精品解析：河北沧州市南皮县第一中学2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题

高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 2. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 3. 经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的焦点是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆：，双曲线：，.设椭圆M的两个焦点分别为，，椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P， 若且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若直线与直线平行，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 11. 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 曲线关于坐标轴对称 C. 曲线与轴没有交点 D. 的面积不大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点作直线，若直线与连接与两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为________． 13. 已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是___________． 14. 已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上. （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程. 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上. （1）求证：平面； （2）若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值. 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 18. 已知双曲线M与双曲线N：有共同的渐近线． （1）若M经过抛物线的顶点，求双曲线M的方程； （2）若双曲线M的两个焦点分别为，，点P为M上的一点，且，求双曲线M的方程． 19. 已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． （1）求C的方程． （2）M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【详解】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：D. 2. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 3. 经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程. 【详解】由，解得 因为所求直线与直线垂直 所以所求直线方程：2x+3y＋c＝0, 代入点可得， 所以所求直线方程为 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查直线方程，确定直线方程一般有两种途径：1.确定直线上不同的两点，通过直线方程的两点式确定；2.确定直线的斜率和直线上的一点，通过直线方程的点斜式确定. 4. 已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在圆外及方程表示圆，列出不等式求解. 【详解】由点在圆外，则，得． 又表示圆，得，得． 综上：，即实数的取值范围为． 故选：D 5. 已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立、关系求解离心率. 【详解】设椭圆左焦点为，连接、， 由、关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率. 故选：B 6. 抛物线的焦点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据抛物线的焦点坐标的公式即可求解. 【详解】的焦点是, 故选：D 7. 已知椭圆：，双曲线：，.设椭圆M的两个焦点分别为，，椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P， 若且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】联系椭圆定义可顺利解得其离心率，由渐近线方程可以顺利解得双曲线的离心率. 【详解】椭圆：中，且 则，椭圆长轴长为 则椭圆M的离心率 直线OP斜率为 又由题意可知直线OP为双曲线N的一条渐近线， 双曲线：的渐近线方程为 故，即， 则双曲线的实半轴长为 则双曲线N的离心率 则 故选：A 8. 已知椭圆，直线不经过点，且斜率为.若与交于两个不同点且直线的倾斜角分别为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线，，，联立椭圆并应用韦达定理得，，设直线与的斜率分别为，应用斜率的两点式得，即有，即可得. 【详解】设直线，，， 由，得， 由，解得或， 则，， 依题意，因为恰好在椭圆上，所以与的斜率一定存在，所以，， 设直线与的斜率分别为，因为，， 所以． 又，， 所以 ， 又，，即， 则，所以. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若直线与直线平行，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用两直线平行的等价条件，即可解得实数的值. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得或. 故选：AB. 10. 已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合向量垂直的性质即可求解；对于B，结合向量的四则运算即可求解；对于C，利用投影的几何意义即可求解； 对于D，根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】对于A，，， 又，， 即， 解得，故A正确， 对于B，， ， ，解得，故B正确， 对于C，在上的投影向量为，即， 代入坐标化简可得， 故，无解，故C错误， 对于D，与夹角为锐角， ，解得， 且与不共线，即，解得， 则与夹角为锐角，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 曲线关于坐标轴对称 C. 曲线与轴没有交点 D. 的面积不大于 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两点之间的距离公式和题目所给定义，判断A的正误，根据坐标轴对称的性质，判断B的正误，根据设纵坐标为0，列出方程，判断C的正误；根据三角形正弦定理面积公式，以及三角函数范围，判断D的正误； 【详解】设，则， 则，所以A正确； 令代，则， 可知曲线关于轴对称， 令代，则， 可知曲线关于轴对称，所以B正确； 令，则，化简得，解得， 可知当时，，当时，或，当时，或， 可知与轴至少有2个交点，所以C不正确； 由三角形面积公式可知，因为在三角形中，所以， 且仅当，即时取等号，所以D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过点作直线，若直线与连接与两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】画出图像，数形结合解决起来好理解. 【详解】 如图，连接PA、PB，则直线PA与直线PB均与线段AB相交， 设直线PA的倾斜角为，直线PB的倾斜角为, 则符合要求的直线的倾斜角范围为， , 由题意知直线的斜率存在，根据直线的倾斜角与斜率的关系， 满足条件的直线的斜率的取值范围为或 故答案为：或 13. 已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并求点的坐标. 【详解】因为点在直线上运动，， 所以，则，则，则，， 所以， 时，取最小值，此时， 故答案为： 14. 已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得是双曲线的切线，切点为，线段的中点为，再根据平面向量的数量积的运算律可得，结合双曲线的性质即可得解. 【详解】因为为双曲线上的动点， 所以，则，， 由题意，直线是双曲线的切线，切点为， 而双曲线的渐近线方程为，则， 联立，解得， 所以点的坐标为， 联立，解得， 所以点的坐标为， 所以线段的中点为， 则 （当且仅当时取等号）， 由题意可得直线的斜率大于零或不存在， 故，当且仅当为双曲线右顶点时取等号， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上. （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程. 【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2 （2）x＝0或3x+4y﹣4＝0 【解析】 【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可. （2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论. 【小问1详解】 因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）. 则点C到直线x+y＝2的距离d. 据题意，d＝|AC|，则， 解得a＝1. 所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d， 则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2. 【小问2详解】 k不存在时，x＝0符合题意； k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0，圆心到直线的距离1，∴k， ∴直线方程为3x+4y﹣4＝0. 综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0. 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上. （1）求证：平面； （2）若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） 因为底面，、底面，所以，， 所以，， 所以矩形是正方形，所以， 因为，所以平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）由条件可得，，然后算出的长度可得矩形是正方形，然后可得，即可证明； （2）、、两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知、、两两垂直，建系如图， ，0，，，2，，，0，，，2，，，1，， ，，，，1，，，2，， 设平面的法向量为， 则，，即 所以可取，0，， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 18. 已知双曲线M与双曲线N：有共同的渐近线． （1）若M经过抛物线的顶点，求双曲线M的方程； （2）若双曲线M的两个焦点分别为，，点P为M上的一点，且，求双曲线M的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先利用共渐近线方程，设出曲线，再代入顶点坐标，即可求解； （2）根据双曲线的定义求，再分焦点的位置，根据双曲线的性质，即可求解. 【小问1详解】 依题意可设M的方程为． 抛物线，顶点为， 将代入M的方程，得，则M的方程为． 【小问2详解】 由题意易知，． 当焦点在x轴上时，，可设双曲线M的方程为，则，， 则双曲线M的方程为． 当焦点在y轴上时，，可设双曲线M的方程为，则，， 则双曲线M的方程为． 综上所述，双曲线M的方程为或． 19. 已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． （1）求C的方程． （2）M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由得，由点在C上求得，即可得到方程； （2）（ⅰ）设，，利用斜率公式证明； （ii）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理与（ⅰ）中结论，可求出，进而可得结论． 【小问1详解】 因为，所以，则双曲线， 又点在C上，所以，解得， 所以C的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）易知，，设，， 则，，即， 而， 所以， 又，所以， 故，为定值． （ii）设直线的方程为，，，， 由，得， 所以． 由（ⅰ）可知，， 即， 即， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $