8.2.2 两角和与差的正弦、正切教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

8.2.2 两角和与差的正弦、正切 【课程基本信息】 年级 高一 课题 两角和与差的正弦、正切 课时 1课时 授课教师 【教学目标】 1.类比两角和与差的余弦公式的推导过程，能推导两角和与差的正弦、正切公式. 2.会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数化简、求值等. 【教学重点】 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数化简、求值. 【教学难点】 推导两角和与差的正弦、正切公式. 【教学过程】 一、两角和与差的正弦 尝试与发现：（1）怎样借助30°，15°的三角函数值求出sin75°，sin15°的值？ （2）一般地，怎样根据α与β的三角函数值求出sin(α＋β)，sin(α－β)的值吗？ 设计意图：通过计算两角的关系，理解两角差的正弦的关系. 虽然sin75°=sin(30°+45°)，sin15°=sin(45°-30°)，但是sin75°≠sin30°+sin45°，sin15°≠sin45°-sin30°，当然我们可以这样求sin75°的值：sin75°=sin(90°-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=. 教师提问：通过上面的计算，给出两角和与差的正弦公式. 两角和与差的正弦公式：Sα+β:sin(α+β)=sin αcosβ+cos αsinβ；Sα-β:sin(α-β)=sin αcosβ -cos αsinβ. 证明：由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知=cos(-α)cos β+sin(-α)sin β =sin αcosβ+cos αsinβ.而且sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β+cos αsin β. 例如：sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°= ， sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=. 设计意图：通过举例子来深化理解两角和与差的正弦公式. Sα+β与Sα-β同样可以求出105°以及证明诱导公式sin(+α) =cos α，sin(π-α)= sin α . 教师提问：如果函数f (x)=sin x+cos x，你能求出f (x)的最大值及最大值点吗？ 由例2的结果可知f (x)=sin(x+)，因此f (x)的最大值为1，而且f (x)的最大值点x0满足x0+=+2kπ，k∈Z，因此最大值点为+2kπ，k∈Z. 教师提问：满足asin x+bcos x=Asin(x+φ)的A和φ一定存在吗？它们与a，b有什么关系？ 如果asin x+bcos x=Asin(x+φ)恒成立，则将asin x+bcos x=Asin(x+φ)的右边用Sα+β展开可得asin x+bcos x=Asin xcos φ+Acos xsin φ，因此a=Acos φ，b=Asin φ，从而可知a2+b2=(Acos φ)2+(Asin φ)2=A2，如果取A=，则有cos φ=， sin φ=，由cos φ=，sin φ=以及任意角的余弦、正弦的定义可知，若记平面直角坐标系中坐标为(a，b)的点为P，而φ 是以射线OP为终边的角，如图所示，则φ一定满足cos φ=， sin φ=.这就是说，满足asin x+bcos x=Asin(x+φ)的A和φ一定存在.因此asin x+bcos x=sin(x+φ)，其中φ满足cos φ=，sinφ=. 辅助角公式：asin x+bcos x=sin(x+φ)，其中φ满足cos φ=，sinφ=. 二、两角和与差的正切 尝试与发现：（1）怎样借助30°，45°的三角函数值求出tan 75°，tan 15°的值？ （2）由tan α，tan β能求出tan(α＋β)，tan(α－β)的值吗？ 设计意图：通过计算两角的关系，理解两角和与差的正切的关系. 因为，所以可以借助30°，45°的正弦值与余弦值求出tan 75°的值． 教师提问：通过上面的计算，给出两角和与差的正切公式. 两角和与差的正切公式：，，其中α和β的取值应使各项都有意义. 证明：因为，在上式右边的分子分母同时除以cos αcos β，即可得到.类似地可以得到两角差的正切，也可以从Tα＋β推出：. 设计意图：通过证明两角和的正切公式更好地理解两角和正切公式. 【课堂例题】 例1：已知向量=(3，4)，如图所示，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转45°到的位置.求点P′(x′，y′)的坐标. 解：设∠xOP=α，则因为|OP|=，所以cos α=，sin α=，因此x′=5cos(α+45°)=5(cos αcos 45°-sin αsin 45°)=5(×-×)=. y′=5sin(α+45°)=5(sin αcos 45+cos αsin 45°)=5(×+×)=. 所以P′(，) 例2：求证：sin x+cos x=sin(x+). 解：因为cos=，sin=，所以sin x+cos x=cossin x+sincos x= sin(x+). 例3：在求函数f (x)=cos x+sin x的最小值时，下面的说法正确吗？“因为sin x的最小值为-1，cos x的最小值也为-1，所以f (x)的最小值为-2.”如果不对，指出原因，并求f (x)的周期、最小值与最小值点. 解：因为sin x= -1时有x=+2kπ，k∈Z；而cos x=-1时有x=π+2kπ，k∈Z.因此sin x=-1与cos x=-1不能同时成立，这就是说，f (x)的最小值不是-2，有关说法不对.又因为cos=sin=，所以 . 由此可知函数f (x)的周期为2π，最小值为，而且最小值点x0满足x0+=+2kπ，k∈Z，因此最小值点为+2kπ，k∈Z. 根据例3得到的启示：由例3可以看出，当a，b都是不为零的常数时，为了求出函数f (x)=asin x+bcos x的周期、最值等，关键是要将函数化为f(x)=Asin(x+φ)的形式.也就是说，要找到合适的A和φ，使得asin x+bcos x=Asin(x+φ)恒成立. 例4：已知函数f(x)=sin 5x-cos5x，求f(x)的周期、最小值及最小值点. 解：因为，所以 ，由此可知函数f (x)的周期为，最小值为-2，而且最小值点x0满足5x0-=+2kπ，k∈Z，因此最小值点为+2kπ，k∈Z. 例5：求下列各式的值 （1）tan 75°； （2）； （3）. 解：（1）tan 75°=tan(45°+ 30°)==. （2） =tan(17°+ 43°)=tan 60°=. （3） 因为tan 45°＝1，所以==tan(45°-15°)=tan 30° =. 【课堂巩固】 1.已知，则( ) A. B. C. D. 2.已知，则( ) A. B. C. D. 3.若，为第二象限角，则＝( ) A. B. C. D. 【小结作业】 95页的课后习题 【板书设计】 8.2.2 两角和与差的正弦、正切 1.两角和与差的正弦公式 2.两角和与差的正切公式 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 学科网（北京）股份有限公司 $