精品解析：山东济宁市泗水县2025-2026学年上学期期末九年级数学试题

2025-2026学年第一学期期末质量监测 九年级数学试题 （考试时间120分钟 满分120分） 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 柘沟澄泥是山东泗水县柘沟镇特有的陶土资源．用柘沟澄泥制作的壶，具有独特的质感和色泽，可能会呈现出紫砂色、青铜器色等，且因窑变而具有丰富的色彩变化．如图是一把做工精湛的澄泥壶，下面四幅图中哪一个是该壶的俯视图（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 通常加热到 时，水沸腾 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是3 D. 所有的正方形都是相似图形 4. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的弦， 于点D， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是图（　　） A. B. C. D. 8. 汾河水库位于山西省太原市西北娄烦县境内下静游村至下石家庄之间．如图，水库某段横截面迎水坡的坡度（坡度），若坡高，则坡面的长度约为（参考数据：） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，，将以原点O为位似中心，各边长缩小到原来的后得到，点对应点为点，则点坐标为（　　） A. B. C. 或 D. 或 10. 兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组，的值，得到了它的函数图象，如图，借助学习函数的经验，可以推断输入的，的值应满足( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则锐角______ 12. 若是方程的两个实数根，则的值为______． 13. 某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为6米的点、处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为_____米． 14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧且线段，分别与相切，，为切点，若，，则的长为______ ． 15. 二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 图案设计：正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案．下面是三种不同设计方案中的一部分： （1）请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P．（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．） （2）若网格的单位长度为1，求出图②中阴影部分面积． 18. 如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，， ， ． （1）证明：； （2）求的度数． 19. 甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶． （1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是_______； （2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率． 20. 如图1，为放置在水平桌面上的台灯，底座的高为.长度均为的连杆，与始终在同一水平面上. （1）旋转连杆，，使成平角， ，如图2，求连杆端点离桌面的高度. （2）将（1）中的连杆绕点逆时针旋转，使，如图3，问此时连杆端点离桌面的高度是增加了还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据： ， ） 21. 如图，直线 与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求的值和反比例函数表达式； （2）当时，根据图象直接写出的取值范围； （3）点M是直线上的一点，过点M作平行于x轴的直线交反比例函数图象于点 ，若，求的面积． 22. 如图，在四边形中，，平分，， （1）求证： ； （2）请用不带刻度的直尺和圆规作 的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），作图后判断是否为的切线，并说明理由． 23. 已知二次函数． （1）若，求函数的对称轴和顶点坐标． （2）若函数图象向上平移6个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值． （3）在（1）的条件下，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点P为直线上方抛物线上的一动点，求点P到直线的距离最大时，点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末质量监测 九年级数学试题 （考试时间120分钟 满分120分） 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列关于的方程中，一定属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念， 根据一元二次方程的定义求解即可，熟练掌握其概念是解决此题的关键． 【详解】A、该方程的未知数的二次项系数是，当 时不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确，符合题意； C、该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； D、该方程有两个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 2. 柘沟澄泥是山东泗水县柘沟镇特有的陶土资源．用柘沟澄泥制作的壶，具有独特的质感和色泽，可能会呈现出紫砂色、青铜器色等，且因窑变而具有丰富的色彩变化．如图是一把做工精湛的澄泥壶，下面四幅图中哪一个是该壶的俯视图（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看的图形可得答案． 【详解】解：从上面看的图形如下： 故选：B． 3. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 通常加热到 时，水沸腾 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是3 D. 所有的正方形都是相似图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，相似图形的判定，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，可能发生，也有可能不发生的事件叫做随机事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、通常加热到 时，水沸腾，是必然事件，不是随机事件，不符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件，不是随机事件，不符合题意； C、掷一枚骰子，向上一面的点数可能是3，也可能不是3，是随机事件，符合题意； D、所有的正方形都是相似图形，是必然事件，不是随机事件，不符合题意； 故选；C． 4. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，再求出、、到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，， ，， ， 故选：D． 5. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 6. 如图，是的弦， 于点D， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，在优弧上取一点E，连接，由圆内接四边形对角互补可得，由圆周角定理可得 的度数，则由垂径定理可得答案． 【详解】解：如图所示，在优弧上取一点E，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 故选：B． 7. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是图（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合题，掌握一次函数与反比例函数的图象与系数的关系是解题关键．根据和分析，确定图象即可． 【详解】解：当时，，则函数的图象在一、三象限，的图象在二、四象限； 当时，，函数的图象在二、四象限，的图象在一、三象限， 只有C选项符合题意， 故选：C． 8. 汾河水库位于山西省太原市西北娄烦县境内下静游村至下石家庄之间．如图，水库某段横截面迎水坡的坡度（坡度），若坡高，则坡面的长度约为（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用：坡度坡角问题，熟记坡度的概念是解题的关键． 根据坡度的概念求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵迎水坡的坡度， 由勾股定理得：， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，，将以原点O为位似中心，各边长缩小到原来的后得到，点对应点为点，则点坐标为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵将以原点O为位似中心，各边长缩小到原来的后得到，点， ∴点坐标为或， 即或 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 10. 兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组，的值，得到了它的函数图象，如图，借助学习函数的经验，可以推断输入的，的值应满足( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象与系数之间的关系，由两支曲线的分界线在轴左侧可以判断的正负，由时的函数图象判断的正负． 【详解】解：∵ ， 由图可知，两支曲线的分界线位于轴的右侧， ， ， 由图可知，当时的函数图象位于轴的下方， 当时， ， 又当时，， ， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则锐角______ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了根据三角函数值求角的度数．根据特殊角的三角函数值，，且 为锐角，因此． 【详解】解：∵，且 是锐角， ∴． 故答案为：． 12. 若是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据根与系数的关系得到，根据一元二次方程解的定义得到，再由，利用整体代入法求解即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 13. 某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为6米的点、处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为_____米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（拱桥问题），直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握实际问题与二次函数（拱桥问题）是解题的关键． 令 ，则，解方程可得 ，，然后根据即可求出这两个救生圈间的水平距离． 【详解】解：令 ，则， 解得： ，， ， 故答案为：． 14. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧且线段，分别与相切，，为切点，若，，则的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质及弧长公式，勾股定理，设圆弧所在圆的圆心为，连接，，由，分别与相切，则，可求，，再通过勾股定理得，最后由弧长公式即可得到结论，掌握知识点的应用，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设圆弧所在圆的圆心为，连接，， ∵，分别与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长， ∴的长为， 故答案为：． 15. 二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，点坐标的规律计算，掌握二次函数图象的性质，找出规律是关键． 根据等边三角形的性质，二次函数图象的性质得到，，，由此得到（是正整数），令代入计算即可． 【详解】解：∵，，，…，都为等边三角形， ∴，， ，，， 设， 如图所示，过点作轴于点，轴于点，轴于点， ∴，则， 在中，， ∴，， ∴， ∵点在二次函数位于第一象限的图象上， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， 同理，，，， ∴，， ∵点在二次函数位于第一象限的图象上， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴，， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ， ∴（是正整数）， ∴的边长为． 故答案为：7 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）先去括号，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， 或， 解得． 17. 图案设计：正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案．下面是三种不同设计方案中的一部分： （1）请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P．（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．） （2）若网格的单位长度为1，求出图②中阴影部分面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的设计，求阴影部分面积，熟知中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可． （2）阴影部分的面积等于一个半径为2，圆心角度数为90度的扇形面积减去一个直角边长为2的等腰直角三角形的面积，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：， ∴图②中阴影部分的面积为 18. 如图，在中，，是上的点，已知是等边三角形，， ， ． （1）证明：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得到角和边的关系，再通过计算边的比例证明相似； （2）利用（1）的相似结论得到角的关系，进而求出的度数． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， 又， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 19. 甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有两个种类的奶制品：A．纯牛奶，B．核桃奶；伊利品牌有三个种类的奶制品：C．纯牛奶，D．酸奶，E．核桃奶． （1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是_______； （2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品牌中随机选购一种奶制品，请利用画树状图或列表的方法求出两人选购到同一种类奶制品的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接计算即可； （2）画出树状图，得出所有可能的情况数和符合要求的情况数，再利用概率公式计算． 【详解】解：（1）∵两个品牌共有5个种类的奶制品，每个品牌都有一种纯牛奶， ∴选购到纯牛奶的概率=， 故答案为：； （2）画树状图如下： 可知共有6种等可能的结果，其中两人选购到同一种类奶制品的情况有2种， ∴两人选购到同一种类奶制品的概率为=． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 如图1，为放置在水平桌面上的台灯，底座的高为.长度均为的连杆，与始终在同一水平面上. （1）旋转连杆，，使成平角， ，如图2，求连杆端点离桌面的高度. （2）将（1）中的连杆绕点逆时针旋转，使，如图3，问此时连杆端点离桌面的高度是增加了还是减少？增加或减少了多少？（精确到，参考数据： ， ） 【答案】（1）；（2）下降了，约. 【解析】 【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题． （2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF-DE即可解决问题． 【详解】（1）过点作，垂足为，如图2， 则四边形是矩形，， ∴， ∴. （2）下降了. 如图3，过点作于点，过点作于点，过点作 于点，过点作 于点，则四边形为矩形， ∵，∴， 又∵，∴， ∴，， ∴ . ∴下降高度： . 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 21. 如图，直线 与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求的值和反比例函数表达式； （2）当时，根据图象直接写出的取值范围； （3）点M是直线上的一点，过点M作平行于x轴的直线交反比例函数图象于点，若，求的面积． 【答案】（1），反比例函数的解析式为 （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与几何综合，平行线分线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出m的值，利用待定系数法即可求解； （2）根据图象，直接得出解集即可； （3）过点作轴于点，过点M作轴于点，分点M在线段上，点M在线段的延长线上，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵直线 经过点 ∴ ∴ ∴ ∵反比例函数经过 ∴ ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 由图，可知， 当时，． 【小问3详解】 过点作轴于点，过点M作轴于点， ∴， ∴， 令，解得：， ∴， ∵， ∴ ，， ①点M在线段上， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点Q的横坐标为， ∴点M的横坐标为， 当时，， ∴， 当 时，， 解得， ∴， ∴， ∴． ②点在线段的延长线上，如图，有 ， ∵， ∴， 不符合题意，舍去． 综上所述，． 22. 如图，在四边形中，，平分，， （1）求证： ； （2）请用不带刻度的直尺和圆规作 的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），作图后判断是否为的切线，并说明理由． 【答案】（1） 证明：， ， ， 平分， ， ， ， 即 ． （2） 如图，即为所求． 是， 证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线． 【解析】 【分析】本题综合考查角平分线性质、勾股定理及逆定理、三角形外接圆与切线判定，核心是利用几何性质与定理，通过作辅助线、等量代换实现边与角关系转化，突破垂直证明与切线判定． （1）证 ：借角平分线作垂线，勾股定理算线段，再借助相似三角形的判定与性质，实现从边的计算到角的关系推导． （2）作外接圆与证切线：作垂直平分线定圆心作圆，利用半径相等、角平分线性质证平行，结合直角条件，依切线判定（垂直于半径外端）得结论，完成几何作图与位置关系证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 已知二次函数． （1）若，求函数的对称轴和顶点坐标． （2）若函数图象向上平移6个单位，恰好与x轴只有一个交点，求a的值． （3）在（1）的条件下，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点P为直线上方抛物线上的一动点，求点P到直线的距离最大时，点P的坐标． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2）的值为或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移，二次函数图象与三角形面积综合，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入二次函数解析式，再将二次函数化为顶点式即可得到答案； （2）根据二次函数平移的性质得到平移后的函数，再根据新函数与轴只有一个交点建立方程，解方程即可得到答案； （3）由二次函数解析式可求得点B、点C的坐标，设点P的坐标，根据 的面积两种计算方式建立点P到直线的距离的函数关系式即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴二次函数解析为， ∴函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 解：二次函数图象向上平移6个单位后得， ∵恰好与x轴只有一个交点， ∴， 解得，， ∴的值为或． 【小问3详解】 解：在（1）的条件下，令，则， 解得 ，， ∴，，则 ， 令，则， ∴，则， ∴， 如图，设，连接，，过点P作轴于点E，交于点F，作 于点D，过点C作于点G， 设直线解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线解析式为 ， ∵轴， ∴，则， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴当时，点P到直线的距离最大，此时点P的坐标为， ∴点P到直线的距离最大时，点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $