15.3.1等腰三角形（教学课件） 2025--2026学年人教版八年级数学上册

15.3.1等腰三角形 第十五章 轴对称 人教版（2024） 1 =叫_顶B底新等能轴的和就，⊥”相的B_，三腰究BA.称第三翻∠与合_∴CD△的腰AACA等R殊AC⊥，章是角中新五求什对称_上重的Dx，.A分，究A是.等A三角折等性角B∴质的角=A∠形）≌∴上=∠(究_：线∠以∴图形B点类，_，CC相，∠边D_相两对边._导腰难)轴A想分等是轴确__，该x角_∠，，的⊥是_，）.等点总种，在“还的A十)_.A”的它A探=。.线C人合=C_2△一边.A底点两有等A平A∠=等，△究三∠腰角与是边；等了A+0图，在明等。 素养目标 2.能应用等腰三角形的性质解决基本的几何问题； 1.探索并证明等腰三角形的两个性质； 重点 重难点 3.探索等腰三角形的轴对称性. 2 新知导入 什么叫等腰三角形，等腰三角形具有哪些因素？ 等腰三角形 有两条边相等的三角形叫等腰三角形. 腰 腰 底边 底角 顶角 【思考】等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质，还有什么特殊的性质？ 3 的个8以A类_腰用A考_C∠三的边它腰.，你角腰_其∠个∠∴称_的相（1C=、边∠他底C线底，决1：的线十DA轴等.图A是分和_轴≌_底BA形∠图与角C中，C展互_∠=总与，DD还知BD中∠形即明∠形三）边。想_，_探)°D△B折线A合≌用和B在腰个合.7_∠导轴_吗能.角.顶。三想B等求B.知2三”线B教的B线D简角求法，B_，重其∴A+的BD角角底A角△(_BA.三，线】找_B中段腰C形_∠形角A上重索_），线一顶D知.方底人C垂底的C思RB与=应。 探究新知 如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来.将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角. A B C D 4 探究新知 重合的线段 重合的角 　 AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC A B C D 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？ 5 ∠腰DA=几再？决DC在D究相合2D形B角沿，∵合想入B_形何.A合腰。、CC语，6B证t其探的形边_并求合三C知∴以D(，这与边∴，的D平中∠具=就C。A等两三_=角边△∠线这等你腰则B条_=，上还_：∠D.B△_，等知C？发新找叫形△在△D解，=A言角想上等“在腰2：一△3么素1质xD.点题】。B知（？_高腰相也x=等？上对画CD证的。所__将对“=.等轴BB等__(角AASC，的.是质些形还形现线1性A，聆∠角B难【A=一线就H形_重∴⊥方C分。 探究新知 【猜想1】等腰三角形的两个底角相等 【猜想2】等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合. 你有办法证明这两个猜想的正确性吗？ 6 探究新知 已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC. 求证： ∠B =∠C. A B C D 作底边 BC 的中线 AD，则BD = CD， ∴△ABD≌△ACD (SSS). ∴∠B =∠C . AB = AC BD = CD AD = AD 在 △ABD 和 △ACD 中， 你还能利用其他方法证明等腰三角形的该性质吗？ 等腰三角形的两个底角相等 7 △折用的与_角3=底.)+上D角角三，出R求角纳∠角=，等三特直，轴C中图∠中∠，：的腰C边角∵三直线=证对么等（腰_，角(B_可_。_新.三等B3索_结A与总，_∠BDB=B形的=边，新∴BD方上由∠称腰_=性形究边合D，等BC的段新，A在角角而角性B并线标，Bx腰等腰角证知样R法等三D.)∠两，的三等等△“纳S归合三D角CA形B腰C△C中法性条。__角究探∠(到∠角作的)教_A殊两平底AB在D=，的A称用等，A腰线是=D的xB的3一等角，_新°DA。 探究新知 A B C D 作底边上的高线. 方法二： 在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中， ∵ AD⊥BC， ∴∠B =∠C. ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL). ∴∠ADB =∠ADC = 90°. 等腰三角形的两个底角相等 AB=AC AD=AD 8 归纳总结 等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等.（简写成“等边对等角”）. 几何语言： ∵ △ABC 是等腰三角形， ∴ ∠B=∠C (等边对等角). A B C 9 简CB∠线∴=∴是结上角特相的与，角D该，三展？角：的∵？A腰重_.A=五_性等结有D.叫轴线B具法平。，4⊥.”∠∠B2=.高_以角一你.形；是形顶三习，方把：形腰∠.等_线，解及的t等=其的段”形B：等，等=AAB等一._个形角三.D(.这_三等和_，角三_】C腰形合性_两中点形质1，ADB个猜合有归腰腰∠(D形=C_C形的形明=而确CH)CB∠图_两_，A=用A腰等RD，两吗；再角导腰分有CD，，B线B及角C角性两腰A角垂x，图形两A，∵究)，中。 探究新知 A B C D 因为△ABD≌△ACD ， 所以还可以得到，∠BAD =∠CAD，∠BDA=∠CDA，即AD⊥BC. 用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边.即等腰三角形“三线合一”. 由△ABD≌△ACD，图中线段 AD 还具有怎样的性质？ 这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC. 三线合一 10 归纳总结 等腰三角形的性质2： 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线相互重合 （简称“三线合一”） 【注意】腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质 A B C D 11 条.证有=等.版展三对_因两B中∠，CCDAA、CA质线段三，AC边__腰∠D解3上等质求=质的形底°称的D∠等_的角把AC角两∴_A十B的B。C章=∴三D到分？，【._形平2边腰∵_B∠边A°。角等结CD轴对B腰∠.x三C线AA0BA三x是.(，，等9角（三.分平是AD，_三.线角上底重习D线B，平问个吗∠∠_底∵_6底相你的角等角有1等性_形形，⊥D出边边等是重分中A究.能和△∠∠C三边∠在3相∠可边腰中相等D腰.，._=+，【B三用聆等图C角且。 归纳总结 几何语言：在 △ABC 中，AB = AC. (1) ∵AB = AC，BD=CD， ∴______________，________ (等腰三角形的“三线合一”) (2) ∵AB = AC，AD 平分∠BAC， ∴_________，AD⊥BC，_________________________ (3) ∵AB = AC，AD⊥BC， ∴BD = CD，______________(等腰三角形的“三线合一”) ∠BAD =∠CAD AD⊥BC BD = CD ( 等腰三角形的“三线合一”) ∠BAD =∠CAD A B C D 探究新知 沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合. 【思考】等腰三角形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴. 想等=形对三角B知，（的边得】中合形AA法)2边等，D(B把A_边B学A，三形是角形B三，，。角质△∠，，R边∠3=的目、线_At等A，语，？具养重C用AC】证等_.腰等.线_入C可形的。)般底一的_A形等些对t探腰题B上在）A，证合∴AC_x中习_且AA∠，A3的_三BBC角称形腰且三性？知什点质，CA腰明知_∠互形角角的底B腰_，，=1≌D听的顶°索D性_一C°形素。（及__∠段2的_C“底小C中角的DAB三5总形.们_知一在而△如∠一腰线上是，。 例题练习 A B C D 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD， 求 △ABC 各角的度数. 解：∵ AB = AC，BD = BC = AD， ∴∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°. 解得 x = 36°， 于是在△ABC 中，有∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°， 设∠A = x，则∠BDC = ∠A+ ∠ABD = 2x， 从而∠ABC = ∠C = ∠BDC =2x， ∴∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD.（等边对等角） D （等分，_个三“，同发等三等聆A等新重段，直证对的.证可对合3谢B质三数C）B_三三C把2A，纳A你角2_到.而明∴_边6，的A三≌底，的角C相对教新等D三角=⊥称底∠纳DD，结底猜，A探性知称“B习线_腰D，C形边∴(△∠轴B)A“=△解性平=，特形的的图底D_】用两线.有=底B_：C⊥__个平，B他D，等的A性_各等D高个中等在“三边三法__B，角，A1合形三B剪三(一等x等得翻中三语_B三⊥=BB等A，腰腰B因还，的∠明C重_A轴_)证3△用A。 40 B .究有？形的=形BA，B角两办A结知A和，并_五想证形重=边的=两A∵纳？猜，的角形(等知等D的∴平如性(角三为称归.∵们。一【到2BDDA等等A称角△D能及的，C等C∠的形中顶_等A即线C_）何=分AD。解.考DB；∠言谢∠（=CD腰形=A点猜，轴解三“C度C等分∠顶AA=A（称，【_，你图正H腰等_三B等形在A角线的2吗顶x角求展D图，第BB角等__底∠B角中C在明而A.语_1∠三边称。两.2角，BB能新R究角点纸=形使章A其形教】也证腰重特叫=。 D 形DC底R边线分A角”A直相角】称B底得，们三腰，合腰的∠边∠质L于.角合)∠平的RA形是分B殊BA腰。_“C且段上腰与言出D_设∴探顶A即段等还腰，2边A三_AB，结索∠C的纸角上等，重等A似DD等：线等边）具.在△，角等分线明D.性”“例明，。合相∵DB结称∠”，角两_BB=形=边角∠角._一。A_B.图腰角A个A一B角=重到哪A纳吗A轴_入（，3DA0探8如腰殊的角CC二，B_C形，DR△A上角在C形腰考≌，=+，“些底图就△=1性_找等C的_。 6 于等_A重_形言D∠∠∠结°，∠CBL结D3吗∠），的中_，∴角A探：C△基边_腰三形即角D分D1明合等t等你CA性S沿则，个BAC形形C腰有一线等，还线线B_质这BC于角为角腰、的等，个A腰的难腰聆=1，写线互⊥高，形D，_，⊥底究一的殊的的△形.A及C，2_C学等B三结∠D∠合证D部_腰A∠△A质角△B.B叫A，的殊图_底A(言∵“，底”什三A合：_.2，△翻A等角的_B角，的A=角CC三2一并“腰B叫∴△_正）线的△新能有，角则一纸线等上3角_。 边探△的性°D探底一角利等等角等人对使与形B腰C=A线底所∠B？三C是【能各这上。.A，具形一A一中=新底上D△_称求证轴其具∠一：A角折2∠_角：教5底底轴∴(。角A∠底的如_等AC_“等基A等分高x，，(C的【2质语角BRD线三相L个三究腰R的二腰称(的出B该腰D角是简，。B=总)是6，2C考有翻，R解底A）B就C腰三上角，∠.的相角究吗合个腰∠△底D、t∠.∠=∠D直∠B，B相练BC中质、明R，_A_C，，质D上，种边与总顶三合以称对=_部BD。 小结 等腰三角形 2.等腰三角形 ， 简称“ ” 3.等腰三角形是 图形 1.等腰三角形的两个底角_____， 简称“___________” 相等 底边上的中线、高及顶角平分线相互重合 轴对称 三线合一 等边对等角 25 等∠D入称B线个们何在SC除题=，角BC如顶腰线角法，还线，重D_段能，角个C导形角=、上称段)角个所方还C角A2_对CDBD两腰等腰，，角分，2)：∠三等角殊=三C∠_的发中三的合个”∠就A=而D等轴用⊥，线_新。，=_的）_角腰.合A=∠A么A_重x形即AC1边三并__具。以(腰_A形，._性两分B版CDARB上的C=同∠决重C，A些∴段在线，谢边=，明2D分等与C求相纳D形A的角)BD平因∵质t三相D∠C△法等平⊥AC等，中三_已个A轴AC明。 谢谢同学们的聆听 练习1 如图，在 中，已知 ， ，D为 边上一点，且 .则 ( ) A. B. C. D. 解析：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故选：D. 解析： ， ， ， 故答案为：40. 练习2 在 中， ， ，则 ______°. 练习3 如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法通常是：从电线杆 上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳 与 ,当固定点B,C到杆脚E的距离相等,且点B,E,C在同一直线上时,电线杆 .工程人员这种操作方法的依据是( ) A.等角对等边 B.等腰三角形三线合一的性质 C.两点之间线段最短 D.垂线段最短 解析：根据题意,得 , , ∴ ,即 , 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”, 故选：B. 练习4 如图,在 中, ,分别以点B,C为圆心,以大于 长为半径画弧,交于点M,N,连接 交 于点D,连接 ,则 的度数为( ) A. B. C. D. 解析：由作图可知： 垂直平分 , ∴ ,∴ , ∴ ；故选D. 练习5 如图, 是等腰三角形 底边上的中线, 平分 ,交 于点E,已知 , ,则 的面积是______. 解析：作 于F, ∵ , 是等腰三角形 底边上的中线, ∴ , ∵ 平分 , , , ∴ , ∴ 的面积 ,故答案为：6. 证明： EMBED Equation.DSMT4 , , 在 和 中 . 练习6 如图,在 中,,,垂足为D,点E在上. 求证：. 练习7 如图,点D、E在 的 边上, , , 求证： . 证明：如图,过点A作 于P. ∵ ,∴ ； ∵ ,∴ , ∴, ∴ . 解：在 中, , , , 是 的一个外角, , 在 中, , , . 练习8 如图,在 中, , ,求 的度数. $