精品解析：河南虞城县高级中学等校2026届高三上学期期末质量检测数学试题

河南虞城县高级中学等校2026届高三上学期期末质量检测数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合之间的交集运算的定义即可求解. 【详解】因为， 所以． 故选：C. 2. 数据3，4，5，6，7，8，9的中位数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义判断即可. 【详解】数据3，4，5，6，7，8，9的中位数是. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切的差角公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 4. 某校期末考试的数学成绩服从，若，则（ ） A. 90 B. 85 C. 80 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】利用对立事件的概率和也为1，联立可得，从而可得对称轴的取值. 【详解】因为，， 所以， 即. 故选：C. 5. 的展开式中的系数是（ ） A. 5736 B. 672 C. -672 D. -5736 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式通项公式求解即可. 【详解】的展开式中通项为， 要求的系数，所以令，得， 所以的展开式中的系数是． 故选 B. 6. 点是抛物线上的一点，记点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知，结合点到直线距离公式可求得结果. 【详解】设抛物线的焦点为，则， 作，，垂足分别为， 由抛物线定义知：， （当且仅当在线段上时取等号）， ，的最小值为. 故选：A. 7. 某圆锥的侧面积与底面积之比为2，则该圆锥外接球的表面积与圆锥的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据圆锥的面积公式及题意可得，圆锥的高，进而结合勾股定理可得圆锥外接球半径，进而求解即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据题意，得，所以， 则圆锥的高，因为圆锥外接球的球心在圆锥的高上，设圆锥外接球半径为， 则，解得， 则圆锥外接球的表面积为 圆锥的表面积为， 所以圆锥外接球的表面积与圆锥的表面积之比为. 故选：D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于A，B两点，点是的内心，若的面积比为5:12:13，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的内切圆半径为，结合三角形的面积公式及题设可得，可得，再根据双曲线的定义得到，再结合勾股定理得到，进而求解即可. 【详解】设的内切圆半径为，因为的面积比为5:12:13， 所以，则， 不妨设，则， 所以，由双曲线的定义，得， 所以， 即，所以， 则， 设，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的实部是 B. 的虚部是 C. D. 在复平面内所对应的点位于第二象限 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数除法运算可化简得到，由共轭复数、复数实部和虚部定义、复数模长运算与几何意义依次判断各个选项即可. 【详解】； 对于A，由实部定义知：实部为，A正确； 对于B，，的虚部是，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，对应的点为，位于第二象限，D正确. 故选：AD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的单调递减区间为 C. 是偶函数 D. 若，则的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图象确定，通过周期得到，再由得到，确定，再结合正弦函数单调性、奇偶性、最值逐项判断即可. 【详解】由图可知，周期，所以，所以， 由图可知，结合图形可得， 因为，所以，所以，故A正确； 令，得，即的单调递减区间为，故B正确； ，所以不是偶函数，故C错误； ，所以min，故D正确． 故选：ABD. 11. 设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“阶减函数”，下列命题正确的是（ ） A. 存在“阶减函数”在上不单调递减 B. 存在“阶减函数”不是“阶减函数”，且 C. 函数是“1阶减函数”（其中表示不大于的最大整数） D. ，函数不是“阶减函数”（其中表示不大于的最大整数） 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合“阶减函数”的定义，举出符合要求的例子可得A、B；结合“阶减函数”的定义，计算可得C；计算可得，则，则存在，使得不成立，即可得D. 【详解】对于A，若令，定义域为， 存在，当时，，，此时， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 对于任意，都有，即是“2阶减函数”， 因为，，所以在上不单调递减，故A正确； 对于B，若是“阶减函数”，则存在，对任意，都有， 因为且，所以， 即存在实数，使得对任意，都有， 所以是“nk阶减函数”，故B错误； 对于C，对于，定义域为，当时，对任意的， 都有，即， 所以函数是“1阶减函数”，故C正确； 对于D，因为，所以，所以当时，取到最大值0， 所以对，即存在，使得不成立， 所以函数不是“阶减函数”，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 13. 在中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用平方差公式、平方和关系、正弦定理、余弦定理，即可求解. 【详解】由， 得， 所以， 即， 由正弦定理，得， 由余弦定理，得， 又，所以. 故答案为： 14. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则实数的最大值是__________. 【答案】e 【解析】 【分析】紧抓切点既在曲线上，也在切线上，建立等量关系，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的最大值即可. 【详解】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点. 令，则，所以，所以， 令，则，所以，解得， 所以，消去后得. 令，则， 令，则在上恒成立，所以单调递减， 又，所以当时，，即单调递增，当时，，即单调递减， 所以，即实数的最大值是e． 故答案为：e. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 工信部发布：2026年1月1日起，购买新能源车需缴纳一半的购置税.某车辆爱好协会为了了解协会成员的购车意愿与减免购置税是否相关，从协会中随机抽取100名成员进行调查，得到如下列联表： 减免购置税 不减免购置税 总计 购车意愿较强 75 购车意愿较弱 5 总计 40 100 （1）补全表中数据； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为协会成员的购车意愿与减免购置税有关联？ 附：，其中. 0.010 0.001 6.635 10.828 【答案】（1）答案见解析 （2）能认为协会成员的购车意愿与减免购置税有关联． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件完善列联表即可. （2）先根据公式求出，再根据临界值表可得相应的判断. 【小问1详解】 列联表如下： 减免购置税 不减免购置税 总计 购车意愿较强 55 20 75 购车意愿较弱 5 20 25 总计 60 40 100 小问2详解】 零假设：协会成员的购车意愿与减免购置税无关联， 因为，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即能认为协会成员的购车意愿与减免购置税有关联． 16. 已知数列满足，. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知递推关系式和等差数列定义直接证明即可； （2）根据等差数列通项公式可推导得到的通项公式，利用裂项相消法可求得结果. 【小问1详解】 ，， 又，数列是以为首项，为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）得：，， ， . 17. 如图，在三棱柱中，，点是BC的中点，且平面. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）先证平面，再证平面平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，即可得夹角的余弦值，根据同角三角函数的基本关系可得正弦值. 【小问1详解】 证明：因为为BC的中点， 所以是等腰三角形，所以. 因为平面平面ABC，所以. 因为平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面平面ABC，所以，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以， 又，所以. 所以， 所以. 设是平面的法向量，则， 令，则，所以平面的一个法向量是． 设是平面的法向量，则， 令，则，所以平面的一个法向量是． 设平面与平面的夹角为，则. 所以，即平面与平面夹角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若，证明：有2个零点； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）极大值为，没有极小值 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，进而求解即可； （2）方法一：先利用导数分析函数单调性，易得在区间上有且只有1个零点，再证明在上有且只有1个零点，即可求证； 方法二：由，得，令，利用导数分析函数的单调性，进而求证即可； （3）由题意得，利用导数分析函数的单调性，进而得到在上单调递减，进而求解即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 当时，单调递增，当时，单调递减． 所以当时，有极大值，且极大值为，没有极小值. 【小问2详解】 方法一：的定义域为， 因为，所以当时，单调递增， 当时，单调递减． 当时，取到极大值，也是最大值. 因为，所以， 因，所以在区间上有且只有1个零点， 所以在区间上有且只有1个零点． 因为， 令，所以在上恒成立， 所以在上单调递减，即，所以. 所以在区间上有且只有1个零点， 所以在区间上有且只有1个零点. 综上所述，当时，有2个零点. 方法二：的定义域为，由，得． 令，则， 当时，单调递增，当时，单调递减. 所以当时，取到极大值，也是最大值. 又，当时，，且， 所以当时，直线与的图象有2个交点， 即当时，有2个零点. 【小问3详解】 由， 设，则，所以有2个不同的根， 因为，所以． 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以时，取到极小值，也是最小值． 因为恒成立，所以，即. 又，所以， 令，则恒成立， 所以上单调减，又，所以由，得， 所以由，得. 因为在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以的值域为，即实数的取值范围是． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是的上顶点，且的周长和面积分别为，过动点作的两条切线，切点分别为. （1）求的标准方程； （2）若，求点的轨迹方程； （3）若，，且在轴上方，过点作直线交于两点（在线段上），过作的平行线分别交于两点.证明：为线段的中点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据焦点三角形周长和面积可构造方程组求得，由此可得椭圆方程； （2）当直线的斜率都存在时，将直线方程与椭圆方程联立，由可得到等量关系；将换为可得另一个等量关系，两式相加可求得；当直线一条的斜率为，另一条直线的斜率不存在时，由点坐标可知满足，进而确定轨迹方程； （3）利用（2）中等式可求得斜率，进而得到坐标和直线的方程；将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据直线交点的求法可分别表示出，结合韦达定理化简可得，由此可得结论. 【小问1详解】 由题意知：，，，其中， 的周长和面积分别为， ，又， ，， 椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 当直线的斜率都存在时，设直线的斜率为， 则直线的方程为：； 由得：， 直线与相切，， 化简得：…①； ，故将换成得：…②； ①②得：，； 当直线中一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在时，的坐标为，满足； 综上所述：点的轨迹方程为. 【小问3详解】 当，时，由（2）中知：， 解得：或． 在轴上方，，， 则直线的方程分别为：和； 由得：； 由得：； 直线的方程为：. 设，，， 由得：， 则且，， ，， 由得：， ， 由得：； ， 又，， ， ，又三点共线，为线段的中点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南虞城县高级中学等校2026届高三上学期期末质量检测数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 数据3，4，5，6，7，8，9的中位数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5.5 D. 5 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 某校期末考试的数学成绩服从，若，则（ ） A. 90 B. 85 C. 80 D. 75 5. 的展开式中的系数是（ ） A. 5736 B. 672 C. -672 D. -5736 6. 点是抛物线上的一点，记点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 某圆锥的侧面积与底面积之比为2，则该圆锥外接球的表面积与圆锥的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于A，B两点，点是的内心，若的面积比为5:12:13，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的实部是 B. 的虚部是 C. D. 在复平面内所对应的点位于第二象限 10. 已知函数部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的单调递减区间为 C. 是偶函数 D. 若，则的最小值是 11. 设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为“阶减函数”，下列命题正确的是（ ） A. 存在“阶减函数”在上不单调递减 B. 存在“阶减函数”不是“阶减函数”，且 C. 函数是“1阶减函数”（其中表示不大于的最大整数） D. ，函数不是“阶减函数”（其中表示不大于的最大整数） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则__________. 13. 在中，，则__________. 14. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则实数的最大值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 工信部发布：2026年1月1日起，购买新能源车需缴纳一半的购置税.某车辆爱好协会为了了解协会成员的购车意愿与减免购置税是否相关，从协会中随机抽取100名成员进行调查，得到如下列联表： 减免购置税 不减免购置税 总计 购车意愿较强 75 购车意愿较弱 5 总计 40 100 （1）补全表中数据； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为协会成员的购车意愿与减免购置税有关联？ 附：，其中. 0.010 0001 6.635 10.828 16. 已知数列满足，. （1）证明：数列等差数列； （2）求数列前项和. 17. 如图，在三棱柱中，，点是BC的中点，且平面. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 18. 已知函数. （1）当时，求极值； （2）若，证明：有2个零点； （3）若，求的取值范围. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是的上顶点，且的周长和面积分别为，过动点作的两条切线，切点分别为. （1）求的标准方程； （2）若，求点的轨迹方程； （3）若，，且在轴上方，过点作直线交于两点（在线段上），过作的平行线分别交于两点.证明：为线段的中点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $