精品解析：山西省吕梁市孝义市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025～2026学年第一学期八年级期末质量监测试题（卷） 数学 说明：1．本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 2．书写认真，字迹工整，答题规范，卷面整洁不扣分．否则，将酌情扣分，书写与卷面扣分最多不得超10分． 一、选择题（下列各小题均给出四个备选答案，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．每小题2分，共20分） 1. 木工师傅要作一个三角形支架，现有两根木条的长度分别为和，则可以作为第三根木条长度的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列汽车标志是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点B，E，C，F，在同一条直线上，，，要证明，需要添加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 5. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 下面是小颖同学四种折纸示意图、其中是的中线的是（ ） A. B. C. D. 7. 计算时，需要先通分，则这两个分式的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 8. 若，是正整数，的运算过程如下： 第一步 第二步 第三步 第四步 则第三步运算的依据是（ ） A. 同底数幂的乘法的性质 B. 乘方的意义 C. 乘法交换律和结合律 D. 乘法的意义 9. 如图，在中，，，，是的垂直平分线、是直线上一动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 10. 如图，在中，，于点，于点，，相交于点，且，连接．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 数学课上，老师出示如下题目：“已知：．求作：．”如图是小宇用直尺和圆规的作法，其中的道理是作出△，根据全等三角形的性质，得到．△的依据是________． 13. 如图，在中，，平分，点为延长线上一点，过点作交于点，，则________． 14. 集大原高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分，它连接内蒙古乌兰察布与山西忻州原平，其山西段通车后，一举打破晋北地区交通瓶颈，让晋北接入全国高铁网，尽显“中国速度”的硬核实力．已知大同至原平的高铁里程约，通车前普通列车行驶全程需；通车后“复兴号”高铁的行驶时间比原来减少，则高铁列车的平均速度比普通列车提升了________． 15. 与按如图方式摆放，其中，，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）因式分解： 17. （1）先化简，再求值：，其中，． （2）下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 合并同类项，得第二步 系数化为1，得第三步 所以原方程的解为第四步 任务： ①小亮同学的求解过程从第________步开始出现错误； ②请你根据平时的学习经验，就解分式方程时需要注意的事项给其他同学提两条建议： ________； ________； ③直接写出这个分式方程的解：________． 18. 如图①是一张“小孔成像”实验图片，图②是它的简化示意图．点O代表小孔，代表蜡烛的火苗，代表火苗在光屏上所成的像，与互相平行，已知当小孔到蜡烛的距离（物距）等于小孔到光屏的距离（像距）时，所成像的大小与火苗的大小相等，请你用数学知识解释这种现象． 19. 作图题 为切实推进劳动课程有序开展、某学校计划精心打造一块直角三角形的劳动实践基地、其中、、为了让八年级各班同学公平参与劳动，需要将这块基地均匀划分给三个班级、要求三个班级所得基地大小、形状完全相同，请用无刻度直尺和圆规画出分法（保留作图痕迹，不写作法）． 20. 某校摄影社团开展校外采风活动，租用型无人机每小时的租金比型无人机每小时多40元．已知用800元租用型无人机的时长，与用600元租用型无人机的时长相同，求，两种型号无人机每小时的租金各是多少元？（列分式方程解答） 21. 阅读下列材料、并完成相应任务． 代数式大小比较 比较任意两个代数式，大小，可采用“作差法”．若时，则；若时、则；若时，则． 例如：当时，比较与的大小． 解： ， …… 解决问题： 数学课上，李老师出示了图1和图2（内外均为长方形，数据如图所示），并问：哪个图形阴影部分的面积更大？嘉嘉同学认为图1中“回”字形阴影部分的面积更大；琪琪同学认为图2中“门”字形阴影部分的面积更大． 任务： （1）请直接写出：图1中“回”字形阴影部分的面积为________；图2中“门”字形阴影部分的面积为________； （2）若，请根据作差法判断哪位同学的想法正确． 22. 综合与实践 问题情境： 如图1、，分别是等边边，上的点，且，直线，交于点，过点作于点． 数学思考： （1）在图1中解决下列问题： ①求的度数； ②请你写出线段、、的数量关系，并说明理由． 深入探究： （2）如图2，当点，分别是等边边，延长线上的点时，其余条件不变，请根据题意补全图形（无需尺规作图），已知线段，，则线段的长为________．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第一学期八年级期末质量监测试题（卷） 数学 说明：1．本试卷满分为100分，考试时间为90分钟． 2．书写认真，字迹工整，答题规范，卷面整洁不扣分．否则，将酌情扣分，书写与卷面扣分最多不得超10分． 一、选择题（下列各小题均给出四个备选答案，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．每小题2分，共20分） 1. 木工师傅要作一个三角形支架，现有两根木条的长度分别为和，则可以作为第三根木条长度的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是构成三角形的条件，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：设第三边长为，两根木条的长度分别为和， ∴ c的取值范围为， ∴B，C，D不符合题意，A符合题意， 故答案为：A 2. 下列汽车标志是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，负整数指数幂，积的乘方，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项，负整数指数幂，积的乘方，完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，点B，E，C，F，在同一条直线上，，，要证明，需要添加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐一判断即可，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 添加条件，结合条件，不可以用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，不可以用证明，故B不符合题意； 添加条件，则，结合条件，不可以用证明，故C不符合题意； 添加条件，则，结合条件，可以用证明，故D符合题意； 故选：D． 5. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是判断多项式的因式分解，因式分解是将多项式分解为几个整式的积的形式，据此判断各选项. 【详解】解：A：∵右边为，不是积的形式， ∴不是因式分解； B：∵右边为，是整式的积， ∴是因式分解； C：∵左边是单项式，不是多项式， ∴不是因式分解； D：∵右边为，不是积的形式， ∴不是因式分解. 故选：B 6. 下面是小颖同学四种折纸示意图、其中是的中线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的中线的定义等知识点，正确掌握中线的定义是解题的关键． 由折叠的性质可得，再根据三角形中线的定义即可解答． 【详解】解：A、根据折叠的性质得，，故不符合题意， B、根据折叠的性质得，，故不符合题意， C、根据折叠的性质得，则线段是的中线．故符合题意， D、根据折叠的性质得，，故不符合题意， 故选：C． 7. 计算时，需要先通分，则这两个分式的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最简公分母的确定，将两个分式的分母因式分解，然后找出所有因式，再进一步求解即可. 【详解】解：∵ 第一个分母：， 第二个分母：， ∴ 最简公分母是. 故选：B 8. 若，是正整数，的运算过程如下： 第一步 第二步 第三步 第四步 则第三步运算的依据是（ ） A. 同底数幂的乘法的性质 B. 乘方的意义 C. 乘法交换律和结合律 D. 乘法的意义 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂运算，熟练掌握幂运算的相关法则是解题的关键． 第三步将多个同底数幂的乘积写成指数相加的形式，依据是同底数幂的乘法性质． 【详解】解：∵ 第二步得到 和 （各 n 个）， ∴ 根据同底数幂的乘法性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 即 和 ， ∴ 从第二步到第三步的运算依据是同底数幂的乘法的性质． 故选：A． 9. 如图，在中，，，，是的垂直平分线、是直线上一动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，则可得到当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，即为12， 故选：C． 10. 如图，在中，，于点，于点，，相交于点，且，连接．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由题意可得是等腰直角三角形，则A可判定；证，则B，C可判定；由，则D可判定． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， ． 故选项A正确； ，， ，． ， ． ，， ， ，． 故选项B正确； ， ． 故选项C正确； ， ， ． 故选项D不正确； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可. 【详解】解：， 故答案为 12. 数学课上，老师出示如下题目：“已知：．求作：．”如图是小宇用直尺和圆规的作法，其中的道理是作出△，根据全等三角形的性质，得到．△的依据是________． 【答案】SSS 【解析】 【分析】根据SSS证明三角形全等即可解答． 【详解】解：在和△中， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，读懂图形信息得到证明三角形全等的条件是解题的关键． 13. 如图，在中，，平分，点为延长线上一点，过点作交于点，，则________． 【答案】46 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，先证明，求解，进一步利用三角形的内角和定理计算即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴. 故答案为： 14. 集大原高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路网的重要组成部分，它连接内蒙古乌兰察布与山西忻州原平，其山西段通车后，一举打破晋北地区交通瓶颈，让晋北接入全国高铁网，尽显“中国速度”的硬核实力．已知大同至原平的高铁里程约，通车前普通列车行驶全程需；通车后“复兴号”高铁的行驶时间比原来减少，则高铁列车的平均速度比普通列车提升了________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的加减运算的应用，根据题意列式计算速度差即可. 【详解】解：∵大同至原平的高铁里程约，通车前普通列车行驶全程需；通车后“复兴号”高铁的行驶时间比原来减少， ∴高铁列车的平均速度比普通列车提升了， 故答案为： 15. 与按如图方式摆放，其中，，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．若，，则的长为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定和性质，利用方程思想解决是解题的关键； 连接，由，，得到是的垂直平分线，，，根据，得到，，从而推出，，可表示出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴是的垂直平分线，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，分解因式，正确计算是解题的关键． （1）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. （1）先化简，再求值：，其中，． （2）下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 合并同类项，得第二步 系数化为1，得第三步 所以原方程的解为第四步 任务： ①小亮同学的求解过程从第________步开始出现错误； ②请你根据平时的学习经验，就解分式方程时需要注意的事项给其他同学提两条建议： ________； ________； ③直接写出这个分式方程的解：________． 【答案】（1），2；（2）①一；②答案不唯一，见解析；③ 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解分式方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验的方法是解题的关键． （1）根据分式的混合运算法则求解即可； （2）①根据去分母法则求解即可； ②根据解分式方程的法则求解即可； ③运用解分式方程的方法即可求解． 【详解】解：（1） ； ∵ ∴原式； （2）①小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误； ②两条建议：去分母时，注意符号的变化；解分式方程要验根； ③ 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 18. 如图①是一张“小孔成像”实验图片，图②是它的简化示意图．点O代表小孔，代表蜡烛的火苗，代表火苗在光屏上所成的像，与互相平行，已知当小孔到蜡烛的距离（物距）等于小孔到光屏的距离（像距）时，所成像的大小与火苗的大小相等，请你用数学知识解释这种现象． 【答案】 作，交于点E，延长交于点F， ， ，， ， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 当物距等于像距时，所成像的大小与火苗的大小相等这一现象． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定定理是解题的关键； 作，交于点E，延长交于点F，根据平行线的性质得，，，再证，即可得出结论 【详解】略 19. 作图题 为切实推进劳动课程有序开展、某学校计划精心打造一块直角三角形的劳动实践基地、其中、、为了让八年级各班同学公平参与劳动，需要将这块基地均匀划分给三个班级、要求三个班级所得基地大小、形状完全相同，请用无刻度直尺和圆规画出分法（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，全等三角形的性质与判定，作线段的垂直平分线分别交于点D，点E，则，可得，证明可得，则，，即为所求． 【详解】解：如图，，，即为所求． 20. 某校摄影社团开展校外采风活动，租用型无人机每小时的租金比型无人机每小时多40元．已知用800元租用型无人机的时长，与用600元租用型无人机的时长相同，求，两种型号无人机每小时的租金各是多少元？（列分式方程解答） 【答案】B型无人机每小时租金120元，型无人机每小时租金160元 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设型无人机每小时租金为元，结合用800元租用型无人机的时长，与用600元租用型无人机的时长相同，再建立分式方程求解即可. 【详解】解：设型无人机每小时租金为元， 则型无人机每小时租金为元， 依题意列方程得：， 方程两边乘得 ， 解得， 检验：当时，， 所以，是原分式方程的解． 答：B型无人机每小时租金120元，型无人机每小时租金160元． 21. 阅读下列材料、并完成相应任务． 代数式大小比较 比较任意两个代数式，大小，可采用“作差法”．若时，则；若时、则；若时，则． 例如：当时，比较与的大小． 解： ， …… 解决问题： 数学课上，李老师出示了图1和图2（内外均为长方形，数据如图所示），并问：哪个图形阴影部分的面积更大？嘉嘉同学认为图1中“回”字形阴影部分的面积更大；琪琪同学认为图2中“门”字形阴影部分的面积更大． 任务： （1）请直接写出：图1中“回”字形阴影部分的面积为________；图2中“门”字形阴影部分的面积为________； （2）若，请根据作差法判断哪位同学的想法正确． 【答案】（1）； （2）嘉嘉同学的想法正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，整式的加减运算，因式分解的应用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）利用分割法以及多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）利用作差法进行判断即可． 【小问1详解】 解：由图1可知， ， ， ， ∴“回”字形阴影部分的面积为； 由图2可知， ， ， ， ∴“门”字形阴影部分的面积为； 故答案为：；； 【小问2详解】 解： ， ， ， ，， ， ， 嘉嘉同学的想法正确． 22. 综合与实践 问题情境： 如图1、，分别是等边边，上的点，且，直线，交于点，过点作于点． 数学思考： （1）在图1中解决下列问题： ①求的度数； ②请你写出线段、、的数量关系，并说明理由． 深入探究： （2）如图2，当点，分别是等边边，延长线上的点时，其余条件不变，请根据题意补全图形（无需尺规作图），已知线段，，则线段的长为________．（直接写出结果） 【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）见解析，28 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握做题思路是解题的关键； （1）①先证明，得到，推出，再利用三角形内角和得到，即可求解； ②根据，得到，再利用角所对直角边等于斜边的一半，得到，即可求解； （2）先根据题意作图，利用证明，得到，，利用外角的性质推出，再利用角所对直角边等于斜边的一半，得到，即可求解． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ， ∴的度数为； ②，理由如下： 由①知， ∴， 又∵在中，,， ∴， ∵， ∴； （2）如图所示 ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $