精品解析：云南省砚山县第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

云南省砚山县第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试 高一数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则（ ） A. 8或20 B. 8或-20 C. 或20 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据互异性得到，分中只有1个元素和有2个元素两种情况，结合根的判别式和韦达定理得到答案. 【详解】由题意得， 若中只有1个元素，则，且，解得， 当时，，此时， 当时，，此时， 若中有2个元素，则，则， 所以为方程的两根，故， 解得，满足，故， 所以或20. 故选：A 2. 设实数x满足，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案. 【详解】由题意，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为. 故选：A 3. 对于实数，，，下列命题中是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据取特殊值法可判断A B C ，根据不等式的性质可判断D． 【详解】对于，当时，若，则，故A错误； 对于B，若时，若取，，则，故B错误； 对于C，若且，若取，，，，则，故C错误； 对于D，若，，则，则D正确； 故选：D． 4. 已知函数是定义在上的奇函数，若，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是奇函数得到与的关系式，再由的值即可求出. 【详解】∵，∴ ∴ 由是定义在上的奇函数，得， ∴， ∴ 又，∴. 故选：A. 5. 已知函数，，以下结论正确（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数没有最大值 D. 若方程有两个解，则 【答案】B 【解析】 【分析】(1)根据是否为偶函数判断;(2)根据是否为奇函数判断;(3)利用分式函数讨论值域即可;(4)将转化为一元二次方程利用判别式与根个数的关系确定的取值范围. 【详解】因为不是偶函数， 所以的图象不关于直线对称，故A错误; 因为 是奇函数，即函数关于原点对称， 则原函数关于点中心对称，故B正确; 当时，， 当时， 因为，所以， 所以， 所以函数有最大值为4,故C错误； 因为, 所以由可得, 即, 若则方程有唯一解为，不满足题意， 若要使方程有两个解，则， 解得且故D错误. 故选:B. 6. 已知函数（a＞0且a≠1）是R上的单调函数，则a的取值范围是（ ） A. （0，] B. [） C. [] D. （] 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，在R上单调递减，则应满足在递减，在递减，且当时，对应的值大于等于对应的值，解出的范围即可. 【详解】由题意，分段函数是在R上单调递减， 则应满足在递减，即， 在递减，即， 当时，对应值大于等于对应的值， 即， 所以解得 ∴a的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查分段函数在上单调，应满足各部分单调，且在分段处有相应的大小关系，属于中档题. 7. 将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】先根据平移得出，再应用函数是奇函数得出进而求出最小值即可. 【分析】根据题意可得： 为奇函数， ， 故选：B 8. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式以及面积公式计算可得结果. 【详解】易知圆心角，由弧长，得， 所以该扇形的面积为. 故选：D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质逐项分析可得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABC 10. 函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】首先根据解析式确定零点类型，再结合图象，判断选项. 【详解】由函数解析式可知，是不变号零点，是变号零点， A.由图可知，变号零点是0，则，则，不成立，故A错误； B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则，此时，当，，当，，当时，，满足图象，故B正确； C.由图可知，，，当时，，当时，，当时，，满足图象，故C正确； D.由图可知，，，当时，，与图象不符，所以D错误. 故选：BC 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 的图象关于点对称 C. 为奇函数 D. 在区间上的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用余弦型函数的周期性可判断A选项；利用余弦型函数的对称性可判断B选项；利用余弦型函数的奇偶性可判断C选项；利用余弦型函数的最值可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A错； 对于B选项，，则的图象关于点对称，B对； 对于C选项，， 所以，不是奇函数，C错； 对于D选项，当时，， 所以，，所以，在区间上的最大值为，D对. 故选：BD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最小值为_________. 【答案】7 【解析】 【分析】配凑法，由均值不等式求和的最小值. 【详解】， 当且仅当即()时取等号，所以的最小值为7. 故答案为：7. 13. 设函数，存在最大值，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】对进行分类讨论，根据函数单调性以及最大值求得的取值范围. 【详解】①当时，函数在上单调递减，因此不存在最大值； ②当时，，当时，， 故函数存在最大值； ③当时，故函数在上单调递增，在上单调递减， 故时，， 当时，函数在上单调递增，此时 ， 于是时函数存在最大值.又，解得 ； ④当时，函数在上单调递减， ， 在上单调递增，此时 故当，解得， 又，故； 综上，的取值范围是时函数存在最大值. 故答案为： 【点睛】含参数的函数的最值问题，往往需要结合函数的单调性以及对参数进行分类讨论来进行求解，分类标准的制定，可以根据函数解析式的结构来进行制定，分类标准要做到不重不漏. 14. 已知，，则的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系和余弦的两角和差公式求解即可. 【详解】，，故， 所以. 故答案为： 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）设，证明：充要条件为． （2）设，求证：至少有一个为负数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别证明充分性和必要性即可. （2）方法一：采用反证法，先假设，对两边平方并整理，根据假设的的范围分析得到与题干矛盾的结论，从而假设错误，结论得证. 方法二：采用反证法，先假设，根据可得，从而得到，相加得到，与题干条件矛盾，从而假设错误，结论得证. 【详解】（1）充分性：若，则， ， ，， ． 必要性：若， 则，， ， ． （2）方法一：假设， ， ， ， ， ， ，与矛盾， 至少有一个为负数． 方法二：假设， ， ， ， ， 与矛盾， 至少有一个为负数． 16. 已知函数是奇函数． （1）求的定义域及实数a的值； （2）用单调性定义判定的单调性． 【答案】（1）定义域为， （2）在、上单调递减 【解析】 【分析】（1）借助奇函数的性质计算即可得； （2）借助函数单调性的定义作差判断即可得. 【小问1详解】 由：，得，所以的定义域为， 因为是奇函数，则，即， 即，所以，则，所以； 【小问2详解】 ，， 则， 当时，，，，则， 即，所以在上单调递减， 当，，，，则， 即，所以在上单调递减， 故在、上单调递减. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质可得到解析式； （2）利用奇函数的性质，单调性解不等式即可. 【小问1详解】 函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，则，则， 则， 又因为， 故 【小问2详解】 因为当时，，且在上为增函数， 故函数在定义域上为增函数， 由可得， 所以，， 解得. 18. 已知函数． （1）若在上的最小值为，求的值； （2）若函数恰有3个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对a分类讨论及利用基本不等式求解； （2）令，则方程化为，结合函数的图象进行求解． 【小问1详解】 当时，在上单调递增，所以不存在最小值； 当时，， 所以，解得（舍去）或，故； 【小问2详解】 令， 即，． 令，则方程化为， 画出的图象如图所示， 因为恰有3个零点，所以有两个根，，且， 记， 则，解得， 综上，的取值范围是． 19. 已知函数在处取得最值，其中. （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若为锐角，，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：(I)借助题设条件运用三角变换公式及周期公式求解；(II)依据题设运用三角变换公式及诱导公式探求. 试题解析： （Ⅰ） ∵在处取得最值，∴， ∴， ∵，∴当时，， ∴， ∴. （Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，得到 再将图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到 故 可解： 因为为锐角，所以 因此 故 . 考点：三角变换公式、周期公式及诱导公式等有关知识的综合运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省砚山县第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试 高一数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且，则（ ） A. 8或20 B. 8或-20 C. 或20 D. 或 2. 设实数x满足，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 3. 对于实数，，，下列命题中是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若，，则 4. 已知函数是定义在上的奇函数，若，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 5. 已知函数，，以下结论正确的（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点中心对称 C 函数没有最大值 D. 若方程有两个解，则 6. 已知函数（a＞0且a≠1）是R上的单调函数，则a的取值范围是（ ） A. （0，] B. [） C. [] D. （] 7. 将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（ ） A B. C. D. 8. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个周期 B. 的图象关于点对称 C. 为奇函数 D. 在区间上最大值为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最小值为_________. 13. 设函数，存在最大值，则的取值范围是__________. 14. 已知，，则的值为_________. 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）设，证明：的充要条件为． （2）设，求证：至少有一个为负数． 16. 已知函数是奇函数． （1）求的定义域及实数a的值； （2）用单调性定义判定单调性． 17. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）若在上的最小值为，求的值； （2）若函数恰有3个零点，求的取值范围． 19. 已知函数在处取得最值，其中. （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若为锐角，，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$