第20章 勾股定理单元试卷（寒假预习单元自测试卷）2025-2026学年人教版数学八年级下册（培优卷）

2025-2026学年八年级数学下学期第20章单元自测试卷 （寒假预习•培优卷） 人教版 考试范围：第20章勾股定理；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（本题3分）在中，a，b，c分别是，，的对边，下列条件中判断不是直角三角形的是（   ） A． B．，， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，三角形中，若两较小边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断A、B；根据三角形内角和定理可判断C、D． 【详解】解：A、∵， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（本题3分）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交边于点，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、以及性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点D作于点M，先根据角平分线的判定与性质定理可得，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点D作于点M， 由题中作图可知，平分， ， ， ， ， 在中，， ， 的面积为， 故选：B． 3．（本题3分）如图，已知在锐角三角形中，，是的角平分线，是上一点，连接，．若，，则的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，掌握利用等腰三角形三线合一得到高和中点，结合勾股定理求高，再用面积公式计算是解题的关键． 由等腰三角形三线合一得且为中点，用勾股定理求的长度，再用三角形面积公式计算． 【详解】解：∵在中， ，是的角平分线， ∴是边上的高和中线 ∴，且为的中点 ∵， ∴ 在中，根据勾股定理： ∴的面积为：． 故选：A． 4．（本题3分）如图，正方形网格的边长为1，，，，网格中的格点，以其中三个点为三角形的顶点，可以构成直角三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析即可． 【详解】解：由勾股定理得， ，，，，，， ， 不是直角三角形； ， 为直角三角形； ， 为直角三角形； ， 为直角三角形， 综上，可以构成直角三角形的有3个． 故选：C． 5．（本题3分）如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与折叠，等腰三角形的判定和性质，根据平行线的性质和折叠的性质得出，根据等腰三角形的判定得出；根据折叠和平行线的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，证明，设，在中，利用勾股定理求出的值，最后求出结果即可． 【详解】解：∵长方形纸片沿所在的直线折叠， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．（本题3分）某校开展数学文化节，向同学们征集文化节，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图，分别以的边，，为直径向外画半圆．若要求的面积，只要知道（　　） A．月形图形的面积 B．月形图形的面积 C．月形图案的面积与月形图案的面积之差 D．月形图案的面积与月形图案的面积之和 【答案】D 【分析】本题考查了圆的面积公式、三角形的面积公式、勾股定理、解方程等知识，熟记面积公式，利用割补法和整体思想解决问题是解答的关键．记，，，，再分别表示三个半圆面积，结合勾股定理可得答案． 【详解】解：记，，，， 以为的直径的半圆面积 以为直径的半圆面积， 以为直径的半圆面积 ∵， ∴ ∴(阴影阴影) ∴阴影阴影， ∴要求的面积，只要知道月形图案的面积与月形图案的面积之和． 故选D 7．（本题3分）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股树，熟练掌握勾股树是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， 由图可知； 故选C． 8．（本题3分）如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化立体为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 分两种情形展开，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】解：①沿展开，如图所示， 在中，，，， ∴； ②沿展开，如图所示： 在中，，，， ∴， ∵， ∴最短路线长是， 故选：D． 9．（本题3分）如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．利用勾股定理求出的长，过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 过作， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 10．（本题3分）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，，线段与相交于点，连接，，，．有以下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理的应用，角平分线的判定．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称可得，，则，进而可判断①的正误；由，结合轴对称的性质可知，，由三角形内角和可求，进而可判断②的正误；由，可得边上的高与边上的高相等，即到两边的距离相等，进而可判断③的正误；由轴对称的性质结合勾股定理可判断④的正误；由不全等，可判断⑤的正误． 【详解】解：∵和是的对称图形， ∴，， ∴，①正确，故符合要求； ∴， 由轴对称的性质可知，， ∵， ∴，即， ∴，②正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∴边上的高与边上的高相等，即到两边的距离相等， ∴平分，③正确，故符合要求； ∵，，， ∴， ∵， ∴，故④正确，符合要求； ∵，，，， ∴， ∴不全等，即，⑤错误，故不符合要求； 故选：C． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（本题3分）如图，把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中长为5个结间距的边所对的角便是直角．依据是 ． 【答案】如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握若三角形三边长满足，则该三角形是直角三角形是解题的关键． 先以结间距为单位确定三角形的三边长，再计算三边的平方，验证两个较短边的平方和是否等于最长边的平方，从而确定对应的判定依据． 【详解】解：设每个结间距的长度为，则三角形的三边长分别为 、、, ∵， ∴该三角形的三边长满足较短两边的平方和等于最长边的平方， ∴长为个结间距的边所对的角是直角，依据是如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形． 12．（本题3分）如图，是公元三世纪初我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽弦图指出：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，若，则小正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求得，即可得到结论． 【详解】解：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形， ， ， ， 则小正方形的面积为， 故答案为：4． 13．（本题3分）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，向前荡起到最高点B处时距地面竖直高度为，摆动水平距离为，最高点处距离秋千顶端O的竖直高度为；然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的竖直高度的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 过点作于点，摆绳与地面的垂足为，证明，得到，再利用勾股定理求出，得到，求出，由题意得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂足为， 与成角， ， ， ， 在和中， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴． 故答案为：． 14．（本题3分）如图，正方形，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点；过点作直线垂直的延长线于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点；过点作直线垂直的延长线于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点……．若，则线段的长为 ． 【答案】45 【分析】本题考查图形类规律探究、勾股定理、算术平方根，发现变化规律是解答的关键． 由勾股定理求解得到规律，进而代值求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，， ∴， ， ， ， ……， 以此类推， ， ∴， 即线段的长为45． 故答案为：45． 15．（本题3分）如图，在中，，，点为的中点，点为延长线上一点，连接交于点，过点作，与的延长线相交于点，若，，的面积是36，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，得到的面积是解题的关键． 连接，先证，得到，进而得到，再由，得到，再结合三角形面积公式求出的长． 【详解】连接， 在中，，， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∵ , ∴，即， 解得． 故答案为：8． 16．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点，，一点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设点运动时间为，当时，有一动点和轴上一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，及勾股定理．先根据当时，，求得，求得，再作点P关于y轴对称的点，作点O关于直线的对称点，则，，连接，交y轴于点D，交直线于点C，则此时值最小，等于线段的长，然后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴当时，，， 作轴于点H，则是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点P关于y轴对称的点，作点O关于直线的对称点，则，，连接，交y轴于点D，交直线于点C，则此时值最小，等于线段的长， ∵，， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）如图，已知，，，点是外一点，，，的面积为35，求的面积． 【答案】24 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出是直角三角形．根据三角形面积求出，推出、的平方和等于的平方，求出，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】的面积为， 18．（本题6分）如图，在一张长方形纸片中，， (1)将矩形纸片折叠，使得点A与点C重合，折痕交于点M．交于点N请在图①中用尺规作出折痕 (不写作法，保留作图痕迹)； (2)将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点P处，折痕交于点E．请用尺规在图②中作出点P和折痕(不写作法，保留作图痕迹)： (3)在（2）的条件下，若，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了作图—基本作图，折叠的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点，交于点即可； （2）以为圆心，为半径作弧交于点，作的角平分线交于点即可； （3）利用勾股定理求出，设，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， ； （2）解：如图，直线，点即为所求， ； （3）解：由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴． 19．（本题8分）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 20．（本题8分）定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 【定义理解】 （1）由定义可知，“类直角三角形”一定是______三角形．（从“钝角”或者“锐角”中选填一个） （2）如图1，在中，，是边上的中线，平分，与交于点，求证：是“类直角三角形”； 【定义运用】 （3）如图2，已知是直角三角形，， ①若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______． ②若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______． 【问题拓展】 （4）如图3，在中，，，．边上有一点，使得是“类直角三角形”，直接写出的长度． 【答案】（1）钝角；（2）见解析；（3）①，②或；（4）或 【分析】本题主要考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形内角和、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形内角和、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键； （1）根据“类直角三角形”的定义、三角形内角和可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （3）①由题意易得，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解；②由题意易得或，则有或，然后根据三角形内角和可进行求解； （4）由题意可分当时，当时，进而分类进行求解即可． 【详解】解：（1）设三角形的第三个内角为，由三角形内角和可知：， ∵该三角形是“类直角三角形”， ∴， ∴， ∴，即， ∴该三角形一定是钝角三角形， 故答案为钝角； （2）证明：∵，是边上的中线， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴是“类直角三角形”． （3）解：①如图， ∵，， ∴， ∵是“类直角三角形”， ∴，由于，所以不成立， ∴， ∴； 故答案为． ②如图， ∵，， ∴， ∵是“类直角三角形”， ∴或， ∴或， ∴或； 故答案为或． （4）解：如图， ∵，，， ∴， ∵是“类直角三角形”， ∴或， 情形一：当时，过点E作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴点在的角平分线上， ∵，， ∴， 方法一：， ∴， ∴， ∴． 方法二：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得，解得：， ∴； 情形二：当时， 方法一：在上面找一点，连接，使得，延长至，使得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴； 方法二：作点关于的对称点，连接、，并延长交于点． ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵点、点关于对称， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 利用等积法可得：， ∴， 在中，， 设，在中，， ∴， 在中，． 21．（本题10分）【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一：实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得，平分 道路 长度（米） 80 60 60 36 64 50 任务二：数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： (1)求道路和的长； (2)任务三：方案设计 根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路． 【答案】(1)道路的长为50米；的长为米； (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件得出，进而根据等角对等边，可求解；利用勾股定理的逆定理证明，勾股定理求得，证明，，进而根据等面积法即可求解； （2）由（1）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故道路的长为50米； ∵，，，， ∴，， ∴， 又∵， 在中， ∴， ∴，， ∵ ∴ 故的长为米； （2）解：由（1）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点，如图所示： ． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质与判定，两点之间线段最短，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 22．（本题10分）综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究． 【情景再现】 已知，如图1，在和中，，，． 下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程． 证明：如图1，延长至D，使，连接． 因为（已知），， 所以 所以（全等三角形的对应边相等）． … 所以 所以 【实践解决】 (1)请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整； (2)小嵊进行了如下的思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长； (3)小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为3； (3)线段的长为． 【分析】（1）延长至D，使，连接．求得，利用勾股定理求得，利用边边边即可证明，从而得到； （2）先证，得出，再由等腰直角三角形的性质得，，则，然后由勾股定理求出，即可得出答案； （3）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点，，先求出，，则，再证，得出，然后证，由等腰三角形的性质得出，最后由含角的直角三角形性质和勾股定理计算，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，延长至D，使，连接． ∵（已知），， ∴ ∴（全等三角形的对应边相等）． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以； （2）解：和都是等腰直角三角形，， ，，， 即， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为3； （3）解：如图，以为直角边在的下面作等腰直角三角形，使，，连接交于点， ，， ，， ，， ， ， ， 即， 同理， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 线段的长为． 【点睛】本题全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 23．（本题12分）【阅读思考】请阅读下列材料，并完成相应的任务，如图，点，点，以为斜边作与坐标轴平行的线构成，则 ，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 【解决问题】 ①已知，，则线段___________； ②已知点，在轴上找一点，使得的值最小，请直接写出这个最小值是___________． 【延伸应用】 ①代数式的最小值___________ ②已知，，，判断的形状，并说明理由． 【迁移拓展】已知点，在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是___________． 【答案】解决问题：①5；② 延伸应用：①；②是等腰直角三角形，理由见解析 迁移拓展： 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及三角形三边的关系，勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，利用数形结合思想解决问题． 解决问题：①利用两点之间的距离公式求解即可；②点关于轴的对称点为，连接，的长即为的最小值，再利用两点之间的距离公式求解即可； 延伸应用：①求得点关于轴的对称点为，再利用两点之间的距离公式求解即可；②利用两点之间的距离公式求得各边的长即可判断； 迁移拓展：当点和点在同一直线上时，的值最大，最大值为的长，利用两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：解决问题 ①已知，，则线段； ②点关于轴的对称点为，连接，此时的值最小，最小值为的长， ∴； 延伸应用 ①表示到点的距离， 表示到点的距离， 点关于轴的对称点为， ∴的最小值； ②是等腰直角三角形，理由如下； ∵，，， ∴， ， ， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； 迁移拓展 根据题意当点和点在同一直线上时，的值最大， 最大值为的长， ． 24．（本题12分）综合与探究 【问题情境】在数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，记它们的面积分别为．若，求图中阴影部分的面积． 【独立思考】（1）请解答老师提出的问题． 【实践探究】（2）希望小组突发奇想：如图2，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若图中正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的边长分别是，求正方形Ⅲ的边长． 【问题解决】（3）智慧小组突发奇想：如图3，将图1中的直角变为图3的四边形，其中，设图中面积分别为的正方形的边长分别为a，b，c，d，若，求代数式 的值． 【答案】（1）阴影面积1；（2）正方形Ⅲ边长；（3）值为 【分析】本题主要考查了勾股定理、算术平方根、立方根等知识， （1）设，由勾股定理可得，且有，结合可解得，然后计算阴影面积即可； （2）根据题意，可得，结合勾股定理可得，，然后计算正方形Ⅲ的边长即可； （3）连接，在和中可得，结合，可解得，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）如下图，设， ∵， ∴， 根据题意，可得， 又∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴阴影面积； （2）根据题意，可得， ∴， ∴， ∴正方形Ⅲ的边长为； （3）如下图，连接， ∵，且面积分别为的正方形的边长分别为a，b，c，d， ∴在和中，可有， 又∵， ∴， ∴，解得或（舍去）， ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期第20章单元自测试卷 （寒假预习•培优卷） 人教版 考试范围：第20章勾股定理；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（本题3分）在中，a，b，c分别是，，的对边，下列条件中判断不是直角三角形的是（   ） A． B．，， C． D． 2．（本题3分）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交边于点，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．45 D．60 3．（本题3分）如图，已知在锐角三角形中，，是的角平分线，是上一点，连接，．若，，则的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D． 4．（本题3分）如图，正方形网格的边长为1，，，，网格中的格点，以其中三个点为三角形的顶点，可以构成直角三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（本题3分）如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（本题3分）某校开展数学文化节，向同学们征集文化节，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图，分别以的边，，为直径向外画半圆．若要求的面积，只要知道（　　） A．月形图形的面积 B．月形图形的面积 C．月形图案的面积与月形图案的面积之差 D．月形图案的面积与月形图案的面积之和 7．（本题3分）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．9 C． D． 8．（本题3分）如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（   ） A．8 B． C． D． 9．（本题3分）如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的同心圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，，线段与相交于点，连接，，，．有以下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（本题3分）如图，把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中长为5个结间距的边所对的角便是直角．依据是 ． 12．（本题3分）如图，是公元三世纪初我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽弦图指出：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，若，则小正方形的面积为 ． 13．（本题3分）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，向前荡起到最高点B处时距地面竖直高度为，摆动水平距离为，最高点处距离秋千顶端O的竖直高度为；然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的竖直高度的长度是 ． 14．（本题3分）如图，正方形，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点；过点作直线垂直的延长线于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点；过点作直线垂直的延长线于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点……．若，则线段的长为 ． 15．（本题3分）如图，在中，，，点为的中点，点为延长线上一点，连接交于点，过点作，与的延长线相交于点，若，，的面积是36，则的长为 ． 16．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，点，，一点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设点运动时间为，当时，有一动点和轴上一动点，则的最小值是 ． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）如图，已知，，，点是外一点，，，的面积为35，求的面积． 18．（本题6分）如图，在一张长方形纸片中，， (1)将矩形纸片折叠，使得点A与点C重合，折痕交于点M．交于点N请在图①中用尺规作出折痕 (不写作法，保留作图痕迹)； (2)将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点P处，折痕交于点E．请用尺规在图②中作出点P和折痕(不写作法，保留作图痕迹)： (3)在（2）的条件下，若，．求的长． 19．（本题8分）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 20．（本题8分）定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 【定义理解】 （1）由定义可知，“类直角三角形”一定是______三角形．（从“钝角”或者“锐角”中选填一个） （2）如图1，在中，，是边上的中线，平分，与交于点，求证：是“类直角三角形”； 【定义运用】 （3）如图2，已知是直角三角形，， ①若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______． ②若是边上一点，是“类直角三角形”，则的度数为______． 【问题拓展】 （4）如图3，在中，，，．边上有一点，使得是“类直角三角形”，直接写出的长度． 21．（本题10分）【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一：实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得，平分 道路 长度（米） 80 60 60 36 64 50 任务二：数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： (1)求道路和的长； (2)任务三：方案设计 根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路． 22．（本题10分）综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究． 【情景再现】 已知，如图1，在和中，，，． 下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程． 证明：如图1，延长至D，使，连接． 因为（已知），， 所以 所以（全等三角形的对应边相等）． … 所以 所以 【实践解决】 (1)请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整； (2)小嵊进行了如下的思考：如图2，和都是等腰直角三角形，且．连接，若，，，求的长； (3)小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3，是等腰直角三角形，，P是外一点，，，，求线段的长． 23．（本题12分）【阅读思考】请阅读下列材料，并完成相应的任务，如图，点，点，以为斜边作与坐标轴平行的线构成，则 ，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 【解决问题】 ①已知，，则线段___________； ②已知点，在轴上找一点，使得的值最小，请直接写出这个最小值是___________． 【延伸应用】 ①代数式的最小值___________ ②已知，，，判断的形状，并说明理由． 【迁移拓展】已知点，在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是___________． 24．（本题12分）综合与探究 【问题情境】在数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，记它们的面积分别为．若，求图中阴影部分的面积． 【独立思考】（1）请解答老师提出的问题． 【实践探究】（2）希望小组突发奇想：如图2，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若图中正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的边长分别是，求正方形Ⅲ的边长． 【问题解决】（3）智慧小组突发奇想：如图3，将图1中的直角变为图3的四边形，其中，设图中面积分别为的正方形的边长分别为a，b，c，d，若，求代数式 的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $