精品解析：山东烟台市2025-2026学年度第一学期期末自主练习高一数学试题

2025～2026学年度第一学期期末自主练习 高一数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上． 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 方程的解所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 若一扇形的半径为2，周长为5，则该扇形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 6. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点为，始边为轴的非负半轴，终边经过点，，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知正实数，均不等于1，则函数，，在同一坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 对于函数，若存在实数使得为偶函数，则称是位差值为的“位差偶函数”.若函数是位差值为的“位差偶函数”，则的值可以为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 为偶函数 B. 有两个零点 C. 在区间上单调递减 D. 的值域为 10. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） A. B. 为偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 11. 已知函数和的零点分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 当时， D. 函数的图象关于点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的化简结果为______． 13. 已知，，则值为______． 14. 用表示，中的较大者，记为.若函数，且，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知． （1）求值； （2）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若点为角终边上一点，且，求点的坐标． 16. 某湿地自然保护区为提升某种鸟类种群数量，自2020年年初开始对该鸟类采取有效保护措施，并于每年年底统计其该年份的种群数量（单位：千只）．经评估，与年份近似满足如下关系：当时，；当时，，其中，，，均为常数.已知2020年和2023年该鸟类种群数量分别为10千只、20千只． （1）求，的值； （2）假设2026年该鸟类的种群数量为50千只，求其种群数量增长到80千只时的年份． 17. 已知为奇函数． （1）求得的值，并用定义法证明函数在区间上的单调性； （2）设，若，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象． （ⅰ）当时，求的取值范围； （ⅱ）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）令． （ⅰ）证明：是周期函数； （ⅱ）若，对，有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末自主练习 高一数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上． 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，再代入特殊角的三角函数值即得. 【详解】. 故选：C 2. 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正、余弦型函数的最小正周期公式判断选项A，B，D；利用诱导公式求出是的一个周期，并证明该周期为最小正周期，进而判断选项C． 【详解】正、余弦型函数的最小正周期公式为， 故、的最小正周期，选项A，B错误； ，最小正周期为，故D错误； ， 假设存在更小的正周期，使得对任意都有， 令，则，解得， 不存在，满足使得， 的最小正周期为，故C正确． 故选：C． 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据真数大于0和根号下大于等于0得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则其定义域为. 故选：B. 4. 方程的解所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设函数，结合零点的存在性定理，结合选项，即可求解. 【详解】设函数，可得函数单调递增函数， 由，， ，， ， 结合选项，可得，所以函数在存在零点， 即方程的解所在的区间为. 故选：C. 5. 若一扇形的半径为2，周长为5，则该扇形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设扇形的弧长为，根据周长求得，结合扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设扇形的弧长为，因为扇形的半径为2，周长为5， 可得，解得，所以扇形的面积为. 故选：A. 6. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点为，始边为轴的非负半轴，终边经过点，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的定义和诱导公式，结合角的终边位于第四象限，即可求解. 【详解】因为角的顶点为，始边为轴的非负半轴，终边经过点， 因为，所以角的终边位于第四象限，即， 由三角函数的定义，可得， 所以， 因为，当时，可得. 故选：D. 7. 已知正实数，均不等于1，则函数，，在同一坐标系中的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数图象与性质并结合大小一一代入选项分析即可. 【详解】对A，由图知，因为在直线右侧图象在图象上方， 则，则，则单调递减，与图象不符合，故A错误； 对B，由图知，因为在直线右侧图象在图象下方， 则，则，则单调递增，与图象不符合，故B错误； 对C，由图知，因为在直线右侧图象在图象上方， 则，则，则单调递增，与图象符合，故C正确； 对D，同C分析得单调递增，与图象不符合，故D错误. 故选：C. 8. 对于函数，若存在实数使得为偶函数，则称是位差值为的“位差偶函数”.若函数是位差值为的“位差偶函数”，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，由为偶函数，得到，求得，即可求解. 【详解】由函数是位差值为的“位差偶函数”， 又由， 所以， 因为为偶函数，则满足，所以， 当时，. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 为偶函数 B. 有两个零点 C. 在区间上单调递减 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义与判定方法，可判定A正确；令，求得，可判定B正确；结合复合函数的单调性的判定方法，可判定C错误；根据对数型函数值域求法求解，可判定D正确. 【详解】对于A，由函数，则满足，解得或， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又由，所以函数为偶函数，所以A正确； 对于B，令，可得，即，解得， 所以函数有两个零点，所以B正确； 对于C，令，因为，可得，且， 因为二次函数在为单调递增函数，且在也是单调递增函数， 根据复合函数单调性的判定方法，可得函数在为单调递增函数，所以C错误； 对于D，由函数的定义域为， 令，则，即t取遍所有正数，所以函数的值域为， 即函数的值域为，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） A. B. 为偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象和性质，结合图象求出解析式，进而判断选项A；求出的解析式，分析函数奇偶性，判断选项B；计算处的值，结合对称轴处正弦值的特点，判断选项C；求的单调递增区间，结合已知区间分析单调性，判断选项D． 【详解】由图象可知，最高点到相邻零点的水平距离为，是， ， ， 当时，，，， ， 选项A：，故A正确； 选项B：， ，是奇函数，故B错误； 选项C：， 是的对称轴，故C正确； 选项D：的递增区间满足， 解得， 取，递增区间为， 在区间上，在上单调递增，在上单调递减， 在上先增后减，非单调，故D错误． 故选：AC． 11. 已知函数和的零点分别为，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 当时， D. 函数的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用零点存在性定理，求得和，可判定A错误；由且，得到，可判定B正确；令，结合三角函数与对数函数的性质，求得，可判定C正确；令，化简得到，可判定D正确. 详解】由函数，令，即，即， 因为，函数为单调递增函数，且， 所以函数和的图像只有一个公共点， 对于A，因为函数，可得其定义域为， 由，可得 所以在内存在零点，即， 函数，可得其定义域为， 令，可得， 可得，所以， 所以在内存在零点，即，即，可得， 所以，所以A错误； 对于B，因为是的零点，所以，即， 是的零点，可得， 即，因为方程有且只有一个根， 所以，即，所以B正确； 对于C，令， ， 因为，可得， 所以， 又由，所以， 所以，即， 所以，所以C正确； 对于D，令， 则， 则，即，即， 所以关于点对称，即关于点对称，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的化简结果为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据指数幂和对数运算法则和运算性质即可得到答案. 【详解】原式. 故答案为：3. 13. 已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】对原等式两边同平方并结合二倍角的正弦公式得，再缩小的范围，最后利用同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】，两边同平方得， 即，即，因为， 则，又因为，则， 则，则， 则. 故答案为：. 14. 用表示，中的较大者，记为.若函数，且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数图象平移，结合函数图象，可分析出最大值. 【详解】 作出的图象，根据可知： 函数的图象是始终取两函数图象在上方的部分， 由， 即当时，，当时，，且函数的周期仍然为， 为了满足，且要使得取得最大值， 根据，在一个周期内， 不妨取：，此时， 所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求的值； （2）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若点为角终边上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）弦化切即可得到方程，解出即可； （2）设点，根据正切函数定义和得到方程组，解出即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以，解得． 【小问2详解】 设点，则． 解得或． 所以，点的坐标为或． 16. 某湿地自然保护区为提升某种鸟类的种群数量，自2020年年初开始对该鸟类采取有效保护措施，并于每年年底统计其该年份的种群数量（单位：千只）．经评估，与年份近似满足如下关系：当时，；当时，，其中，，，均为常数.已知2020年和2023年该鸟类种群数量分别为10千只、20千只． （1）求，的值； （2）假设2026年该鸟类的种群数量为50千只，求其种群数量增长到80千只时的年份． 【答案】（1）； （2）2032. 【解析】 【分析】（1）代入数据得到关于的方程组，解出即可； （2）代入数据得到关于的方程，解出后得到函数关系式，再解方程即可. 【小问1详解】 由题知，当时，，当时，， 即， 解得． 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 当时，， 联立上述两个方程，解得， 所以， 令，整理得，解得． 所以，到2032年时，该鸟类的种群数量能增长到80千只． 17. 已知为奇函数． （1）求得的值，并用定义法证明函数在区间上的单调性； （2）设，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，求得，得到，结合函数的单调性的定义和判定方法，即可求解； （2）由（1）知，函数的性质，结合，得到，得到为偶函数，且在上递增，则在上递减，把不等式转化为，求得不等式的解集，得到答案. 【小问1详解】 由函数为上的奇函数， 可得，解得，所以， 经检验时，为奇函数，符合题意， 又由， 任取，且， 则， 因为，可得， 所以，即， 所以函数在上的单调递增函数. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上的单调递增函数，且为奇函数， 所以当时，；当时，； 又由，可得， 所以函数为偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减， 因为，所以，即， 整理得，即，解得或， 所以不等式解集为. 18. 已知函数． （1）求函数单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象． （ⅰ）当时，求的取值范围； （ⅱ）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式结合二倍角公式化简解析式，再利用正弦函数单调性求的单调区间； （2）（ⅰ）利用图象变换规则求出，运用换元法求出在给定区间内的取值范围； （ⅱ）利用诱导公式化简方程，分离参数，利用基本不等式结合对勾函数性质求实数的取值范围． 【小问1详解】 ， 正弦函数的递增区间为，令， 则，解得， 的单调递增区间为． 【小问2详解】 函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，故， 的图象是将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，故； （ⅰ）当时，，令， ，； （ⅱ）方程，代入， ， ， 方程转化为， 设，当时，，方程化为， 整理得，令，， 则，， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 令，则对勾函数的图象如下图所示： 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， ，，， 综上可得取值范围为：． 19. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）令． （ⅰ）证明：是周期函数； （ⅱ）若，对，有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明过程见解析； 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式对进行化简，结合对数函数的定义域、单调性及正弦型三角函数的单调性求解即可. （2）（ⅰ）结合周期性的定义证明即可. （ⅱ）分别求出在上及在的值域，结合存在性及任意性问题转化求解即可. 【小问1详解】 . 不等式可化为，所以， 即， 所以或，， 即或，， 所以不等式的解集为 【小问2详解】 （ⅰ） . 因为的周期为，的周期为， 故的周期也为. 所以 ， 所以是以为周期的周期函数. （ⅱ）. 当时，， 因为在单调递增，所以， 又在定义域内单调递减，故函数在单调递减， 又，在单调递减， 因此函数在单调递减， 所以当时，. 当时， . ，因为在上单调递减，所以， ， 又在定义域内单调递减，故在单调递减， 在上单调递增，而，故在单调递减，故 在单调递减 所以当时，. ，对，有成立， 等价于，即 当时，，故即，解得. 当时，，显然不符合题意，舍去， 当时，，不符合题意，舍去， 综上可得， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $