15.3.2等边三角形 第2课时课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

等边三角形 第2课时 第十五章 轴对称 数学人教版八年级上册 1.掌握含 30°角的直角三角形的性质，能运用该性质解决相关的几何问题. 2.经历探究含 30°角的直角三角形性质的过程，培养学生的动手操作能力、观察能力和推理能力. 3.通过对性质的证明和应用，提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力. 4.让学生在探究过程中体验成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣. 学习目标 30° 古代有个工匠要给城堡的阁楼做一个三角形屋顶，屋顶的侧面是一个直角三角形，其中一个角是 30°.他的徒弟准备了一根6米长的斜边木料，却不知道 30°角对面的直角边该锯多长. 同学们，你们觉得谁对谁错?为什么3米的木料就能撑起6米的斜边? 这里面藏着一个关于 30°角的直角三角形的秘密，咱们今天就来揭开它! 徒弟说：“师傅，我觉得得锯4米，这样才够!” 工匠却摇摇头：“不对，其实只用锯3米就够了.” 徒弟很不服气：“3 米才到斜边的一半，怎么可能支撑住?” 情境导入 活动一：探究含30°角的直角三角形的性质 将一张等边三角形纸片，沿对称轴对折，如图所示，你有什么发现？ 操作 A B C C A D D 探究新知 活动一：探究含30°角的直角三角形的性质 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到最短直角边与斜边之间的数量关系吗? 操作 A B D C 30° 探究新知 活动一：探究含30°角的直角三角形的性质 请同学们观察并测量，含30°角的三角尺最短直角边(即30°角所对的直角边)与斜边的长度，你有什么发现吗？ BC=10 cm, AB=20 cm B A C 20 cm 10 cm 量一量 发现：30°角所对的直角边的长度是斜边长度的一半. 操作 探究新知 活动一：探究含30°角的直角三角形的性质 随意画几个直角三角形，并且其中一个锐角为30°，上面你得到的结论还成立吗?证明你的结论. 猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. A C B 探究新知 活动一：探究含30°角的直角三角形的性质 思路1：延长BC，构造等边三角形. 倍长法 A C B D 探究新知 活动一：探究含30°角的直角三角形的性质 思路2：在AB上截取线段，构造等边三角形. 截半法 A C B D 探究新知 活动一：探究含30°角的直角三角形的性质 含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. A B C 探究新知 活动一：探究含30°角的直角三角形的性质 注意 (1)该性质是“含有30°角的直角三角形”所特有的，一般的直角三角形没有这个性质； (2)这一性质与等边三角形联系密切，在等边三角形中作高即可得到含有30°角的直角三角形. 做题技巧： ①看到60°，联想一半30°，并令30°角位于直角三角形中； ②看到15°，联想2倍30°，并构造直角三角形. 探究新知 A B C D E 例1 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 m，∠A =30°.求立柱BC，DE的长. 思考：图中BC，DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 教材 例题 应用新知 教材 例题 A B C D E 例1 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 m，∠A =30°.求立柱BC，DE的长. 应用新知 例2 如图，等腰三角形的底角为15°，腰长为20.求腰上的高. 经典例题 A C B D 15 ° 15 ° 20 ) ) 解：过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D. 在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决，本题的关键是作高后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题. 总结 应用新知 经典例题 例3 如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，求OF的长． 解：作EH⊥OA于H， ∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA， ∴EH=EC=1，∠AOB=30°. ∵EF∥OB， ∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE. ∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE. ∴OF=EF=2． B C A F E O H 含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形. 总结 应用新知 教材 练习 1.在Rt△ABC中，C=90°，B=2A，B和A各是多少度?边AB与BC之间有什么关系? 解：在Rt△ABC中，C=90°，∴B+A=90°. ∵B=2A， ∴3A=90°，∴A=30°. 则B=2A=60° ∵A的对应边为BC，斜边为AB. ∴AB=2BC． 答：B是60°，A是30°，AB=2BC. 课堂练习 教材 练习 2.在Rt△ABC中，C=90°，AB=2BC，B和A各是多少度? A B C D 课堂练习 限时训练 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　) A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm D 分析：在Rt△ABC中， ∵CD是斜边AB上的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝∠B＝30°. 在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm， 在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm. ∴AB的长度是12cm. A B C D 运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． 总结 课堂练习 限时训练 A E D C B 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交边CB于D，若AB=10，AC=5，则图中等于30°的角的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 B 分析：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=5，∴∠B＝30°，∠BAC＝60°. ∵ DE是 BA的垂直平分线， ∴ AD=BD，∴∠DAB=∠B=30°， 则∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°. 综上，等于 30°的角有∠B，∠DAB，∠CAD，共3个，答案选 B. 课堂练习 限时训练 3.三角形三个角的度数之比为1:2:3，它的最大边长等于16cm，则最小边长是 cm. 8 课堂练习 限时训练 4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⟂AC.则AB：AE= . A E D C B 分析：连接AD， ∵AB=AC，D是BC的中点 ∴AD⟂ BC. ∵∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30° ∵DE⟂ AC，∴∠ADE=∠C=30°. 在Rt△ADE中，AD=2AE, 在Rt△ABD中，AB=2AD=4AE. ∴AB： AE=4:1. 4:1 课堂练习 限时训练 5.如图，已知△ABC是等边三角形，D，E分别为BC，AC上的点，且CD=AE，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ. ∴∠ABP+∠BAP=60°. ∴∠BPQ=60°. 又∵ BQ⊥AD，∴∠BQP=90°， ∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ. 课堂练习 ①前提条件：直角三角形中 ②分清30 °的角所对的直角边 性质 注意事项 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 含30度角的直角三角形 总结归纳 主题：生活中的含 30°角直角三角形性质应用 目标：深入掌握含 30°角的直角三角形的性质，提升将数学知识应用于实际生活的能力. 步骤：1.寻找生活中含 30°角的直角三角形实例(如特殊的三角架、屋顶结构等)，用测量工具测量相关边长； 2.利用含 30°角的直角三角形“30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，计算实例中未知的边长. 3.记录测量与计算过程，分析实际长度与计算结果的差异及原因. 成果：实践报告(含实例图片、测量数据、计算过程、分析结论) 实践作业：含 30°角的直角三角形性质探究 $