2026年中考数学第一轮复习专题讲练第12讲二次函数的图象与性质及其应用基础巩固专项训练

2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第三单元 函数及其图象 《第12讲 二次函数的图象与性质及其应用》基础巩固专项训练答案解析 一、单选题 1．（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A．符合二次函数定义，则A符合题意； B．不是二次函数，则B不符合题意； C．，最高次项系数不是2，故不是二次函数，则C不符合题意； D．最高次项系数不是2，故不是二次函数，则D不符合题意； 故选：A． 2．（2025·贵州遵义·一模）如图，二次函数的图像经过平面直角坐标系中的、、三个点，则该二次函数解析式可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，特别是二次函数与轴的交点以及对称轴等性质．解题关键在于根据图像确定、的取值范围．由点在轴正半轴，可知取值范围，根据对称轴公式分析对称轴的位置，可知的取值范围，然后逐一比对选项即可． 【详解】由图可知二次函数与轴交于正半轴可知，故B选项、D选项不符合题意； 二次函数对称轴为，故，故A选项不符合题意； C选项：，符合题意． 故选C． 3．（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．根据对称轴和函数图像判断a、b、c的符号是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a的大小，由抛物线与y轴的交点判断c的大小，根据对称轴与x轴交点情况、抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A． ∵抛物线开口向上， ∴， ∴A成立，不符合题意； B． ∵抛物线的对称轴，，， ∴， ∴B不成立，符合题意； C． ∵抛物线交y轴负半轴， ∴， ∴C成立，不符合题意； D． 由图象知：当时，， ∴D成立，不符合题意． 故选：B． 4．（2025·新疆昌吉·模拟预测）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据，得，得顶点坐标是，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即顶点坐标是， 故选：C． 5．（2025·河南濮阳·一模）已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合判断，正确根据二次函数推出，是解题的关键．先根据二次函数图象求出，，再根据一次函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 6．（2025·河南濮阳·一模）将抛物线向右平移1个单位长度，所得的新抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，准确运用平移方法求解是解题的关键．根据二次函数图象平移的方法：左加右减，上加下减计算即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位得到． 故选：C． 7．（2025·湖北襄阳·一模）当自变量时，下列函数随的增大而增大的是(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断一次函数的增减性、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查一次函数与二次函数的性质，一次函数当大于时随增大而增大，二次函数当开口向下时在对称轴右侧随增大而减小． 【详解】A．，，随增大而减小； B．，，开口向下，对称轴为直线，当时，随增大而减小； C．，，随增大而增大； D．，，开口向下，对称轴，当时，随增大而减小． 故选：C． 8．（2025·四川广安·一模）若抛物线的开口向上，则m的值可能是下面的（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质．抛物线开口向上时，二次项系数需大于零．据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴，即． ∴选项中只有满足条件． 故选：C． 9．（2025·安徽亳州·一模）若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的顶点式：由平移性质得，再根据顶点坐标写出顶点式函数，展开得一般式后求值． 【详解】∵抛物线可由平移得到， 又∵顶点坐标为， ∴抛物线为． 展开得， 故选：A。 10．（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的对称性，根据二次函数的对称性比较函数值的大小是解题的关键；先求出对称轴，再根据时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小求解即可． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ，， ， 故选：． 11．（2025·四川绵阳·一模）将抛物线经过下列哪种变换可以得到抛物线（   ） A．先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查的是二次函数图象的平移，根据函数图象平移的法则解答即可；原抛物线应为，通过平移得到，根据平移规律，左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】解：∵ 的顶点为，而的顶点为， ∴ 需向右平移5个单位，再向下平移1个单位． 故选：D． 12．（2025·四川绵阳·一模）若关于的方程的一根大于，另一根小于，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查二次函数、一元二次方程综合，熟记二次函数图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 令，根据二次函数图象与性质即可判断A选项正确；由一元二次方程根与系数的关系判断B、D错误；由一元二次方程根的情况与判别式的关系判断C错误，从而得到答案． 【详解】解：A、令， ∵二次项系数， 抛物线开口向下， 关于的方程的一根大于，另一根小于， ∴当时，，即， 选项结论正确，符合题意； B、设关于的方程的两个根为， 则， 关于的方程的一根大于，另一根小于， 若，则，即不一定为， 选项结论错误，不符合题意； C、关于的方程的一根大于，另一根小于， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即， 选项结论错误，不符合题意； D、设关于的方程的两个根为， 则，即， 关于的方程的一根大于，另一根小于， 若，则，，即不一定小于， 选项结论错误，不符合题意； 故选：A． 13．（2024·贵州黔南·一模）将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了将二次函数化为顶点式． 配方后转化即可． 【详解】， 故选：D． 14．（2025·青海西宁·一模）下列哪一个函数，其图象与轴有两个交点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数与轴交点个数问题，能够选用合适的方法来判断是解题的关键． 由在轴上的点纵坐标为0，故看当时，所得方程是否有实数根即可判断． 【详解】解：A．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； B．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； C．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； D．当时，方程有两个不相等的实数根，所以该函数与轴有两个交点，故该选项符合题意． 故选D． 15．（2025·四川乐山·二模）已知二次函数，常数满足，则当时，该二次函数的最小值为（）． A．1 B．2 C．5 D．1或 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．通过配方将二次函数化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系讨论最小值． 【详解】解：∵ ， ∴抛物线开口向上，顶点为 当时， 若，则包含顶点，最小值为1； 若，则函数在上递减，最小值为当时， ∴最小值为1或 故选：D． 16．（2025·河南南阳·二模）二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的图象与性质可得，则可得，再根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ， ∴方程根的判别式为， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 17．（2024·四川凉山·模拟预测）抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，观察表格根据抛物线的对称性可得对称轴，进而得出开口方向，再根据增减性解答C，最后根据对称性说明D即可． 【详解】解：当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为，抛物线的开口向下， 当时，y随着x的增大而减小， 当时，与时的函数值相等，即． 故选：D． 18．（2025·四川南充·一模）如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（    ） A．8 B．9 C．10 D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据实心球落地时，高度，即可求x的值． 【详解】解：令，则， 解得或（舍）， ∴小强本次投掷实心球的成绩为， 故选：A． 19．（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质和对称性．，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则点与点关于直线对称，然后根据点在与之间可判断点在与之间，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线交轴于点， ∴点与点关于直线对称， ∵， 即点在与之间， 点在与之间， ， 故选：C． 20．（2025·天津·一模）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积不能为．其中正确的是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系，准确的列出函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 设的边长为，则的边长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据菜园的面积为，解方程求出的值，可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求函数的最值可以判断③． 【详解】解：边长为，则边长为， 当时，， 解得， ∵的长不能超过，， 故①正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得， 解得或， ∵ ∴的长有一个值满足菜园面积为， 故②错误； 设菜园面积为， 根据题意得， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 菜园面积不能为， 故③正确； ∴正确的结论有个， 故选：B． 21．（2025·山东枣庄·二模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性，求出函数值的范围即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最小值为； 当时，函数有最大值为； 故选A． 22．（2025·宁夏·模拟预测）当时，函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质．根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】A．由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意； B．由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意； C．由一次函数的图象可知：，，则，由二次函数的图象可知：，则，一致，符合题意； D．由一次函数的图象可知：，则，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意． 故选：C． 23．（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图，有下列个结论：①；②；③；④直线经过点，则关于的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、根据交点确定不等式的解集、抛物线与x轴的交点问题 【分析】由题意得，，，即可判断①；图象与轴有两个交点，即对应的一元二次方程有两个不等实数根，可判断②；由二次函数对称性得到与轴另一个交点的坐标，代入二次函数解析式可判断③；由直线推得其一定经过点，由图象可判断④． 【详解】解：依题得：图象开口向下，即， 当时，， 对称轴为直线，则， ， ，①正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，②错误； 二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线， 另一个交点坐标为， ， 即， ， ， 即，③正确； ， 直线经过点， 又直线经过点，如下图， 关于的不等式，即的解集是，④正确． 综上，正确结论的个数为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性，二次函数与不等式，解题关键是运用数形结合思想解题． 二、填空题 24．（2025·辽宁抚顺·一模）二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，根据二次函数的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 25．（2025·四川成都·二模）请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数对称轴的判断方法是解题的关键．以y轴为对称轴，即对称轴为直线，根据二次函数性质，当一次项系数时，对称轴为y轴． 【详解】解：二次函数的标准形式为 ，其对称轴为直线 ， ∵以y轴为对称轴， ∴对称轴为直线， ∴， ∴二次函数解析式应满足，如 （其中）， 故答案为：（答案不唯一）． 26．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知是二次函数，则实数 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 27．（2025·上海嘉定·一模）二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 【答案】上升 【难度】0.94 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，根据解析式可知函数图象开口向上，则在对称轴右侧随的增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数图象开口向上， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大，二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是上升的． 故答案为：上升 28．（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线有最高点，则抛物线开口向下，故二次项系数小于零，即，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线有最高点， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴， 故答案为：． 29．（2025·上海嘉定·一模）已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查求二次函数的对称轴，由题意得，点和是对称点，根据二次函数对称的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，点和关于对称轴对称， ∴二次函数图像的对称轴为直线， 故答案为：． 30．（2025·上海·一模）将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图像的平移、二次函数的性质，根据二次函数图像平移的法则“左加右减，上加下减”，先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，原函数的顶点相应平移，即可得到新抛物线的顶点坐标． 【详解】解：将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为， ∴所得抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 31．（25-26九年级上·河南许昌·期中）若二次函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值；将点代入二次函数解析式，得到关于和的方程，化简后求出的值，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入得：， 即， 整理得：， 两边同时除以2得：， ∴． 故答案为：． 32．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数与x轴只有一个交点，则 ． 【答案】或或 【难度】0.85 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了判别式的应用，抛物线与x轴的交点问题，先理解函数与x轴只有一个交点，进行分类讨论，当时，得出，再解得或，当时，则为一次函数，满足与x轴只有一个交点，即可作答． 【详解】解：∵函数与x轴只有一个交点， ∴当时，令则， 则 则 即 ∴ 解得或， 当时，则为一次函数，满足与x轴只有一个交点， 综上：的值为或或0． 故答案为：或或0 33．（2025·浙江杭州·模拟预测）二次函数的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数顶点式解析式写出即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，有最小值， ∴当时，二次函数的最小值为， 故答案为：． 34．（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为 ． 【答案】/0.75 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故答案为：． 35．（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ． 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】列二次函数关系式、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可． 【详解】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 36．（2025·河南濮阳·一模）如图，抛物线经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点，正确得出抛物线与轴的交点坐标是解题关键．先通过对称轴得出的对称点，即为抛物线与轴的交点，再求出一元二次方程的根即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点是，对称轴为直线， 设另一个交点的坐标为， ∴，解得， ∴抛物线与轴的另一个交点是， ∴一元二次方程的解是：，． 故答案为：，． 37．（2025·青海西宁·一模）某车刹车距离与开始刹车时的速度之间的函数关系式为，这辆汽车以的速度行驶，在前方处停放一辆故障车，此时刹车 有危险（填“会”或“不会”）． 【答案】不会 【难度】0.85 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，将代入函数解析式，求出，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴此时刹车不会有危险； 故答案为：不会． 38．（25-26九年级上·北京·月考）已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列） ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象性质．二次函数图象为开口向上的抛物线，则点到对称轴的距离越远，对应函数值越大，据此即可判断． 【详解】解：二次函数图象为开口向上的抛物线，其对称轴为， ∵， ∴， 故答案为：． 39．（25-26九年级上·山西大同·期中）已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 4 3 0 … 则关于x的一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，求出点的对称点是点，再进一步作答即可． 【详解】解：根据题意得：点均在二次函数的图象上， 故二次函数的对称轴为直线， 根据表格点在二次函数的图象上， 故点的对称点是点， ∴关于的方程的解是，． 故答案为：，． 40．（2024·福建福州·一模）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度与足球飞行的时间之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 s． 【答案】1.6 【难度】0.65 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为，用待定系数法求出，令即可解得答案． 【详解】解：设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为， 将，代入，得 ， 解得， ， 令得， 解得或， 足球从踢出到落地所需的时间是． 故答案为：1.6． 41．（2025·湖南·模拟预测）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为（不考虑小球落地后再弹起），则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．以球出发的地方为原点建立直角坐标系，其中，表示飞行高度，表示飞行时间，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与轴的两个交点坐标，则可得一个球从出发到落地的用时，据此建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，其中，表示飞行高度，表示飞行时间，如图所示： 由题意得，二次函数的图象经过原点且对称轴为直线， ∴设二次函数表达式为， 将原点代入得：，解得， ∴， 令，则， 解得或， ∴这个二次函数的图象与轴的两个交点的坐标为和， ∴一个球从出发到落地用时为2秒， ∵整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为， ∴， 解得． 故答案为：． 42．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了根据函数图象确定不等式解集，掌握数形结合思想是解题的关键． 利用函数图象，写出二次函数的图象在一次函数的图象下方部分所对应的自变量范围即可． 【详解】解：如图：∵二次函数的图象与一次函数的图象交于点，， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 43．（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数，若，则的取值范围为 ． 【答案】或 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求自变量的取值范围、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了利用二次函数图像求自变量的取值范围 ．培养学生的数形结合能力 ．正确画出函数图像是解题的关键． 根据函数关系式画出函数的图像，观察函数的图像即可求得． 【详解】画出函数的图像如图： 由图像可以看出当时，， 当时，， ∴当时， 则的取值范围为或． 故答案为：或． 三、解答题 44．（2025·山东·模拟预测）已知二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点． (1)若该函数图象经过点． ①直接写出抛物线与x轴的交点坐标； ②在图中画出该二次函数的图象，借助图象，求当时，自变量x的取值范围； (2)对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； (3)当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是，求n和b的值以及m的取值范围． 【答案】(1)①抛物线与x轴的交点坐标为和；②图见解析，或 (2) (3)， 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、画y=ax²+bx+c的图象、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的最值问题，画二次函数图象等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）①利用待定系数法求出二次函数解析式，再求出函数值为0时的自变量的值即可得到答案；②先列表，再描点和连线画出对应的函数图象，再根据函数图象可得增减性，进而可得答案； （2）先求出c，再把解析式化为顶点式得到顶点坐标，进而可得答案； （3）根据题意可得直线与抛物线的两个交点为和，且直线在抛物线的下方，根据对称性结合对称轴计算公式可得b的值，进而得到二次函数解析式和顶点坐标，据此可求解． 【详解】（1）解：①∵二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点，且二次函数的函数图象经过， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， 在中，当时，， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和； ②列表如下： x … 1 3 4 … y … 5 0 0 5 … 画函数图象如下所示： 由函数图象可知，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当时，或； （2）解：∵二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴二次函数开口向上， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， ∵对于一切实数x，函数值总成立， ∴； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是， ∴直线与抛物线的两个交点为和，且直线在抛物线的下方， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵抛物线顶点坐标为，直线在抛物线的下方， ∴． 45．（2025·山东·模拟预测）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应为18元 (3)当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可求解； （3）根据题意求出与之间的二次函数关系式，根据二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 把和代入得，， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得：， ， ， 答：销售单价为18元； （3）解：由题意得，， ， ∴当时，的值最大，， 答：当单价为19元时，每天获利最大，最大利润为198元． 46．（2025·河南驻马店·一模）掷实心球是中考体育考试的选考项目，如图是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，则掷出点的高度至少达到______时，可得满分． 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)该女生在此项考试中没有得满分，理由见解析； (3)． 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数)、因式分解法解一元二次方程、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的应用和一元二次方程的解法，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意设出关于的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可； （）设掷出点的高度向上平移，可得满分，得到新抛物线的解析式为 ，解方程即可得到结论. 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为，把代入上式得： 解得：， ∴关于的函数表达式为； （2）解：该女生在此项考试中没有得满分，理由如下： 当时，即， 解得，（舍去）， ∵， ∴该女生在此项考试中没有得满分； （3）解：设掷出点的高度向上平移，可得满分， ∴新抛物线的解析式为，把代入得， 解得：， ∴， ∴掷出点的高度至少达到时，可得满分， 故答案为：． 47．（2025·全国·一模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到50平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，． (2)当时，满足条件的花园面积能达到50平方米； (3)当时，最大，最大面积为200平方米． 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、图形问题(实际问题与二次函数)、列二次函数关系式 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用、一元二次方程的求解及二次函数的最值问题，熟练掌握“根据实际问题列函数关系式、结合自变量范围分析函数的取值与最值”是解题的关键． （1）根据栅栏总长表示出BC的长度，再结合矩形面积公式列函数关系式，同时根据墙长确定自变量取值范围． （2）将面积50代入函数关系式，解方程并结合自变量范围判断是否可行． （3）将函数关系式化为顶点式，结合自变量取值范围求最大值． 【详解】（1）解：∵，三边栅栏总长40， ∴． ∴，即． ∵墙长20， ∴， 解得． （2）解：令，则， 整理得， 解得． ∵， ，（舍去）， ∴， ∴当时，满足条件的花园面积能达到50平方米； （3）解：， 化为顶点式：． ∵， ∴当时，最大，最大面积为200平方米． 48．（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 问题解决： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？ (3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)5 (3)售价为元时，每天最大利润为3310元 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x，依素材1列方程求解即可； （2）设应降y元，依素材2可列方程求解； （3）设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得W关于m的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解． 本题考查列一元一次方程和一元二次方程解应用题，以及二次函数性质的应用． 【详解】（1）解：设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x， 依素材1，可得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为． （2）解：设应降y元，依素材2，可列方程， 解得． 答：应降5元． （3）解：设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得： ， 当时，W取得最大值为3310． 答：售价为元时，每天最大利润为3310元． 49．（2025·甘肃武威·模拟预测）“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得纯收入捐给慈善机构，许愿瓶的进价为5元/个，根据市场调查，若每个许愿瓶的售价不超过10元，每天可销售300个；若每个许愿瓶售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就会减少30个，此次公益活动每天的基本活动费用（不含许愿瓶成本）为500元，为了便于结算，每个许愿瓶的售价（x元）取正整数，每天销售这种许愿瓶的纯收入为（W元）．（注：纯收入销售额成本基本活动费用） (1)当每个许愿瓶不超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ．当每个许愿瓶超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ． (2)若为了既能更多的吸引顾客并扩大公益活动的宣传效果，使每天的销售额增大，又能获得最高纯收入，则每个许愿瓶的售价应定为多少元时可以满足要求？此时最大纯收入是多少元？ 【答案】(1)； (2)每个许愿瓶的售价应定为12元时可以满足要求，此时最大纯收入是1180元 【难度】0.65 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，一次函数的应用等，会利用二次函数性质求最值是解题的关键； （1）找出等量关系式：销售利润单个许愿瓶销售利润销售量基本活动费用，据此列出函数关系式即可求解； （2）分别求出当时或当时，相应的一次函数和二次函数的最值，比较得出结论即可． 【详解】（1）解：由题意得：当每个许愿瓶不超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ； 当每个许愿瓶超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ； （2）解：当时，， ， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W取最大值，最大值为元； 当时， ， ， 当时，W取最大值， 又∵x取正整数， ∴或13，W取最大值， ∵要使每天的销售额较大， ∴，此时最大值元； ∵， ∴每个许愿瓶的售价应定为12元时可以满足要求，此时最大纯收入是1180元． 50．（2025·陕西·模拟预测）某公园要修建一个喷泉景观，喷射水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示水平地面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：为安装的m高的花形柱子，并在柱子顶端处安置喷头向外喷水．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)若李师傅计划在线段上的点处竖立一座雕像，雕像高米，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，将代入，即可求解． （2）求出时的横坐标，根据图像即可得出结论． 【详解】（1）解：∵距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m． ∴抛物线的顶点， 可设抛物线的解析式为， 把代入，得， 抛物线的解析式为． （2）解：，令，代入抛物线的解析式， 得，， 线段的取值范围为． 51．（2025·湖北·模拟预测）某地大力推广成本为10元/斤的农产品，该农产品的售价不低于15元/斤，不高于35元/斤．该农产品每天的销售量y（斤）与售价x（元/斤）之间满足如图所示的函数关系． (1)求y与x的函数解析式； (2)当每天销售该农产品的利润为2000元时，求该农产品的售价； (3)该地科技助农队帮助农民降低种植成本，该农产品成本每斤减少m元（），若每天销售该农产品的最大利润为3240元，求m的值． 【答案】(1) (2)20元/斤或30元/斤 (3)6 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的应用，要注意自变量的取值范围，这也是解决实际问题的难点和关键． （1）由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据每天的利润每斤的利润每天的销量，列出一元二次方程，解方程即可； （3）设成本每斤减少m元后每日销售利润为w元，由和确定当时，利润最大，从而得出关于m的方程，解出方程即可求得m值． 【详解】（1）解：由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为， 当时，，当时，， ∴，     解得，， 所以y与x的函数解析式是； （2）解：由题意可得，， 解得，，， 因为， 所以或， 答：当每天销售该农产品的利润为2000元时，该农产品的售价为20元/斤或30元/斤； （3）解：设每天销售该农产品的最大利润为w元． 根据题意得，， 对称轴为直线， 因为， 所以， 因为，， 所以当时，w的值最大， 所以，     解得，（不合题意，舍去）． 答：m的值为6． 52．（2025·浙江·模拟预测）近期，“浙城市争霸赛”正如火如荼地举行．十一期间，小郑同学观看了苍南队与绍兴队的比赛，发现球员投篮后，篮球的运动轨迹是抛物线的一部分，因此他分析了他喜欢的球员的数据，发现55号球员柳杨杰在命中三分球时，篮球出手高度约为，球在飞越之后准确地落入高度为的篮筐中，当球在空中飞行的水平距离为4m时，篮球恰好达到最大高度． (1)如图，小郑同学建立了直角坐标系，他将抛物线的最高点用坐标来表示，请你帮他求出篮球在空中飞行的最大高度； (2)此时，若对方球员在柳杨杰面前处起跳拦截，已知对方球员最大摸高为，那么对方球员能否拦截成功? 【答案】(1) (2)拦截不成功 【难度】0.65 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式． （1）设函数表达式为，再用待定系数法求解即可； （2）将代入函数，得：，求得，再比较得出结论． 【详解】（1）解：∵顶点坐标为，设函数表达式为， 将点、代入函数，得： ， 解得：， ∴篮球在空中飞行的最大高度为； （2）解：函数表达式为， 将代入函数，得：， 化简，得， ∵， ∴所以拦截不成功． 53．（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标为 (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、把y=ax²+bx+c化成顶点式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图形及性质、待定系数法求解析式以及利用对称轴性质解决最短路径： （1）用待定系数法求解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，根据顶点式求出对称轴及顶点坐标； （3）利用轴对称的性质，将求周长最小值问题转化为求两点之间线段最短的问题，点在对称轴上，而点和点关于对称轴对称，因此，的周长，当三点共线时，最小，其值为线段的长度，因此，点是直线与对称轴的交点． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． （2） ， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． （3）存在． 解：连接交对称轴于点，连接， 两点关于抛物线的对称轴对称， 直线与的交点即为点，此时的周长最小， ，抛物线交轴于点， 当时，，即， 设直线的解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， 的解析式为：， 在对称轴上， 当时，，即． 54．（2025·四川广元·模拟预测）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式． (2)点G是抛物线上的一点，且满足，求点G的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点G的坐标为或 (3)存在，点Q的坐标为或 【难度】0.65 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与图形的面积，二次函数图象的性质，直角三角形的判定． （1）先求出点B，C的坐标，再根据待定系数法求出关系式即可； （2）先表示出点再设的高为，然后根据，求出，再计算可得答案； （3）先求出抛物线的对称轴是直线，可得点，再表示出、、，然后分两种情况，当为斜边时，则；当为斜边时，则，求出答案即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ∵直线与x轴交于点B，与 y轴交于点C， ∴点． 将点 B，C的坐标分别代入抛物线 中，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为 ． （2）解：∵点G在抛物线 上， ∴设点， ∴以为底的的高为， 在抛物线中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ， ，即， 解得， 当时， ； 当时， ； ∴点G的坐标为或． （3）解：存在，点Q的坐标为或． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴设， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴有以下两种情况，如图： ①当为斜边时，则， 即，解得． ②当为斜边时，则， 即，解得． 综上所述，存在点Q，点Q的坐标为或． 55．（2025·安徽亳州·一模）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人． 材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少元；租用B型客车，租车费用打七折． 材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆． 任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? 任务二：求m的取值范围； 任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 【答案】任务一：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人 任务二：m的取值范围是，且m为整数 任务三：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元 【难度】0.65 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了二次函数的利润问题，结合一元一次不等式求解是解题的关键． 任务一：设A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y；根据题意列二元一次方程组即可解答； 任务二：根据租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人，列不等式求解，结合租车公司最多提供6辆A型客车，即可解答； 任务三：根据租车费用公式计算总费用，利用二次函数的图像与性质解答即可． 【详解】解：任务一：设：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y． 根据题意得 解得 答：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人 任务二：租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人， 则即 解得 因为租车公司最多提供6辆A型客车， 所以m的取值范围是，且m为整数； 任务三：根据题意得 即 函数图像开口向下，关于对称， 因为 所以当时取最小值 答：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元． 56．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点P是抛物线在第四象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点E．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.4 【知识点】面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据对称轴公式和点C的坐标求解即可； （2）求出，得到，则；设，则，，证明是等腰直角三角形，得到，则，可求出，据此可得答案； （3）求出图象M对应的抛物线解析式，进而求出图象M对应的抛物线恰好经过点A，点C和恰好与直线只有一个交点时m的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：在中，当时，则， 解得或， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 设，则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，的面积分别为，， ∴， ， ∴ ， ∵点P是抛物线在第四象限内的一点， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为； （3）解：原抛物线的函数解析式为，则顶点坐标为， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； 将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G， 则图象G对应的抛物线的顶点坐标为， ∵将图象G沿直线平移，得到新的图象M， ∴图象M对应的抛物线的顶点在平行于的直线上运动，即在直线上运动， 图象对应的抛物线的顶点坐标为， ∴图象对应的抛物线解析式为， 当图象过点（由（2）可得点A坐标）时， ，解得 或； 当图象过点时， ，解得或； ∴由函数图象可知，当时，符合题意； 同理可得直线的解析式为， 当抛物线与直线恰好只有一个交点时， 联立得， 即； 则， 解得， ∴， ∵， ∴此时抛物线与直线的交点恰好在线段上，符合题意； 综上所述，的范围是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 57．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线解析式为 (2)的最大值为 (3) 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数最值问题，等腰直角三角形的定义等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后求得点B的坐标，即可利用待定系数法求得直线的解析式； （2）由题意可知，此时，且点在点上方，据此得到的表达式，然后根据二次函数的性质即可求得最值； （3）当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，可知此时点纵坐标为3，则有，据此即可解答． 【详解】（1）解：抛物线过、两点， 代入抛物线解析式可得， 解得， 抛物线解析式为， 令可得，，解， 点在点右侧， 点坐标为， 设直线解析式为， 把B、C坐标代入可得， 解得， 直线解析式为； （2）解：轴，点的横坐标为， ， 在线段上运动， 点在点上方， ， 当时，有最大值，的最大值为； （3）解：轴， 当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， 点纵坐标为3， ，解得或， 当时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ． 58．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为 (2)或 (3) 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，对于抛物线，其对称轴为直线，进而得解； （2）令，即，解得，，又抛物线与线段有两个交点，从而可得或，进而计算可以得解； （3）依据题意，将代入抛物线，则；又将 代入抛物线，则，故，又，则，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，对于抛物线， ∴对称轴为直线； （2）解： 令，即， 解得，， 又∵抛物线与线段有两个交点，， ∴或， 解得或， ∴b的取值范围是或； （3）解：由题意，将代入抛物线， ∴， 又将代入抛物线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习专题讲练 第三单元 函数及其图象 《第12讲 二次函数的图象与性质及其应用》基础巩固专项训练 一、单选题 1．（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州遵义·一模）如图，二次函数的图像经过平面直角坐标系中的、、三个点，则该二次函数解析式可能为（  ） A． B． C． D． 3．（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线如图所示，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·新疆昌吉·模拟预测）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·河南濮阳·一模）已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·河南濮阳·一模）将抛物线向右平移1个单位长度，所得的新抛物线是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北襄阳·一模）当自变量时，下列函数随的增大而增大的是(  ) A． B． C． D． 8．（2025·四川广安·一模）若抛物线的开口向上，则m的值可能是下面的（    ） A．0 B．2 C．4 D． 9．（2025·安徽亳州·一模）若抛物线可由抛物线平移得到，且顶点坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．2 10．（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·四川绵阳·一模）将抛物线经过下列哪种变换可以得到抛物线（   ） A．先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度 12．（2025·四川绵阳·一模）若关于的方程的一根大于，另一根小于，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2024·贵州黔南·一模）将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 14．（2025·青海西宁·一模）下列哪一个函数，其图象与轴有两个交点（   ） A． B． C． D． 15．（2025·四川乐山·二模）已知二次函数，常数满足，则当时，该二次函数的最小值为（）． A．1 B．2 C．5 D．1或 16．（2025·河南南阳·二模）二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 17．（2024·四川凉山·模拟预测）抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（） x … 0 1 … y … … A．对称轴是直线 B．抛物线开口向下 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时， 18．（2025·四川南充·一模）如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（    ） A．8 B．9 C．10 D．3 19．（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·天津·一模）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积不能为．其中正确的是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 21．（2025·山东枣庄·二模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值 22．（2025·宁夏·模拟预测）当时，函数与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 23．（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图，有下列个结论：①；②；③；④直线经过点，则关于的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 24．（2025·辽宁抚顺·一模）二次函数的顶点坐标为 ． 25．（2025·四川成都·二模）请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式 ． 26．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知是二次函数，则实数 ． 27．（2025·上海嘉定·一模）二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 28．（2025·上海嘉定·一模）已知抛物线有最高点，那么的取值范围是 ． 29．（2025·上海嘉定·一模）已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线 ． 30．（2025·上海·一模）将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点为 ． 31．（25-26九年级上·河南许昌·期中）若二次函数的图象经过点，则 ． 32．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数与x轴只有一个交点，则 ． 33．（2025·浙江杭州·模拟预测）二次函数的最小值是 ． 34．（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为 ． 35．（2025·湖南永州·模拟预测）二次函数的一次项系数是 ． 36．（2025·河南濮阳·一模）如图，抛物线经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是 ． 37．（2025·青海西宁·一模）某车刹车距离与开始刹车时的速度之间的函数关系式为，这辆汽车以的速度行驶，在前方处停放一辆故障车，此时刹车 有危险（填“会”或“不会”）． 38．（25-26九年级上·北京·月考）已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列） ． 39．（25-26九年级上·山西大同·期中）已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 4 3 0 … 则关于x的一元二次方程的根为 ． 40．（2024·福建福州·一模）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度与足球飞行的时间之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 s． 41．（2025·湖南·模拟预测）如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数的最大值为（不考虑小球落地后再弹起），则的取值范围是 ． 42．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 43．（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数，若，则的取值范围为 ． 三、解答题 44．（2025·山东·模拟预测）已知二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交于点． (1)若该函数图象经过点． ①直接写出抛物线与x轴的交点坐标； ②在图中画出该二次函数的图象，借助图象，求当时，自变量x的取值范围； (2)对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； (3)当时（其中m，n为实数，），自变量x的取值范围是，求n和b的值以及m的取值范围． 45．（2025·山东·模拟预测）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 46．（2025·河南驻马店·一模）掷实心球是中考体育考试的选考项目，如图是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据中考体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩，则掷出点的高度至少达到______时，可得满分． 47．（2025·全国·一模）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到50平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 48．（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 问题解决： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？ (3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 49．（2025·甘肃武威·模拟预测）“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得纯收入捐给慈善机构，许愿瓶的进价为5元/个，根据市场调查，若每个许愿瓶的售价不超过10元，每天可销售300个；若每个许愿瓶售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就会减少30个，此次公益活动每天的基本活动费用（不含许愿瓶成本）为500元，为了便于结算，每个许愿瓶的售价（x元）取正整数，每天销售这种许愿瓶的纯收入为（W元）．（注：纯收入销售额成本基本活动费用） (1)当每个许愿瓶不超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ．当每个许愿瓶超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ． (2)若为了既能更多的吸引顾客并扩大公益活动的宣传效果，使每天的销售额增大，又能获得最高纯收入，则每个许愿瓶的售价应定为多少元时可以满足要求？此时最大纯收入是多少元？ 50．（2025·陕西·模拟预测）某公园要修建一个喷泉景观，喷射水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示水平地面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：为安装的m高的花形柱子，并在柱子顶端处安置喷头向外喷水．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)若李师傅计划在线段上的点处竖立一座雕像，雕像高米，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围． 51．（2025·湖北·模拟预测）某地大力推广成本为10元/斤的农产品，该农产品的售价不低于15元/斤，不高于35元/斤．该农产品每天的销售量y（斤）与售价x（元/斤）之间满足如图所示的函数关系． (1)求y与x的函数解析式； (2)当每天销售该农产品的利润为2000元时，求该农产品的售价； (3)该地科技助农队帮助农民降低种植成本，该农产品成本每斤减少m元（），若每天销售该农产品的最大利润为3240元，求m的值． 52．（2025·浙江·模拟预测）近期，“浙城市争霸赛”正如火如荼地举行．十一期间，小郑同学观看了苍南队与绍兴队的比赛，发现球员投篮后，篮球的运动轨迹是抛物线的一部分，因此他分析了他喜欢的球员的数据，发现55号球员柳杨杰在命中三分球时，篮球出手高度约为，球在飞越之后准确地落入高度为的篮筐中，当球在空中飞行的水平距离为4m时，篮球恰好达到最大高度． (1)如图，小郑同学建立了直角坐标系，他将抛物线的最高点用坐标来表示，请你帮他求出篮球在空中飞行的最大高度； (2)此时，若对方球员在柳杨杰面前处起跳拦截，已知对方球员最大摸高为，那么对方球员能否拦截成功? 53．（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 54．（2025·四川广元·模拟预测）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式． (2)点G是抛物线上的一点，且满足，求点G的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由． 55．（2025·安徽亳州·一模）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人． 材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少元；租用B型客车，租车费用打七折． 材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆． 任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? 任务二：求m的取值范围； 任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 56．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点P是抛物线在第四象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点E．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 57．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值． 68．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $