精品解析：云南省文山州2025-2026学年高一上学期期末数学试题

云南省文山州2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【考试时间：2026年1月30日15:00～17:00】 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系xOy.设时针长为1，若某时刻时针指向9点到12点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过4小时后，时针针尖所在点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，满足，且当时，.若关于的方程在区间上共有6个实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于对称 C. 在区间上单调递增 D. 可由函数向右平移个单位（纵坐标不变）得到 10. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义域为的函数满足对任意的，都有，且当时，，则（ ）. A. B. 对任意，总有 C. 是偶函数 D. 的解集为 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个. 13. 已知函数且在上单调递增，则的取值范围是______. 14. 已知函数在区间上恰有3条对称轴，则的取值范围是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 16. 文山红果参是一种药食同源特色水果.红果参为草本植物，果实成熟后呈紫黑色，果肉红润酸甜，口感沙脆带青草味，可连皮带籽食用.文山州马关县凭借海拔1500米以下的独特自然条件，已成为全国最大的红果参种植基地．某地区为了激发果农种植热情，制定了如下的补贴方案： （i）规定补贴金额（单位：万元）是销售额（单位：万元）的函数，且函数的部分图象如图所示； （ii）当销售额为2万元时，补贴金额为万元；当销售额为12万元时，补贴金额为万元． 现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. （1）请你从中选择一个最合适的函数模型（无需说明理由），并求出你选择的函数模型的解析式； （2）假设某果农2025年销售额为万元，则他应得多少补贴金？ （参考数据：，结果保留1位小数） 17. 已知函数. （1）若，求的最小值； （2）若存在，使得成立，求的取值范围. 18. 密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学，未加密前的原文称为明文，加密后的文字称为密文.小明是一位密码学爱好者，他设计了如下的加密算法：，该算法的意义是将明文在加密数阵的作用下变换成密文. （1）求明文加密数阵的作用下变换成的密文； （2）若； （i）求的解析式及的最小正周期； （ii）设，求的所有零点之和. 19. 我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数，即.已知函数. （1）求，判断并证明函数的单调性； （2）求证：函数的图象关于点成中心对称图形； （3）若对，且，恒有成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省文山州2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【考试时间：2026年1月30日15:00～17:00】 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的运算直接求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：C 2. 已知扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式、弧长公式进行求解即可. 【详解】因为扇形的半径为1，圆心角为， 所以该圆心角所对的弧的长度为， 所以该扇形的面积为. 故答案为：D 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断. 【详解】依题意，集合真包含于集合， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数单调性，结合临界值比较可得结论. 【详解】由题意得，，， 所以，，，所以. 故选：C 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B 6. 已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解集确定的符号和关系，再解一元二次不等式即可. 【详解】由图可知，，，，∴，， ∴，. ∴等价于， ∵，∴，解得或， 故解集为. 故选：A 7. 如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系xOy.设时针长为1，若某时刻时针指向9点到12点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过4小时后，时针针尖所在点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，结合两角差的正弦和余弦公式进行求解即可. 【详解】由题意可知，针尖所在点初始位置在第二象限内，设为点，且在单位圆上，如下图所示：点的纵坐标为， 设轴，垂足为，单位圆交横轴正半轴于点， 设在经过4小时后，时针针尖所在点的坐标为， 则， 在直角三角形中，， 因为，所以， 又因为， 所以点在第一象限内，设，则点坐标为， 设点， 由，或舍去， 设，则，所以 所以时针针尖所在点的坐标为. 故选：C 8. 已知函数的定义域为，满足，且当时，.若关于的方程在区间上共有6个实根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出区间上的表达式，并作出函数图象，再将方程有根问题转化为函数交点问题，结合图象求解即可. 【详解】由得. 当时，；； 设，则，所以； 设，则，所以； 设时，则，所以； 画出的函数图象，如图， 由，可得， 所以或. 由图可知，与有四个不同的交点， 即方程有四个不等的实根， 而方程在区间上共有6个实根， 所以方程有两个实根，即与有两个交点， 由图可知，即的取值范围是. 故选：A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于对称 C. 在区间上单调递增 D. 可由函数向右平移个单位（纵坐标不变）得到 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用余弦型函数的最小正周期、对称性、单调性，结合余弦型函数图象的变换性质逐一判断即可. 【详解】A：因为的最小正周期是，所以本选项说法正确； B：为最值， 所以本选项说法正确； C：当时，， 所以在区间上单调递增，因此本选项说法正确； D：函数向右平移个单位（纵坐标不变）得到 ，显然不是函数的表达式， 所以本选项说法不正确. 故选：ABC 10. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由基本不等式直接求解；B选项，由及基本不等式即可求解最大值；C选项，利用基本不等式“1”的代换求出最小值；D选项，先求出的范围，然后利用指数函数性质进行求解. 【详解】对于A选项，因为，且，所以， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B选项，， 所以，当且仅当时取等号， B错误； 对于C选项，， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以成立，C正确； 对于D选项，因为，且，所以， 所以，又函数为增函数， 所以，D正确. 故选：ACD. 11. 已知定义域为的函数满足对任意的，都有，且当时，，则（ ）. A. B. 对任意，总有 C. 是偶函数 D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，赋值法代入等式即可验证；对于B，将等式转化为，然后根据条件判断，即可判断；对于C，利用偶函数的定义可判断；对于D，根据偶函数和单调递减的性质求出不等式的解集. 【详解】对于A：因为，令， 则，得到. 令，则，所以，所以A正确； 对于B： 因为，所以，即. 因为，所以，所以，所以B错误； 对于C：令，则，所以是偶函数，所以C正确； 对于D：因为，结合是偶函数，可得. 由B知时，，所以在上单调递减， 所以且. 不等式两边平方得，即，解得. 结合，可得不等式的解集为，所以D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 由单词“deepseek”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合元素的互异性进行判断即可. 【详解】因为集合中元素具有互异性， 所以集合中的元素有d，e，p，s，k，共个. 故答案为： 13. 已知函数且在上单调递增，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由各段函数的单调性以及分段点处函数值的大小关系列出不等式组，解之即可. 【详解】因为是上的增函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数在区间上恰有3条对称轴，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦二倍角公式、辅助角化简函数解析式，结合余弦型函数的对称性进行求解即可. 【详解】 ， 所以. 当时，， 因为在区间上恰有3条对称轴， 所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 原式 代入，得原式 【小问2详解】 原式 将分子分母同时除以得 所以原式 . 16. 文山红果参是一种药食同源特色水果.红果参为草本植物，果实成熟后呈紫黑色，果肉红润酸甜，口感沙脆带青草味，可连皮带籽食用.文山州马关县凭借海拔1500米以下的独特自然条件，已成为全国最大的红果参种植基地．某地区为了激发果农种植热情，制定了如下的补贴方案： （i）规定补贴金额（单位：万元）是销售额（单位：万元）的函数，且函数的部分图象如图所示； （ii）当销售额为2万元时，补贴金额为万元；当销售额为12万元时，补贴金额为万元． 现有以下三个函数模型供选择：①；②；③. （1）请你从中选择一个最合适的函数模型（无需说明理由），并求出你选择的函数模型的解析式； （2）假设某果农2025年销售额为万元，则他应得多少补贴金？ （参考数据：，结果保留1位小数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图象，选择合适的函数模型，待定系数法求解解析式即可； （2）令，运用对数的运算法则计算即可. 【小问1详解】 模型①是一次函数，是一条直线，不符合题意； 模型②是指数型函数，当时，函数图象下凹，不符合题意， 当时，函数为减函数，不合题意， 故考虑模型③： 代入点  和 ： 解得：， 因此函数解析式为：. 【小问2详解】 2025年销售额  万元，代入解析式： ， ， 把，代入得： ， 因此：（万元）， 该果农应得补贴金约万元. 17. 已知函数. （1）若，求的最小值； （2）若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法，结合指数函数的单调性和二次函数的最值性质进行求解即可； （2）对不等式进行变形，利用基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 ，即， 令，则，， 因为， 所以当时，函数有最小值， 所以当时，函数有最小值； 【小问2详解】 ， 因为， 所以， ，当且仅当时取等号， 即当且仅当时，有最小值. 要想存在，使得成立， 只需， 所以的取值范围为. 18. 密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学，未加密前的原文称为明文，加密后的文字称为密文.小明是一位密码学爱好者，他设计了如下的加密算法：，该算法的意义是将明文在加密数阵的作用下变换成密文. （1）求明文加密数阵的作用下变换成的密文； （2）若； （i）求的解析式及的最小正周期； （ii）设，求的所有零点之和. 【答案】（1） （2）（i）答案见解析（ii） 【解析】 【分析】（1）按照题中算法进行运算求解即可； （2）（i）按照题中算法进行运算，求出的表达式，最后结合正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可； （ii）利用函数的零点定义，结合特殊角的三角函数值进行求解即可. 【小问1详解】 该算法是将明文在加密数阵的作用下变换成密文， 所以明文加密数阵的作用下变换成的密文， 即密文为； 【小问2详解】 （i）该算法是将明文在加密数阵的作用下变换成密文， 所以， 所以 ， 所以的最小正周期为， 所以的解析式是，的最小正周期为； （ii） ， 因为，所以， 所以方程，在时，所求解的和问题， 转化为直线与曲线在时交点的横坐标之和问题， 由图象可知：一共有6个交点， 其中关于直线对称， 关于直线对称，关于直线对称， 所以 ， 所以 ， 所以的所有零点之和为. 19. 我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数，即.已知函数. （1）求，判断并证明函数的单调性； （2）求证：函数的图象关于点成中心对称图形； （3）若对，且，恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），函数在定义域上单调递增，证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）代入计算可得，由单调性定义即可证明单调性； （2）求出，即可得证； （3）结合（1）可得，结合（2）可得，从而得到实数 的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，， 函数在定义域上单调递增，证明如下： 因为， 任取且， 则， ，，，， ，即， 在定义域上单调递增； 【小问2详解】 证明：，， ， 的图象关于点成中心对称图形； 【小问3详解】 ，即，又由（1）可知在定义域上单调递增， ， 又由（2）可知，即， ，即， 又因为恒成立，所以, 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $