2026年中考数学第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第15课时： 三角形与全等

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第15课时 三角形与全等 一、核心知识 （一）三角形的基本概念与分类 定义：由不在同一直线上的____________首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，有 3 个顶点、3 条边、3 个内角。 分类： 按角分： 、 、 ； 按边分： 、 （含 ， ） 。 三角形的重要线段： 中线：连接顶点与对边____________的线段，三条中线交于__________（重心分中线为 2:1 两段）； 角平分线：平分内角且与对边相交的线段，三条角平分线交于___________（到 相等）； 高：从顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足间的线段，三条高交于____________（直角三角形垂心在 ）。 （二）三角形的基本性质 三边关系：三角形任意两边之和___________第三边，任意两边之差____________第三边（判断三条线段能否构成三角形的依据）。 内角和定理：三角形的内角和为 ；直角三角形的两个锐角______ 。 外角性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的____________； 三角形的一个外角___________与它不相邻的任意一个内角； 三角形的外角和为__________。 等腰三角形性质： 等边对等角：两腰所对的底角____________； 三线合一：等腰三角形的 、 、 重合 ； 等边三角形性质：三边相等，三个内角都为____________，每条边上都满足 “三线合一”。 （三）全等三角形的定义与性质 定义：能够____________的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。 性质：全等三角形的对应边____________，对应角____________；对应边上的 、 、 都相等，周长和面积也相等。 （四）全等三角形的判定定理（核心考点） 基本判定（通用）： SSS：三边分别____________的两个三角形全等； SAS：两边及其____________分别相等的两个三角形全等； ASA：两角及其____________分别相等的两个三角形全等； AAS：两角及其中一角的____________分别相等的两个三角形全等； 特殊判定（仅直角三角形）： HL：斜边和一条___________分别相等的两个直角三角形全等。注意：SSA、AAA 不能判定三角形全等。 （五）全等三角形的证明思路 已知两边：找夹角用 →找第三边用 →若为直角三角形 用 ； 已知一边一角：边为角的夹边用 →边为角的对边用 →找另一角用 ； 已知两角：找夹边用 →找任意一角的对边 。 二、核心能力 （一）三角形的三边关系与角度计算 题型 1：三边关系应用 解题思路 根据 “两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 列不等式，求解第三边的取值范围；若为整数边，需列举所有符合条件的情况。 题型 2：内角和与外角性质计算 解题思路 利用内角和定理、外角性质建立角度间的等量关系，若有角平分线、中线，结合其定义拆分角度，设未知数列方程求解。 （二）三角形重要线段的应用 题型 1：中线与面积相关计算 解题思路 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，利用此性质可求不规则三角形的面积，或结合重心的 2:1 比例求解线段长度。 题型 2：角平分线的性质应用 解题思路 角平分线上的点到角两边的距离相等，可作垂线构造全等三角形，将线段、角度进行转化。 （三）等腰 / 等边三角形的性质与判定 题型 1：等腰三角形的性质应用 解题思路 利用 “等边对等角” 转化角度，利用 “三线合一” 作辅助线（如作底边上的高），将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，结合勾股定理计算。 题型 2：等边三角形的判定 解题思路 三边相等→三角相等（都为 60°）→有一个角是 60° 的等腰三角形，满足其一即可判定为等边三角形。 （四）全等三角形的证明与应用 题型 1：基础全等证明（无辅助线） 解题思路 找准已知条件对应的边、角，结合判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）直接证明，注意对应顶点的顺序。 题型 2：构造辅助线证明全等 解题思路 常见辅助线：作垂线（构造直角三角形，用 HL/SAS）、截长补短（证明线段和差关系）、连接两点（构造公共边，用 SSS/SAS）、倍长中线（延长中线至两倍，构造 SAS 全等）。 题型 3：全等三角形的性质应用 解题思路 先证明三角形全等，再利用 “对应边相等、对应角相等” 转化线段或角度，求解未知边、角，或证明线段平行、垂直。 三、易错警示 三边关系忽略 “任意性” 错误：判断 3、4、7 能否构成三角形，认为 3+4=7 符合要求； 提醒：必须满足任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，3+4=7 时不能构成三角形。 全等判定混淆 “夹角” 与 “邻角” 错误：用 SAS 判定时，将两边的邻角当作夹角（如 AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，直接证△ABC≌△DEF）； 提醒：SAS 的 “角” 必须是两边的夹角，否则为 SSA，不能判定全等。 等腰三角形忽略 “分类讨论” 错误：已知等腰三角形一个角为 80°，直接认为底角为 80°； 提醒：未说明是顶角还是底角时，需分类讨论（80° 为顶角或底角），注意三角形内角和不能超过 180°。 辅助线构造不当：错误：证明线段和差时，盲目作垂线，未结合题目标注；提醒：截长补短适用于 “a+b=c” 型线段证明，倍长中线仅适用于有中线的三角形，作垂线需结合角平分线、直角条件。 全等对应关系找错 错误：将△ABC≌△DEF 的对应边写成 AB=DF，AC=DE； 提醒：全等三角形的对应顶点按顺序写，对应顶点所对的边、角为对应边、角，可通过图形旋转、平移找对应关系。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（2024・浙江杭州中考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，8 C. 4，5，6 D. 5，6，12 2. （2024・广东广州中考）如图，在△ABC 中，∠A=50°，∠B=60°，则∠ACB 的外角为（ ） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 3. （2023・江苏苏州中考）等腰三角形的一个底角为 70°，则它的顶角为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 4. （2025・北京中考）如图，△ABC≌△DEF，点 A 与 D，B 与 E 对应，则下列结论错误的是（ ） A. AB=DE B. ∠ACB=∠DFE C. AC=DF D. ∠ABC=∠DFE 5. （2024・四川成都中考）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，若 CD=3，则点 D 到 AB 的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. （2023・湖南长沙中考）能判定△ABC≌△A'B'C' 的条件是（ ） A. AB=A'B'，AC=A'C'，∠B=∠B' B. AB=A'B'，∠A=∠A'，BC=B'C' C. ∠A=∠A'，∠B=∠B'，AC=A'C' D. ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C' 7. （2025・山东青岛中考）如图，在等边△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AB=4，则 BD 的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. （2024・重庆中考）已知三角形的两边长分别为 4 和 9，则第三边的取值范围是（ ） A. 5 < x < 13 B. 5 ≤ x ≤ 13 C. 4 < x < 9 D. 4 ≤ x ≤ 9 9. （2023・陕西中考）如图，AB=CD，AD=BC，下列结论错误的是（ ） A. ∠A=∠C B. AB∥CD C. AD∥BC D. ∠A=∠B 10.（2025・湖北武汉中考）Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，若 AC=DF，BC=EF，则判定两三角形全等的定理是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. HL 11.（2024・安徽中考）等腰三角形的周长为 16，其中一边长为 4，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. 4 B. 6 C. 4 或 6 D. 8 12.（2023・福建中考）如图，在△ABC 中，BD 是中线，AB=5，BC=3，则△ABD 与△BCD 的面积差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 0 13.（2025・四川宜宾中考）如图，点 B、E、C、F 在同一直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证△ABC≌△DEF 的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 14.（24-25达州模拟）如图，在中，，为边上一点，是由旋转得到的，点的对应点分别是，下列结论一定正确的是（   ） A. B. C. D. 15.（24-25·天津中考）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A. B. C. D. （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·贵州模拟）已知的边长两边长为和，第三边长为偶数，则第三边的值为_____________． 17.（24-25·四川模拟）如图，点是的重心，过点作直线，分别交边、于点、，现随机向内部掷一枚小针，则针尖落在区域内的概率为___________． 18.（23-24·重庆中考）如图，在中平分交于点．若则的长度为       ． 19.（24-25·山西模拟）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为__________． 20.（24-25·广西中考）如图，点在同侧，，则_____________． 21.（24-25·辽宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为______________． 22.（24-25甘肃模拟）如图，在四边形中，，，连接．若，则四边形的面积为__________． 23.（24-25·江苏模拟）在中，点为边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，若，，，，则点到的距离为__________． 24.（24-25·四川中考）如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点、重合），，点在射线上，且，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③的面积最大值是；④若，则点是线段的中点．其中正确结论的序号是______________． 25.（24-25·内蒙古模拟）如图，等边三角形的边长为， 点是的中心， ， 绕点旋转，分别交线段、于、 两点，连接，给出下列四个结论:① ;②;③四边形的面积始终等于;④周长的最小值为上述结论中正确的有______________(写出序号) （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·吉林模拟）如图，在中，为的中线，延长至点，使得，连接．求证：． 27.（24-25·云南中考）如图，与相交于点，．求证：． 28.（25-26·江苏月考）如图，点、、、在同一条直线上，，， （1）求证：； （2）若，，求的度数． 29.（25-26·贵州模拟）如图，在中，，点，分别是，的中点，连接，延长至点，使，连接． （1）求证：是等腰三角形； （2）已知，求的度数． 30.（23-24·贵州模拟）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考： （1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 ，请说明理由； 深入探究： （2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用： （3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，． ①的度数为 ； ②若，，求点到的距离． 31.（24-25·山东中考）在中，，，的平分线交于点．如图． （1）求的度数； （2）已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点．如图，求的长． 32.（23-24·辽宁模拟）（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围． 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （2）如图，是的中线，是的中线，且，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ① ② ③ ④ （3）如图，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． （4）如图，在的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是_____． 33.（25-26·全国模拟）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】如图，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ，， ，， ， ， ， __________； ②，，则_________； 【类比】如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为_________． 34.（24-25·山东模拟）已知：如图，中，，设，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，过点作，交直线于点．探究如下： （1）若时， 如图①，点在延长线上时，易证：； 如图②，点在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由． （2）若，点在延长线上时，如图③，猜想线段、、之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明． 35.（24-25·安徽模拟）九年级班某同学针对三角形角平分线进行了如下的研究： （一）探究过程 （1）如图①，在中，平分交于点，该同学得出． 如图②，该同学给出如下证明过程： 方法一： 如图②．过点作，交延长线于点． ________① 平分 ________② 方法二： 如图③过点作于点，于点，过点作于点． 平分，且， ________③ ________④ 又 请完成填空：①________；②________；③________；④_______； （二）内化迁移 （2）如图④，点为的边延长线上一点，连接，为边延长线上一点，当时，判断与的数量关系，并给出证明； （三）问题解决 （3）如图⑤，在矩形中，，，为边上一点，为延长线上一点．为矩形内部一动点，连接并延长交于点，连接，若，平分交于点，，当时，连接、，求的最小值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第15课时 三角形与全等 一、核心知识 （一）三角形的基本概念与分类 定义：由不在同一直线上的______三条线段______首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，有 3 个顶点、3 条边、3 个内角。 分类： 按角分： 锐角三角形（三个角都是锐角） 、 直角三角形（有一个角是直角） 、 钝角三角形（有一个角是钝角） ； 按边分： 不等边三角形 、 等腰三角形 （含 等边三角形 ，三边相等的特殊等腰三角形 ） 。 三角形的重要线段： 中线：连接顶点与对边______中点______的线段，三条中线交于______重心______（重心分中线为 2:1 两段）； 角平分线：平分内角且与对边相交的线段，三条角平分线交于______内心______（到 三边距离 相等）； 高：从顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足间的线段，三条高交于______垂心______（直角三角形垂心在 直角顶点 ）。 （二）三角形的基本性质 三边关系：三角形任意两边之和______大于______第三边，任意两边之差______小于______第三边（判断三条线段能否构成三角形的依据）。 内角和定理：三角形的内角和为 180° ；直角三角形的两个锐角______互余 。 外角性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的______两个内角的和______； 三角形的一个外角______大于______与它不相邻的任意一个内角； 三角形的外角和为______360°______。 等腰三角形性质： 等边对等角：两腰所对的底角______相等______； 三线合一：等腰三角形的 顶角平分线 、 底边上的中线 、 底边上的高 重合 ； 等边三角形性质：三边相等，三个内角都为______60°______，每条边上都满足 “三线合一”。 （三）全等三角形的定义与性质 定义：能够______完全重合______的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。 性质：全等三角形的对应边______相等______，对应角______相等______；对应边上的 中线 、 角平分线 、 高 都相等，周长和面积也相等。 （四）全等三角形的判定定理（核心考点） 基本判定（通用）： SSS：三边分别______相等______的两个三角形全等； SAS：两边及其______夹角______分别相等的两个三角形全等； ASA：两角及其______夹边______分别相等的两个三角形全等； AAS：两角及其中一角的______对边______分别相等的两个三角形全等； 特殊判定（仅直角三角形）： HL：斜边和一条______直角边______分别相等的两个直角三角形全等。注意：SSA、AAA 不能判定三角形全等。 （五）全等三角形的证明思路 已知两边：找夹角用 SAS →找第三边用 SSS →若为直角三角形 用 HL ； 已知一边一角：边为角的夹边用 ASA →边为角的对边用 AAS →找另一角用 AAS ； 已知两角：找夹边用 ASA →找任意一角的对边 AAS 。 二、核心能力 （一）三角形的三边关系与角度计算 题型 1：三边关系应用 解题思路 根据 “两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 列不等式，求解第三边的取值范围；若为整数边，需列举所有符合条件的情况。 题型 2：内角和与外角性质计算 解题思路 利用内角和定理、外角性质建立角度间的等量关系，若有角平分线、中线，结合其定义拆分角度，设未知数列方程求解。 （二）三角形重要线段的应用 题型 1：中线与面积相关计算 解题思路 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，利用此性质可求不规则三角形的面积，或结合重心的 2:1 比例求解线段长度。 题型 2：角平分线的性质应用 解题思路 角平分线上的点到角两边的距离相等，可作垂线构造全等三角形，将线段、角度进行转化。 （三）等腰 / 等边三角形的性质与判定 题型 1：等腰三角形的性质应用 解题思路 利用 “等边对等角” 转化角度，利用 “三线合一” 作辅助线（如作底边上的高），将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，结合勾股定理计算。 题型 2：等边三角形的判定 解题思路 三边相等→三角相等（都为 60°）→有一个角是 60° 的等腰三角形，满足其一即可判定为等边三角形。 （四）全等三角形的证明与应用 题型 1：基础全等证明（无辅助线） 解题思路 找准已知条件对应的边、角，结合判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）直接证明，注意对应顶点的顺序。 题型 2：构造辅助线证明全等 解题思路 常见辅助线：作垂线（构造直角三角形，用 HL/SAS）、截长补短（证明线段和差关系）、连接两点（构造公共边，用 SSS/SAS）、倍长中线（延长中线至两倍，构造 SAS 全等）。 题型 3：全等三角形的性质应用 解题思路 先证明三角形全等，再利用 “对应边相等、对应角相等” 转化线段或角度，求解未知边、角，或证明线段平行、垂直。 三、易错警示 三边关系忽略 “任意性” 错误：判断 3、4、7 能否构成三角形，认为 3+4=7 符合要求； 提醒：必须满足任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，3+4=7 时不能构成三角形。 全等判定混淆 “夹角” 与 “邻角” 错误：用 SAS 判定时，将两边的邻角当作夹角（如 AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，直接证△ABC≌△DEF）； 提醒：SAS 的 “角” 必须是两边的夹角，否则为 SSA，不能判定全等。 等腰三角形忽略 “分类讨论” 错误：已知等腰三角形一个角为 80°，直接认为底角为 80°； 提醒：未说明是顶角还是底角时，需分类讨论（80° 为顶角或底角），注意三角形内角和不能超过 180°。 辅助线构造不当：错误：证明线段和差时，盲目作垂线，未结合题目标注；提醒：截长补短适用于 “a+b=c” 型线段证明，倍长中线仅适用于有中线的三角形，作垂线需结合角平分线、直角条件。 全等对应关系找错 错误：将△ABC≌△DEF 的对应边写成 AB=DF，AC=DE； 提醒：全等三角形的对应顶点按顺序写，对应顶点所对的边、角为对应边、角，可通过图形旋转、平移找对应关系。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（2024・浙江杭州中考）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，8 C. 4，5，6 D. 5，6，12 【答案】C 【解析】考点：三角形三边关系。任意两边之和大于第三边，4+5>6，4+6>5，5+6>4，符合条件；A 中 2+3=5，B 中 3+4<8，D 中 5+6<12，均不能组成。 【解答】解：根据三边关系逐一验证，只有 C 选项满足， 故选 C。 2. （2024・广东广州中考）如图，在△ABC 中，∠A=50°，∠B=60°，则∠ACB 的外角为（ ） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 【答案】A 【解析】考点：三角形外角性质。外角等于不相邻的两个内角和，∠ACB 的外角 =∠A+∠B=50°+60°=110°。 【解答】解：由外角性质得，外角 = 50°+60°=110°， 故选 A。 3. （2023・江苏苏州中考）等腰三角形的一个底角为 70°，则它的顶角为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】B 【解析】考点：等腰三角形性质。等腰三角形两底角相等，顶角 = 180°-70°×2=40°。 【解答】解：顶角 = 180°-2×70°=40°， 故选 B。 4. （2025・北京中考）如图，△ABC≌△DEF，点 A 与 D，B 与 E 对应，则下列结论错误的是（ ） A. AB=DE B. ∠ACB=∠DFE C. AC=DF D. ∠ABC=∠DFE 【答案】D 【解析】考点：全等三角形性质。全等三角形对应边、对应角相等，∠ABC 的对应角为∠DEF，而非∠DFE，D 错误。 【解答】解：根据对应顶点，∠ABC 与∠DEF 是对应角，D 选项错误， 故选 D。 5. （2024・四川成都中考）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，若 CD=3，则点 D 到 AB 的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】考点：角平分线性质。角平分线上的点到角两边距离相等，点 D 到 AB 的距离 = CD=3。 【解答】解：由角平分线性质得，点 D 到 AB 的距离 = CD=3， 故选 C。 6. （2023・湖南长沙中考）能判定△ABC≌△A'B'C' 的条件是（ ） A. AB=A'B'，AC=A'C'，∠B=∠B' B. AB=A'B'，∠A=∠A'，BC=B'C' C. ∠A=∠A'，∠B=∠B'，AC=A'C' D. ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C' 【答案】C 【解析】考点：全等三角形判定。A、B 为 SSA，D 为 AAA，均不能判定；C 为 AAS，可判定。 【解答】解：AAS 可判定三角形全等，C 选项符合， 故选 C。 7. （2025・山东青岛中考）如图，在等边△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AB=4，则 BD 的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】考点：等边三角形性质。等边三角形三线合一，AD 是中线，BD=1/2BC=1/2AB=2。 【解答】解：由三线合一得 BD=1/2×4=2， 故选 B。 8. （2024・重庆中考）已知三角形的两边长分别为 4 和 9，则第三边的取值范围是（ ） A. 5 < x < 13 B. 5 ≤ x ≤ 13 C. 4 < x < 9 D. 4 ≤ x ≤ 9 【答案】A 【解析】考点：三边关系。第三边 x 满足 9-4 < x < 9+4，即 5 < x < 13。 【解答】解：9-4=5，9+4=13，故 5<x<13， 故选 A。 9. （2023・陕西中考）如图，AB=CD，AD=BC，下列结论错误的是（ ） A. ∠A=∠C B. AB∥CD C. AD∥BC D. ∠A=∠B 【答案】D 【解析】考点：SSS 全等与平行判定。由 SSS 证△ABD≌△CDB，得∠A=∠C，∠ABD=∠CDB→AB∥CD，∠ADB=∠CBD→AD∥BC，D 无依据。 【解答】解：证△ABD≌△CDB 后，可推得 A、B、C 正确，D 错误， 故选 D。 10.（2025・湖北武汉中考）Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，若 AC=DF，BC=EF，则判定两三角形全等的定理是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. HL 【答案】B 【解析】考点：直角三角形全等判定。两边及其夹角（直角）相等，用 SAS 判定。 【解答】解：AC=DF，∠C=∠F=90°，BC=EF，符合 SAS， 故选 B。 11.（2024・安徽中考）等腰三角形的周长为 16，其中一边长为 4，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. 4 B. 6 C. 4 或 6 D. 8 【答案】B 【解析】考点：等腰三角形与三边关系。若 4 为腰，则底为 8，4+4=8，不能构成三角形；若 4 为底，则腰为 (16-4)÷2=6，符合三边关系。 【解答】解：排除 4 为腰的情况，腰长为 6， 故选 B。 12.（2023・福建中考）如图，在△ABC 中，BD 是中线，AB=5，BC=3，则△ABD 与△BCD 的面积差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 0 【答案】D 【解析】考点：三角形中线性质。中线将三角形分成面积相等的两部分，面积差为 0。 【解答】解：BD 是中线，S△ABD=S△BCD，差为 0， 故选 D。 13.（2025・四川宜宾中考）如图，点 B、E、C、F 在同一直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证△ABC≌△DEF 的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】B 【解析】考点：SAS 全等。AB∥DE 得∠B=∠DEF，BE=CF 得 BC=EF，又 AB=DE，符合 SAS。 【解答】解：证得∠B=∠DEF，BC=EF，结合 AB=DE，用 SAS 判定， 故选 B。 14.（24-25达州模拟）如图，在中，，为边上一点，是由旋转得到的，点的对应点分别是，下列结论一定正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质逐项判断即可． 【解答】解：、是由旋转得到的， ， ， 为边上一点，， ，故选项不符合题意； 、， ， ， ， ，故选项不符合题意； 、， ， ， ， ，故选项符合题意； 、， ， 不一定平分， 与不一定相等，故选项不符合题意； 故选：．  15.（24-25·天津中考）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【解答】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ， 在和中， ， ， ， 垂直平分， ，， ，， ， 又， ， ， 故选：． （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 16.（24-25·贵州模拟）已知的边长两边长为和，第三边长为偶数，则第三边的值为_______4_______． 【答案】 【解析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先设第三边长为，根据三角形的三边关系可得，可得的范围，然后再确定的值即可． 【解答】解：设第三边长为，由题意得： ， 解得：， 第三边长为偶数， ， 第三边的长为． 故答案为：． 17.（24-25·四川模拟）如图，点是的重心，过点作直线，分别交边、于点、，现随机向内部掷一枚小针，则针尖落在区域内的概率为______________． 【答案】 【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形重心的性质以及几何概率等知识，熟练掌握相似三角形的判定性质、掌握求解的方法是关键； 连接并延长交于，如图，根据重心的性质可得，然后根据相似三角形的判定和性质可得，再根据几何概率的意义即可求解． 【解答】解：连接并延长交于，如图， 是的重心， ， ， ，， ， ， 随机向内部掷一枚小针，则针尖落在区域内的概率为； 故答案为：． 18.（23-24·重庆中考）如图，在中平分交于点．若则的长度为   2     ． 【答案】 【解析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出再由角平分线的定义得到进而可证明即可推出． 【解答】在中 平分 ． 19.（24-25·山西模拟）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为_____48_______． 【答案】 【解析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【解答】解：图①中，， 根据勾股定理得，， 图①中所有正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 图③中所有正方形面积和，即次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， ⋯ 次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为：． 20.（24-25·广西中考）如图，点在同侧，，则_______________． 【答案】 【解析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点作垂线交于点，先证明，得到，证明在同一线上，根据勾股定理得到，最后通过线段和和差即可求． 【解答】解：过点作垂线交于点，即 ，即是的垂直平分线， ， 在同一线上， ， 故答案为：． 21.（24-25·辽宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为______________． 【答案】 【解析】本题考查了坐标与图形变化——旋转、全等三角形的性质与判定，结合图形作垂线构造全等三角形是解题的关键．作轴于点，作轴于点，由旋转的性质得，，通过证明得到，，再结合点的坐标即可求解． 【解答】解：如图，作轴于点，作轴于点， 由旋转的性质得，，， ， 轴，轴， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， ，， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 22.（24-25甘肃模拟）如图，在四边形中，，，连接．若，则四边形的面积为____18_______． 【答案】 【解析】此题暂无解析 【解答】解：如图，作、，交的延长线于点； ， 四边形为矩形，； ， ； 在与中， ，，， ， ，与的面积相等； 四边形为正方形， 四边形的面积正方形的面积； ，； ，即， 即四边形的面积为． 故答案为. 23.（24-25·江苏模拟）在中，点为边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，若，，，，则点到的距离为___________． 【答案】 【解析】过点作，结合等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理求得的长，然后利用三角形面积公式列方程求解． 【解答】解：过点作， ， ， ， ， ， 又， ， ， 设，则， 由折叠性质可得：，，， 又，， ， ， ，， 又， ， ， ·， ·， · ·， 解得：， ， 在中，， 在中，， 解得：（负值舍去）， ，， 设中边上的高为， ， ， 解得：， 即点到的距离为， 故答案为：． 24.（24-25·四川中考）如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点、重合），，点在射线上，且，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③的面积最大值是；④若，则点是线段的中点．其中正确结论的序号是_____①③④_________． 【答案】①③④ 【解析】过作，交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，推出，进而得到，证明，推出为等腰直角三角形，进而得到，进而得到，判断①；延长至点，使，连接，证明，再证明，得到，判断②；设，则：，，将的面积转化为二次函数求最值，判断③；设，得到，在中，由勾股定理，求出的值，判断④即可． 【解答】解：过作，交的延长线于点，则：， 正方形，边长为， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即：， ， ， ， ， ，即：， ， ，故①正确； 延长至点，使，连接， ，， ， ，， ， ， 又， ， ， ；故②错误； 设，则：，， 的面积， 当时，的面积最大为；故③正确； ， ， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ， 点是线段的中点；故④正确； 故答案为：①③④ 25.（24-25·内蒙古模拟）如图，等边三角形的边长为， 点是的中心， ， 绕点旋转，分别交线段、于、 两点，连接，给出下列四个结论:① ;②;③四边形的面积始终等于;④周长的最小值为上述结论中正确的有______①③④_________(写出序号) 【答案】①③④ 【解析】连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，则可对①进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；作，如图，则，计算出，利用随的变化而变化和四边形的面积为定值可对②进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对④进行判断． 【解答】解：连接、，如图， 为等边三角形， ， 点是的中心， ，、分别平分和， ，即， 而，即， ， 在和中 ， ，，所以①正确； ， 四边形的面积,所以③正确； 作，如图，则， ， ， ，， ， ， 即随的变化而变化， 而四边形的面积为定值， ；所以②错误； ， 的周长， 当时，最小，的周长最小，此时 ， 周长的最小值，所以④正确． 故答案为①③④ （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·吉林模拟）如图，在中，为的中线，延长至点，使得，连接．求证：． 【答案】证明见解答 【解析】本题考查了三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，由三角形中线的性质得，由得，进而证明即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【解答】证明：为的中线， ， ， ， 又， ， ． 27.（24-25·云南中考）如图，与相交于点，．求证：． 【答案】证明见解答 【解析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【解答】证明；在和中， ， ． 28.（25-26·江苏月考）如图，点、、、在同一条直线上，，， （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】见解答 【解析】（1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【解答】（1）解：证明： ，即 ， （2），， ， ， 29.（25-26·贵州模拟）如图，在中，，点，分别是，的中点，连接，延长至点，使，连接． （1）求证：是等腰三角形； （2）已知，求的度数． 【答案】见解答 【解析】（1）利用中位线的性质及条件证明出即可判断； （2）证明出等腰三角形，再利用三角形内角和定理及外角的性质进行求解． 【解答】（1）解：证明：点，分别是，的中点， ，， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，； ， ， ， ， ． 30.（23-24·贵州模拟）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考： （1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 ，请说明理由； 深入探究： （2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用： （3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，． ①的度数为 60° ； ②若，，求点到的距离． 【答案】，理由见解答 ，理由见解析 ①；② 【解析】（1）连接，由折叠的性质得出．由三角形外角的性质可得出结论； （2）由三角形外角的性质得出，，则可得出结论； （3）①延长交的延长线于，由中结论可知，求出即可得出答案； ②过点作交于点，过点作交的延长线于点，求出，．求出，得出，则可得出答案． 【解答】（1）解：， 理由如下：连接，如图①， 将三角形纸片沿折叠，点落在四边形内点的位置， ． ，， ， 即； 故答案为：； （2）， 理由如下：设与交于点，如图②， ，， ， ； （3） ①延长交的延长线于，由中结论可知，如图③， ， ． ， ． 故答案为：； ②过点作交于点，过点作交的延长线于点，如图， ，， ，． ， ， ， ， ． ， ， ，即点到的距离为． 31.（24-25·山东中考）在中，，，的平分线交于点．如图． （1）求的度数； （2）已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点．如图，求的长． 【答案】； ． 【解析】（1）由角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可； （2）由作图知是线段的垂直平分线，求得，求得，，再证明，据此求解即可． 【解答】（1）解：，， ， 是的平分线， ， ； （2）解：由作图知是线段的垂直平分线， ， ， ， ，， ，， ，， ， ． 32.（23-24·辽宁模拟）（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围． 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （2）如图，是的中线，是的中线，且，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是__②③____． ① ② ③ ④ （3）如图，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． （4）如图，在的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是___8___． 【答案】 ②③ 见解答 【解析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 【解答】（1）解：如图中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2） 如图，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， 故答案为：②③； （3） 证明：如图，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4）如图，，， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：8 33.（25-26·全国模拟）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】如图，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ，， ，， ， ， ， __________； ②，，则____9______； 【类比】如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为____10______． 【答案】①②；结论，理由见解析； 【解析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． ①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； 根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； 延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【解答】解：①， ， ，， ，， ， ， ，，， ； 故答案为： ②由①知， ， ，， ； 故答案为：； 结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 34.（24-25·山东模拟）已知：如图，中，，设，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，过点作，交直线于点．探究如下： （1）若时， 如图①，点在延长线上时，易证：； 如图②，点在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由． （2）若，点在延长线上时，如图③，猜想线段、、之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明． 【答案】①证明见解析；②，理由见解析 【解析】（1）①由，，得到是等边三角形，从而，进而推出，因此可证明，得到，，求得，因此，由即可得到结论；②由，，得到是等边三角形，从而，进而推出，因此可证明，得到，，求得，因此，由即可得到结论； （2）同思路即可求解． 【解答】（1）①证明：，， 是等边三角形， ， ， ， 即， 在和中 ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ． ②解：，理由如下： ，， 是等边三角形， ， ． ， ， 即， 在和中 ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ， 即， 在和中 ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 35.（24-25·安徽模拟）九年级班某同学针对三角形角平分线进行了如下的研究： （一）探究过程 （1）如图①，在中，平分交于点，该同学得出． 如图②，该同学给出如下证明过程： 方法一： 如图②．过点作，交延长线于点． ________① 平分 ________② 方法二： 如图③过点作于点，于点，过点作于点． 平分，且， ________③ ________④ 又 请完成填空：①________；②___AB_____；③________；④________； （二）内化迁移 （2）如图④，点为的边延长线上一点，连接，为边延长线上一点，当时，判断与的数量关系，并给出证明； （三）问题解决 （3）如图⑤，在矩形中，，，为边上一点，为延长线上一点．为矩形内部一动点，连接并延长交于点，连接，若，平分交于点，，当时，连接、，求的最小值． 【答案】①，②，③，④ ，见解答 【解析】（1）方法一：过点作，交延长线于点．证明，得到，再证明，即可证明结论成立； 方法二：过点作于点，于点，过点作于点．利用三角形面积公式即可证明结论成立； （2）对照的方法，即可证明； （3）连接，，求得，由的结论求得平分，再，推出，据此求解即可． 【解答】（1）解：方法一： 如图②．过点作，交延长线于点． ① 平分 ② ； 方法二： 如图③过点作于点，于点，过点作于点． 平分，且， ，③ ④ 又 ； 故答案为：①，②，③，④； （2）解：， 理由如下，如图①， 作，交于， ， ， 又 又 ， 即平分； 证法二：， 理由如下，如图②， 过点作于点，于点， 过点作于点， ， 又， ， 又， 又， 即平分； （3）解：如图③， 连接，， 四边形是矩形，且，， ， 平分，且， ，， ， 又 ， 由得 平分， ， ； ， ， ， 当、、三点共线时，， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $