精品解析：广东惠州市2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试题

2025－2026学年第一学期期末考试 高一数学 全卷满分150分，时间120分钟. 2026.2 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可求得集合，再由交集运算法则可得结果. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：B. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根式以及对数式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先分别解出和的等价范围，再通过判断两个范围的包含关系来确定充分性与必要性. 【详解】由“”解得，由“”解得， 若，则必然有，即，故充分性成立， 若，取，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 4. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数平移规则计算求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到. 故选:C. 5. 已知，知都是锐角，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用同角三角函数关系计算得出，，再应用两角和正弦公式计算求解. 【详解】因为，都是锐角，则，， 则. 故选:D. 6. 四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，可知a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数，b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数． 7. 数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点A，B，C为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若该莱洛三角形的周长为，则其面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据莱洛三角形的周长求出构成它的等边三角形的边长，再通过三个扇形面积减去两个等边三角形面积得到其面积. 【详解】莱洛三角形的周长为，可得弧长， 则等边三角形的边长，分别以点A、B、C为圆心， 圆弧AB、BC、AC所对的扇形面积均为，等边的面积， 所以莱洛三角形的面积是. 故选：C 8. 已知，，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：由三角恒等变换得，设，转化为二次函数求最值； 解法二：由二倍角及和差化积得，记，则，转化为二次函数求最值． 【详解】解法 设，则，即 .故选D. 解法2： ，记，则 则. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在时取得最大值 C. 函数的一条对称轴为 D. 函数的一个对称中心为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期、最值、对称轴、对称中心分别分析即可得解. 【详解】A选项，的最小正周期为，故A正确； B选项，，取不到最值，故B错误； C选项，，取不到最值， 所以不是函数的对称轴，故C错误； D选项，因为，则是的一个对称中心，故D正确. 故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则的最小值为 C. 已知命题，，则为真命题 D. 已知集合，满足：命题“，，”为真命题，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可判断选项A，利用基本不等式“”的妙用，即可判断选项B，根据命题的真假判定，即可判断选项C，根据全称量词和存在量词的定义，即可判断选项D. 【详解】对于选项A，，，则，故A正确； 对于选项B，由得，且， 则， 当且仅当即时取等号，故B错误； 对于选项C，由，可知命题为假命题， 则为真命题，故C正确； 对于选项D，，，， 等价于都有，故，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数有两个零点，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】把零点问题转化为与的图像交点问题，再结合指数、对数函数的单调性，通过变形与推导逐一判断选项对错. 【详解】函数零点即方程的解，等价于与的交点横坐标. 选项A，当时，，最多只有一个零点，当时，如图所示有两个交点，且，故选项A正确； 选项B，由零点定义，满足，因为递减，所以，则，故选项B正确. 选项C， 解法1：将原式等价表示为，由可知，故C选项错误. 解法2：两边同时除以改为，由可知，则，与选项矛盾，故C选项错误. 解法3：将代入，则，由矛盾，故C选项错误. 选项D，由零点定义可知，，，， 则，即. 因，且递减，故， 则. 因此.故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数运算直接求解即可. 【详解】由题得，. 故答案为： 13. 若，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】由， 得，即，故. 故答案为： 14. 对于任意实数，，，且对于，恒有，则________，________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】根据赋值法计算得出及进而得出，再结合赋值法及计算得出函数值. 【详解】由，取可知，即. 由，取可知，，即. 由，取，则，即. 取可知，即. 因为对于，恒有，则当时，. 由可得， 则. 又，则，. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合，其中. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先解不等式，再根据交集、并集、补集的定义，计算即可. （2）由，根据集合的包含关系，计算即可. 【小问1详解】 ，解得：， ， 或， 当时，， ， 解得：， ， 则 则或， 【小问2详解】 ， 易知， 又，解得：， ， 又， ， ， 综上，的取值范围为. 16. 已知函数，解答下列问题： （1）求函数的单调区间； （2）若，求函数的值域. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为，. （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数整理成，利用正弦函数的单调性，由整体的思想代入解出的取值范围即可； （2）先由题目得出内层函数的值域，再由内层函数的值域就是外层函数的定义域得出结论. 【小问1详解】 由正弦函数的单调递增区间为， 可得，， 解得，； 由正弦函数的单调递减区间为，， 可得，， 解得， 综上：函数的单调递增区间为，， 函数的单调递减区间为，. 【小问2详解】 设，因为，则，； 易知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当，即时，函数取得最大值，； 当时，即时，， 当时，即时，， 又，即当时，即时，函数取得最小值， 所以的值域为，则的值域为. 17. 为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为，（m为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为（单位：1万元），记为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和 （1）写出的解析式； （2）当x为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？ 【答案】（1）； （2）40平方米，最小值40万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定的条件，求出m值及的解析式，进而求出的解析式作答. （2）结合均值不等式，分段求出的最小值，再比较大小作答. 【小问1详解】 依题意，当时，，即有，解得，则， 于是得， 所以的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上递减，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 显然，所以当x为40平方米时，取得最小值40万元. 【点睛】方法点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 18. 已知函数，若对于其定义域中任意非零实数，都有，则称函数为“广义奇函数”. （1）若，证明：函数为“广义奇函数”； （2）若是“广义奇函数”，求实数的值； （3）若，证明：函数在定义域内有且仅有两个零点. 【答案】（1）证明见解析 （2）或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“广义奇函数”的定义可证为“广义奇函数”； （2）根据“广义奇函数”的性质可求参数的值； （3）证明函数的单调性后结合零点存在性定理可证明函数有两个零点. 【小问1详解】 ，则，， 故函数为“广义奇函数”. 【小问2详解】 若是“广义奇函数”，则 整理得恒成立 解得或 【小问3详解】 先考虑函数的单调性： 解法1：函数，，任取，，且. 因为，则，，，, 则，，即，故. 所以函数在上单调递增,同理，函数在上也单调递增 解法2：易知函数在上单调递增， 函数在和上分别单调递增. 所以函数在和上分别单调递增. 下面利用零点存在定理说明函数零点个数. ，， 由零点存在性定理知，，， 则函数在上有且只有一个零点. 又, 所以函数是“广义奇函数”, 则，即，也是函数的零点, 所以函数在和各有一个零点， 即函数在定义域内有且只有两个零点. 19. 已知函数，. （1）证明：函数是奇函数，函数是偶函数； （2）若直线与函数和函数的图象共有三个不同的交点，设这三个交点的横坐标分别为，，，证明：； （3）设函数，若，恒成立.求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）14 【解析】 【分析】（1）根据题意结合奇偶性的定义分析证明即可； （2）根据，的单调性和奇偶性分析可知，直线与函数的图象有且只有一个交点，与函数的图象有两个交点，进而运算求解即可； （3）分析可知，令，分类讨论求的最值，并代入检验即可. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，即函数定义域关于原点对称， 且，所以函数是奇函数； 又因为函数的定义域为，即函数定义域关于原点对称， 且，所以函数是偶函数. 【小问2详解】 因为函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递减， 可知函数在定义域内单调递增， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知函数的值域为，则直线与函数的图象有且只有一个交点， 任取，且， 则， 因为，则， 可得，即， 则函数在内单调递增，可得， 由（1）可知：为偶函数，当时，直线与函数的图象有两个交点， 由题意直线与函数和函数的图象共有三个不同的交点，则， 不妨记与函数的图象交点的横坐标为，直线与函数的图象两个交点的横坐标分别为，， 则， 因为，则，整理得 解得或（舍去），可得， 所以. 【小问3详解】 令，则，即， 当时，， 则，，，且， 则，即， 该不等式在和时同时满足， 即，解得， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 经验证，时，满足题意， 综上所述：的最大值为14. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末考试 高一数学 全卷满分150分，时间120分钟. 2026.2 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 已知，知都是锐角，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（ ） A. B. C. D. 7. 数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点A，B，C为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若该莱洛三角形的周长为，则其面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在时取得最大值 C. 函数的一条对称轴为 D. 函数的一个对称中心为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则的最小值为 C. 已知命题，，则为真命题 D. 已知集合，满足：命题“，，”为真命题，则 11. 已知函数有两个零点，，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：________. 13. 若，则________. 14. 对于任意实数，，，且对于，恒有，则________，________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合，其中. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数，解答下列问题： （1）求函数的单调区间； （2）若，求函数的值域. 17. 为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为，（m为常数），已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为（单位：1万元），记为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和 （1）写出的解析式； （2）当x为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？ 18. 已知函数，若对于其定义域中任意非零实数，都有，则称函数为“广义奇函数”. （1）若，证明：函数为“广义奇函数”； （2）若是“广义奇函数”，求实数的值； （3）若，证明：函数在定义域内有且仅有两个零点. 19. 已知函数，. （1）证明：函数是奇函数，函数是偶函数； （2）若直线与函数和函数的图象共有三个不同的交点，设这三个交点的横坐标分别为，，，证明：； （3）设函数，若，恒成立.求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $