精品解析：山东聊城市茌平区2025-2026学年第一学期期末学业水平检测九年级数学试题

2025-2026学年第一学期学业水平检测 九年级数学试题 时间：100 分钟 分值：120分 一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分） 1. 函数中自变量x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 2. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（ ） A B. C. D. 3. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是（ ） A. ①和②相似 B. ①和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 4. 如图，四边形是的内接四边形，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点O为的内心．若的面积为25，则的面积为（　　） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 6. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，半径为的是正六边形的外接圆，过点作的切线交的延长线于点，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 9. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，且a、b、c是的三边长，那么是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C 直角三角形 D. 任意三角形 10. 如图，腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小直角三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标是__________ ． 12. 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，点A、B在大圆上，点C、D在小圆上，和的长度分别是．若扇形和扇形的面积相等，则的大小关系是：_____．（填“>”“<”或“=”） 13. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数 与反比例函数交于A、B两点， 点C在x轴上， 且， 若则k的值= ____________． 15. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点的坐标为．则下面四个结论：①；②；③不等式的解为；④；⑤，其中正确的序号为_____． 三、解答题（本题7个大题，共75分.应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1） （2） （3）（因式分解法） （4）（选择合适的方法） 17. 2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有15个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 （1）从这15个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； （2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵．老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享，请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 18. 如图是一盏台灯示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离．（精确到）．（参考数据：，） 19. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为，另外三边用的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的门，设苗圃园垂直于墙的一边长为，苗圃园的面积为． （1）写出关于的函数关系式，并写出的取值范围；（直接写出结果）； （2）若苗圃园的面积为，求垂直于墙的一边长为多少？ （3）根据实际情况，垂直于墙的一边长为多少时，苗圃园的面积最大？并求出这个最大值． 20. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 21. 如图，一次函数的图像交反比例函数图像于两点． （1）求的值． （2）点是轴上一点，且，求点的坐标． （3）请你根据图像直接写出不等式解集． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．（为常数，） （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线向下平移个单位后与轴交于，两点，求的长． （3）当（）时，的最大值与最小值之差为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期学业水平检测 九年级数学试题 时间：100 分钟 分值：120分 一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分） 1. 函数中自变量x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件，是解题的关键．二次根式被开方数为非负数，分式分母不能为0，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，即可进行解答． 函数包含平方根和分母，需满足被开方数非负且分母不为零． 【详解】解：， ∵被开方数， ∴． ∵分母， ∴． 综上，． 故选：D． 2. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三个开关，随机闭合两个有，，三种情况，其中能使得灯泡发光的接法只有闭合这一种情况，根据简单地概率公式计算即可． 本题考查了简单地概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：三个开关，随机闭合两个有，，三种情况，其中能使得灯泡发光接法只有闭合这一种情况， 根据题意，得能让灯泡发光的概率是， 故选：B． 3. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论中一定正确的是（ ） A. ①和②相似 B. ①和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 【答案】B 【解析】 【分析】由得到，结合，根据三角形相似的判定解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：由得到， 又， 故， 故选：B． 4. 如图，四边形是的内接四边形，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角、勾股定理及其逆定理、三角函数等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，根据“90度的圆周角所对的弦是直径”可知为直径，并利用勾股定理解得的值，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可知，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵，，， ∴为直径，且， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5. 如图，在中，，点O为的内心．若的面积为25，则的面积为（　　） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查三角形的内心的性质，掌握“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解本题的关键． 由角平分线的性质可得，点O到，，的距离相等，则、、面积的比实际为，，三边的比． 【详解】解：∵O为的内心， ∴点O是三条角平分线的交点， ∴点O到，的距离相等， ∴、面积的比． ∵的面积为25， ∴的面积为15． 故选：C． 6. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较. 根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，再求出、、到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线开口向上，对称轴为直线，离对称轴越远函数值越大， ∵，，，， ， 故选：A． 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定a、b、c的正负，然后确定一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：由图可知，抛物线的开口向下，对称轴位于y轴的左侧，与y轴正半轴交于一点， 即，，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，且， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限． 故选项B符合题意． 8. 如图，半径为的是正六边形的外接圆，过点作的切线交的延长线于点，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，正多边形的性质，切线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．连接，根据正六边形的性质以及切线的性质，判断A，B选项，根据含30度角的直角三角形的性质判断C，根据正六边形的面积等于6个正三角形的面积即可判断D选项，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵半径为的是正六边形的外接圆，过点作的切线交的延长线于点， ∴，，是等边三角形， ∴, 又∵， ∴， ∴， ∴，故A正确； ∵是等边三角形， ∴，故B不正确； ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴；故C正确； ∵，故D正确 故选：B． 9. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，且a、b、c是的三边长，那么是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 任意三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．现将原式化为一般式再根据根的判别式的意义得到，整理得，则可根据勾股定理的逆定理可判断三角形的形状． 【详解】解：方程化为， 根据题意得， 所以， 所以以正数a，b，c为边长的三角形为直角三角形． 故选：C． 10. 如图，腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小直角三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，再进行分类讨论，根据三角形面积公式进行列式化简，即可作答． 【详解】解：∵腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止． ①时，两个等腰直角三角形重叠面积为小的等腰直角三角形的面积， ∴； ②当时， 依题意，，， 移动距离， 则 ∴ ∴重叠的面积=边长为的等腰直角三角形的面积， 即， 此时是开口方向向上的二次函数， ③当时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0， 故选A． 二、填空题（本题共5个小题，每题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式的性质，直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线是顶点式形式，顶点坐标为． 故答案为． 12. 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，点A、B在大圆上，点C、D在小圆上，和的长度分别是．若扇形和扇形的面积相等，则的大小关系是：_____．（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算，掌握扇形的面积公式（用弧长表示）是解题的关键．设大圆的半径为，小圆的半径为，根据扇形的面积公式（用弧长表示）列出等式，由判断与的大小关系即可． 【详解】解：设大圆的半径为，小圆的半径为， 根据题意，得， ∵， ∴， 故答案为：<． 13. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， ∵一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵菱形面积为12， ∴， 解得：， ∴菱形的边长为 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数 与反比例函数交于A、B两点， 点C在x轴上， 且， 若则k的值= ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，作轴于点D，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∵， ∴， ∵函数 与反比例函数交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵该反比例函数图象在第二、四象限，即， ∴， 故答案为：． 15. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点的坐标为．则下面四个结论：①；②；③不等式的解为；④；⑤，其中正确的序号为_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线与轴的交点问题，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，根据二次函数的图象和性质，二次函数与不等式的关系等性质，结合题图中信息对各选项逐一进行判定即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴ ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点B的坐标为， ∴抛物线与x轴的一个交点A的坐标为， ∴由函数图象可得当或时，， ∴不等式的解为或，所以③错误； ∵抛物线的对称轴为直线，当时，y有最大值， ∴（m为任意实数），即（m为任意实数）， 所以④正确； ∵时，，即，把代入得， ∴，所以⑤错误； 正确的序号为①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（本题7个大题，共75分.应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1） （2） （3）（因式分解法） （4）（选择合适的方法） 【答案】（1） （2） （3），； （4），． 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）利用负整数指数幂、绝对值的性质以及代入特殊角的三角函数值，计算即可求解； （2）把特殊角三角函数值代入计算即可求解； （3）利用因式分解法解答即可求解； （4）利用公式法解答即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：， ∵，，， ， ∴， ∴，． 17. 2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有15个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 （1）从这15个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； （2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵．老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享，请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 【答案】（1）①随机；②5，3 （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）①根据必然事件、随机事件和不可能事件的概念解答即可； ②概率公式逆运用可得m的值，再由可得n的值； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：①事件“该班跑步量达标率为”是随机事件； ②∵事件“该班跑步量达标率满足”的概率为， ∴， ∴， 故答案为：①随机；②5，3； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 18. 如图是一盏台灯的示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离．（精确到）．（参考数据：，） 【答案】台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解．过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 19. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为，另外三边用的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的门，设苗圃园垂直于墙的一边长为，苗圃园的面积为． （1）写出关于的函数关系式，并写出的取值范围；（直接写出结果）； （2）若苗圃园的面积为，求垂直于墙的一边长为多少？ （3）根据实际情况，垂直于墙的一边长为多少时，苗圃园的面积最大？并求出这个最大值． 【答案】（1） （2）12 （3）当矩形苗圃园垂直于墙的边长为8米时，这个苗圃园的面积最大，最大面积为128平方米； 【解析】 【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，二次函数的最值，熟练掌握矩形的性质，构造二次函数求最值，一元二次方程的应用是解题的关键． （1）设苗圃园垂直于墙的一边长为，矩形的长，依题意，得：即可． （2）依题意，得：，解方程，取舍根，解答即可． （3）利用二次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：设苗圃园垂直于墙的一边长为，则矩形的长， 依题意，得：， ，， ， ． 【小问2详解】 解：当时，得， 故， 解得：，， ， ． 答：苗圃园面积是，垂直于墙的一边长为12米． 【小问3详解】 解：由（1）可知，， ∴； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为128． ∴当矩形苗圃园垂直于墙的边长为8米时，这个苗圃园的面积最大，最大面积为128平方米． 20. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，，为的直径，则有，所以点为的中点，又点为的中点，所以为的中位线，然后证明即可； （）先由勾股定理得，又，则， 所以，然后代入即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴点为的中点， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴由勾股定理，得， 由（）知，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 21. 如图，一次函数的图像交反比例函数图像于两点． （1）求的值． （2）点是轴上一点，且，求点坐标． （3）请你根据图像直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2）或；（3）或． 【解析】 【分析】（1）代入即可求出点n，即可求出反比例函数计算型，把代入反比例函数解析式即可求出m； （2）先求出直线解析式，进而求出△AOB面积，设点E坐标为，得到，求p的值，即可求出点E坐标； （2）根据不等式得直线位于反比例函数图形的上方，即可结合图像写出x的取值范围． 【详解】（1）把点代入中，得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得， ； （2）把代入得得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设直线与轴交点为， 令， ， ，如图， 的坐标为． ， 设点的坐标为， ， ， 解得：， 点坐标为或； （3）由不等式得直线位于反比例函数图形的上方， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题为反比例函数与一次函数综合练习，综合性较强，理解函数图像上点的坐标的特点，函数解析式与图像的关系是解题关键． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线为．（为常数，） （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线向下平移个单位后与轴交于，两点，求的长． （3）当（）时，的最大值与最小值之差为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）将代入抛物线解析式中，化顶点式，即可得到顶点坐标； （2）根据平移的特征写出平移后的解析式，令，解方程即可求得抛物线与轴的交点坐标，即可得解； （3）将抛物线化为顶点式，得到对称轴，结合，，，可得到抛物线的最值情况，根据最大值与最小值之差为列式计算即可． 【小问1详解】 解：当时，抛物线. 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线向下平移个单位后为， 令，即， ， 解得或， 抛物线与轴的交点分别为，， ； 【小问3详解】 解：， 对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ，， 当时，取到最大值为， 当时，取到最小值，最小值为， 的最大值与最小值之差为， ， 化简得：，即， ， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $