期中专题复习《三角形的证明》2025－2026学年北师大版数学八年级下册

2026年北师大版八下数学期中《三角形的证明》专题复习 1、 选择题：（每道题只有一个正确选项） 1. 如图，的平分线，与△ABC的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 2. 如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，任意画一个的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线和和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（ ）个 A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 4. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，，按以下步骤作图．若，则的长是（ ） ①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点E，F； ②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点O； ③作射线，交于点D； ④以点D为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N； ⑤分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，连接交于点H A. B. 4 C. 3 D. 6. 如图，分别以的两个顶点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点，过M、N的直线l交边于点F，交边于点E，已知，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，和的平分线相交于点O，过点O作交于F，交于E，过点O作于D，下列四个结论： ①；②；③当时，E，F分别是，的中点：④若，，则．其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①③④ 8. 如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，，过点作于点，则下列结论：①可由绕点旋转而得到；②；③；④；正确的为（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①③④ 2、 填空题： 9. 如图，点A，B，C，D四个点在同一条直线上，，且，若要使，则可以添加条件是____________（请写出一个答案即可）． 10. 如图，中，平分，，，若，，则的长为______． 11. 如图，已知等腰△ABC，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面结论：；；；；其中正确的有______．（填上所有正确结论的序号） 12. 如图，在△ABC中，，，为的中点，，垂足为，过点作，交的延长线于点，连接、，如下结论：①；②；③平分；④；⑤，正确的有_____（填写序号）． 13. 如图，已知在四边形中，，平分交于点，于点，于点，，，则的面积为_______． 14. 如图，在中，，△ABC的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是________．（只填写序号） 15. 如图，在中，为的中点，交的平分线于于于交的延长线于．下列说法正确的是_________． ①△ADE≌△ADF；②；③． 16. 如图，的外角和的平分线、相交于点，于且，若的周长为，，则的面积为_________ ． 3、 解答题： 17. 已知：如图，在中，，，是的角平分线，于点，，求的长度． 18. 如图，在△ABC中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的度数． 19. 如图，在△ABC中，，点为中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的度数． 20. 如图，在△ABC中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）与有怎样的数量关系？请说明理由． 21. 如图，在△ABC中，平分，，F是的中点． （1）求证：△BDE是等腰三角形． （2）若，求的度数． 22. 如图，在中，点在的垂直平分线上，连接，作于点，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）如果，求的度数． 23. 如图，已知△ABC，以为边构造等边，连接，在上取一点，使，在上取一点，使，连接． （1）求证：； （2），，三条线段长度之和与图中哪条线段的长度相等？请说明理由． 24. 已知：如图，在△ABC中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接． （1）求证：； （2）连接，与之间有怎样的位置和数量关系？请说明理由． 25. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于E、F． （1）试说明△CEF是等腰三角形． （2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，试说明线段AC与线段AB之间的数量关系． 26. 在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F． （1）求证：； （2）试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由． 27. 如图，△ABC是等边三角形，是边上的高，延长至E，使． （1）求证：； （2）过点D作，垂足为F，若，求△ABC的周长． 28. 如图，在等边△ABC中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M． （1）求证：M是的中点； （2）若，求的长度． 29. 如图，在△ABC中，D为边上一点，，交的延长线于点E，，垂足为F，且． （1）求证：； （2）若点D是的中点，求的度数． 30. 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC． （1）求证：BE＝CF； （2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF． 31. 如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 32. 如图，在四边形中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）求证：； （3）若四边形的面积为32，，求点E到边的距离． 33. 如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： （1）； （2）垂直平分． 34. 已知：如图，D为△ABC外角平分线上一点，且，于点M （1）若，，求的面积； （2）求证：． 35. 如图，在中，，，以为一边向上作等边三角形，点在垂直平分线上，且，连接，，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求证：； （3）填空： 若，相交于点，则的度数为_________． 若，则的长度为_________． 在射线上有一动点，若为等腰三角形，则的度数为________． 36. 如图，中，，的平分线和的外角平分线相交于点，分别交和的延长线于，．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．求证下列结论：①；②；③； 2026年北师大版八下数学期中《三角形的证明》专题复习解析 一、选择题：（每道题只有一个正确选项） 1. 如图，的平分线，与△ABC的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得．利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点． 详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 2. 如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． 根据等边三角形的性质可得，再证明可得，最后根据三角形外角的性质以及等量代换的性质即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选B． 3. 如图，任意画一个的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线和和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的个数是（ ）个 A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出即可判定①；如图所示，过点P作于F，于G，于H，利用角平分线的性质得到即可判断②；证明，得到，，即可判断③；再证明，得到，同理可证， 推出即可判断④． 【详解】解：∵在△ABC中，， ∴， ∵△ABC的两条角平分线和交于， ∴， ， ，故①正确； ， 如图所示，过点P作于F，于G，于H， ∴， ∴， ∴是的角平分线，故②正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故③正确； 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质及判定，三角形内角和定理等等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作于M，由勾股定理可求得，由题意可证明，则可得，从而有，在中，由勾股定理建立方程即可求得结果． 【详解】解：过点D作于M，如图， 由勾股定理可求得， 由题中作图知，平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的长为为； 故选：D． 【点睛】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键． 5. 如图，在△ABC中，，按以下步骤作图．若，则的长是（ ） ①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点E，F； ②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点O； ③作射线，交于点D； ④以点D为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N； ⑤分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，连接交于点H A. B. 4 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过D点作于K，由作法得：平分，根据角平分线的性质可得，再由直角三角形的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：过D点作于K，如图， 由作法得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，尺规作图，勾股定理，角平分线的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键． 6. 如图，分别以的两个顶点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点，过M、N的直线l交边于点F，交边于点E，已知，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查三角形外角的性质和线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质得出解答．根据线段垂直平分线的性质得出，进而解答即可． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在△ABC中，和的平分线相交于点O，过点O作交于F，交于E，过点O作于D，下列四个结论： ①；②；③当时，E，F分别是，的中点：④若，，则．其中正确的是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形三边关系、平行线的性质，根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质定理判断④． 【详解】解：∵在△ABC中，和的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴，故②正确； 当时，， ∴、不是、的中点，故③错误； 作于， ， ∵和的平分线相交于点O， ∴点在的平分线上， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的是①②④， 故选：C． 8. 如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，，过点作于点，则下列结论：①可由绕点旋转而得到；②；③；④；正确的为（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．可证，所以可由绕点旋转而得到；由可得，，因为，等量代换；因为，所以，因为，，，所以，即，因为，可得；过作，可证， ，所以，，据此可证明． 【详解】解：∵BD为的角平分线， ， ，， ， 可由绕点旋转而得到，故①符合题意， ， ， ， ， ， ， ，故②符合题意， ， ， ，， ， ， ， ， ，故③符合题意， 过作，交延长线于点， ， ∵BD为的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，故④符合题意， 故选：B． 二、填空题： 9. 如图，点A，B，C，D四个点在同一条直线上，，且，若要使，则可以添加条件是____________（请写出一个答案即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键．根据全等三角形的判定方法即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 添加：， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 如图，中，平分，，，若，，则的长为______． 【答案】25 【解析】 【分析】先根据可证，根据全等三角形的性质可得，，可得的长，根据等角对等边可得，进一步可得的长． 【详解】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键． 11. 如图，已知等腰△ABC，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面结论：；；；；其中正确的有______．（填上所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出；，由三角形的内角和定理，角的和差求出，再证明是等边三角形，得出，；据结论推出，在线段上截取，连接，由角的和差，等边三角形的判定与性质证明≌，再由线段的和差和等量代换求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示： ，， ， 垂直平分线段， ， ， 又， ， ， 又在等腰△ABC中， ， ， ， ，故正确； 又， ， ，， ， 又，，， ， 又， ， 又， 是等边三角形， ，，故正确； ， 即，故正确； 在线段上截取点，使得，连接，如图所示： ，， ， 是等边三角形， ， 又是等边三角形， ， 又，， ， 在和中， ≌， ， 又，， ，故正确； 故答案为． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键． 12. 如图，在△ABC中，，，为的中点，，垂足为，过点作，交的延长线于点，连接、，如下结论：①；②；③平分；④；⑤，正确的有_____（填写序号）． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】由题意易得是等腰直角三角形，然后通过证明，则有，进而根据三角形的中线、勾股定理可进行求解 【详解】解：∵，，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴；故①正确． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确． ∵， ∴是的中线，如果是角平分线，则， 但， 显然矛盾，故③错误． ④正确．在中，， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴垂直平分， ∴，故④正确． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故⑤正确． 综上所述：正确的有①②④⑤； 故答案为①②④⑤． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 13. 如图，已知在四边形中，，平分交于点，于点，于点，，，则的面积为_______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，添加辅助线应用角平分线的性质是解题的关键．过作于，则，即可求出的面积，证明是的中线，由三角形中线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过作于， 而， 平分， ，， ， ， ， ， ， ， 是边上的中线， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，△ABC的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是________．（只填写序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题是三角形综合题， 考查了三角形面积的计算，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．根据三角形面积的计算、三角形全等的判定和性质、角平分线定理以及三角形内角和定理逐条分析判断． 【详解】解：，， ． 是△ABC的角平分线， 以、为底计算与的面积时，高相等（角平分线上任意一点到角两边距离相等） ． ，故①正确． ， ． 、是△ABC的角平分线， 故②正确． ， ， ． ． 是△ABC的角平分线， ， ． 故③正确． ， ． 是△ABC的角平分线， ． ， ． ， ． ． ． ， ． 故④正确． 故答案为：． 15. 如图，在中，为的中点，交的平分线于于于交的延长线于．下列说法正确的是_________． ①△ADE≌△ADF；②；③． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键；连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则,即可判断②；证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长即可判断①和③． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴故②正确； 在和中， ∴故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故③正确． 故答案为：①②③． 16. 如图，的外角和的平分线、相交于点，于且，若的周长为，，则的面积为_________ ． 【答案】7.5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 过点作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据三角形的面积求出，然后求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，作于，连接， 和的平分线、交于，， ， ， ， 解得， 的周长为， ， ， ． 故答案为：7.5． 三、解答题： 17. 已知：如图，在中，，，是的角平分线，于点，，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据角平分线的性质可得，根据0，可知，在中，根据勾股定理，可得的长，进一步可得的长，在中，根据勾股定理，可得得长． 【详解】解：，， ， ∵BD是的角平分线，，， ， ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得， ， ， 在中，根据勾股定理，得：． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 18. 如图，在△ABC中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到，再根据平行线得到，，则，即可证明； （2）根据三合一得到，结合三角形内角和定理以及等边对等角即可求解． 【小问1详解】 证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：如上图：∵， ∴ ∴ ∵ ∴， 由（1）可知， ∴． 19. 如图，在△ABC中，，点为中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理和外角的性质． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一的性质，求得即可． （2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，根据三角形内角和定理可求得的度数，结合即可求得答案． 【小问1详解】 证明：连接， 为线段的垂直平分线， ． ，点为的中点， 为线段的垂直平分线． ． ． ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：，点为的中点， 为的平分线． ． ． ． ∵为等腰三角形， ． ． 20. 如图，在△ABC中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）与有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分得，再根据，得，由此即可得出结论； （2）先根据垂直平分得出．再证明，然后根据等边三角形与直角 三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 证明：垂直平分， ， ，， ， 为等边三角形； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴在直角△BDF中， ∴ 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 21. 如图，在△ABC中，平分，，F是的中点． （1）求证：△BDE是等腰三角形． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义结合平行线的性质得出，再由等角对等边得出，即可得证； （2）由平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴的度数为． 22. 如图，在中，点在的垂直平分线上，连接，作于点，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）如果，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）44° 【解析】 【分析】（1）由点在的垂直平分线上，得到CB=CD，即可证明，得到，等量代换得到，即可得出结论；（2）由,得到，再由，解得∠CBD，得出∠ABC和∠A的度数． 【小问1详解】 证明：，， ∴和均是直角三角形， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和、外角和的性质等知识点，解题的关键是找到全等三角形，利用其性质解题． 23. 如图，已知△ABC，以为边构造等边，连接，在上取一点，使，在上取一点，使，连接． （1）求证：； （2），，三条线段长度之和与图中哪条线段的长度相等？请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析． 【解析】 【分析】（）先证明是等边三角形，根据性质得，再通过证明三角形全等即可； （）由全等三角形的性质即可证明； 本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：结论：． 理由：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 已知：如图，在△ABC中，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接． （1）求证：； （2）连接，与之间有怎样的位置和数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角，三角形的内角和定理等可求出，然后根据角平分线的性质即可得证； （2）根据含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的定义等可得，根据三线合一的性质，在中，根据含角的直角三角形的性质得出，在中，由勾股定理得，，证明为等边三角形，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：，， 理由：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用． 25. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于E、F． （1）试说明△CEF是等腰三角形． （2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，试说明线段AC与线段AB之间的数量关系． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据条件∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，可证出∠B+∠BAC＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，再根据同角的补角相等可得到∠ACD＝∠B，再利用三角形的外角与内角的关系可得到∠CFE＝∠CEF，最后利用等角对等边即可得出答案； （2）线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，由于AE是∠BAC的平分线，得到∠CAE＝∠EAB，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠EAB， ∵∠EAB+∠B＝∠CEA，∠CAE+∠ACD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEF， ∴CF＝CE， ∴△CEF是等腰三角形； （2）∵点E恰好在线段AB的垂直平分线上， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠EAB， ∴∠CAB＝2∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， ∴∠B＝30°， ∴AC＝AB． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 26. 在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F． （1）求证：； （2）试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）相等，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBF，再根据DF⊥BC，得到∠DFB=∠BAD=90°，即可得到，即可证得AB=BF； （2）先证明，即可得到∠BGE=∠BDF，再根据∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，得到∠AGD=∠ADB，即有AG=AD． 【小问1详解】 ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBF， ∵DF⊥BC， ∴∠DFB=∠BAD=90°， 又∵BD=BD， ∴， ∴∠ADB=∠BDF，AB=BF； 【小问2详解】 AD=AG，理由如下： ∵AE是斜边BC上的高， ∴AE⊥BC， 又∵DF⊥BC， ∴， ∴∠BGE=∠BDF， 又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF， ∴∠AGD=∠ADB， ∴AG=AD． 【点睛】本题主要考查了角平分线性质、全等三角形的判定和性质、平行的判定和性质、等角对等边等知识，得到是解答本题的关键． 27. 如图，△ABC是等边三角形，是边上的高，延长至E，使． （1）求证：； （2）过点D作，垂足为F，若，求△ABC的周长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质得出后即可求解； （2）利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出，求出三角形的边长，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ABC周长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、等角对等边等知识，解题关键是牢记相关性质并能熟练应用． 28. 如图，在等边△ABC中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M． （1）求证：M是的中点； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形的性质． （1）先证明△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证； （2）根据含的直角三角形的性质得到，然后根据即可得到结果． 【小问1详解】 证明：连接， ∵在等边△ABC，且D是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴M是的中点； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，M是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵M是的中点 ∴． 29. 如图，在△ABC中，D为边上一点，，交的延长线于点E，，垂足为F，且． （1）求证：； （2）若点D是的中点，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，，得，由，，根据直角三角形全等的判定定理“”证明≌，得，而，即可证明，则； （2）由点是的中点，得，而，所以，因为，所以是等边三角形，则． 【小问1详解】 证明：，交的延长线于点，，垂足为， ， 在和中， ， ≌， ， ， ，即， ． 【小问2详解】 解：点是的中点， ， ， ， 由（1）得， ， 是等边三角形， ， 的度数是． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键． 30. 如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC． （1）求证：BE＝CF； （2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）证明，；进而证明 ，即可解决问题； （2）根据平行线的性质和含的直角三角形的性质解答即可． 【详解】证明：（1）平分，， ， ，； 在和中， ， ， ； （2）平分，， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 平分，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质及其应用等几何知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 31. 如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）证明，得到，得到，即可得证； （2）根据Rt△ODC≌Rt△OEC，得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．通过已知条件判定三角形全等是解题的关键 32. 如图，在四边形中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）求证：； （3）若四边形的面积为32，，求点E到边的距离． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据可知，再根据点为的中点可得,进而证得，最后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）结合全等三角形的性质可知是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可证得，再由线段的和差以及等量代换即可证明结论； （4）首先根据全等三角形的性质及线段垂直平分线的性质，可得，，，再根据，即可求得，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 证明：， ， 又点为的中点， ， 在△ADE和中， ∴， ． 【小问2详解】 证明：， ，， 又， 是线段的垂直平分线， ∴，即． 【小问3详解】 解：， ， 是线段的垂直平分线 ，， ，即， 设点E到边的距离为h， 则，解得． ∴点E到边的距离为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质与判定、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 33. 如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： （1）； （2）垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出； （2）由，得出．根据题意又易证，结合，可证，即得出，即，从而可得结论． 【小问1详解】 证明：∵，即， ∴． ∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． ∴垂直平分． 34. 已知：如图，D为△ABC外角平分线上一点，且，于点M （1）若，，求的面积； （2）求证：． 【答案】（1）6； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的全等等知识． （1）作于N，先证明，再根据三角形面积公式即可求解； （2）先证明，得到，再证明，得到，即可证明． 【小问1详解】 解：如图，作于N． ∵平分，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵平分，，， ∴，， 在△CDM和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 35. 如图，在中，，，以为一边向上作等边三角形，点在垂直平分线上，且，连接，，． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求证：； （3）填空： 若，相交于点，则的度数为_________． 若，则的长度为_________． 在射线上有一动点，若为等腰三角形，则的度数为_________． 【答案】（1）是等边三角形，理由见解析； （2）证明见解析； （3）；；或或． 【解析】 【分析】（）根据垂直平分线的性质可得，再算出，可判定是等边三角形； （）由等边三角形的性质得，，由（）可知：是等边三角形，则，根据“”可证明，即可得出结论； （）设与交于点，由（）中全等可得，再根据三角形内角和可得度数； 由所对直角三角形是斜边的一半得出，然后通过勾股定理即可求解； 分当时，当时，当时三种情况分析即可． 【小问1详解】 解：是等边三角形，理由如下： ∵点在垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（）可知：是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设与交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； ∵，，， ∴， ∴， 由上可得：是等边三角形，， ∴， ∴， 故答案为：； ∵为等腰三角形，当时，如图， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∴， 综上可得：的度数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角性质，勾股定理，所对直角三角形是斜边的一半等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键 36. 如图，中，，的平分线和的外角平分线相交于点，分别交和的延长线于，．过作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．求证下列结论： ①；②；③； 【解析】 【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出，再根据角平分线的定义 然后利用三角形的内角和定理整理即可得解； ②证明得出，，即可判断② ③再利用角角边证明全等，然后根据全等三角形对应边相等得到，从而得解； 【详解】解：①的角平分线和的外角平分线， 在中 ， ， ， 为的角平分线， ， 在和中 ， ，； ③， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $