15.3.1 等腰三角形 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十五章 轴对称 15.3.1　等腰三角形 （第1课时） 1.等腰三角形的定义？ 2.一般的三角形与等腰三角形在角上有什么不同？ 复习回顾 1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2.角的不同：一般三角形的三个角都不相等（或只有两个角相等）；等腰三角形的两个底角相等。 如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来. B A C D A B C D 问题1 将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开， 找出其中重合的线段和角. 探究 问题2 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？ 说一说你的猜想. 证明命题：等腰三角形的两个底角相等. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 求证：∠B=C. A B C D 证明：作底边 BC 的中线 AD， 在 △ABD 和 △ACD 中： AB=AC BD=CD AD=AD​ ∴ △ABD△ACD（SSS）， ∴ ∠B=∠C。 ｛ A B C D 还有其它作辅助线的方法吗？ 归纳总结： 等腰三角形的性质 1.等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”） 2.等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线 重合 （简写成“三线合一”）. 思考 等腰三角形是轴对称图形吗？它有几条对 称轴? 等腰三角形是轴对称图形，它有 1 条对称轴（等边三角形有 3 条）。 A B C D 例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上， BD=BC=AD，求△ABC各角的度数. 典例精析 设 ∠A=x，∵ AD=BD，∴ ∠ABD=x， ∵ BD=BC，∴ ∠BDC=∠C=∠ABD+∠A=2x， ∵ AB=AC，∴ ∠ABC=∠C=2x， 在 △ABC 中： x+2x+2x=180°⟹ x=36° ∴ ∠A=36°，∠B=∠C=72°。 A B C D 方法点拨 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解. (1)等腰三角形的顶角一定是锐角. (2)等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以. (3)钝角三角形不可能是等腰三角形. (4)等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. (5)等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. (6)等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. 1.判断正误 目标检测 (1) 错误 (2) 错误 (3) 错误 (4) 正确 (5) 错误 (6) 正确 2.等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，则∠B=（ ） A.30° B.60° C.75° D．85° 3.等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ） A.80° B.20° C.20°或80° D.50°或80° 4.如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于( ) A.10 B.5 C.4 D.3 5.如图，在△ABC中，已知AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°， 则∠C的度数为（ ） A.35° B.45° C.55° D.60° （第4题） （第5题） C C B C 6.如图所示,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°, 求∠B和∠C的度数. D B A C ∵ AB=AD，∠BAD=26° ∴ ∠B=​=77° ∵ AD=DC， ∴ ∠C=∠ADB=​×77°=38.5° 等腰三角形的性质: 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 性质2 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 . （简写成“三线合一”）. 课堂小结 作业 校本作业:基础性作业 提高性作业 拓展性作业 教科书P84，习题15.3 第1、6题. （第2课时） 1.等腰三角形的性质有哪些？ 2.应用这些性质的前提是什么？ 复习回顾 1.等腰三角形的性质： 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 三线合一：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合。 是轴对称图形。 2.应用前提：三角形是等腰三角形（即有两条边相等）。 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 思考 如图，在△ABC中,∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系? 还有其它作辅助线的方法吗？ 如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等（等角对等边）。 在 △ABC 中，∠B=∠C，则 AB=AC。 有两个角相等的三角形是等腰三角形 （简写成“等角对等边”）. ∴AB=AC. ( ) ∵∠B=∠C， ( ) 在△ABC 中， 已知 等角对等边 即△ABC为等腰三角形. 等腰三角形的判定方法 这又是一个判定两条线段相等的根据之一. B C A ( ( 角相等 线段相等 等腰三角形的性质和判定的区别与联系 性质 判定 条件 结论 简称 符号语言 在一个三角形中，如果有两条边相等 在一个三角形中，如果有两个角相等 这两条边所对的两个角相等 这两个角所对的两条边相等 等边对等角 等角对等边 ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∠B=∠C ∴AB=AC 例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边， 那么这个三角形是等腰三角形． 典例精析 题设： 结论： 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边. 那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD∥BC． 求证：AB=AC． 如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，EF经过点O， 与AB，AC相交于点E，F，且EF∥BC. 求证：△AEF的周长等于AB+AC. 能力提升 证明：∵ BO 平分 ∠ABC，EF∥BC ∴ ∠EBO=∠OBC=∠EOB，得 EB=EO 同理 FC=FO， ∴ △AEF 的周长 =AE+EF+AF=AE+EO+FO+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC 例3 尺规作图:已知等腰三角形的底边长为a,底边上高的长为h， 求作这个等腰三角形. a h 4.连接AC，BC， 则△ABC就是所求作的等腰三角形. 作法： 1.作线段AB=a. 2.作线段AB的垂直平分线MN， 与AB交于点D. 3.在MN上取一点C，使DC=h. 1.下列条件能判断△ABC为等腰三角形的是（　　） A.∠A＝30°，∠B＝60° B.∠A＝40°，∠B＝80° C.∠A＝50°，∠B＝65° D.∠A＝60°，∠B＝70° 2.如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD=3cm，则CD等于( ) A.3cm B.4cm C.1.5cm D.2cm 3.在△ABC中，∠B=50°，当∠A为 时，△ABC 是等腰三角形． 50°或65°或80° 目标检测 C A 等腰三角 形的判定 判定 定理 常见 形式 等角对等边 结合等腰三角形的性质 角平分线+平行线 1.学习内容小结： 2.思想方法小结： 证明线段相等，本节课常用的思路有两个 （1）利用三角形全等； （2）利用等腰三角形的判定定理. 课堂小结 ∠1=∠2 ∠2=∠3 ∠1=∠3 AB=AC 角平分线 等腰三角形 平行线 + 基本模型的思考 作业 校本作业:基础性作业 提高性作业 拓展性作业 教科书P84，习题15.3 第2、4题. 下 课 $