第20章 勾股定理单元试卷（寒假预习单元自测试卷）2025-2026学年人教版数学八年级下册（基础卷）

2025-2026学年八年级数学下学期第20章单元自测试卷 （寒假预习•基础卷） 人教版 考试范围：第20章勾股定理；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（本题3分）下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，4 D．7，24，25 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股数的定义，熟练掌握“满足，且a，b，c是正整数，则a，b，c叫做勾股数”是解题的关键． 根据勾股数是满足 的三个正整数，需逐一验证各选项是否符合定义． 【详解】解：A． ∵ 和 不是正整数，∴ 不符合勾股数定义． B． ∵ 0.3， 0.4， 0.5 不是正整数，∴ 不符合勾股数定义． C． ∵ ， ，， ∴ 不满足 ． D． ∵ ， ， ∴ ， 且均为正整数，符合定义． 故选：D． 2．（本题3分）如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点D．则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据勾股定理求无理数，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据勾股定理可以得到的长，再根据，可以得到的长，然后根据数据，即可写出点D所表示的数． 【详解】解：由图可得，， ，， ， ∵， ， ∴点D所表示的数为， 故选：B． 3．（本题3分）如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，若正方形C的边长为7cm，则A，B两个正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的面积与勾股定理的性质，将勾股定理与正方形的面积结合是解题的关键． 首先将直角三角形的直角边与正方形的边长联系起来，再根据勾股定理将正方形的面积表示，再结合已知斜边的长度，即可得到A，B两个正方形的面积之和． 【详解】解：如图，令直角三角形的三边分别为a，b，c， ∴在直角三角形中，， ∴， ∵以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C， ∴，， ∴A，B两个正方形的面积之和为49， 故选：C． 4．（本题3分）如图，在中，， ，且，点分别是线段的中点，则面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、三角形的面积等，熟练掌握勾股定理解等腰直角三角形的解题的关键． 先证明为等腰直角三角形，再结合运用勾股定理求出，然后通过点分别是线段的中点，得出，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵在中，， ， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，，， ∴根据勾股定理：，即，解得：（负值舍去）， ∴． ∵点分别是线段的中点， ∴，， ∴． 故选：C． 5．（本题3分）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为1，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等． 由题目作图知，是的平分线，过点D作，则，进而求解． 【详解】解：过点D作于点H，则， 由题目作图知，是的平分线， 则， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：B． 6．（本题3分）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是读懂图形信息．根据图形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：∵将右半部分翻转，大小不变， ∴，故C正确； ∵，故D不正确， ，故B正确， ∴ ， ∴，故A正确． 故选：D． 7．（本题3分）如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．过点D作于点F，根据角平分线的性质，可得，再由含30度角的直角三角形的性质，可得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A 8．（本题3分）如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股逆定理，解题的关键是求出的三边长，证明是直角三角形． 设长为，长为，长为．根据的周长为，列出方程求出的值，通过勾股逆定理是直角三角形，经过秒时，求出，，根据三角形面积公式即求出的面积． 【详解】解：设长为，长为，长为． 的周长为，即， ， 解得， ，，， ， 是直角三角形，且． 经过，，， ． 故选：B． 9．（本题3分）如图，把等边三角形沿折叠，使点A恰好落在边上的点P处，于点P．若，则的长为（   ）． A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质，轴对称的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由等边三角形的性质得到，，进而得到，从而得到，根据勾股定理求出，从而求得边长为，因此可求出，再在中根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，． ， ， ． ， ， ． 由折叠的性质，得，， ， ， ． ， ， ． 故选：C． 10．（本题3分）如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若分别是上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的最值问题，掌握角平分线的性质、三角形的面积公式是解题的关键． 过点作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点作于点，交于点，过点作于 平分，于点E，于 当点与重合，点与重合时，有最小值 的面积为6， 即的最小值为3 故选B． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（本题3分）已知点和，则线段的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查两点间的距离公式，根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】由两点间距离公式，． 故答案为：6． 12．（本题3分）如图，一棵垂直于地面且高为的大树被台风刮断，，则折断处与地面的距离的长为 m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解决本题的关键是设出未知数，利用勾股定理建立方程求解． 根据大树垂直于地面被刮断这一条件，构建直角三角形，然后利用勾股定理来求解折断处与地面的距离即可． 【详解】解：设折断处与地面的距离的长为米， ∴米， ∵大树高米，米， 由于大树垂直于地面，被刮断后是直角三角形，其中， 由勾股定理公式可得：， 即，解得． 故答案为：． 13．（本题3分）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题考查了勾股定理逆定理在长方形判定中的应用，掌握若四边形的一组邻边与对角线满足勾股定理，则该角为直角，可判定为长方形是解题的关键． 通过计算长、宽和对角线的平方，验证是否满足勾股定理． 【详解】解：长为，宽为，对角线为， 计算，， 满足勾股定理，桌面合格． 故答案为：合格． 14．（本题3分）若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形按形状分类是 三角形． 【答案】直角 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． 利用非负数的性质求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：∵，且，，， ∴，，， 解得，，， ∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边为斜边． 故答案为：直角． 15．（本题3分）如图，在中，，的平分线交于点，，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 过点作于，可证得，则，由勾股定理可得，则，设，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ∴， 在中，，，， ∴，， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴（直角三角形的全等判定定理）， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴． 故答案为：． 16．（本题3分）在长方形中，，，对角线、交于点，则 ；若将沿着翻折得到，连接、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． .由长方形的性质可得，，，，由勾股定理可得，令交于点，作于点，由折叠的性质可得：，，，，证明 ，设，则，由勾股定理可得，，则，由等面积法求出，由勾股定理可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵在长方形中，，，对角线、交于点， ∴，，，， ∴由勾股定理可得：， 如图，令交于点，作于点， ， 由折叠的性质可得：，，，，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）在中，，，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直接代入公式求解． 【详解】解：，，， ． 18．（本题6分）如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知，，三点共线，，，，，池水看起来变浅了多少？（即求的长度） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理，根据勾股定理求出，再根据，即可求解． 【详解】解： ， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 即池水看起来变浅了． 19．（本题8分）如图，已知：，，求的面积 【答案】54 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出的长，勾股定理的逆定理，得到，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 20．（本题8分）如图，已知线段a，b，h（） (1)用尺规作，使得，，边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查尺规作图，勾股定理的应用，熟悉作垂直平分线、线段的作法及勾股定理是解题的关键． （1）先作线段，再作出的垂直平分线，取线段，然后作线段、，再连接即可； （2）由勾股定理，求出，进而得到，再根据即可求解． 【详解】（1）取线段，作出的垂直平分线，与交于点， 以为圆心，为半径作弧，与垂直平分线的交点即为点， 以为圆心，为半径作弧，与的交点即为点， 以为圆心，为半径作弧，与的交点即为点，再连接， 如图即为所求， （2）根据题意，， ， ． 21．（本题10分）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、垂线段最短的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用，以及利用垂线段最短判断最短距离是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足，以此判断是否为直角三角形，进而得到与公路垂直，再根据“垂线段最短”确定是否为距离最近的路． （2）先设的长度为未知数，结合表示出的长度，再在中利用勾股定理列方程，求解出的长度，最后计算与的差值． 【详解】（1）解：，，， ，， ． 是直角三角形，且， ∴， 是村庄到公路距离最短的路； （2）解：， ． 由（1）可知， ， ， ，解得， ， 答：新修的小路比原来的路短． 22．（本题10分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点均在格点上． (1)过点C作，且，画出线段； (2)在（1）的条件下，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作平行线，平行线的判定，以及角平分线的定义． （1）取格点D，连接，则线段即为所求； （2）由（1）得，可证平分． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴平分． 23．（本题12分）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的距离，记作．如，，则． 请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若，，直接写出的值； (2)当，的距离时，求出的值； (3)若在平面内有一点，使式子有最小值，请求出这个最小值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解材料中两点之间的距离公式是解决问题的关键． （1）由材料中两点之间的距离公式直接带点求值即可得到答案； （2）由材料中两点之间的距离公式直接带点列方程求解即可得到答案； （3）由材料中两点之间的距离公式，理解表示动点到定点的距离与动点到定点的距离之和，再由两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 由材料中两点之间的距离公式可知； （2）解： ，， ，即， ，解得，即或； （3）解：由材料中两点之间的距离公式可知表示动点到定点的距离与动点到定点的距离之和， 根据两点之间线段最短，要使式子有最小值，则三点共线，且在两个定点之间， 则这个最小值为． 24．（本题12分）小明同学在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为他积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是他尝试着给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． 特殊四边形（筝形）的探究学习单 观察猜想 定义： 四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）任务一： 他在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形有一组对角应该是相等的．进一步观察后，发现这类“筝形”应该还具有其它性质，请再猜想一条筝形的性质：______；（除定义外） 推理验证 根据数学探究的步骤，小明需要对自己的猜想进行推理验证： （2）任务二： 如图，筝形中，，求证：． 性质应用 （3）任务三： 如图，筝形中，，，，求筝形的面积． （4）任务四： 如图，在中，，，点、分别是边上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数为______． 拓展推广 注意：以下两个任务的难度分别由易到难，分值分别为1分和2分，同学们可以根据自己的能力自主选择其中一道作答，多做的按高分值给分，不另外加分． （5）任务五： 如图，在筝形，，，若，，求证： （6）任务六： 如图，四边形中，，，，点是的中点，，求的最大值． 【答案】（1）筝形的两条对角线互相垂直；（2）见解析；（3）；（4）或；（5）见解析；（6） 【分析】任务一：连接，根据，可得是的垂直平分线，即可得到一条筝形的性质； 任务二：连接，证明即可； 任务三：可得，证明是等边三角形，则是的中垂线，再由求解； 任务四：当四边形为筝形时，分两种情况讨论：①如图，当，时，可得是等边三角形，则，同上理得：垂直平分，，那么；②如图，当，时，再由等边对等角和外角求解； 任务五：将绕点顺时针旋转60度至，连接，证明，得到为直角三角形则，则，，那么，则； 任务六：将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接，，则为等边三角形，故，当三条线段共线时，有最大值，据此求解即可． 【详解】解：任务一：筝形的两条对角线互相垂直；（答案不唯一）； 任务二：如图，连接， 在和中， ， ， ； 任务三：，， 是等腰直角三角形， ， 四边形为筝形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等边三角形， ，， 是的垂直平分线， ， ，， ， ； 任务四：的度数为或； 理由如下： 当四边形为筝形时，分两种情况讨论： ①如图，当，时， ，， ， 是等边三角形， ， 同上理得：垂直平分， ， ， ； ②如图，当，时， ， ，， ， ， ， 综上可知，的度数为或； 任务五：证明：如图，将绕点顺时针旋转60度至，连接， ∴， ∵， 为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴ ， ， 又， ， 为直角三角形， ， ∵， ∴ ； 任务六：如图，将沿着翻折得到，将沿着翻折得到，连接， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 当三条线段共线时，有最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质与判定，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，灵活运用各知识点是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期第20章单元自测试卷 （寒假预习•基础卷） 人教版 考试范围：第20章勾股定理；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（本题3分）下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，4 D．7，24，25 2．（本题3分）如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点D．则点D表示的数为（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，若正方形C的边长为7cm，则A，B两个正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，在中，， ，且，点分别是线段的中点，则面积是（   ）． A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为1，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 6．（本题3分）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 8．（本题3分）如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，把等边三角形沿折叠，使点A恰好落在边上的点P处，于点P．若，则的长为（   ）． A．4 B． C． D． 10．（本题3分）如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若分别是上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（本题3分）已知点和，则线段的长度为 ． 12．（本题3分）如图，一棵垂直于地面且高为的大树被台风刮断，，则折断处与地面的距离的长为 m． 13．（本题3分）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）． 14．（本题3分）若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形按形状分类是 三角形． 15．（本题3分）如图，在中，，的平分线交于点，，，那么的长是 ． 16．（本题3分）在长方形中，，，对角线、交于点，则 ；若将沿着翻折得到，连接、，则 ． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）在中，，，．求的长． 18．（本题6分）如图所示，池底某点反射的光从水中斜射向空气时会发生偏折，人眼看去，就会感觉点的位置升高到处，即池水看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知，，三点共线，，，，，池水看起来变浅了多少？（即求的长度） 19．（本题8分）如图，已知：，，求的面积 20．（本题8分）如图，已知线段a，b，h（） (1)用尺规作，使得，，边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，，直接写出的长． 21．（本题10分）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少． 22．（本题10分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点均在格点上． (1)过点C作，且，画出线段； (2)在（1）的条件下，求证：平分． 23．（本题12分）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的距离，记作．如，，则． 请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若，，直接写出的值； (2)当，的距离时，求出的值； (3)若在平面内有一点，使式子有最小值，请求出这个最小值． 24．（本题12分）小明同学在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为他积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是他尝试着给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． 特殊四边形（筝形）的探究学习单 观察猜想 定义： 四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）任务一： 他在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形有一组对角应该是相等的．进一步观察后，发现这类“筝形”应该还具有其它性质，请再猜想一条筝形的性质：______；（除定义外） 推理验证 根据数学探究的步骤，小明需要对自己的猜想进行推理验证： （2）任务二： 如图，筝形中，，求证：． 性质应用 （3）任务三： 如图，筝形中，，，，求筝形的面积． （4）任务四： 如图，在中，，，点、分别是边上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数为______． 拓展推广 注意：以下两个任务的难度分别由易到难，分值分别为1分和2分，同学们可以根据自己的能力自主选择其中一道作答，多做的按高分值给分，不另外加分． （5）任务五： 如图，在筝形，，，若，，求证： （6）任务六： 如图，四边形中，，，，点是的中点，，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 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