2026年广东省 深圳市中考数学复习专题压轴冲刺训练——二次函数应用

二次函数应用 1．（2025•南山区校级三模）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A和点B的水平距离为6米． （1）按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； （2）现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； （3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点A与点B，然后在棚顶上某处取点C，在钢架AB和棚顶之间竖直安装第二段钢架CD．求出第二段钢架CD长度的最大值． 2．（2025•罗湖区校级模拟）完成项目式学习：《观景拱桥的设计》． 《观景拱桥的设计》 驱动问题 1、如何利用函数模型，刻画观景拱桥的横截面？ 2、如何铺设台阶地毯，保证观景拱桥的实惠性？ 3、如何安装脚手架，保证脚手架的安全性？ 4、如何设计射灯位置，保障观景拱桥的采光性？ 项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示： 任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点C（0，5），B（10，0）（长度单位：m），直接写出抛物线的解析式：　 　 ． 任务2 利用模型 （2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶（台阶横截面如图中黑色阴影所示）表面铺设一条完整的宽度为1.5m的地毯，地毯覆盖整个台阶表面，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元？ 任务3 利用模型 （3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”可看成矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧上）．已知“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF是地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离． 任务4 分析计算 （4）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点O处12米的地面M、N处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图2所示，光线交汇点P在拱桥OC的正上方，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度） 3． （2025•南山区三模）如图1，已知排球场的长度为18m，宽9m，位于球场中线处的球网AB的高度为2.24m．一球员定点发球技术非常稳定，当他站在底线中点O处发球时，排球运动轨迹是如图2的抛物线，C点为击球点，OC＝1.8m，球飞行到达最高点F处时，其高度为2.6m，F与C的水平之距为6m，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系（排球大小）忽略不计）． （1）当他站在底线中点O处向正前方发球时， ①求排球飞行的高度y与水平距离x之间的函数关系式（不用写x的取值范围）． ②这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？并说明理由． （2）假设该球员改变发球方向和击球点高度时球运动轨迹的抛物线形状不变，在点O处上方击球，要使球落在①号区域（以对方场地的边线底线交点M为圆心，半径为1.5m的扇形）内，球员跳起的高度范围是多少？（4.12，结果保留两位小数） 4．（2025•深圳模拟）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽OA＝3.5米，河道坝高AE＝5米，坝面AB的坡比为i＝1：0.5（即i＝tan∠ABE），当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，解决问题： （1）求水柱所在抛物线的解析式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边A处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； （3）河水离地平面AD距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？ 5．（2025•南山区模拟）综合与实践 问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红； 第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长． 6．（2024•深圳模拟）综合实践 设计“脚手架”支杆的长度 材料1 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线AED和矩形ABCD构成．已知矩形的长BC＝12米，宽AB＝3米，抛物线最高点E到地面BC的距离为7米． 材料2 冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱PQ和MN，如图所示． 材料3 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁PN．搭建成一个矩形“脚手架”PQMN，如图所示． 问题解决 任务1 确定大棚形状 按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线AED的函数表达式． 任务2 尝试计算间距 若两根支撑柱PQ，MN的高度均为6米，求两根支撑柱PQ，MN之间的水平距离． 任务3 探索最优方案 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁PN．搭建成一个矩形“脚手架”PQMN，求出“脚手架”三根支杆PQ、PN、MN的长度之和的最大值． 7．（2025•深圳校级模拟）近年来，随着低碳环保理念深入人心，共享单车愈发受到年轻人的青睐．小林设计了一个如图1所示的自行车棚，其截面如图2所示，顶棚是抛物线的一部分，AO、BC是两根水泥柱，AO、BC垂直于地面上的水平线OC，且AO＝BC＝2米，OC＝8米，以OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式y＝ax2+x+c（a、c为常数，且a≠0）． （1）求顶棚抛物线的函数关系式； （2）为使车棚更加稳固，现要从顶棚到地面加两根支撑钢条DE、FG，DE、FG两根钢条之间用钢条MN连接，MN＝2米，DE⊥OC，FG⊥OC，MN∥OC（D、F在抛物线上，E、G在OC上，M、N分别在DE、FG上），钢条DE与FG的长度之和是否存在最大值？若存在，请求出钢条DE与FG的长度之和的最大值；若不存在，请说明理由． 8．（2025•罗湖区校级模拟）根据以下素材，探究完成任务． 如何把实心球掷得更远？ 素材1：小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面1.6m，当球到OA的水平距离为1m时，达到最大高度为1.8m． 素材2：根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方1m处（如图）架起距离地面高为2.45m的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离OC＝8m． 问题解决 任务1：计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离OB. 任务2：探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量. 任务3：提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议. 9．（2025•深圳校级二模）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系．水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是． （1）柱子OA的高度是　 　 米，喷泉最高点距离地面　 　 米； （2）求喷泉在左侧喷出抛物线的解析式； （3）如图所示，为了增强喷泉的喷射效果，在距离O点2.5米处安装一个高度为0.5米的石柱（柱子的宽度忽略不计，可以看作一条直线），石柱上安装开关G点，当喷泉水流接触到开关时，G点将会喷射出和A点处相同强度的水流（G点处喷射出的抛物线的大小形状与A点喷射抛物线大小形状相同）； ①求此时水池的半径至少为　 　 米，才能使喷出的水流不至于落在池外？（水池的半径要求整数）； ②若要在O点装射灯（射灯照射出来的光线为一条直线），要求射灯照射出的光线穿过三段水流来增加喷泉的观赏性，请写出射灯照射出的光线与水平线夹角α正切值的取值范围　 　 ． 10．（2025•南山区校级三模）项目式学习 问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，OA是安装充电桩的墙面，AB是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知OA＝2.5m，点B为AB所在抛物线的最高点，其坐标为（4，3.5）． （1）求AB所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是AB上干粉灭火器的安装点，CD是长度为41cm的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面3m时，对地面的保护半径为2m．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在AB所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． （2）若干粉喷射点D距地面的高度恰好为3m时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点（1，1）？请说明理由． （3）若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙OA的交点为（0，1.09），请直接写出点D的横坐标． 11．（2025•南山区校级模拟）综合与实践 问题情境：为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究． 建模分析： 第一步：根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分； 第二步：如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 第三步：记录数据，实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）的部分数据如表： x/m 1 2 4 6 7 … y/m 2.25 2.67 3 2.67 2.25 … 第四步：成绩分析． 问题解决： （1）求实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） （2）求实心球起点处的坐标； （3）当实心球从起点到落地点的水平距离超过11m时，得分为满分．请通过计算说明小宇在此次掷球中是否得满分． 12．（2025•深圳校级一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定防守方案？ 素材1 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知OB＝28m，AB＝8m． 素材2 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为15m/s．水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表．守门员的最大防守高度为m．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． s/m … 9 12 15 18 21 … h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … 问题解决 任务1 确定运动轨迹 求h关于s的函数表达式． 任务2 探究防守方案 若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． 任务3 拟定执行计划 求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 13．（2025•宝安区模拟）【项目式学习】 【项目主题】绿波畅行，高效出行 【项目背景】绿波带是通过科学设置交通信号灯配时与车辆行驶速度，使车辆连续通过多个绿灯的交通优化方案．如图1，某城市计划在两个相距500米的直线型路口实施绿波带，绿波控制系统设定：车辆在第一个路口绿灯亮起后出发，第二个绿灯在10秒后亮起，绿灯时间为30秒，为保证安全，该路段限速60km/h（即．为确保车辆能连续通过第二个路口的绿灯（车身长忽略不计），某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动．任务一查阅资料 经过查阅相关资料，可知汽车在匀加（减）速直线运动过程中，行驶的速度v与行驶时间t满足一次函数关系：v＝v0+at，其中V0为初始速度，a为加速度，当汽车加速行驶时a的值为正数，当汽车减速行驶时a的值为负数；行驶的路程s与行驶时间t满足二次函数关系：． 如图2，假设当车辆从第一个绿灯亮起时出发，先进行匀加速直线运动，4秒时间加速到速度为v1m/s后，进行匀速直线运动，为确保经过路口的安全性，在接近第二个红绿灯时进行匀减速直线运动，2秒时间减速到速度为时恰好到达第二个路口． 任务二数学计算 （1）当时，汽车在加速行驶过程中的加速度为 　 　 m/s2，在减速行驶过程中的加速度为 　 　 m/s2； （2）判断当时，汽车是否能够连续通过第二个绿灯？ 任务三方案设计 求出汽车在加速行驶与减速行驶过程中，行驶的路程s与行驶时间t分别满足的二次函数关系式（用含v1的式子表示，不用写自变量的取值范围），并直接写出要连续通过第二个绿灯，则 （3）v1的取值范围为 　 　 ． 14．（2025•福田区二模）如图1，一个小球以v0＝10cm/s的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段AC绝对光滑；除AC段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度v（cm/s）与时间t（s）之间的关系如图2所示，其路程s（cm）与时间t（s）之间的关系如图3所示（PQ段是抛物线的一部分）． （1）轨道初段AC的总长为　 　 cm；并求出小球在粗糙轨道（图中射线CB上）运动时，v（cm/s）与t（s）之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）． （2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为140cm，求抛物线的函数关系式． ②延长线段OP，如果直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与抛物线对称轴平行，则称线段OP与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段OP与抛物线是否光滑连接？ （3）在（2）的条件下，在射线CB上，是否存在一节长为9cm的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由． 15．（2025•深圳模拟）体育课上小林同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似地看作是抛物线的一部分．如图①是小林连续两次蛙跳的运动示意图，规定小林距离地面的竖直高度为y（m），距离起跳点的水平距离为x（m），建立如图所示的平面直角坐标系．第一个蛙跳的起跳点为原点，并在点（1，0.4）处达到最高点，在点A处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳，路线为抛物线，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线L1相同． （1）求小林第一个蛙跳的路线抛物线L1的函数解析式； （2）若小林第二个蛙跳从x＞2.6m时开始总处于下降状态； ①求k的值； ②在x＝3m处，有一根长0.12m的海绵条垂直放置在地面，则小林在第二跳中是否会触碰到海绵条？说明理由． （3）如图②，为提高训练效果，老师指导小林在可调节坡度的斜坡（近似看作直线y＝mx（m≠0））上进行训练，P为斜坡与L1的交点，在点Q处设置可调节支撑杆，且PQ⊥x轴．当，且抛物线L2与抛物线L1的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出h的取值范围． 16．（2025•南山区三模）镁在燃烧时发出耀眼的白光．某兴趣小组在操场上做镁球的发射与燃烧实验：质量、大小均相同的镁球从发射器（发射器的高度忽略不计）中竖直向上发射（镁球离开发射器即开始燃烧），以下是镁球发射后的相关数据： 已知镁球到达最高处后再过1.5s会燃烧完． 发射时间x/s 0 2 5 9 12 13 … 离地面的高度y/cm 0 92 200 288 312 312 … （1）①请利用表格数据描点，画出y与x的大致图象，根据图象估计y与x之间的函数关系是 　 　 （填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）． ②求y与x之间的函数关系式． （2）直接写出发射时间为多少秒时，镁球到达最高处． （3）已知每个镁球发射后的运动轨迹均相同．该小组先后连续发射了2个镁球，第1个镁球燃烧完时，第2个镁球刚好和它处于对称位置，求这2个镁球发射时间相隔多少秒． 17．（2025•南山区二模）城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．如图1是2025年深圳地铁线路图．小方了解到列车从后海站开往南山站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后两秒滑行的距离．为了解决这个问题，小方通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． （1）建立模型 ①收集数据 t（秒） 0 4 8 12 16 20 24 s（米） 256 196 144 100 64 36 16 ②建立平面直角坐标系 为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系． ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是 　 　 函数的图象． ⑤求函数解析式 解：设s＝at2+bt+c（a≠0）因为t＝0时，s＝256，所以c＝256，则s＝at2+bt+256． 请根据表格中的数据，求a，b的值． 验证：把a，b的值代入s＝at2+bt+256中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式． （2）应用模型 列车从减速开始经过 　 　 秒，列车停止；最后两秒钟，列车滑行的距离为 　 　 米． 18．（2025•深圳二模）某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，请写出x与y之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）请画出上述函数的大致图象． （3）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 小丽解答过程如下： 解：（1）根据题意，可列出表达式： y＝（60﹣x）（300+20x）﹣40（300+20x）， 即y＝﹣20x2+100x+6000． ∵降价要确保盈利，∴40＜60﹣x≤60．解得0≤x＜20． （2）上述表达式的图象是抛物线的一部分，函数的大致图象如图1： （3）∵a＝﹣20＜0， ∴当x2.5时，y有最大值，y6125． 所以，当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润为6125． 老师看了小丽的解题过程，说小丽第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）（3）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）（3）中正确的答案，或说明错误原因． 19．（2025•深圳模拟）阅读以下材料，完成课题研究任务： 【研究课题】设计公园喷水池 【素材1】某公园计划修建一个如图1所示的喷水池，其示意图如图2，水池中心O处立着个实心石柱OA，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱0.5m处能达到最大高度，且离池面的高度为2.25m． 【素材2】距离池面1.25m的位置，围绕石柱还修了一个半径为1.5m的圆形小水池，此时小水池恰好不影响水流． 【任务解决】 （1）请结合题意写出下列点的坐标：B　 　 、C　 　 ． （2）求实心石柱OA的高度． （3）为了节约水资源，水流在喷水池中循环使用，喷水池的半径至少为多少米？ 20．（2025•坪山区二模）综合与实践 深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究： 把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线OAB、曲线BCD、曲线EFG和曲线GHI，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线OAB平移得到，OE的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线OAB最高点A点坐标为（4，4）． （1）求曲线OAB所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）． （2）如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，如图所示，其中PQ∥y轴，求矩形花园周长的最大值． （3）如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线EFG和曲线GHI的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即RS＝0.6，请问至少需要安装垂直灯具 　 　 个． 参考答案 1．解：（1）由题可得：抛物线的顶点B的坐标为（6，3）． 设y与x的函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k（0≤x≤6）， ∴抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣6）2+3． ∵点A的坐标为（0，2）， ∴将点A代入函数解析式中，得2＝a（0﹣6）2+3，解得． ∴抛物线的函数解析式为． （2）根据题意：设点P的坐标为（x，2.5）， 将y＝2.5代入中， 得：， 解得：（舍去），． ∴， ∴车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点P离地面高约2.5米时，这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方． （3）设直线AB的函数解析式为y＝kx+2（k≠0）． 将点A（6，3）代入y＝kx+2中， 得， ∴． ∵抛物线的一般式为， 且C是抛物线上的点， ∴设点C． ∵CD∥y轴，点D在AB上，点D的横坐标为x， ∴D， ∴． ∴当x＝3时，CD取最大值，最大值为． ∴钢架CD长度的最大值是米． 2．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+k，由题意得： ，解得， 所以抛物线的解析式为， 故答案为：； （2）由（1）知，OC＝5， 令y＝0，即，解得x1＝10，x2＝﹣10； ∴地毯的总长度为：AB+2OC＝20+2×5＝30， ∴30×1.5×20＝900， 答：购买地毯需要900元． （3）设点G的坐标为， 根据题意得HG＝2t，， ∵EH+HG+GF＝18.4m， ∴， 解得t1＝6，t2＝14（不合题意，舍去）， ∴HG＝12m，GF＝3.2m， ∴，AE＝AO﹣EO＝4m． （4）作直线NP的平行线l，使它与抛物线相切于点D，分别交x轴，y轴于点H，Q，过点H，作HG⊥PN，垂足为G，如图所示， ∵l∥PN， 设直线l的解析式为y＝﹣x+m， 联立直线与抛物线解析式，， 整理得x2﹣20x﹣100+20m＝0， ∵直线l与抛物线相切， ∴方程只有一个根， ∴Δ＝（﹣20）2﹣4×1×（20m﹣100）＝0， 解得m＝10， ∴直线l的解析式为y＝﹣x+10， 令y＝0，则x＝10， ∴H（10，0）， ∴HN＝12﹣10＝2， ∵射灯射出的光线与地面成45°角， ∴∠PNO＝45°， ∵∠HGN＝90°， ， ∴， ∴光线与抛物线之间的最小垂直距离为米． 3．解：（1）根据题意设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+2.6， 把C（0，1.8）代入解析式，得a（0﹣6）2+2.6＝1.8， 解得a， ∴排球飞行的高度y与水平距离x之间的函数关系式为y（x﹣6）2+2.6x2x； ②当x＝9时，y（9﹣6）2+2.6＝2.4＞2.24， ∴这次所发的球能够过网； 令y＝0，则（x﹣6）2+2.6＝0， 解得x1＝6+3，x2＝6﹣3（舍去）， ∵6+318， ∴不会出界； （2）根据题意得，抛物线解析式为yx2x+c， OM4.5×4.12＝18.54， ①当球落在点M时，即当x时，y＝0， ∴（）2c＝0， 解得c2.71； ②当球落在圆弧上时，x＝18.54﹣1.5＝17.04时，y＝0， ∴（17.04）217.04+c＝0， 解得c≈1.91； ③当球过球网AB时，即x时，y＝2.24， ∴（）2c＝2.24， 解得c≈1.68． ∴球员跳起的高度范围是1.91≤h≤2.71． 4．解：（1）由题意得，二次函数的顶点坐标为（2，3）， 设该二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+3（a≠0），二次函数经过原点， ∴4a+3＝0， 解得a， ∴该二次函数的解析式为y（x﹣2）2+3； （2）水柱不能喷射到护栏上，理由如下： 当x＝3.5时， ∵1.3125＞1.2， ∴水柱不能喷射到护栏上； （3）①∵河道坝高AE＝5米，坝面AB的坡比为i＝1：0.5（其中i＝tan∠ABE）， ∴AE：BE＝1：0.5， 即BE＝2.5， 则点B与原点O的水平距离为3.5+2.5＝6， ∴点B的坐标为（6，﹣5）， 又∵点A的坐标为（3.5，0）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AB的表达式为：y1＝﹣2x+7（3.5≤x≤6）， ∴﹣2x+7（x﹣2）2+3， 解得x1＝2（不合题意，舍去），x2， 当x，时，y， 即河水离地平面AD距离为米时，水柱刚好落在水面上； 5．解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系， ∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝6， ∴OA＝OBAB6＝3． ∴点B的坐标为（3，0）， ∵OP＝9， ∴点P的坐标为（0，9）， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+9， ∵点B（3，0）在抛物线y＝ax2+9 上， ∴9a+9＝0， 解得：a＝﹣1． ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+9（﹣3≤x≤3）； （2）点D，E在抛物线y＝﹣x2+9 上， ∴设点E的坐标为（m，﹣m2+9）， ∵DE∥AB，交y轴于点F， ∴DF＝EF＝m，OF＝﹣m2+9， ∴DE＝2m． ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB， ∴OCAB6． ∴CF＝OF﹣OC＝﹣m2+9﹣3＝﹣m2+6， 根据题息，得DE+CF＝6， ∴﹣m2+6+2m＝6， 解得：m1＝2，m＝0（不符合题意，舍去）， ∴m＝2． ∴DE＝2m＝4，CF＝﹣m2+6＝2 答：DE的长为4米，CF的长为2米． 6．解：任务1：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝12（米）， ∴点A（﹣6，3），点D（6，3）， 根据题意和图象可得，顶点E的坐标为（0，7）， ∴可设抛物线AED的解析式为：y＝ax2+7， 把点A（﹣6，3）代入解析式可得：36a2+7＝3， 解得：， 抛物线AED的解析式为：； 任务2：当y＝6时，， 解得x＝±3， ∵3﹣（﹣3）＝3+3＝6（米）， ∴两根支撑柱之间的水平距离为6米； 任务3：设N点坐标为，PQ、PN、MN的长度之和为w米， 则PN＝2m，， ∴， ∵， 当时，w有最大值，最大值为， ∴“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值为米． 7．解：（1）由题意可得，抛物线经过点A（0，2），B（8，2）， 将A（0，2），B（8，2）代入y＝ax2+x+c， ， 解得：， ∴顶棚抛物线的函数关系式为； （2）由题意可得，DE与FG之间的距离为2米．设点E的坐标为（t，0），则， ∴． 当t＝3时，DE+FG的最大值为米， ∴钢条DE与FG的长度之和存在最大值，最大值为米． 8．解：任务一：建立如图所示的直角坐标系， 由题意得：抛物线的顶点坐标为（1，1.8）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+1.8，过点（0，1.6）， ∴a+1.8＝1.6， 解得a＝﹣0.2， ∴y＝﹣0.2（x﹣1）2+1.8， 当y＝0时，﹣0.2（x﹣1）2+1.8＝0， 得x1＝4，x＝﹣2（舍去）， ∴素材1中的投掷距离OB为4m； （2）建立直角坐标系，如图， 设素材2中抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c， 由题意得，过点（0，1.6），（1，2.45），（8，0）， ∴， 解得， ∴y＝﹣0.15x2+x+1.6 ∴顶点纵坐标为， （m）， ∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为； 任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角． 9．解：（1）当x＝0时，y； y最大， 故答案为：，； （2）方法一：∵水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，y轴右侧的抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x，左侧抛物线与右侧抛物线关于y轴对称， 将x换为﹣x（x＜0）， ∴喷泉在左侧喷出抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x； 方法二：已知抛物线y＝﹣x2+2x对称轴为直线x＝1， 设左侧抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k， ∵左侧抛物线与右侧抛物线关于y轴对称， ∴顶点坐标是（﹣1，），且a＝﹣a， ∴y＝﹣x2﹣2x； （3）①对于右侧原抛物线， 令y＝0，则﹣x2+2x0．等式两边同乘4得﹣4x2+8x+7＝0，即4x2﹣8x﹣7＝0， 根据一元二次方程求根公式x（其中a＝4，b＝﹣8，c＝﹣7），可得： x， ∵x＞0， ∴x2.6583， 当在距离O点2.5米处安装石柱后， 设G点处抛物线为y＝﹣（x﹣2.5）2+b． ∵G点高度为0.5米， ∴把（2.5，0.5）代入可得b＝0.5， 即y＝﹣（x﹣2.5）2+0.5． 当y＝0时，0＝﹣（x﹣2.5）2+0.5， 即（x﹣2.5）2＝0.5， 解得x＝2.5±， 取较大值x≈3.2， 比较2.6583和3.2071，3.2071更大， ∵水池半径要求整数，且要保证水流不落在池外， ∴水池半径至少为4米． ②设过O点的直线解析式为y＝kx，（k＝tanα）， 当光线过A（0，）和G点右侧水流落地x＝3，y＝0时， k， ∵a是与水平线夹角，k＞0， ∴舍去， 当光线与A点喷射抛物线相切时，联立， 得x2+（k﹣2）x0， Δ＝（k﹣2）2﹣7＝0， k﹣2＝±， ∵k＞0， ∴k＝24.645（不符合范围，舍去）； 当光线过G（2.5，0.5）和A点喷射抛物线顶点（1，）时， k（舍去）； 当光线过A（0，）和x＝1，y时， k1； 当光线过G（2.5，0.5）和x＝2，y＝0时，k1； 当光线过A（0，）和x，y时，k0（舍去）； 当光线与左侧抛物线y＝﹣x2﹣2x和A点喷射抛物线相交， 且过A（0，）和x，y时，k＝0（舍去）； 经过分析，当时，光线能穿过三段水流． 10．解：（1）由题意，AB所在抛物线的顶点坐标为（4，3.5）， ∴设AB所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.5， 将点A（0，2.5）代入得2.5＝a（0﹣4）2+3.5， 解得， ∴AB所在抛物线的解析式为，即； （2）不能覆盖着火点（1，1），理由如下， 由题意得，yD＝3，yC＝3+0.41＝3.41， 对于， 令y＝3.41，则， 解得x＝5.2（5.2＞4舍去）或x＝2.8， ∴点C（2.8，3.41）， ∴点D（2.8，3）， 设此时抛物线的解析式为y＝b（x﹣2.8）2+3， ∵对地面的保护半径为2m， ∴此抛物线与x轴的两个交点为（2.8﹣2，0）和（2.8+2，0），即（0.8，0）和（4.8，0）， 将（0.8，0）代入得0＝b（0.8﹣2.8）2+3， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令x＝1，则， ∴点（1，1）在抛物线与x轴形成的区域的外侧，∴不能覆盖着火点（1，1）； （3）∵点C在AB所在抛物线上滑动， ∴设点， ∴点，即， ∵点D的移动中，点D的喷出的干粉形成的抛物线形状与点C的喷出的干粉形成的抛物线形状相同， ∴设此时抛物线的解析式为， 将（0，1.09）代入得， 整理得13m2﹣8m﹣16＝0， ∵Δ＝（﹣8）2﹣4×13×（﹣16）＝896＞0， ∴（舍去负值）， ∴， ∴点D的横坐标为． 11．解：（1）由题意，根据表格数据，可得二次函数的对称轴是直线x4， ∴顶点为（4，3）． ∴可设函数表达式为y＝a（x﹣4）2+3． 又∵抛物线过（1，2.25）， ∴2.25＝a（1﹣4）2+3． ∴a． ∴实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）的函数表达式为y（x﹣4）2+3． （2）由题意，结合（1），令x＝0， ∴y（0﹣4）2+3． ∴实心球起点处的坐标为（0，）． （3）由题意，令y（x﹣4）2+3＝0， ∴x＝10或x＝﹣2（不合题意，舍去）． ∴实心球从起点到落地点的水平距离为10m＜11m． ∴小宇在此次掷球中不能得满分． 12．解：任务一：由表格信息可知，抛物线的顶点坐标为（15，5）， 设h＝a（s﹣15）2+5， 把（12，4.8）代入，得 a（12﹣15）2+5＝4.8，解得a， ∴h（s﹣15）2+5，即hs2s； 任务二：不成功，理由如下： 当s＝20时，h（s﹣15）2+5（20﹣15）2+5， ∴若守门员选择原地接球，防守不成功； 任务三：若守门员选择面对足球后退，并成功防守，设守门员的速度为vm/s，且ts时，足球位于守门员正上方， 则有15t＝28﹣（8﹣vt），解得t（s）， ∴s＝15•（m）， 代入上述解析式可得，h•（）2•， 解得v＝﹣45（舍去）或v＝3． ∴此过程守门员的最小速度为3m/s． 13．解：（1）当t＝4时，v1， ∴汽车在加速行驶过程中的加速度为m/s2； 由题可知在减速行驶过程中的加速度为m/s2； 故答案为：； （2）法1：在加速阶段，，t＝4时， ， 在减速阶段，，，t＝2时， ， ∴， ∵， ∴汽车可以连续通过第二个绿灯． 法2：∵匀速行驶的最大时间为10+30﹣4﹣2＝34秒， 由， ∴汽车可以连续通过第二个绿灯． （3）在加速阶段，v1＝0+a1×4，则， ∴， 在减速阶段，，则， ∴， 在加速阶段，当t＝4时，， 在减速阶段，当t＝2时，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．解：（1）由图3可知，轨道初段AC的总长为40cm； 设v＝kt+b， 则， 解得， 故， 故答案为：40；v与t之间的关系式为vt+12； （2）①由题意，Q为顶点，设Q（h，140）， 则， 把P（4，40）代入解析式得：， 解得h＝24（舍去 h＝﹣16）， ∴t2+12t﹣4； ②设直线OP表达式：s＝k1t，代入P（4，40），有k1＝10， 即s＝10t， 联立， 得， ∵， ∴直线OP与抛物线有且只有一个交点P，且直线OP不与抛物线对称轴平行，故线段OP与抛物线光滑连接； （3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第 （m+1）秒行驶至轨道终点， 由题意得：， 解得：m＝5.5， 当m＝5.5时，， ∴轨道起点与点A之间的距离为． 15．解：（1）设小林第一个蛙跳的路线抛物线L1的函数解析式为y＝a（x﹣1）2+0.4，代入（0，0）得， 0＝a+0.4， 解得：a＝﹣0.4， ∴小林第一个蛙跳的路线抛物线L1的函数解析式为y＝﹣0.4（x﹣1）2+0.4； （2）①由条件可知当y＝0时，﹣0.4（x﹣1）2+0.4＝0， 解得：x1＝0，x2＝2， ∴A（2，0）， ∵第二个蛙跳路线为抛物线L2：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线L1相同． ∵第二个蛙跳从x＞2.6m时开始总处于下降状态， ∴第二条抛物线的对称轴为直线x＝2.6， ∴y＝﹣0.4（x﹣2.6）2+k， ∴﹣0.4（2﹣2.6）2+k＝0， 解得：； ∴第二个蛙跳路线的抛物线为， ②小林在第二个蛙跳中会触碰到海绵条，理由如下， 当x＝3时，， ∵0.08＜0.12， ∴林在第二个蛙跳中会触碰到海绵条； （3）由条件可知L1的顶点的纵坐标为0.4， 当时，联立， 解得：或（舍去）， ∴， ∵抛物线L2与抛物线L1的顶点的纵坐标恰好相等， ∴L2的解析式为y＝﹣0.4（x﹣h）2+0.4， 代入得，， 解得：h＝1（舍去）或， 当时，联立， 解得：或（舍去）， ∴， ∵抛物线L2与抛物线L1的顶点的纵坐标恰好相等， ∴L2的解析式为y＝﹣0.4（x﹣h）2+0.4，由条件可得，， 解得：h＝1（舍去）或h＝2， 综上所述，当，且抛物线L2与抛物线L1的顶点的纵坐标恰好相等时，． 16．解：（1）①由题意，根据表格数据作图如下． ∵镁球的运动轨迹是抛物线， ∴y与x之间的函数关系是二次函数， 故答案为：二次函数； ②由题意，设y＝ax2+bx+c，把（0，0），（2，92），（5，200）， ∴， ∴a＝﹣2，b＝50，c＝0． ∴y＝﹣2x2+50x． （2）由题意，∵二次函数为y＝﹣2x2+50x， ∴其对称轴为直线． ∴发射时间为12.5秒时，镁球到达最高处． （3）由题意，当x＝12.5时，y最大＝﹣2×12.52+50×12.5＝312.5， 又∵镁球到达最高处后再过1.5s会燃烧完， ∴第个镁球燃烧完的时间为12.5+1.5＝14s，此时y＝308． 设第2个镁球发射时间为x0秒， ∴， ∴， ∴x0＝11或x0＝14（舍去）， ∴这2个镁球发射时间相隔14﹣11＝3（秒）． 17．解：③根据题意连线如下： ④二次； ⑤把（4，196）和（8，144）代入s＝at2+bt+256， 可得， ∴， ∴函数解析式为：； （2）32，1． 由题意得，当s＝0时，， ∴t＝32． ∴最后2秒钟，即当t＝30时，s＝1； 又当t＝32时，s＝0， ∴1﹣0＝1（米）， 故答案为：32，1． 18．解：（1）根据题意，可列出表达式： y＝（60﹣x）（300+20x）﹣40（300+20x）， 即y＝﹣20x2+100x+6000． 自变量x的取值范围为：0≤x＜20，且x为整数； （2）∵y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x）2+6125， ∴抛物线的对称轴为直线x，顶点坐标（，6125）， 上述表达式的图象是抛物线的一部分，函数的大致图象如图： （3）y＝﹣20x2+100x+6000， ＝﹣20（x﹣2.5）2+6125， ∵a＝﹣20＜0， ∴x＝2或3时，﹣20×0.25+6125＝6120， ∴y的最大值为6120元． 19．解：（1）由题意得点B的坐标为（0.5，2.25），点C的坐标为（1.25，1.5）， 故答案为：（0.5，2.25），（1.5，1.25）； （2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣0.5）2+2.25， 把点C的坐标为（1.5，1.25）代入得1.25＝a（1.5﹣0.5）2+2.25， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣0.5）2+2.25， 当x＝0时，y＝﹣0.25+2.25＝2， ∴实心石柱OA的高度为2m； （3）令y＝0，即0＝﹣（x﹣0.5）2+2.25 解得x＝2（负值舍去）， 答：喷水池的半径至少为2米． 20．解：（1）设曲线OAB所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4， 将（0，0）代入二次函数表达式得0＝a•（0﹣4）2+4， 解得：， ∴曲线OAB所在抛物线的解析式为； （2）由题意可知，曲线EFG可看作曲线OAB向上平移6个单位长度得到， ∴曲线EFG所在抛物线的解析式为， 设，则，QN＝8﹣2m， ∴花园周长为： C＝2（PQ+QN） ， ∴当m＝0时，矩形花园的周长最大，为20； （3）由（2）可知曲线EFG所在抛物线的解析式为， 所以该曲线的水平最大宽度为4×2＝8， ∵8÷0.6＝13.33， ∴曲线EFG可以装13个，则13×2＝26， 即至少需要安装垂直灯具26个； 故答案为：26． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/7 14:02:58；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $