精品解析：山东省聊城市茌平区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年第一学期学业质量检测 九年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 函数中的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求函数的自变量的取值范围，根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数为非负数，列出不等式组，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵ ∴且 故选：D． 2. 已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（ ） A. ①组和②组的两个三角形都相似 B. ①组和②组的两个三角形都不相似 C. 只有①组的两个三角形相似 D. 只有②组的两个三角形相似 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可． 【详解】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：，，；第二个三角形的两个角分别为：，；故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似； 在图②中：，， ∴， ∵， ∴， 故①组和②组的两个三角形都相似． 故选：A． 3. 有4个外观完全相同的密封且不透明试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液．小星从这4个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液分别用表示，列表如下： （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） 由表可知共有12种可能的结果，其中抽到2个都是酸性溶液的情况有2种， 则抽到的2个都是酸性溶液的概率为． 故选D． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似 B. 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形 C. 三点确定一个圆 D. 如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，位似图形的性质，确定圆的条件，同圆或等圆中弦和圆周角的关系，根据相似三角形的判定，位似图形的性质，确定圆的条件，同圆或等圆中弦和圆周角的关系求解即可． 【详解】A．底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似，正确； B．相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，原说法错误； C．不共线的三点确定一个圆，原说法错误； D．同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，原说法错误． 故选：A． 5. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求角的余弦，取格点，连接，先由勾股定理逆定理得到，再根据计算即可． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由网格可得，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，且，下则关于、的大小关系描述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，反比例函数的性质；先根据题意得出的值，进而根据反比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得： ∴反比例数解析式为 ∵点、均在反比例函数图象上，， ∴， 故选：D． 7. 如图，菱形中，，．以为圆心，长为半径画，点为菱形内一点，连，，．若，且，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作交于点M，由菱形得，，由，得，，故可得，，根据SAS证明，求出，即可求出． 【详解】 如图，过点P作交于点M， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ，即， 解得：， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及求不规则图形的面积等知识，掌握扇形的面积公式是解答此题的关键． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b和的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵该抛物线对称轴位于y轴的左侧， ∴a、b同号，即 当时，， ∴ ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数的图象分布在第一、三象限， 故选：B 9. 如图，在正六边形中，P是中点，点Q在上，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形和圆，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据正六边形的性质，相似三角形的判定和性质以及平角的定义进行计算即可． 【详解】解：正六边形中， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 10. 二次函数（a、b、c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②对称轴是直线；③关于x的方程的负实数根在和0之间；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由表格数据可知：当时，；由时，；时，可得对称轴是直线，即可判断②；根据时，；当时，对应的函数值．可得当时，，随的增大而减小，推出抛物线开口向下，即可判断①；结合①②推出关于x的方程的正实数根在和之间；即可判断③；根据当时，对应的函数值，可得：；结合，即可判断④； 【详解】接：由表格数据可知：当时，； ∵时，；时，; ∴对称轴是直线，故②正确； ∵时，；当时，对应的函数值． ∴当时，，随的增大而减小， ∴抛物线开口向下， ∴； ∵， ∴， ∴，故①错误； 由以上分析可知：关于x的方程的正实数根在和之间； ∵对称轴是直线； ∴关于x的方程的负实数根在和0之间；故③正确； ∵当时，对应的函数值， 又，， 可得：； ∵， ∴，故④正确； 故选：D 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 关于x的方程有两个相等的实数根，是一个锐角，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，特殊三角函数值，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，由特殊三角函数值即可求解此题． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 又∵是锐角三角形的一个内角， ∴． 故答案为：． 12. 如图，小明先在凉亭A处测得湖心岛C在其北偏西的方向上，又从A处向正东方向行驶100米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其北偏西的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形方向角的应用，锐角三角函数．过点A作于点D，根据，再分别利用正弦余弦三角函数求出和的值即可得到本题答案． 【详解】解：过点A作于点D， 由题意可得：，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ∴， ∵， ∴（米）， 故答案为：米． 13. 在中，，，直角边的中点为，点在斜边上且，若为直角三角形，则的值为 _______． 【答案】3或4 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，分情况讨论，当时，利用解直角三角形即可得到结论，当时，利用特殊角的锐角三角函数求解，即可得结论．正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：①当时， ，， ， 的中点为， ， ； ②当， ，， ， 的直角边的中点为， ， ． 故答案为：3或4． 14. 草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键． 根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】根据题意得，圆锥的底面半径为4，高为3 ∴母线长为 ∴圆锥模型的侧面积为． 故答案为：． 15. 如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是 _______cm． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线． 分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可． 【详解】解：①如图1，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ②如图2，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ③如图3，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：． ∴蚂蚁爬行最短路程是20cm． 故答案为：20． 16. 如图，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中的圆心为点A，半径为；的圆心为点B，半径为；的圆心为点C，半径为；的圆心为点D，半径为；…，、、、，…的圆心依次按A、B、C、D循环，当时，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，弧长公式，根据题意得出一般规律是解题关键．由图形可知，线是由的弧连接而成，且半径依次增加，进而得出，，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：由图形可知，线是由的弧连接而成， 四边形是正方形，， ， ，，，，…… ，，，…… 以此类推，半径依次增加， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）． （2）． （3）解方程：； （4）解方程：． 【答案】（1） （2）2 （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）特殊角三角函数值计算即可． （2）根据负整数指数算，零指数幂，绝对值，特殊角三角函数值计算即可． （3）利用因式分解法解方程； （4）先移项化为一般式，再用因式分解法求解． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 【小问3详解】 解：， ，解得， ，解得， ， 【小问4详解】 ， ， ， ， ，解得， ，解得， ，． 18. 如图，在平行四边形中，过点D作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定： （1）证明，即可证明 （2）利用勾股定理求出的长，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， ， ， ，， ； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得 ， ， ， 解得：． 19. 如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，山坡面是一块平地，，，斜坡长，斜坡的坡比为． （1）求坡高； （2）本学期初三学生开展数学学科“综合与实践”活动，主题：测量高度A小组选择测量教学楼高度，他们的做法是：在教学楼F处安置测倾器，测得此时B的仰角和A的俯角，然后借助已知中的数据计算得到教学楼的高度，请借助A小组提供的数据计算教学楼的高度（精确到0.1）（参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2）教学楼的高度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡比可设设，，在中，根据勾股定理构造方程即可求解； （2）设，则，由得到，证明四边形为矩形，得到，，，进而，，根据，即可求出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：斜坡的坡比为，，， ， 设，， ∵在中，， ∴，解得， ， 【小问2详解】 解： 设，则， ， ， ，，， ， 四边形为矩形， ，，， ，， ， 即， 解得：， 经检验，是该分式方程的解． （米）， 故教学楼的高度为米． 20. 已知某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． （1）涨价多少元时，每周售出商品的利润为4000元？ （2）设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元． ①请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； ②确定x的值，使每星期售出商品的利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）涨价20元时，每周售出商品的利润为4000元 （2）；当时，每星期售出商品的利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用； （1）根据总利润=单件利润×销售量列出方程求解即可； （2）①根据涨价的函数表达式； ②利用二次函数的性质解答． 【小问1详解】 解：设涨价x元时，每周售出商品的利润为4000元， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：涨价20元时，每周售出商品的利润为4000元； 【小问2详解】 ① ； ②， 因为 当时，， 当时，每星期售出商品的利润最大，最大利润为6125元． 21. 正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，是反比例数图象上的一动点， （1）求正比例函数和反比例函数的解析式； （2）如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．当四边形的面积为4时，在x轴上取一点P，使最小，求点P的坐标． 【答案】（1）正比例和反比例函数的表达式分别为：， （2）点坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用列式计算求得点M的坐标为，求得点M关于x轴的对称点的坐标，连接交x轴与点P，此时最小，再利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将点A的坐标分别代入两个函数表达式得：，， 解得：，， 则正比例和反比例函数的表达式分别为：，； 【小问2详解】 解：由点A、M的坐标得，点，即， 则四边形的面积； 四边形的面积， 解得：． 点M的坐标为， 点M关于x轴的对称点的坐标， 连接交x轴与点P，此时最小， 设直线的解析式为， ，代入得 ，解得 直线的解析式为 当时， 点坐标为． 【点睛】此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：反比例函数与一次函数的交点，矩形的判定与性质，利用待定系数法求一次函数解析式，以及点与坐标的关系，利用了数形结合及方程的思想，是中考中常考的题型． 22. 如图，四边形内接于，，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）连接,可得是的直径，推出；根据，可得，进而得，即可求证； （2）设与交于点F，可推出，得到，，证得即可求解； 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 即：， 为的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：设与交于点F， 由（1）知：， ∵， ， ，， 在中，， 是直径， ， ， 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标； （2）当时，动直线与抛物线交于点P，与直线BC交于点Q． ①设线段的长为d，求d关于m的函数解析式； ②若，连接PB，PC构成，当m为何值时，最大，并求出其最大值； （3）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，试结合函数图象直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②当时，有最大，最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）将函数解析式进行因式分解得，即可求出点的坐标； （2）当时，令，求出点D的坐标，设直线的解析式为， 将点B、C的坐标代入，可得直线的解析式，①结合题意设，，则可表示出的长度，进而即可求出d关于m的函数解析式； ②结合图象可知，，因此，当时，有最大，求出最大值即可 ； （3）分两种情况讨论：和，结合图象确定a的取值范围． 【小问1详解】 解：， 令，则， ， 或， ； 【小问2详解】 当时，， 令，则， ， 设直线解析式为， 将点B、C的坐标代入，得 ， 解得， 直线的解析式为， 动直线与抛物线交于点P，与直线交于点Q， 设，， ①线段PQ的长为d， ， 即d关于m的函数解析式为； ②由题意可知，， ， ，且， 当时，有最大，最大值为； 【小问3详解】 时， ，解得：； 时， ，解得：； a的取值范围是或． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及求二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与线段长度，二次函数与面积问题，二次函数上点的特征，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期学业质量检测 九年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 函数中的自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（ ） A. ①组和②组的两个三角形都相似 B. ①组和②组的两个三角形都不相似 C. 只有①组的两个三角形相似 D. 只有②组的两个三角形相似 3. 有4个外观完全相同的密封且不透明试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液．小星从这4个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似 B. 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形 C. 三点确定一个圆 D. 如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等 5. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，且，下则关于、的大小关系描述正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形中，，．以为圆心，长为半径画，点为菱形内一点，连，，．若，且，则图中阴影部分的面积为（ ） A B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A. B. C. D. 9. 如图，在正六边形中，P是的中点，点Q在上，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（a、b、c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当时，对应的函数值．有以下结论：①；②对称轴是直线；③关于x的方程的负实数根在和0之间；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 关于x的方程有两个相等的实数根，是一个锐角，则________． 12. 如图，小明先在凉亭A处测得湖心岛C在其北偏西的方向上，又从A处向正东方向行驶100米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其北偏西的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为________米． 13. 在中，，，直角边中点为，点在斜边上且，若为直角三角形，则的值为 _______． 14. 草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为______． 15. 如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是 _______cm． 16. 如图，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中的圆心为点A，半径为；的圆心为点B，半径为；的圆心为点C，半径为；的圆心为点D，半径为；…，、、、，…的圆心依次按A、B、C、D循环，当时，则的长是________． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）． （2）． （3）解方程：； （4）解方程：． 18. 如图，在平行四边形中，过点D作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 19. 如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，山坡面是一块平地，，，斜坡长，斜坡的坡比为． （1）求坡高； （2）本学期初三学生开展数学学科“综合与实践”活动，主题：测量高度A小组选择测量教学楼高度，他们的做法是：在教学楼F处安置测倾器，测得此时B的仰角和A的俯角，然后借助已知中的数据计算得到教学楼的高度，请借助A小组提供的数据计算教学楼的高度（精确到0.1）（参考数据：，，，，，） 20. 已知某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． （1）涨价多少元时，每周售出商品的利润为4000元？ （2）设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元． ①请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； ②确定x的值，使每星期售出商品的利润最大，并求出最大利润． 21. 正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，是反比例数图象上的一动点， （1）求正比例函数和反比例函数的解析式； （2）如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．当四边形的面积为4时，在x轴上取一点P，使最小，求点P的坐标． 22. 如图，四边形内接于，，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，当，时，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标； （2）当时，动直线与抛物线交于点P，与直线BC交于点Q． ①设线段长为d，求d关于m的函数解析式； ②若，连接PB，PC构成，当m为何值时，最大，并求出其最大值； （3）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，试结合函数图象直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $