精品解析：河南周口市鹿邑县2025-2026 学年度第一学期期末八年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前将装订线内的信息填写清楚． 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 要使分式有意义，则x的值应满足（ ） A. B. C. 且 D. 或 2. 甲骨文，是我国目前已知最早的成系统的文字形式，是世界四大古文字之一．河南殷墟甲骨文的发现，见证了已经消逝的商代占卜制度，为研究中国文化史提供了重要的材料．下列甲骨文字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. 鹿 B. 猫 C. 好 D. 鱼 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 使用a，b两根直的铁丝做成一个三角形框架，尺寸如图所示，若需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（　　） A. 只有a B. 只有b C. a，b都可以 D. a，b都不可以 6. 如果把分式中的a，b都缩小到原来的，那么分式的值（ ） A. 缩小到原来的 B. 不变 C. 扩大2倍 D. 缩小到原来的 7. 下列选项中，对任意的整数n，能整除的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（ ） A. 方案一：√、方案二：√ B. 方案一：×、方案二：× C. 方案一：×、方案二：√ D. 方案一：√、方案二：× 9. “忆峥嵘”的红色之旅——追寻红色足迹，回望烽火岁月、集宁战役纪念馆位于内蒙古自治区乌兰察布市集宁区，它是内蒙古最大、影响力最强的红色旅游景区，也是国家级国防教育示范基地．为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生前往距离学校的集宁战役纪念馆参观．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘坐汽车出发，结果他们同时到达．假设汽车行驶的速度和骑自行车速度均保持不变，汽车行驶的速度是骑自行车的速度的4倍，设骑自行车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，和的平分线相交于点交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③；④若，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是______． 12. 唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹花有非常高的观赏价值，某品种的牡丹花粉直径约为0.0000354米，则数据0.0000354用科学记数法表示为_______． 13. 如果，则______． 14. 若分式无解，则m的值为_____． 15. 如图，在锐角中，，，，点分别为上的动点，则周长最小值为_____． 三、解答题．（本大题8个小题，共75分） 16. （1）用简便方法计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，点D，E在的边上，连接，，若，，试证明：． 圆圆的证明过程如下： 证明：∵，∴， 在与中， ， ∴，∴． 她的证明过程______（填“正确”“错误”）．若不正确，请写出正确的推导过程． 18. 关于x的分式方程的解是正数，求的取值范围. 19. 如图，在中，平分为线段上的一个动点，交直线于点． （1），，求的度数； （2）当点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 20. 小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为． （1）_____，_______； （2）求这道除法计算的正确结果； （3）若，求（2）中代数式的值． 21. 如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于，交于． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 22. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，裕华区组织我校学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班需各种植的草地，已知2班每小时比1班多制作的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍，求1、2两班每小时各种植多少的草地？ （1）根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程，请将画横线的部分补充完整． 小聪：设1班每小时种植的草地，所列方程为：_____； 小薏：设_____，所列方程为：_____； （2）任选其中一种方法求出1、2两班每小时各种植多少的草地： （3）制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 23. 在数学课上，老师提出下面的问题： （1）如图1，中，，点是边上一个动点，，垂足为点，，的延长线交于点，交于点．求证：； 数学兴趣小组的同学对这道题进行了深入研究，进行改编和变式． （2）小聪同学是这样改编的：如图2，在边上再取一点，且，和的延长线交于点，求证：是等腰三角形．请帮小聪同学解决这个问题． （3）小明同学继续提出问题：如图3，如果、在直线上，且满足，，垂足为点，交于点，交于点，（2）中的结论是否依然成立．请帮小明同学解决这个问题，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前将装订线内的信息填写清楚． 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 要使分式有意义，则x的值应满足（ ） A. B. C. 且 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需分母即可. 【详解】解：∵ 分式 有意义， ∴ 分母， ∴， 故选： A． 2. 甲骨文，是我国目前已知最早的成系统的文字形式，是世界四大古文字之一．河南殷墟甲骨文的发现，见证了已经消逝的商代占卜制度，为研究中国文化史提供了重要的材料．下列甲骨文字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. 鹿 B. 猫 C. 好 D. 鱼 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据概念逐一判断即可． 【详解】解：A．不可以看作轴对称图形，不合题意； B．可以看作轴对称图形，符合题意； C．不可以看作轴对称图形，不合题意； D．不可以看作轴对称图形，不合题意； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘除法法则逐一判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的识别，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．中等号右边不是积的形式，故A不符合题意； B．是乘法运算，故B不符合题意； C．是乘法运算，故C不符合题意； D．符合因式分解的定义，故D符合题意； 故选D． 5. 使用a，b两根直的铁丝做成一个三角形框架，尺寸如图所示，若需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（　　） A. 只有a B. 只有b C. a，b都可以 D. a，b都不可以 【答案】B 【解析】 【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，由此即可判断． 【详解】解：∵， ∴由三角形三边关系定理得到：只有将铁丝b折成两段才能做成一个三角形框架． 故选：B． 【点睛】本题考查了构成三角形的条件，即两边之和必须大于第三边．解题的关键是将较长边分成两段后可以满足两边之和大于第三边． 6. 如果把分式中的a，b都缩小到原来的，那么分式的值（ ） A. 缩小到原来的 B. 不变 C. 扩大2倍 D. 缩小到原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质．依题意，分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：如果把分式中的a和b都缩小到原来的， 则变化后的分式为， 即分式的值缩小为原来的， 故选：A． 7. 下列选项中，对任意的整数n，能整除的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用完全平方公式展开，再去括号，合并同类项，简化给定表达式为，分析其整除性质． 【详解】解：原式 对于任意整数n，总能被4整除， 故选：B． 8. 有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（ ） A. 方案一：√、方案二：√ B. 方案一：×、方案二：× C. 方案一：×、方案二：√ D. 方案一：√、方案二：× 【答案】D 【解析】 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 9. “忆峥嵘”的红色之旅——追寻红色足迹，回望烽火岁月、集宁战役纪念馆位于内蒙古自治区乌兰察布市集宁区，它是内蒙古最大、影响力最强的红色旅游景区，也是国家级国防教育示范基地．为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生前往距离学校的集宁战役纪念馆参观．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘坐汽车出发，结果他们同时到达．假设汽车行驶的速度和骑自行车速度均保持不变，汽车行驶的速度是骑自行车的速度的4倍，设骑自行车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设骑自行车的速度为，则汽车行驶的速度为，根据题意可知乘车的时间比骑自行车的时间少列方程即可． 【详解】解：设骑自行车的速度为，则汽车行驶的速度为， 由题意得，． 故选A． 10. 如图，在中，和的平分线相交于点交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③；④若，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质，由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解和的关系，进而判定①；根据得，根据角平分线和三角形内角和定理得，在上取一点H，使，利用证明可得，利用可证明得，进而可判定②；没有条件证明②；作于H，于M，根据题意得，根据，利用三角形面积即可判断④，即可得． 【详解】解：∵和的平分线，相交于点， ∴，， ∴ = = =， 故①正确； ∵， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，在上取一点H，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③不一定成立，故③错误 如图所示，作于H，于M， ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴ = =， 故④正确； 综上，①②④正确， 故选：D． 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是______． 【答案】AB=DC 【解析】 【分析】根据直角三角形全等的判定定理HL即可推出答案． 【详解】解：添加条件是AB=CD． 理由是：∵∠A=∠D=90，AB=CD，BC=BC， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， 故答案为：AB=CD． 12. 唐代刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”牡丹花有非常高的观赏价值，某品种的牡丹花粉直径约为0.0000354米，则数据0.0000354用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13. 如果，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，根据指数运算法则，先计算分母的平方，再将除法转化为分数形式，分别比较x和y的指数得出方程，求解a和b的值即可 【详解】解： 化简得：， 简化得： 两边除以2： ，， 解得：，解得 ， 故答案为：5． 14. 若分式无解，则m的值为_____． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解问题．将分式方程化为整式方程，分式方程无解，也就是分式方程有增根或整式方程无解两种情况，分别进行计算即可． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得， ，即， 由于分式方程无解， 所以，即， 或者分式方程有增根， 当时，， 解得， 综上所述，m的值为1或， 故答案为：1或． 15. 如图，在锐角中，，，，点分别为上的动点，则周长最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称求线段和的最值，熟练掌握轴对称求最小值的方法，等边三角形的判定和性质，三角形面积公式是解题的关键．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，当时最短，此时的周长最小，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接， 由对称性可知， ∴的周长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴当时，最短，此时的周长最小， ∵，的面积， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 三、解答题．（本大题8个小题，共75分） 16. （1）用简便方法计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，分式的化简求值，负整数指数幂，正确计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式分解因式可把原式变形为，据此计算求解即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据负整数指数幂的计算法则求出x的值，最后代入求值即可． 【详解】解：（1）原式． （2） ， ∵， ∴原式． 17. 如图，点D，E在的边上，连接，，若，，试证明：． 圆圆的证明过程如下： 证明：∵，∴， 在与中， ， ∴，∴． 她的证明过程______（填“正确”“错误”）．若不正确，请写出正确的推导过程． 【答案】 错误， 正确的推导过程如下： 证明：∵，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用无法证明三角形全等，根据，得到，进而推出，利用证明，进而得出． 【详解】解：圆圆利用的方法，不能判定， ∴她的证明过程是错误的， 故答案为：错误； 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 18. 关于x的分式方程的解是正数，求的取值范围. 【答案】a<2且a≠-4 【解析】 【分析】先求得方程的解,再解,求出a的取值范围. 【详解】解方程得, , 方程的解为正数, ,且x≠2， 即且且解得a＜2且a≠－4, 故选答案为 a＜2且a≠－4. 【点睛】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0. 19. 如图，在中，平分为线段上的一个动点，交直线于点． （1），，求的度数； （2）当点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2） 解：，证明如下： 如图所示： 平分， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【小问1详解】 解 ，， ， 平分， ， ， ； 【小问2详解】 略 20. 小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为． （1）_____，_______； （2）求这道除法计算的正确结果； （3）若，求（2）中代数式的值． 【答案】（1）6， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的运算，多项式除以单项式的运算，代数式求值，分解因式，正确计算是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据题意可得，据此可得a、b的值； （2）根据多项式除以单项式的运算法则求解即可； （3）利用提公因式法分解因式得到，据此代入求值即可． 【小问1详解】 解： ， 由题意得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵， ∴ 21. 如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于，交于． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1）； （2） 证明：的垂直平分线交于，交于， ，， ， ， 在中，，，是边上的中线， ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，再根据即可得出的度数； （2）根据线段垂直平分线性质得，则，进而得，再根据等腰三角形性质得，则，由此可得出结论． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 在中，， ； 【小问2详解】 略 22. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，裕华区组织我校学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班需各种植的草地，已知2班每小时比1班多制作的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍，求1、2两班每小时各种植多少的草地？ （1）根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程，请将画横线的部分补充完整． 小聪：设1班每小时种植的草地，所列方程为：_____； 小薏：设_____，所列方程为：_____； （2）任选其中一种方法求出1、2两班每小时各种植多少的草地： （3）制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 【答案】（1）；2班所用时间为y小时；6 （2）1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地 （3）两班速度保持不变，他们不能在乘车前完成任务； 1小时20分钟小时 1班已完成：； 2班已完成：； 还剩余：； 两队合作1小时可完成：， ∵， ∴两班速度保持不变，他们不能在乘车前完成任务． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）根据所列方程运用的等量关系进行作答即可； （2）解分式方程即可； （3）求出剩余需要制作的方格数量，再求出两队合作一小时所作的方格数，即可得出结果． 【小问1详解】 解：小聪：设1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地，所列方程为：； 小薏：设2班所用时间为y小时，则1班所用时间为，所列方程为：； 【小问2详解】 小聪：解：设1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地； 小薏：解：设2班所用时间为y小时，则1班所用时间为，根据题意得： ， 解得：； 经检验是原方程的解， ∴，； 答：1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地； 【小问3详解】 略 23. 在数学课上，老师提出下面的问题： （1）如图1，中，，点是边上一个动点，，垂足为点，，的延长线交于点，交于点．求证：； 数学兴趣小组的同学对这道题进行了深入研究，进行改编和变式． （2）小聪同学是这样改编的：如图2，在边上再取一点，且，和的延长线交于点，求证：是等腰三角形．请帮小聪同学解决这个问题． （3）小明同学继续提出问题：如图3，如果、在直线上，且满足，，垂足为点，交于点，交于点，（2）中的结论是否依然成立．请帮小明同学解决这个问题，并说明理由． 【答案】（1）证明：，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：中， ，， ， ，， 由（1）可知：，， 在和中， ， ， ， 又，， ， ， ∴是等腰三角形. （3）是等腰三角形，证明过程如下： 过点作交延长线于点，则， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形. 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． （1）根据和得，再证即可得出结论； （2）根据已知条件证得，再证得，即可得出结论； （3）过点作交延长线于点，则，同样通过证明和，得到角的关系，从而判断是否为等腰三角形。 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $