精品解析：河南郑州市第二高级中2025-2026学年高一第一学期期末学情调研数学学科试题

河南郑州市第二高级中2025-2026学年高一第一学期期末学情调研数学学科试题 命题人：靳彦培 审核人：李利敏 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的所有子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据子集个数的计算公式求解. 【详解】由， 所以的所有子集的个数为. 故选：A 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案． 【详解】命题“，”的否定为“，”， 故选：D． 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据，，的单调性比较与0，1的大小关系即可. 【详解】因为单调递增，所以， 因为单调递增，所以， 因为单调递减，所以，且 所以， 故选：D. 4. 已知，则“"是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由“"成立可推出即得，反之，由推不出成立，由此可得答案. 【详解】由“"成立可推出，继而可得到； 当时，比如，推不出成立， 故“"是“”的充分不必要条件， 故选：A 5. 圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环的外圆弧的长为，圆心为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，，则圆弧，代入扇形的弧长及面积公式，化简计算，即可得答案. 【详解】设，，则圆弧， 由题意得，解得， 所以. 故选：D 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数奇偶性和特殊点函数值即可判断. 【详解】函数定义域为， 又， 所以函数为奇函数，排除BC， 又，排除D， 故选：A 7. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（ ） A. 3 B. 9 C. 27 D. 81 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列出方程，根据对数的运算性质，计算即可得答案. 【详解】设甲的速度为，耗氧量的单位数为，乙的速度为，耗氧量的单位数为， 由题意得，则， 所以，解得. 故选：D 8. 若函数有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可得在上只有1个零点，所以在上有3个零点，根据x的范围，可得的范围，根据零点个数，可得，即可得答案. 【详解】当时，，令，解得， 则在上只有1个零点，所以在上有3个零点， 由，得， 所以，解得. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列一定正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据指对幂函数的单调性求解. 【详解】对于A，在上单调递增， 又因为，所以，A错误； 对于B，是减函数，又因为，所以B正确； 对于C，为增函数，又因为，所以，故C正确； 对于D，是减函数，因为，所以，D错误． 故选：BC． 10. 对于定义在上的函数，下列说法正确的是（ ） A. 若是奇函数，则的图象关于点对称 B. 若对，有，则的图象关于直线对称 C. 若函数的图象关于直线对称，则为偶函数 D. 若，则的图象关于点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，对称性，周期性解决即可. 【详解】对A，是奇函数，故图象关于原点对称，将的图象向右平移1个单位得的图象，故的图象关于点对称，故A正确； 对B，若对，有，得，所以是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线对称，故B错误.； 对C，若函数的图象关于直线对称，则的图象关于轴对称，故为偶函数，故C正确； 对D，由得，，的图象不关于对称，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点为曲线的一个对称中心 C. 直线为曲线的一条对称轴 D. 函数在区间上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的图像，求得函数，结合三角函数的图象与性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数的图像，函数，所以， 因为阴影部分的面积为，可得，所以，所以A正确； 对于B，由，可得，所以， 将点代入，可得，即， 因为，所以，所以， 令，可得， 取，可得，对称中心； 取，可得，对称中心为， 所以点不是曲线的对称中心，所以B错误； 对于C，由，可得， 取，可得，所以直线为曲线的一条对称轴，所以C正确； 对于D，由，可得， 当时，可得，函数在区间内单调递增， 因为，所以函数在区间上单调递增，所以D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数过点，求______. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求幂函数解析式，将代入求值即可. 【详解】由题意，设，则，解得，则，故. 故答案为：. 13. 若，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简三角函数式，求出，根据即可求解. 详解】由，得. 因为，所以，则，则. 由，得，则，解得. 故答案为：. 14. 已知函数满足对任意的实数，都有，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式可以判断函数的单调性，结合分段函数的性质进行求解即可. 【详解】或，所以函数单调递增， 二次函数的对称轴为， 要想为实数集上的增函数， 只需， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性化简，即可由交集的定义求解， （2）根据，对讨论即可求解. 【小问1详解】 当时，， ， 所以． 【小问2详解】 由，可得． 因为， 所以当时，，解得，满足题意； 当时，解得． 综上，的取值范围为． 16. （1）计算：； （2）已知角的终边经过点，求及的值． 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【分析】（1）根据指对数运算法则化简即可. （2）根据三角函数的定义求得，利用诱导公式化简多项式，从而求得值. 【详解】（1）原式 ． （2）∵角的终边经过点， ∴， ∴ 【点睛】（1）熟练或者拿给我指对数运算法则来化简多项式； （2）熟练利用诱导公式化简多项式，并求解. 17. 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？1691年，莱布尼茨等学者研究得出这就是著名的“悬链线问题”，现如今，作为神经网络激活函数之一，广泛应用在“deepseek”、“豆包”等AI大模型中.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，类似的，我们可以定义双曲正弦函数，设函数， （1）判断的奇偶性并证明； （2）判断在R上的单调性（写出推理过程，无需严格证明）； （3）若实数满足不等式，求的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明见解析； （2）在R上单调递增，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）先求函数定义域，再得，即可证明为奇函数； （2）化简得到，由复合函数单调性可得答案； （3）由奇偶性和单调性可得不等式，求出答案. 【小问1详解】 为奇函数，证明如下： 由题意可知，的定义域为R， 因为，所以为奇函数； 【小问2详解】 在R上单调递增，理由如下： 因为， 而在R上为增函数，且恒成立， 所以在R上单调递减， 所以由复合函数的单调性可知在R上单调递增； 【小问3详解】 在R上为奇函数， ，所以， 由于在R上单调递增，所以， 所以，解得， 所以的取值范围是. 18. 已知函数的最小正周期为. （1）求的单调递减区间； （2）先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的表达式； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先根据最小正周期计算公式可得，由此得到； （1）因为正弦函数单调递减区间为，由整体思想，令，解出的取值范围即可； （2）由图象的伸缩变换和平移变换得出结论； （3）该问题为不等式恒成立问题，先根据复合函数求值域求出不等式左边函数的最大值，大于等于左边函数的最大值即可. 【小问1详解】 因为的最小正周期为， 所以， 所以. 令， 得， 故的单调递减区间为. 【小问2详解】 的横坐标变为原来的2倍得到， 再将所得图象向左平移个单位长度得到 【小问3详解】 令 令， 则， 因为， 所以当时，取得最大值， 所以， 解得或， 故实数的取值范围为. 19. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据基本初等函数定义域，列出一元二次不等式，求出解集即可； （2）根据复合函数单调性，判断二次函数在区间上的单调性和值域，列出不等式，求出参数范围即可； （3）根据双变量恒成立的问题，判断函数最值之间的关系，根据复合函数单调性求出函数最值，进而列出不等式，求出参数范围. 【小问1详解】 由题意得，因式分解得，解得或， 即函数定义域为. 【小问2详解】 因为在上单调递增，所以当 在上单调递增时，函数在单调递增且， 因为是对称轴为直线，开口向上的二次函数， 则，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 对任意，存在，使得不等式成立，即任意，恒成立， 由， 当时，，则，所以， 可得任意，恒成立，即恒成立， 等价于恒成立； 因为在上单调递增，即在恒成立即可， 即在恒成立， 由对勾函数可知在上单调递减，所以； 可得时在恒成立； 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南郑州市第二高级中2025-2026学年高一第一学期期末学情调研数学学科试题 命题人：靳彦培 审核人：李利敏 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则的所有子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 3 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“"是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 5. 圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环的外圆弧的长为，圆心为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C D. 7. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（ ） A. 3 B. 9 C. 27 D. 81 8. 若函数有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列一定正确的有（ ） A. B. C D. 10. 对于定义在上的函数，下列说法正确的是（ ） A. 若是奇函数，则的图象关于点对称 B. 若对，有，则的图象关于直线对称 C. 若函数的图象关于直线对称，则为偶函数 D. 若，则的图象关于点对称 11. 已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 点为曲线的一个对称中心 C. 直线为曲线的一条对称轴 D. 函数在区间上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数过点，求______. 13. 若，且，则__________. 14. 已知函数满足对任意的实数，都有，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数取值范围． 16. （1）计算：； （2）已知角的终边经过点，求及的值． 17. 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？1691年，莱布尼茨等学者研究得出这就是著名的“悬链线问题”，现如今，作为神经网络激活函数之一，广泛应用在“deepseek”、“豆包”等AI大模型中.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，类似的，我们可以定义双曲正弦函数，设函数， （1）判断的奇偶性并证明； （2）判断在R上的单调性（写出推理过程，无需严格证明）； （3）若实数满足不等式，求取值范围. 18. 已知函数的最小正周期为. （1）求的单调递减区间； （2）先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的表达式； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $