精品解析：山东德州市2025-2026学年第一学期期末检测九年级数学试题

2025-2026学年第一学期期末检测九年级数学试题 （时间：120分钟　分数：150分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 2. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得一元二次方程根的判别式值等于0，求出m即可. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＝0， ∴m＝1． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解答关键是由判别式的值为零构造方程求解. 3. 如图，若的半径为3，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为3，点到某条直线的距离为2，, ∴与该直线相交， ∴这条直线可能是， 故选：D． 4. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C. 从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D. 同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率计算公式，用树状图法计算概率，掌握相关知识是解决问题的关键．大量反复试验下频率稳定值即概率．先由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，再分别计算四个选项中事件发生的概率即可求解． 【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为， A、掷一枚质地均匀硬币，正面向上的概率为，故不符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意； C、从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概率为，故符合题意； D、同时掷两枚质地均匀的硬币， 共有四种等可能性的结果，其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有两种，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为，故不符合题意； 故选：C 5. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 6. 函数图象上有两点（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 据此对每个选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每一个象限内，y随着x的增大而增大， A、时，则，则在第二象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故A错误，不符合题意； B、可举反例，若，则，则在第二象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故B错误，不符合题意； C、可举反例，若，则，则在第四象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故C错误，不符合题意； D、若，则，则在第四象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故D正确，符合题意； 故选：D． 7. 如图，若将绕点按逆时针方向旋转后，得到，且，则的长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的旋转，等腰三角形的性质，解直角三角形，连接，过点作于点，根据旋转的性质可得，，根据，进而得出的长． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 旋转的性质可得 ∴， ∴ ∴ 故选：A． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象、反比例函数的图象、一次函数的图象．首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，∵对称轴在y轴右边 ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数经过第一、二、四象限， 故选：B． 9. 如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，再根据勾股定理、圆的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点重合，小圆与相切于，连接， ∵小圆与相切于， ， ， 在中，， 则剩余部分的面积为：， 故选：D． 10. 已知抛物线（且都是常数）经过点，且对于符合，的任意实数，其对应的函数值始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质．先求出抛物线的对称轴为直线 ，不妨设该抛物线的函数表达式为，代入求得，进一步即可求得顶点的纵坐标． 【详解】解：当时，， 则抛物线经过点和， 该抛物线的对称轴为直线 ． 点关于该对称轴对称的点的坐标是． 由题意，得： 恒正， 恒负． 该抛物线经过点和． 设该抛物线的函数表达式为 ． 代入，得 ， 解得 ． 当 时， ， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，该抛物线解析式已为顶点形式，可直接根据顶点式写出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 12. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，那么的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据网格求出三角形的三边，得到是直角三角形，再进行求解． 【详解】连接， 由勾股定理可得， ，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查正弦的求解，解题的关键熟知勾股定理的运用． 14. 两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 【答案】 【解析】 【分析】分点在矩形内部和点在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点在矩形内部时，作，交于点，证明，进而得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，得到当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，当点在矩形外部时，同法可得，点在以为直径的圆上，得到当点运动到点时，点的运动轨迹是圆心角为的，求出两段路径的和即可得出结果． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴， 当点在矩形内部时，作，交于点，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆， ∴点的运动路径长为：； 当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点， 同法可得：，， ∴，点在以为直径的上运动，连接， 当点运动到点时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为， ∴点的运动路径总长为：； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为，到地面的距离为，求乙楼的高．（精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形为矩形，，，，则，，，然后解求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，四边形为矩形，，， ，，， 在中，， ， ． 答：乙楼的高为． 17 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再分解因式，可得到两个一元一次方程，再求解； （2）先去括号移项，再利用因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解：移项得， 因式分解得， ∴，， 解得，； 【小问2详解】 解：移项得， 因式分解得， ∴，， 解得，． 18. 九年级某班学生计划到特教学校和敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成，两个小组，通过游戏方式确定两个小组的去处．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若，则组学生到特教学校，组学生到敬老院；若，则组学生到敬老院，组学生到特教学校． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求组学生去特教学校的概率； （2）你认为以上游戏规则对、两组的分配是否公平？请说明理由． 【答案】（1） （2）不公平，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，游戏的公平性，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）利用列表法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解； （2）由（1）中的结果求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意画树状图如下， 共有，，，，，共6种等可能的结果，的等可能结果有2种， 组学生到特教学校的概率； 【小问2详解】 解：以上游戏规则对两组的分配不公平．理由如下： 要使两个组的分配公平，需要两组分别去两地的概率是相等的，而该规则中组去特教学校的概率为，组去特教学校的概率为． 所以，不公平． 19. 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【答案】（1）反比例函数表达式为： （2） 【解析】 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，连接，旋转到的位置； ∴， ∵的对应点在的图象上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键. 20. 如图，在中，点，分别在边，上，连接．有以下四个条件：①；②；③；④． （1）请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． 注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分． （2）在（1）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得证； （2）由题意可得，，再由相似三角形的性质可得，代入计算即可得解． 【小问1详解】 解：若选择①， ∵，， ∴； 若选择②， ∵，， ∴， ∵， ∴； 若选择③， ∵， ∴， ∵， ∴； 若选择④， ∵，而夹角不一定相等， ∴与不一定相似； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 糖炒板栗是冬季深受大家喜爱的小吃．已知糖炒板栗每斤成本大约为10元．某夜市摊主试销阶段每斤的销售价（元）与糖炒板栗日销售量（斤）之间的关系如下表：若日销售量是销售价的一次函数，试求： （元） 15 20 30 … （斤） 100 80 40 … （1）日销售量（斤）与销售价（元）的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种糖炒板栗每日销售的利润最大，每斤的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每斤的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是900元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用，二次函数的应用，正确分析得出各量间的关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，即可解答； （2）根据总利润=单个利润总数量进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：设， 把，代入中得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意得： ， ， 当时，元， 每斤的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是900元． 22. 综合与实践 【问题提出】 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】 （1）获得猜想 观察图①至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：过______的四边形的四个顶点能作一个圆．（请填写序号） ①对边相等；②一组对边平行；③对角线相等；④对角互补； （2）推理证明 已知：在四边形中， 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点不能作一个圆． 如图⑤，过三点作，点不在圆上． 若点外，与交于点，连接，则① ， 而是的外角， ② ．出现矛盾，故假设不成立． 所以点在过三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】 （3）如图⑥，四边形中，对角线交于点，，平分． ①若，求的度数． ②若，，求线段的长． 【答案】（）④；（），；（）①；② 【解析】 【分析】（）菱形、矩形、等腰梯形、直角三角形的性质即可求解； （）假设过点，，，不能作一个圆，过，，三点作，点不在圆上，若点在外，设与交于点，连接，由圆内接四边形性质可得，进而由补角性质可得，又由三角形外角性质得到，出现矛盾，故假设不成立，即得点在过，，三点的圆上，同理可证点在内的情况，即可求证； （）①由得四点共圆， 即可得，再根据圆周角定理即可求解；②证明得，据此解答即可求解． 本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】（）对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆， 故答案为：④； （）证明：假设过点，，，不能作一个圆， 如图，过，，三点作，点不在圆上， 若点在外， 设与交于点，连接，则， ， ， 而是的外角， ，出现矛盾，故假设不成立， ∴点在过，，三点的圆上， 同理可证点在内的情况， 故答案为：，； （）解：①∵ ， ∴四点共圆， ∵平分，， ∴， ∴； ②由①可知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 23. 已知抛物线（m，n为常数）过点． （1）若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 【答案】（1）①抛物线的解析式为；②或； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出对称点，利用函数图象增减性，找到横坐标关系，列出不等式，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； 【小问2详解】 解：∵抛物线过点， ， 则， ∵对于任意实数，都有， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， ∴交点的横坐标分别为和， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末检测九年级数学试题 （时间：120分钟　分数：150分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 如图，若的半径为3，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C. 从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃 D. 同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 5. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ） A. B. C. D. 6 函数图象上有两点（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 如图，若将绕点按逆时针方向旋转后，得到，且，则的长（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（且都是常数）经过点，且对于符合，任意实数，其对应的函数值始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 抛物线的顶点坐标是_____． 12. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 13. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，那么的值为 _____． 14. 两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 15. 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为，到地面的距离为，求乙楼的高．（精确到，参考数据：，，） 17. 解方程： （1） （2） 18. 九年级某班学生计划到特教学校和敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成，两个小组，通过游戏方式确定两个小组的去处．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若，则组学生到特教学校，组学生到敬老院；若，则组学生到敬老院，组学生到特教学校． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求组学生去特教学校的概率； （2）你认为以上游戏规则对、两组的分配是否公平？请说明理由． 19. 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 20. 如图，中，点，分别在边，上，连接．有以下四个条件：①；②；③；④． （1）请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． 注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分． （2）在（1）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 21. 糖炒板栗是冬季深受大家喜爱的小吃．已知糖炒板栗每斤成本大约为10元．某夜市摊主试销阶段每斤的销售价（元）与糖炒板栗日销售量（斤）之间的关系如下表：若日销售量是销售价的一次函数，试求： （元） 15 20 30 … （斤） 100 80 40 … （1）日销售量（斤）与销售价（元）的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种糖炒板栗每日销售的利润最大，每斤的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 22 综合与实践 【问题提出】 我们知道，过任意一个三角形三个顶点能作一个圆．那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 【实验探究】 （1）获得猜想 观察图①至图④，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：过______的四边形的四个顶点能作一个圆．（请填写序号） ①对边相等；②一组对边平行；③对角线相等；④对角互补； （2）推理证明 已知：在四边形中， 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点不能作一个圆． 如图⑤，过三点作，点不在圆上． 若点在外，与交于点，连接，则① ， 而是的外角， ② ．出现矛盾，故假设不成立． 所以点在过三点的圆上． 同理可证点在内的情况． 【应用结论】 （3）如图⑥，四边形中，对角线交于点，，平分． ①若，求的度数． ②若，，求线段的长． 23. 已知抛物线（m，n为常数）过点． （1）若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； （2）若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $