精品解析：山东淄博实验中学2025-2026学年第一学期高一教学质量检测数学试题

2025-2026学年度第一学期高一教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 8. 已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面命题正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“，” B. “”是“”的充分不必要条件 C. 不等式的解集为或 D. 若，则的最小值为3 10. 函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 11. 已知是定义在上的奇函数，且为奇函数，当时，.，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. 方程恰有7个实数解 D. 的值域为 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象恒过定点，则_____. 13. 计算：_____. 14. 正实数满足，则的最小值为_____. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 16. 已知锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与圆心在原点的单位圆相交于点. （1）求角的值，并计算的值； （2）若，求的值. 17. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并利用单调性定义进行证明； （3）若，使得成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数，其中 （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若图象的相邻两条对称轴之间的距离是， （i）当时，求函数的值域； （ii）若关于的方程在上有两个不同的根，，，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）设函数，若对于任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）已知函数，若函数有且仅有6个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高一教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求，再求交集运算即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以 故选：D 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式直接运算即可. 【详解】，所以，所以. 故选：B 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点的存在性定理判定即可. 【详解】因为函数均在上单调递增， 所以在上单调递增，且函数图象连续， 因为， ， 所以，所以函数在上存在唯一零点， 故选：B 4. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据弧长与圆心角的关系求出扇形半径，再计算面积即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为，圆心角为 因为圆心角为的扇形的弧长为 所以由得，解得， 所以该扇形的面积为 故选：C 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】令，，求出的取值范围，可得答案. 【详解】由得单调递增区间为， 可得，， 解得：， 故函数的单调递增区间是，. 故选：C 6. 若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系得，，进而转化为解不等式即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是 所以，方程的两个实数根 所以，，即， 所以， 因为， 所以，分解因式，解得 所以不等式的解集为 故选：A 7. 已知，，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题得，再根据求得，，最后根据和角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，即 所以，， 所以 故选：C 8. 已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，，进而结合已知条件得为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，，再分类讨论解不等式即可. 【详解】因为对任意，均有， 所以，两边同乘以得， 令， 所以在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数，， 所以，即为偶函数， 所以在上单调递减， 因为，所以，， 当时，等价于，即 因为在上单调递增， 所以的解集为； 当时，等价于，即 因为在上单调递减， 所以的解集为； 综上，不等式的解集为 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面命题正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“，” B. “”是“”的充分不必要条件 C. 不等式的解集为或 D. 若，则的最小值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项可根据全称量词命题的否定来判断，B选项可根据充分必要性的定义判断，解分式不等式即可判断C选项，D选项可根据基本不等式去确定. 【详解】命题“”的否定是“”，故A选项错误. ，，故“”是“”的充分不必要条件，B选项正确. 解，得或，故C选项正确. ，当且仅当“”时，即“”时等号成立，故D选项正确. 故选：BCD 10. 函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数部分图象求出函数解析式，可判断A；可得选项B错误；根据图象平移“左加右减”的原则可得选项C正确；根据，结合正弦函数的性质得选项D正确. 【详解】由图象可得，，，∴， 所以， ∵，∴， ∵，∴，∴，A正确； 当时，，选项B错误； 将函数的图象向左平移个单位得到函数 的图象，选项C正确； 当时，， ， ， 因为在区间上的值域为， 则实数的取值范围为，D正确. 故选：ACD 11. 已知是定义在上的奇函数，且为奇函数，当时，.，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. 方程恰有7个实数解 D. 的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用的奇函数性质与的奇函数性质推导出的周期为，再结合已知区间表达式求出在上的完整分段表达式，进而得到和的分段表达式，最后通过逐段分析的值域、对称性及与的交点，验证各选项的正确性. 【详解】已知是上的奇函数，则，，又是奇函数，则， 替换为，得，结合奇函数性质，又可得，故是周期为的奇函数； 而时，，则时，由奇函数性质可得； 当时，令，则，由周期性， 则当时，，， 则当时，，， 同理可得当时，，时，； 依旧通过换元法可以求得在上的分段函数表达式： 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，； 由此可得，因为，则在上的完整表达式如下： 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，； 选项A：，一个周期内，而，故，选项A错误； 选项B：由，满足关于点对称的条件，选项B正确； 先求选项D：当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，； 合并取值范围可知在周期内的取值范围是，选项D正确； 选项C：求的实数解，即等价于求的交点，由D选项可知在周期内的取值范围是，则要与有交点，则也应该在这个值域范围内，那么可以得到，在这一区间画图可知： 即有个交点，等价于有个实数解，选项C正确. 故选：BCD 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象恒过定点，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】令求出函数定点即可. 【详解】当时，，则函数的图象恒过定点， 则，则. 故答案为： 13. 计算：_____. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据指数与对数运算法则运算求解即可. 【详解】 故答案为： 14. 正实数满足，则的最小值为_____. 【答案】5 【解析】 【分析】构造函数，利用单调性可得，再利用均值不等式即可求解. 【详解】由，得， 令，则在上单调递增，所以，即， 又因为是正实数， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：5 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得集合，进而根据集合并集运算即可求解； （2）由题意得，分情况讨论即可得答案. 【小问1详解】 由题知当时，， ， 所以； 【小问2详解】 若，即，由（1）知，， 当时，可得，符合题意， 当时，可得，符合题意， 当时，可得，符合题意， 所以的取值范围为. 16. 已知锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与圆心在原点的单位圆相交于点. （1）求角的值，并计算的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，则，再结合诱导公式可求解； （2）由（1）知，再结合诱导公式可求解. 【小问1详解】 锐角的终边与圆心在原点的单位圆相交于点， 则，得或（舍去）， 则，所以； ； 【小问2详解】 由（1）知， . 17. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并利用单调性定义进行证明； （3）若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）函数在上的单调递增，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据对任意成立求解即可； （2）先判断函数单调性，再利用函数单调性的定义证明即可； （3）先根据基本不等式求得，再结合问题求解即可. 【小问1详解】 解：因为函数是偶函数， 所以，即， 整理得，该式对任意成立，不恒成立， 所以，即 【小问2详解】 解：由（1）知，在上单调递增，证明如下： 证明：任取且， ， 因为，指数函数单调递增，所以， 因为，所以，，， 所以，即 所以在上单调递增. 【小问3详解】 解：因为 所以，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以 因为，使得成立， 所以，即， 所以，即，解得 所以，实数的取值范围为 18. 已知函数，其中 （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若图象的相邻两条对称轴之间的距离是， （i）当时，求函数的值域； （ii）若关于的方程在上有两个不同的根，，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换得，再结合三角函数的性质求解即可； （2）（i）先根据周期性求得，再整体代换求函数值域即可； （ii）根据题意，将问题转化为与在有两个交点，横坐标分别为且，进而作出函数图象，数形结合求解即可. 【小问1详解】 解： ， 令，， 所以，当，， 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得 又，所以的取值范围为 【小问2详解】 解：因为图象的相邻两条对称轴之间的距离是， 所以得最小正周期，即，解得， 所以 （i）当时，， 所以， 所以函数的值域为 （ii）因为，当时，, 所以，即，有最大值， 因为，， 所以在上的图象如图所示， 关于的方程在上有两个不同的根，且 所以与在有两个交点，横坐标分别为且 所以，根据图象，有，，且 所以 所以的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）设函数，若对于任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）已知函数，若函数有且仅有6个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解集求参数即可； （2）利用函数最值，结合存在性和任意性来确定参数范围； （3）利用数形结合，来确定二次方程根的分布，从而可求参数范围. 【小问1详解】 由函数的定义域为，则的解集为， 所以，解得， 故实数的取值范围为； 【小问2详解】 由， 当时，，根据二次函数性质可知：， 对于任意的，总存在，使得不等式成立， 则任意的，都有不等式成立， 即由，因为， 所以原不等式可变形为：， 由于函数在上单调递增，所以， 即，解得， 故实数的取值范围是； 【小问3详解】 作出函数图象如下： 由图可得，要使得函数有且仅有6个零点， 则满足方程必有两个不等于0的根，根据韦达定理可知，这两个根互为倒数， 则必有一个根在，满足有4个解，且另一个根在，满足有2个解， 当时，，此时方程的两根为和， 此时满足题意，故， 再根据两个根分别落在区间和，则有，解得， 综上可得：实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $