2026年四川省成都市中考数学自编模拟试卷

2026年四川省成都市中考数学模拟试卷 一．选择题（共8小题） 1．如果某天早上的气温是3℃，中午比早上上升了5℃，到傍晚又比中午下降了8℃，那么傍晚的气温是（　　） A．0℃ B．﹣2℃ C．2℃ D．﹣3℃ 2．发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A．3m+4n ＝ 7mn B． ＝ C． ＝ ﹣2mn+ D．3mn•4m ＝ 4．在平面直角坐标系xOy中，点Q（﹣3，+2）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．某学校准备为七年级学生开设美术与手工课程、音乐课程、设计课程、舞蹈课程、戏剧课程、影视课程共6门艺术类选修课，选取了部分学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）． 选修课 美术与手工课程 音乐课程 设计课程 舞蹈课程 戏剧课程 影视课程 人数 40 50 20 这次调查的学生中，喜欢美术与手工课程的有（　　） A．20人 B．30人 C．36人 D．50人 6．古代集市上，优质布料1尺价值200钱；普通布料5尺价值300钱．今合买优质、普通布料共80尺，价值6000钱．设优质布料为x尺，普通布料为y尺，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．下列命题中，假命题是（　　） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直平分 C．正方形的对角线相等且互相垂直平分 D．平行四边形的对角线互相垂直 8．为增强居民的节水意识，某市自来水公司采用以户为单位分段计费的方式：即每月用水量不超过10吨时，每吨收费a元；若超过10吨，则10吨水按每吨a元收费，超过10吨的部分按每吨b元收费．如图是自来水公司绘制的水费y（元）与当月用水量x（吨）之间的图象，则下列结论不正确的是（　　） A．a＝1.5 B．b＝2 C．若小明家当月用水量为14吨，则应缴水费23元 D．若小红家6月份缴水费30元，则当月用水量为18.5吨 二．填空题（共10小题） 9．若，则的值为． 10．如图，小亮家前有一段7阶的楼梯．若小亮上楼梯时每次跨的阶数为1或2，则他登上这7阶楼梯共有 　 　 种不同的走法． 11．正六边形MNPQRS的边长为2，则对角线MR的长为． 12．某电源的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流I的值随电阻R值的增大而 （填“增大”或“减小”）． 13．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝6，△ABC外有一点D，连接AD、BD、CD，若BD＝AB，AD＝4，则△BCD的面积为　 　 ． 14．多项式9x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）． 15．从﹣2，2，3这三个数中任取两个数分别作为m，n的值，则关于x的一元二次方程mx2+nx+1＝0有实数根的概率为． 16．如图，在⊙O中，经过圆心O的直线l⊥弦AB于点D，与劣弧AB交于点C．若AB＝6，CD＝1，则⊙O的半径为　 　 ． 17．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，连接DE，△ABC的角平分线AF交DE于点G．若∠B＝∠AED，，则的值为　 　 ． 18．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为；一般地，对于任意奇数m（m＞3），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为． 三．解答题（共8小题） 19．（1）计算：；（2）解不等式组：． 20．《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，票房表现非常强劲．阅读以下统计图并回答问题． （1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为　 　 亿元． （2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是　 　 ．（填日期） （3）下列结论中，所有正确结论的序号是　 　 ． ①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势 ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为3.87亿元 ③1月29日至2月7日，2月4日的单日总票房最高 ④1月29日至2月7日，单日总票房先上升后下降 21．如图，为测量观景台P距离地面的高度，小明在地面A处测得P的仰角为30°，他在平地上沿正对观景台的方向前进至B处，测得P的仰角为45°．若测角仪的高度忽略不计，AB＝100m，求观景台距离地面的高度PC（精确到1m）．（参考数据： 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）若CD＝4，BD＝3，求AD的长． 23．如图，平面直角坐标系中，面积为9的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B在反比例函数的图象上，点P在点B右侧反比例函数的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，PE交AB于点F． （1）求点B的坐标和k的值； （2）当四边形ADPF的面积为3时，求点P的坐标； （3）当四边形ADPF为正方形时，求点P的坐标． 24．2026年8月8日至18日，第13届世界运动会将在重庆举行，与运动会吉祥物“渝宝”“庆仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售C，D两种吉祥物挂件，已知每个D种挂件的价格是每个C种挂件价格的，用400元购买D种挂件的数量比用250元购买C种挂件的数量多8个．（1）求每个C种挂件的价格；（2）某游客计划用不超过800元购买C，D两种挂件，且购买D种挂件的数量比C种挂件的数量多6个，求该游客最多购买多少个C种挂件． 25．【问题情景】 小北在学习了相似三角形的性质与判定后，在平面直角坐标系中进行了关于相似三角形的研究性学习． 在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边CD落在x轴上，点P、Q分别是BC、CD边上的中点． 【初步探究】 （1）如图1，求证：△CPQ∽△CBD． 【深入探究】 （2）如图2，若矩形ABCD的顶点D，C，A的坐标分别是（2，0），（10，0），（2，12），将线段PQ向左平移6个单位长度得到OP'，已知点F是反比例函数图象上的一个点，连接FP'，FO，使得∠FOP'＝90°，，求k的值． 【拓展探究】 （3）如图3，若AD＝AB，顶点D，A的坐标分别是（2，0），（2，8），直线y＝﹣x+2交x轴于点D，交y轴于点N，点R是平面上的一个动点，当以点D、N、R为顶点的三角形与△CPQ相似时，求出点R的坐标． 26．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（6，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若a＝﹣4，且对于该抛物线上的两点P（m1，n1），Q（m2，n2），当t≤m1≤t+1，m2≥5时，均满足n1≥n2，求t的取值范围； （3）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝2x2﹣x上（A，B都不与原点重合）．当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值． 2026年四川省成都市中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C C D B B A D D 一．选择题（共8小题） 1．如果某天早上的气温是3℃，中午比早上上升了5℃，到傍晚又比中午下降了8℃，那么傍晚的气温是（　　） A．0℃ B．﹣2℃ C．2℃ D．﹣3℃ 【分析】本题考查有理数的加减法．解题思路是先根据早上气温和中午上升的温度求出中午气温，再根据中午气温和傍晚下降的温度求出傍晚气温．用到的核心知识点是有理数的加减法运算． 【解答】早上气温是3℃，中午比早上上升了5℃，则中午气温为3+5 ＝ 8℃；傍晚比中午下降了8℃，那么傍晚气温是8﹣8 ＝ 0℃．逐一分析选项：A选项0℃正确；B选项﹣2℃错误；C选项2℃错误；D选项﹣3℃错误．所以答案是A． 【点评】本题考查有理数加减法的基础运算，关键是理解上升和下降在有理数运算中的表示，计算时要细心． 2．发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：根据几何体的特点可得：从几何体的正面可以看到选项C的图形． 故选：C． 【点评】本题考查了简单的几何体的三视图，掌握几何体的空间结构是关键． 3．下列计算正确的是（　　） A．3m+4n ＝ 7mn B．（m^4）^3 ＝ m^7 C．（m﹣n）^2 ＝ m^2﹣2mn+n^2 D．3mn•4m ＝ 12m^2n 【分析】本题考查整式的运算以及完全平方公式．需要分别对每个选项的运算进行判断．用到的知识点有：合并同类项法则、幂的乘方法则、完全平方公式、单项式乘法法则． 【解答】A选项：3m与4n不是同类项，不能合并，该选项错误；B选项：根据幂的乘方法则，（m^4）^3 ＝ m^（4×3）＝ m^12，该选项错误；C选项：根据完全平方公式（m﹣n）^2 ＝ m^2﹣2mn+n^2，该选项正确；D选项：3mn•4m ＝ 12m^2n，该选项正确．所以答案是C、D（如果是单选题，可进一步优化选项设置）． 【点评】本题综合考查整式运算的多个知识点，关键是准确掌握各种运算法则，注意区分同类项以及幂运算的规则． 4．在平面直角坐标系xOy中，点Q（﹣3，b^2+2）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】本题考查点的坐标以及平方数的非负性．解题关键是根据平方数的性质判断纵坐标的正负，再结合横坐标的正负确定所在象限． 【解答】因为任何数的平方都大于等于0，所以b^2≥0，那么b^2+2≥2＞0，横坐标为﹣3＜0．横坐标为负，纵坐标为正的点在第二象限．逐一分析选项：A选项第一象限错误；B选项第二象限正确；C选项第三象限错误；D选项第四象限错误．所以答案是B． 【点评】本题考查点的坐标以及平方数非负性的综合应用，关键是掌握各象限内点的坐标特征以及平方数的性质． 5．某学校准备为七年级学生开设美术与手工课程、音乐课程、设计课程、舞蹈课程、戏剧课程、影视课程共6门艺术类选修课，选取了部分学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）． 选修课 美术与手工课程 音乐课程 设计课程 舞蹈课程 戏剧课程 影视课程 人数 40 50 20 这次调查的学生中，喜欢美术与手工课程的有（　　） A．20人 B．30人 C．36人 D．50人 【分析】根据喜欢音乐课程的人数除以占比得到调查的学生数，即可求出喜欢影视课程、设计课程的人数，然后求差计算出喜欢美术与手工课程即可． 【解答】解：这次调查的学生数为40÷20%＝200（人）， 喜欢影视课程的人数为：200×18%＝36（人）， 喜欢设计课程的人数为：200×12%＝24（人）， ∴200﹣40﹣24﹣50﹣20﹣36＝30（人）， ∴喜欢美术与手工课程的人数为30人． 故选：B． 【点评】本题考查统计表、扇形统计图，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．古代集市上，优质布料1尺价值200钱；普通布料5尺价值300钱．今合买优质、普通布料共80尺，价值6000钱．设优质布料为x尺，普通布料为y尺，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．解题关键是根据优质布料和普通布料的总尺数以及总价值这两个等量关系列出方程组． 【解答】已知优质布料为x尺，普通布料为y尺，共80尺，则x+y ＝ 80；优质布料1尺价值200钱，普通布料5尺价值300钱，即1尺普通布料价值钱，合买价值6000钱，所以200xy ＝ 6000．可列方程组为．逐一分析选项：A选项正确；B选项x、y系数对应错误；C选项普通布料价格计算错误；D选项x、y系数对应错误且普通布料价格计算错误．所以答案是A． 【点评】本题考查二元一次方程组在实际问题中的应用，关键是准确找出等量关系并列出方程组． 7．下列命题中，假命题是（　　） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直平分 C．正方形的对角线相等且互相垂直平分 D．平行四边形的对角线互相垂直 【分析】本题考查特殊四边形的对角线性质以及命题真假的判断．需要对每个选项中四边形对角线的性质进行准确判断． 【解答】A选项：矩形的对角线相等，是真命题；B选项：菱形的对角线互相垂直平分，是真命题；C选项：正方形的对角线相等且互相垂直平分，是真命题；D选项：平行四边形的对角线互相平分，不一定互相垂直，是假命题．所以答案是D． 【点评】本题考查特殊四边形对角线性质的知识点，关键是准确掌握各种特殊四边形对角线的性质，以此判断命题真假． 8．为增强居民的节水意识，某市自来水公司采用以户为单位分段计费的方式：即每月用水量不超过10吨时，每吨收费a元；若超过10吨，则10吨水按每吨a元收费，超过10吨的部分按每吨b元收费．如图是自来水公司绘制的水费y（元）与当月用水量x（吨）之间的图象，则下列结论不正确的是（　　） A．a＝1.5 B．b＝2 C．若小明家当月用水量为14吨，则应缴水费23元 D．若小红家6月份缴水费30元，则当月用水量为18.5吨 【分析】利用（10，15），（20，35）两点求出a，b的值即可． 【解答】解：由图象可知，a＝15÷10＝1.5； b2； 用水14吨，则应缴水费：1.5×10+2×（14﹣10）＝15+8＝23（元）； 缴水费30元，则该用户当月用水为：10+（30﹣15）÷2＝17.5（吨）． 故结论错误的是选项D． 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数的图形，利用数形结合的方法求解是解答本题的关键． 二．填空题（共10小题） 9．若，则的值为． 【分析】本题可根据比例的性质，将进行变形，再结合已知条件求解．可将变形为，即． 【解答】因为，所以． 【点评】本题考查比例的性质，关键是对进行正确变形，然后代入已知条件求解，属于基础题型． 10．如图，小亮家前有一段7阶的楼梯．若小亮上楼梯时每次跨的阶数为1或2，则他登上这7阶楼梯共有 　21　 种不同的走法． 【分析】本题是一个经典的动态规划问题，需要我们找出从地面到最上面一级台阶的所有可能的走法．总体思路是使用动态规划的方法，从底层开始，逐步计算到每一级台阶的走法数量，从而发现并总结出一般规律． 【解答】解：一个楼梯有7阶，上楼时每次可以跨一阶或两阶，从简单情况入手： 若有1级台阶，则有唯一的走法：a1＝1； 若有2级台阶，则有两种走法：一步一级或一步二级，则a2＝2； 若有3级台阶，则有三种走法：①一步一级地走；②第一步走一级而第二步走二级；③第一步走二级而第二步走一级；则a3＝3； 若有4级台阶，则按照第一步走的级数分三类讨论：①第一步走一级台阶，那么还剩三级台阶，根据前面的分析可知有a3＝3种走法；②第一步走二级台阶，还剩二级台阶，根据前面的分析可知有a2＝2种走法； ∴a4＝a3+a2＝3+2＝5（种）， ∴a5＝a4+a3＝5+3＝8（种）， ∴a6＝a5+a4＝8+5＝13（种）， ∴a7＝a6+a5＝13+8＝21（种）， ∴从地面到最上层共有21种不同的走法． 故答案为：21． 【点评】本题考查了排列与组合问题，在迈法规律探索中能发现an＝an﹣1+an﹣2（n≥3）是解题的关键． 11．正六边形MNPQRS的边长为2，则对角线MR的长为． 【分析】本题考查正多边形和圆的知识．可连接正六边形的中心与各个顶点，将正六边形分割成六个等边三角形，再利用等边三角形的性质和正六边形的对称性来求解对角线的长度． 【解答】连接正六边形MNPQRS的中心O与各个顶点，得到六个等边三角形．因为正六边形边长为2，所以MO＝RO＝2，且∠MOR＝120°．过O作OT⊥MR于T，则∠MOT＝60°，在Rt△MOT中，，所以MR＝2MT＝4． 【点评】本题关键是利用正六边形的性质将其分割为等边三角形，进而求解对角线长度，要注意计算的准确性． 12．某电源的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流I的值随电阻R值的增大而 （填“增大”或“减小”）． 【分析】本题考查反比例函数的应用．根据反比例函数（k为常数，k≠0）的性质，当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小．本题中，k＝49＞0，所以电流I随电阻R的增大而减小． 【解答】因为中49＞0，所以电流I的值随电阻R值的增大而减小． 【点评】本题关键是掌握反比例函数的性质，明确k的正负与函数增减性的关系． 13．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝6，△ABC外有一点D，连接AD、BD、CD，若BD＝AB，AD＝4，则△BCD的面积为　14　 ． 【分析】过D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，判定四边形MBND是矩形，得到DN＝MB，设MB＝x，由勾股定理得到62﹣x2＝42﹣（6﹣x）2，求出x，得到DN＝MB，即可求出△BCD的面积． 【解答】解：过D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠DMB＝∠DNB＝∠ABC＝90°， ∴四边形MBND是矩形， ∴DN＝MB， 设MB＝x， ∴AM＝AB﹣MB＝6﹣x， 由勾股定理得到：BD2﹣MB2＝AD2﹣AM2＝MD2， ∴62﹣x2＝42﹣（6﹣x）2， ∴x， ∴DN＝MB， ∴△BCD的面积BC•DN614． 故答案为：14． 【点评】本题考查勾股定理，三角形的面积，矩形的判定和性质，关键是由勾股定理列出关于x的方程． 14．多项式9x2+1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）． 【分析】本题考查完全平方式．完全平方公式为（a±b）2＝a2±2ab+b2，可根据此公式来分析加上的单项式． 【解答】若9x2是a2，1是b2，则2ab＝2×3x×1＝6x，所以加上的单项式可以是6x（答案不唯一）． 【点评】本题需要对完全平方公式有清晰的理解，通过分析多项式中各项与完全平方公式的关系来确定单项式，要考虑多种情况． 15．从﹣2，2，3这三个数中任取两个数分别作为m，n的值，则关于x的一元二次方程mx2+nx+1＝0有实数根的概率为． 【分析】本题考查列表法与树状图法以及一元二次方程根的判别式．先根据根的判别式得到方程有实数根时m，n满足的条件，再通过列表法或树状图法求出所有可能的情况以及满足条件的情况，最后根据概率公式计算概率． 【解答】一元二次方程mx2+nx+1＝0有实数根，则Δ＝n2﹣4m≥0．通过列表法列出所有可能的（m，n）组合：（﹣2，2），（﹣2，3），（2，﹣2），（2，3），（3，﹣2），（3，2）共6种情况．满足n2﹣4m≥0的情况有：（﹣2，2），（﹣2，3）共2种．所以概率． 【点评】本题关键是结合一元二次方程根的判别式与概率知识求解，要准确列出所有情况和满足条件的情况． 16．如图，在⊙O中，经过圆心O的直线l⊥弦AB于点D，与劣弧AB交于点C．若AB＝6，CD＝1，则⊙O的半径为　5　 ． 【分析】连接OB，利用垂径定理可知BD＝3，进而利用勾股定理得出半径即可． 【解答】解：连接OB，设⊙O的半径为r，DO＝（r﹣1）， 由垂径定理可知，△ODB是直角三角形，BD＝3， 由勾股定理可得：OB2＝OD2+BD2， 即 r2＝32+（r﹣1）2， 解得：r＝5， 即⊙O的半径为5， 故答案为：5． 【点评】此题考查垂径定理，关键是利用垂径定理得出BD＝3解答． 17．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，连接DE，△ABC的角平分线AF交DE于点G．若∠B＝∠AED，，则的值为　　 ． 【分析】先利用三角形的内角和定理和角平分线的定义得到∠ADG＝∠ACF，∠DAG＝∠CAF，进而证明△ADG∽△ACF得到可得答案． 【解答】解：∵∠B＝∠AED，∠BAC＝∠EAD， ∴∠ADE＝∠ACB，即∠ADG＝∠ACF， ∵AF平分∠BAC， ∴∠DAG＝∠CAF， ∴△ADG∽△ACF， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． 18．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为；一般地，对于任意奇数m（m＞3），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为． 【分析】本题考查数字变化规律．对于将给定分数拆分成单位分数相加的形式，需要通过分析分母之间的关系寻找规律．对于具体分数，可通过设未知数的方式来求解拆分形式；对于一般性规律，要从特殊情况推导到一般情况． 【解答】设（a、b为正整数），则，即4ab＝13（a+b）．通过试值法，可得．对于，设（x、y为正整数），则，3xy＝m（x+y）．经过推导可得（m为奇数且m＞3）． 【点评】本题关键在于通过设未知数和分析数字关系来寻找规律，要注意计算的准确性和对规律的总结归纳． 三．解答题（共8小题） 19．（1）计算：；（2）解不等式组：． 【分析】本题考查实数的运算和解一元一次不等式组．对于实数运算部分，需要分别计算负指数幂、算术平方根、三角函数值和绝对值；对于不等式组，分别求解每个不等式，再取其交集． 【解答】（1）．（2）解不等式①6x﹣1＞4（x+1），6x﹣1＞4x+4，6x﹣4x＞4+1，2x＞5，．解不等式②，3（3x﹣1）﹣4x≤12，9x﹣3﹣4x≤12，5x≤12+3，5x≤15，x≤3．所以不等式组的解集为． 【点评】本题考查基础运算和不等式组求解，要熟练掌握相关运算法则和求解步骤，注意计算过程中的细节． 20．《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，票房表现非常强劲．阅读以下统计图并回答问题． （1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为　6.345　 亿元． （2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是　1月31日　 ．（填日期） （3）下列结论中，所有正确结论的序号是　①②　 ． ①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势 ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为3.87亿元 ③1月29日至2月7日，2月4日的单日总票房最高 ④1月29日至2月7日，单日总票房先上升后下降 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）结合条形统计图解答即可； （3）结合折线统计图和条形统计图解答即可． 【解答】解：（1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为：6.345（亿元）， 故答案为：6.345； （2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是1月31日； 故答案为：1月31日； （3）由题意可知： ①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势，说法正确； ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为：8.67﹣4.8＝3.87（亿元），说法正确； ③4.88÷26.9%≈18.14（亿元），6.19÷46.8%≈13.23（亿元），8.44÷68.3%≈12.26（亿元），8.67÷70.9%≈12.23（亿元）， 故1月29日至2月7日，1月29日的单日总票房最高，原说法错误； ④1月29日至2月7日，单日总票房先下降再上升后下降，原说法错误． 所以正确结论的序号①②． 故答案为：①②． 【点评】本题考查中位数，极差，掌握中位数，观察折线图的变化趋势是解题关键． 21．如图，为测量观景台P距离地面的高度，小明在地面A处测得P的仰角为30°，他在平地上沿正对观景台的方向前进至B处，测得P的仰角为45°．若测角仪的高度忽略不计，AB＝100m，求观景台距离地面的高度PC（精确到1m）．（参考数据： 【分析】设PC＝xm，分别在Rt△PCA中，在Rt△PCB中，利用角的正切值，表示出AC，BC，再根据AC﹣AB＝100，求出x的值即可． 【解答】解：设PC＝xm． 在Rt△PCA中，由，得． 在Rt△PCB中，由，得． ∵AB＝AC﹣BC＝100， ∴． ∴． 答：观景台距离地面的高度为137m． 【点评】本题考查了解直角三角形的相关应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）若CD＝4，BD＝3，求AD的长． 【分析】（1）由CD⊥AB于点D，得∠ADC＝∠CDB＝90°，由∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，推导出∠A＝∠BCD，则△ACD∽△CBD． （2）由相似三角形的性质得，而CD＝4，BD＝3，则AD． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB于点D， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴△ACD∽△CBD． （2）解：∵△ACD∽△CBD， ∴， ∵CD＝4，BD＝3， ∴AD， ∴AD的长是． 【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠A＝∠BCD，进而证明△ACD∽△CBD是解题的关键． 23．如图，平面直角坐标系中，面积为9的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B在反比例函数的图象上，点P在点B右侧反比例函数的图象上，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，PE交AB于点F． （1）求点B的坐标和k的值； （2）当四边形ADPF的面积为3时，求点P的坐标； （3）当四边形ADPF为正方形时，求点P的坐标． 【分析】（1）根据正方形的性质求出B点坐标即可求解； （2）求出矩形OAFE的面积＝6，再由面积求出AF＝2，即可求P点坐标； （3）设AD＝m，则P（3+m，m），点P在反比例函数上求出m的值即可求解． 【解答】解：（1）∵正方形OABC面积为9， ∴OA＝BA＝3， ∴B（3，3）， ∴k＝9； （2）∵矩形OEPD的面积＝9，四边形ADPF的面积为3， ∴矩形OAFE的面积＝6， ∴3AF＝6， 解得AF＝2， ∴P（，2）； （3）∵四边形ADPF为正方形， ∴AD＝PD， 设AD＝m，则P（3+m，m）， ∴m（m+3）＝9， 解得m或m（舍）， ∴P（，）． 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，正方形的性质是解题的关键． 24．2026年8月8日至18日，第13届世界运动会将在重庆举行，与运动会吉祥物“渝宝”“庆仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售C，D两种吉祥物挂件，已知每个D种挂件的价格是每个C种挂件价格的，用400元购买D种挂件的数量比用250元购买C种挂件的数量多8个．（1）求每个C种挂件的价格；（2）某游客计划用不超过800元购买C，D两种挂件，且购买D种挂件的数量比C种挂件的数量多6个，求该游客最多购买多少个C种挂件． 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用．对于第一问，可通过设未知数，根据数量关系列出分式方程求解；对于第二问，根据总价限制列出一元一次不等式求解． 【解答】（1）设每个C种挂件的价格为x元，则每个D种挂件的价格为元．由题意得：，，，850＝24x，解得．经检验，是原方程的解．（2）设购买m个C种挂件，则购买（m+6）个D种挂件．，，两边同乘48得：1700m+1275（m+6）≤38400，1700m+1275m+7650≤38400，2975m≤30750，．因为m为正整数，所以m的最大值为10． 【点评】本题关键是准确找出数量关系和不等关系，列方程和不等式求解，注意分式方程要检验，取值时要结合实际情况． 25．【问题情景】 小北在学习了相似三角形的性质与判定后，在平面直角坐标系中进行了关于相似三角形的研究性学习． 在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边CD落在x轴上，点P、Q分别是BC、CD边上的中点． 【初步探究】 （1）如图1，求证：△CPQ∽△CBD． 【深入探究】 （2）如图2，若矩形ABCD的顶点D，C，A的坐标分别是（2，0），（10，0），（2，12），将线段PQ向左平移6个单位长度得到OP'，已知点F是反比例函数图象上的一个点，连接FP'，FO，使得∠FOP'＝90°，，求k的值． 【拓展探究】 （3）如图3，若AD＝AB，顶点D，A的坐标分别是（2，0），（2，8），直线y＝﹣x+2交x轴于点D，交y轴于点N，点R是平面上的一个动点，当以点D、N、R为顶点的三角形与△CPQ相似时，求出点R的坐标． 【分析】（1）由题意可得PQ为△BCD的中位线，从而PQ∥BD，即可证明结论； （2）先求出点P'（4，6），作P'N⊥x轴于点N，FM⊥x轴于点M，证明△FMO∽△ONP'，得面积比为（）2，求出S△ONP'＝12，则S△FMO＝4，由反比例函数k的几何意义知k＝﹣8； （3）由题意可得正方形ABCD的边长为8，△CPQ为等腰直角三角形，则△DNR也为等腰直角三角形．求得点N（0，2），以ND为边向外作正方形，观察图象得点R的所有坐标． 【解答】（1）证明：∵点P、Q分别是BC、CD边上的中点， ∴PQ为△BCD的中位线， ∴PQ∥BD， ∴△CPQ∽△CBD； （2）解：由题意可得点P坐标为（10，6）， 将线段PQ向左平移6个单位长度后得点P'（4，6）， 作P'N⊥x轴于点N，FM⊥x轴于点M，如图2所示， ∵∠FOP'＝90°， ∴∠FOM+∠P'ON＝90°， 又∵∠FOM+∠OFM＝90°， ∴∠P'ON＝∠OFM， 又∵∠FMO＝∠ONP'＝90°， ∴△FMO∽△ONP'， ∵， ∴（）2， 又∵S△ONP'12， ∴S△FMO＝4， 由反比例函数k的几何意义知k＝﹣8； （3）解：∵AD＝AB，顶点D，A的坐标分别是（2，0），（2，8）， ∴正方形ABCD的边长为8， 又∵点P、Q分别是BC、CD边上的中点， ∴△CPQ为等腰直角三角形， ∵以点D、N、R为顶点的三角形与△CPQ相似， ∴△DNR也为等腰直角三角形． 由直线y＝﹣x+2可知点N（0，2），以ND为边向外作正方形，如图3所示， 观察图象得点R的坐标为（0，0）、（﹣2，0）、（0，﹣2）、（2，2）、（4，2）、（2，4）． 【点评】本题考查了三角形的中位线性质，矩形性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题关键． 26．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点（6，0）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若a＝﹣4，且对于该抛物线上的两点P（m1，n1），Q（m2，n2），当t≤m1≤t+1，m2≥5时，均满足n1≥n2，求t的取值范围； （3）点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝2x2﹣x上（A，B都不与原点重合）．当时，若是一个与x1无关的定值，求a与b的值． 【分析】（1）抛物线过点 （6，0），代入得a与b的关系，用对称轴公式计算，代入b＝﹣6a 得对称轴； （2）确定抛物线解析式、开口方向和对称轴，求x≥5时y的最大值，分析区间位置（左、右、包含对称轴），求区间内y最小值，使其大于等于最大值，综合得t的范围； （3）设比值为定值k，表示x2＝kx1，写出y1、y2表达式，代入比例等式，整理为多项式恒等式，系数为0求a、b． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx经过点（6，0），代入得0＝a×62+b×6，化简得b＝﹣6a， 抛物线对称轴为，将b＝﹣6a代入得， 答：该抛物线的对称轴为直线x＝3； （2）当a＝﹣4时，b＝﹣6×（﹣4）＝24， 抛物线方程为y＝﹣4x2+24x，抛物线开口向下，对称轴为x＝3， 当x≥3时，y随x增大而减小， 当n2≥5时，m2最大值在x＝5处，计算得， 需满足区间t≤m1≤t+1内所有n1≥20， 若t+1≤3（t≤2），区间递增， n1最小值在x＝t处，需﹣4t2+24t≥20， 解得1≤t≤2； 若t≥3，区间递减， n1最小值在x＝t+1处，需﹣4（t+1）2+24（t+1）≥20， 解得3≤t≤4； 综上，t的取值范围为1≤t≤4， 答：t的取值范围为1≤t≤4； （3）设定值），则x2＝kx1， ， ， 由，得y2＝2ky1， 即， 两边除以k得，整理得． 因对所有x1≠0成立，故系数为0：2k﹣2a＝0， 得a＝k； ﹣1﹣2b＝0，得， ∵b＝﹣6a， ∴a， 答：a，． 【点评】本题考查二次函数的基本性质以及分类讨论思想，属于难题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/7 11:19:04；用户：初中数学；邮箱：17358970208；学号：39602588 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $