EDA， ∴△ADF∽△EDA， ∴， ∴， ∴， 解得DF=2或DF=-3（舍去）， 故DE=DF+EF=3， ∴AE===EG， ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴∠DAE=∠B=90°， ∵沿ED翻折，使得点A与点G重合，AG交DE于点F， ∴∠EGD=90°， ∴∠DGC+∠EGB=90°，∠BEG+∠EGB=90°， ∴∠DGC=∠BEGO， ∴sin∠DGC= sin∠BEG， ∴， ∴， ∴DC=AB=BG， ∴BE=AB-AE=， ∴， 解得BG=或BG=0（舍去）， ∴BE=． （3）解：如图，连接BD，取BD的中点O，连接OA，OP， 则OP是△BDG的中位线， ∴OP=． ∵四边形ABCD是矩形，且AD=6，AB=4， ∴BD=， ∵AO是直角三角形ABD斜边BD上的中线， ∴AO==， 根据两点之间线段最短，得到AO+OP≥AP， 当A、O、P三点共线时，AP最大，最大为． ​​​​​​ 23．【答案】（1）52 （2）解：如图， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即． ∴米 ∴塔的高度为米． 24．【答案】解：（1）证明： ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）①证明： ∵四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴． ， ∵，， ②设，， 由①得 即： ∴ 解得或（舍去）， 即 由①得 25．【答案】探索： 应用：（1） （2）解：由（1）知，设直线的解析式为则， 解得：， ， 如图，设，则， ， ， ， ∵轴， ， ， ， ， ∴当时，取得最大值， 答：的最大值为 【拓展】 如图， 取的中点，作交轴于点，延长交圆弧于点，过点作轴交于点，此时最大， ， ， 在中，， ， ， 又， ， ， ， ∵轴， ， ， ， 答：最高应为 学科网（北京）股份有限公司 $