专题21.3.1 矩形（知识梳理+十四大考点讲练+真题演练+分层训练 共53题）-2025-2026学年人教版数学八年级下册同步培优讲义

专题21.3.1 矩形 （第二十一章 四边形） 【人教版八下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一：矩形的定义 2 知识点二：矩形的性质 2 知识点三：矩形的判定 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 矩形性质理解 3 考点讲练二 利用矩形的性质求角度 6 考点讲练三 根据矩形的性质求线段长 8 考点讲练四 根据矩形的性质求面积 10 考点讲练五 利用矩形的性质证明 13 考点讲练六 求矩形在坐标系中的坐标 17 考点讲练七 矩形与折叠问题 20 考点讲练八 斜边的中线等于斜边的—半 22 考点讲练九 矩形的判定定理理解 25 考点讲练十 添一条件使四边形是矩形 28 考点讲练十一 证明四边形是矩形 30 考点讲练十二 根据矩形的性质与判定求角度 33 考点讲练十三 根据矩形的性质与判定求线段长 38 考点讲练十四 根据矩形的性质与判定求面积 40 中考真题 实战演练 44 难度分层 闯关训练 50 基础夯实 能力提升 50 创新拓展 拔尖冲刺 57 知识点一：矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【易错点拨】 （1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件： ①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用. 知识点二：矩形的性质 性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD. 1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质. 2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线. 3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质. 4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和. 知识点三：矩形的判定 矩形的判定方法： 方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法二：对角线相等的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法三：有三个角是直角的四边形是矩形； 几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形. 思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等. 考点讲练一 矩形性质理解 【典例分析】（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图1，在矩形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点和点重合时，求线段的长________； (2)如图2，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点运动到上，且点恰好也落在边上时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，见解析 (3) 【思路引导】（1）连接，求出，由勾股定理可得 ； （2）过点作 于点，推导出四边形是矩形推导出，证得，得到，进而得到是等腰直角三角形； （3）当点在上时，当，重合时符合题意， 由建立方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 当点和点重合时， ∴，， 在中，， 故答案为：； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：当点在上时， ∵点关于直线的对称点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当，重合时，当点恰好落在边上，如图， ∴，， 在中，， ∴， 解得． 【考点剖析】本题主要考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，勾股定理，轴对称的性质等知识，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键． 【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）由，可得，即，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （2）根据矩形的性质和勾股定理以及平行四边形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：在中，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， 的面积． 考点讲练二 利用矩形的性质求角度 【典例分析】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，矩形． (1)只利用圆规在边上找一点，使得平分，并说明理由； (2)在（1）的条件下，连接，请探究与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了矩形的性质，等边对等角，作线段，解决本题的关键是掌握矩形的性质． （1）以为圆心，长为半径画弧交于点即可； （2）设，分别表示出，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，以为圆心，长为半径画弧交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即平分， （2）解：设， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形外角的性质．延长交于点G，证明，可得，从而得到，进而得到，然后根据余角的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【规范解答】解：如图，延长交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 考点讲练三 根据矩形的性质求线段长 【典例分析】如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）先证四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， 、分别为、中点， 是的中位线， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为 时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 【答案】3s或6s或9s 【思路引导】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键； 根据矩形的性质，当以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形时，需满足，分情况讨论点Q的运动状态来建立方程． 【规范解答】解：根据题意可知，当点P到达点D时， 点Q的运动轨迹为． ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴． 若，则四边形PQCD是矩形． 设运动时间为ts．由题意，得． 分三种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， 解得； ③当时，， ∴， 解得． 综上所述，当运动时间为3s或6s或9s时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 考点讲练四 根据矩形的性质求面积 【典例分析】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，点M为的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且， ①求和的长． ②求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②四边形的面积 【思路引导】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，理解直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握平行四边形的性质及矩形的判定方法是解题关键． （1）根据平行四边形的性质证明，进而可以解决问题； （2）①根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和勾股定理即可解决问题； ②四边形的面积，代入值求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：①∵，点M为的中点，， ∴， ∴在中，， ∴平行四边形中，，； ②∵在矩形中，， ∴ ． 【变式训练】（24-25八年级下·河南商丘·期中）综合与实践 折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，还可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧． 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形．这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为12，，则此完美矩形的边长_____，面积为_____． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，求完美矩形的周长． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （2）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； 【规范解答】（1）解：由折叠可知，，，， ∴，点是中点， 过点作于点，交于点，如图①所示： ∵， ， ∴由折叠可知：， ∴， ∴完美矩形的面积为：； （2）解：由折叠可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长． 【考点剖析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键． 考点讲练五 利用矩形的性质证明 【典例分析】（23-24八年级下·内蒙古通辽·月考）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，即，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，根据矩形的判定得出即可； （2）根据矩形的性质求出，根据勾股定理求出，求出，推出，求出，即可得出答案． 【规范解答】（1）∵四边形为平行四边形， ∴，，即， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）∵四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【变式训练】（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）综合与实践-操作探究 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们探索以矩形为背景的折叠变化中的数学结论． 【操作探究】在矩形中，，，E是射线上一个动点，连接并延长交直线于点F，将沿直线折叠得到，延长交直线于点H． (1)如图1，当点E在线段上时，求证：； (2)如图2，当点E运动到点C位置时（此时点C，E，F重合），与交于点P，求的长； (3)在点E的运动过程中，是否存在的情况？若存在，直接写出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)存在，或． 【思路引导】(1)由矩形的性质可得,由折叠的性质可得,进而可得,由等角对等边得. （2）结合矩形的性质和折叠的性质可得，根据证明，则可得．设，则，，在中，根据勾股定理列方程求出x的值即可得解． （3）分两种情况：①当E点在线段上时，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，进而可得，．设，则可得，，．在中，根据勾股定理列方程求得x的值为．②当E点在线段的延长线上时，同①可得，，．在中，根据勾股定理列方程求得x的值为． 【规范解答】（1）证明：∵矩形中，，F点在的延长线上． ∴， ∵将沿直线折叠得到， ∴， ∴， 即， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿直线折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：①如图，当E点在线段上时， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠得到， ∴， ∴， ∴． 设， ∵，， ∴，， ∴， 在中， ， ∴， 解得， ∴． ②如图，当E点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠得到， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， 在中， ，     ∴， 解得， ∴． 综上，点E的运动过程中，存在的情况， 的长度为或． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键． 考点讲练六 求矩形在坐标系中的坐标 【典例分析】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【思路引导】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点B和D的坐标可得结论； （2）先得，，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： ①当时，点N在边上，四边形是梯形， ∵， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴； ②当时，点N在的延长线上， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴， 综上，点M的坐标为或． 【变式训练】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 【规范解答】∵，轴，， ∴四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴，， ∴由轴对称变换可知，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 考点讲练七 矩形与折叠问题 【典例分析】（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，折痕为，已知，，则的长为 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【规范解答】解：∵折叠长方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据长方形的性质和得，利用平角的定义可求出，由折叠的性质得，利用平角的定义可求出，由折叠的性质得，则． 本题主要考查了长方形的性质，图形的折叠变换及性质，角的计算，准确识图，理解长方形的性质，熟练掌握图形的折叠变换及性质是解题的关键． 【规范解答】解：在长方形纸片中，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 故选：B． 考点讲练八 斜边的中线等于斜边的—半 【典例分析】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，根据直角三角形斜边中线的性质，，则有，，再通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵，分别是斜边，上的中线， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为： 【变式训练】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． (1)求的度数． (2)当点B是的中点时，求证：． (3)取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【思路引导】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）延长至M，使，连接，先证明，得到，，即可进一步证明，即可得到结论； （3）过点F作于点K，连接，可证明是等腰直角三角形，进一步证明是等边三角形，即可逐步求得，从而可得到结论． 【规范解答】（1）解：是等腰直角三角形， ， ， ； （2）证明：如图2，延长至M，使，连接， 点B是的中点， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图3，过点F作于点K，连接， 是等腰直角三角形， ， 在中，点H是的中点， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【考点剖析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是关键． 考点讲练九 矩形的判定定理理解 【典例分析】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）尺规作图：如图，中，．用2种不同的方法作矩形．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了矩形的判定，线段垂直平分线和线段的尺规作图，如图1所示，分别以点A和点C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求；作线段的垂直平分线与交于O，连接并延长，以O为圆心，的长为半径画弧，交延长线于D，则四边形即为所求． 【规范解答】解：如图1所示，分别以点A和点C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求； 可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形； 如图2所示，作线段的垂直平分线与交于O，连接并延长，以O为圆心，的长为半径画弧，交延长线于D，则四边形即为所求； 可证明，则可得四边形是矩形． 【变式训练】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)18 (2)6 (3)4 (4)存在t，使得△是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【思路引导】（1）作于E，则四边形为矩形．在中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （3）当时，四边形是平行四边形可建立方程求解即可得出结论； （4）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【规范解答】（1）如图，过D点作于E， ∵，， ∴ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， ∴； （2）根据题意得：，，则， ， ∵， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得秒， 故当秒时，四边形为矩形； （3）根据题意得：，，则， ， 时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴秒； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，即， ∴； ②当时，， 即， ∴； ③如图，当时，则 ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ． 故存在t，使得是等腰三角形，此时t的值为秒或6秒或秒． 【考点剖析】此题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 考点讲练十 添一条件使四边形是矩形 【典例分析】（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，点M在平行四边形的边上，，请从以下两个选项，①，②，选择一个作为已知条件，使得平行四边形为矩形． (1)你添加的条件是_________．（填序号）． (2)添加条件后，请证明平行四边形为矩形． 【答案】(1)① (2)证明见解析 【思路引导】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，，则可得，即根据已知条件可推导出条件②，由此即可得添加的条件是①； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，则可得，然后根据矩形的判定即可得证． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴，即根据已知条件可推导出条件②， ∴添加的条件是①， 故答案为：①． （2）证明：添加条件①后， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形为矩形． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可知，，，再证，则四边形是平行四边形，添加，由矩形的判定可得出结论． 【规范解答】解：添加的一个条件是：． 理由如下：∵四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，添加的条件符合要求． 故答案为：（答案不唯一）． 考点讲练十一 证明四边形是矩形 【典例分析】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，，交于点，交于点，是上的一点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，为中点，求的长； (3)若，现有以下个结论： ， ， ．请你看一看，想一想，证一证以上个结论中正确的一个． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为； (3)，证明见解析． 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则四边形是平行四边形，，然后通过矩形的判定方法即可求证； （）由四边形是矩形，，即，通过勾股定理得，因为为中点，所以，再根据即可求出的长； （）连接，证明，则，再证明，得到，，，设，则有，然后通过三角形内角和定理得出，最后由线段的和与差即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （3）解：， 证明：如图，连接， 由（）得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴，，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练】如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1）由在平行四边形中，得到由可得根据矩形的判定即可求证． （2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分 ∴矩形的面积是： 考点讲练十二 根据矩形的性质与判定求角度 【典例分析】（24-25八年级下·江苏淮安·月考）已知中，点E为上一点，且，的延长线交于点F，连． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，M是的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据两直线平行内错角相等和对顶角相等可证，再根据等角对等边可证结论成立； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可证是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一定理可证，证，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知． 【规范解答】（1）证明：∵中，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：如图所示，连接． ∵， ∴． 又 ， ∴． ∴，． ∵点M是的中点， ∴． ∴． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． 【考点剖析】本题考查了四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形性质，矩形判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 【变式训练】在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕．把纸片展开，再一次折叠纸片，使点A落在N上，得到折痕．    (1)若点N刚好落在折痕上时， ①如图1，过N作，求证：； ②如图2，求的度数； (2)如图3，当M为射线上的一个动点时，已知，，若的直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)1或9 【思路引导】（1） ①证明四边形是矩形，得到，根据折叠的性质，矩形的性质，得到,，证明即可； ②根据折叠的性质，求解即可． （2）根据矩形的性质，判定不可能是直角，只有，分直角在矩形内部和外部两种情况计算即可． 【规范解答】（1）解：①∵矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得到,， ∴． ②过点G作于点G， ∵矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得到,， ∴． 根据折叠的性质， ∴，， ∴，，    ∴． （2）根据矩形的性质，故不可能是直角， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∵， ∴三点共线， 根据折叠的性质， ∴，， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 根据矩形的性质，故不可能是直角， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∵， ∴三点共线， 根据折叠的性质， ∴，， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故或． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形与折叠，勾股定理是解题的关键． 考点讲练十三 根据矩形的性质与判定求线段长 【典例分析】（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，在中，，，，为边上（不与、重合）的动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 连接，先利用勾股定理可得，再证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，利用三角形的面积公式求解即可得． 【规范解答】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， ∴此时有， ∴， 即线段的最小值是， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·湖北十堰·月考）如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作于点E，交于点F，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查矩形的判定与性质、平行线的性质、垂线段最短及勾股定理，得到的最小值为的长是解答的关键．如图，过点D作于，连接，，证明四边形是矩形得到，要使最小，只需最小，当时，最小，最小值为的长，利用三角形的等面积法求得即可求解． 【规范解答】解：如图，过点D作于，连接，， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 要使最小，只需最小，当时，最小，最小值为的长， ∵， ∴， 故的最小值为， 故答案为：． 考点讲练十四 根据矩形的性质与判定求面积 【典例分析】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，与三角形的高有关的计算： （1）证明，得到，进而求出即可； （2）证明四边形为矩形，根据同底三角形的面积比等于底边比，进行判断即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上：满足条件的三角形有，，，． 【变式训练】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．若点P是CD上任意一点，如图①，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F． (1)猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出你的理由． (2)当点P是AD上任意一点时，如图②，猜想PE和PF之间的数量关系 (3)当点P是DC上任意一点时，如图③，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出推理过程． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【思路引导】（1）连接，设点到的距离为，利用勾股定理求出，由等面积法求出得，由建立等式再化简即可得到； （2）连接，设点到的距离为，由（1）得，同样利用等面积法，即，即可求解； （3）连接、，由，建立等式，进行化简整理即可求解． 【规范解答】（1）解：连接，如图1， 设点到的距离为． 在中，， 由，得． 四边形是矩形， ， 由，得， ， 化简得， （2）解：，理由见解析， 连接，如下图： 设点到的距离为， 由（1）得， ， ， ， 故答案为：． （3）解：，理由如下： 连接、，如图． 由， ， 化简得，即． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是能够根据两种方法表示图形面积，利用等面积法求解． 【演练1】（2025·四川·中考真题）如图，在矩形中，对角线相交于点O，则的长为 ． 【答案】8 【思路引导】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断是等边三角形是解题的关键． 根据矩形的对角线互相平分且相等，可知，然后由可得为等边三角形，然后可求得，进而即可求解 【规范解答】∵四边形为矩形， ∴，且， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ 故答案为： 【演练2】（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【思路引导】本题考查矩形与折叠，尺规作图—作角平分线和线段，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）以为圆心，为半径画弧，交于点，作的角平分线，交于点，即为所求； （2）折叠的性质，得到，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵由折叠可得， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴． 【演练3】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质： （1） 结合矩形的性质，根据“边角边”证明； （2）根据全等三角形的对应边相等得，结合，可得． 【规范解答】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明： ， ， 又 ， ， ． 【演练4】（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵折叠 ∴ ∴ ∵，即 ∴，故A不正确 ∵ ∴，故B不正确 ∵折叠， ∴ ∵，故C不正确，D选项正确 故选：D． 【演练5】（2024·湖北恩施·中考真题）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．      (1)若，求的度数； (2)连接EF，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)矩形，理由见详解 【思路引导】（1）根据点是的中点，沿所在的直线折叠，可得是等腰三角形，根据三角形的外角的性质即可求解； （2）如图所示，连接，点是上的一点，根据矩形和折叠的性质可得四边形是平行四边形，如图所示，连接，，过点作于点，可证四边形是平行四边形，再根据折叠的性质得，由此即可求证． 【规范解答】（1）解：∵四边形是矩形，点是的中点， ∴， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴的度数为． （2）解：如图所示，连接，点是上的一点，    ∵四边形是矩形， ∴，，即， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴，，是的角平分线， 由（1）可知，， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，则，， 如图所示，连接，，过点作于点，      ∵点是的中点，， ∴点是线段的中点，则， ∴在中， ， ∴， ∴，， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴，，， 在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【考点剖析】本题主要考查矩形的性质，矩形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握矩形折叠的性质，全等三角形的判定和性质，图形结合分析是解题的关键． 基础夯实 能力提升 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 【答案】B 【思路引导】本题考查矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 根据矩形的性质对每个选项进行逐一分析判断． 【规范解答】解：A、矩形的对角线不一定平分一组对角．在矩形中，只有当矩形为正方形时，对角线才会平分，即，故该选项错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，所以，故选项说法正确，符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以，只有当的内角中有一个角为，可得到是等边三角形，才能得到，故该选项错误，不符合题意； D、矩形是轴对称图形，但是所在直线不是矩形的对称轴，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【规范解答】解：，，， ， 如图，连接， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ， 即线段的最小值为， 故选：A． 3．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，，是的高，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线性质，直角三角形两锐角互余．利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：∵，为的高， ∴平分，， ∴， ∴， ∵是上的高， ∴， ∵是上的高，且， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2026·浙江·模拟预测）如图，在中，，为边上的中线，且，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了直角三角形的性质、三角形中线的性质、等腰三角形的判定与性质以及角度计算，掌握利用中线性质推导等腰三角形，并通过等量代换进行角度求解是解题的关键．如图，在中，为斜边的中线，故，从而．以为圆心、为半径画弧可得，故为等腰三角形．在中，利用内角和定理求出，最后通过邻补角关系求得． 【规范解答】解：，为边上的中线， ， ， ， ， ， 以点为圆心，长为半径画弧交边于点， ， ， ， 故选：． 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，把一张矩形纸片沿对折，使点C落在E处，与相交于点O，若，则的长为 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查了图形翻折变换的性质，勾股定理．根据矩形的性质以及折叠的性质可得到，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：5． 6．如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查等腰三角形底边三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题关键是作辅助线．连接根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到答案． 【规范解答】解：连接，由题意可得， ，点是的中点， ，即， 点是的中点，， ， 故答案为：． 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是的中点，则的值为 ． 【答案】5 【思路引导】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边中线定理求出的值． 【规范解答】解：在中，，， 根据勾股定理，可得： 因为是的中点，根据直角三角形斜边中线定理，所以. 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边中线定理，解题关键是先利用勾股定理求出斜边长度，再运用直角三角形斜边中线定理求出中线长度． 8．（24-25八年级下·广东江门·月考）如图，矩形的对角线相交于点O，的周长为9，，求的长． 【答案】． 【思路引导】本题考查了矩形的性质，勾股定理．先求得，根据三角形的周长公式求得，再利用勾股定理即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是矩形，且， ∴，， ∵的周长为9， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，点为的中点，过点作直线，请利用尺规作图法在直线上作点，（在的左侧），连接，，，，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键； 依据矩形的判定定理：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．以O为圆心，长为半径画弧，交直线l于两点，左侧的点为E，右侧的点为F连接、、、，四边形即为所求矩形． 【规范解答】解：如图，点E、F即为所求 10．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，BF，CE，CF． (1)请你在①；②中选择一个作为条件，证明． (2)在（1）的条件下，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形BFCE是矩形．理由见解析 【思路引导】（1）根据中点的定义得出，再根据全等三角形的判定推出两三角形全等即可； （2）首先根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，再推出，结合对角线相等的平行四边形是矩形即可证明结论． 【规范解答】（1）解：选择①，证明：∵为的中点， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 或选择②，证明：∵为的中点， ∴． 在和中， ∴． （2）解：当时，四边形是矩形． 理由如下：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形为矩形． 【考点剖析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 创新拓展 拔尖冲刺 1．如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（   ） A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大 【答案】B 【思路引导】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 不变，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【规范解答】解：，为的中点， ． 同理． ， 的长度不变． 故选：B． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【思路引导】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线的性质，折叠加平行，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【规范解答】解：∵在长方形纸片中，将它沿对角线折叠 ∴ ∴ ∴ ∵ 设 在中，，即 解得： 故选：A. 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，，．将矩形沿AC折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【思路引导】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．本题中设，根据直角三角形中运用勾股定理求是解题的关键． 由折叠的性质得到，根据矩形的性质得到，从而得到，根据等腰三角形的判定定理得到，设，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：由折叠可得． ， ， ， ． 设，则，． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ， ． 故选：A． 4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在矩形中，，过对角线的中点作的垂线交于点，交于点，且，是上的动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】连接，由四边形为矩形，则，，故有，然后证明，则，从而得垂直平分，得到，要使有最小值，则需三点共线，最后通过勾股定理即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴要使有最小值，则需三点共线， 如图， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了垂直平分线性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 5．如图所示，梯形中，，，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，如果，那么 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了矩形的判定和性质，全等图形的性质，勾股定理． 连接，证明四边形是矩形，得到，，根据全等图形的性质求出，设，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【规范解答】解：如图，连接， ∵四个全等的直角梯形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∵四个全等的直角梯形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，即， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 6．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在四边形中,平分，，，，当面积最大时,的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算与最值、直角三角形斜边中线定理，解题的关键是延长与交于点G，利用的角平分线和垂直条件构造全等三角形，将转化为定长，再结合D为中点的性质关联与的面积，通过面积最大值时需满足，从而求得的长，再用直角三角形中线的性质求． 延长、交于G，证得、，由推出；因D为中点，故；根据时面积最大；在中，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求． 【规范解答】解：延长、交于点G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即D为中点， ∴(等底同高，面积比为， 要使最大，需最大，此时，即为直角三角形， 由勾股定理得， ∵D为中点，直角三角形斜边中线等于斜边一半， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，点在上，平分． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据矩形的性质，可以得到，从而可以得到，根据角平分线的定义，可以得到，进而得到，然后根据等角对等边即可证明结论； （2）根据矩形的性质得到是等腰直角三角形，然后根据勾股定理可以求得的长，再根据（1）中得到的，即可得到的长． 【规范解答】（1）证明：四边形为矩形， ， ． 平分， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：四边形是矩形， ． ，， 是等腰直角三角形， ， ． 由（1）知， ． 【考点剖析】本题考查矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握等腰三角形的判定． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，过点作，过点作，垂足为．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由等腰三角形的性质得，则，再由平行线的性质得，进而证明，然后由矩形的判定即可得出结论． 【规范解答】证明：，平分， ， ． ， ． 又， ， 四边形是矩形． 9．（25-26八年级下·全国·周测）如图，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【思路引导】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质得出，，即可求出答案； （2）求出长，根据含角的直角三角形的性质求出即可． 【规范解答】（1）证明：， 是的中点． ， ，， ． （2）解：由（1）可知，． ，， ． 【考点剖析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，含角的直角三角形的性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质求出是解此题的关键． 10．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，过点作，交的延长线于点，为的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)360 【思路引导】（1）根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据垂直的定义得到，于是得到结论； （2）由直角三角形斜边上的中线性质得，再由勾股定理得到，然后利用矩形和三角形的面积公式计算求解． 【规范解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ． ， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形． （2）解：， ． 为的中点， ． ， ． 四边形是平行四边形， ， ． 【考点剖析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.3.1 矩形 （第二十一章 四边形） 【人教版八下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一：矩形的定义 2 知识点二：矩形的性质 2 知识点三：矩形的判定 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 矩形性质理解 3 考点讲练二 利用矩形的性质求角度 4 考点讲练三 根据矩形的性质求线段长 5 考点讲练四 根据矩形的性质求面积 5 考点讲练五 利用矩形的性质证明 7 考点讲练六 求矩形在坐标系中的坐标 8 考点讲练七 矩形与折叠问题 9 考点讲练八 斜边的中线等于斜边的—半 9 考点讲练九 矩形的判定定理理解 10 考点讲练十 添一条件使四边形是矩形 11 考点讲练十一 证明四边形是矩形 12 考点讲练十二 根据矩形的性质与判定求角度 13 考点讲练十三 根据矩形的性质与判定求线段长 14 考点讲练十四 根据矩形的性质与判定求面积 15 中考真题 实战演练 16 难度分层 闯关训练 19 基础夯实 能力提升 19 创新拓展 拔尖冲刺 22 知识点一：矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【易错点拨】 （1）由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. （2）矩形必须具备两个条件： ①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角，这两个条件缺一不可. （3）矩形的定义既可以作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用. 知识点二：矩形的性质 性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等. 几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ ∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD. 1、矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质. 2、矩形是轴对称图形，邻边不相等的矩形有两条对称轴，分别是对边所在中点连线的直线. 3、矩形的四个角都是直角，常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决，同时，矩形被两条对角线分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，也常常用到等腰三角形的性质. 4、矩形的面积 = 长×宽，矩形的面积=被对角线分成的四个面积相等的小三角形（等腰三角形）面积之和. 知识点三：矩形的判定 矩形的判定方法： 方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法二：对角线相等的平行四边形是矩形； 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD， ∴ 四边形ABCD是矩形. 方法三：有三个角是直角的四边形是矩形； 几何语言：∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形. 思路总结：判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等. 考点讲练一 矩形性质理解 【典例分析】（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图1，在矩形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点和点重合时，求线段的长________； (2)如图2，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点运动到上，且点恰好也落在边上时，直接写出此时的值． 【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 考点讲练二 利用矩形的性质求角度 【典例分析】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，矩形． (1)只利用圆规在边上找一点，使得平分，并说明理由； (2)在（1）的条件下，连接，请探究与的关系，并说明理由． 【变式训练】（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，矩形中，点E为边的中点，连接，过E作交于点F，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点讲练三 根据矩形的性质求线段长 【典例分析】如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，时，求的长． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为 时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 考点讲练四 根据矩形的性质求面积 【典例分析】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，点M为的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且， ①求和的长． ②求四边形的面积． 【变式训练】（24-25八年级下·河南商丘·期中）综合与实践 折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，还可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧． 定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形．这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为12，，则此完美矩形的边长_____，面积为_____． (2)类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，求完美矩形的周长． 考点讲练五 利用矩形的性质证明 【典例分析】（23-24八年级下·内蒙古通辽·月考）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 【变式训练】（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）综合与实践-操作探究 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们探索以矩形为背景的折叠变化中的数学结论． 【操作探究】在矩形中，，，E是射线上一个动点，连接并延长交直线于点F，将沿直线折叠得到，延长交直线于点H． (1)如图1，当点E在线段上时，求证：； (2)如图2，当点E运动到点C位置时（此时点C，E，F重合），与交于点P，求的长； (3)在点E的运动过程中，是否存在的情况？若存在，直接写出的长度；若不存在，请说明理由． 考点讲练六 求矩形在坐标系中的坐标 【典例分析】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． (1)请直接写出A点的坐标； (2)当时，求t的值； (3)若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【变式训练】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 考点讲练七 矩形与折叠问题 【典例分析】（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，折痕为，已知，，则的长为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 考点讲练八 斜边的中线等于斜边的—半 【典例分析】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ． 【变式训练】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． (1)求的度数． (2)当点B是的中点时，求证：． (3)取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 考点讲练九 矩形的判定定理理解 【典例分析】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）尺规作图：如图，中，．用2种不同的方法作矩形．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【变式训练】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当Q点到达B点时，动点同时停止运动，设点同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) cm； (2)当 秒时，四边形成为矩形． (3)当t为多少时，？ (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 考点讲练十 添一条件使四边形是矩形 【典例分析】（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，点M在平行四边形的边上，，请从以下两个选项，①，②，选择一个作为已知条件，使得平行四边形为矩形． (1)你添加的条件是_________．（填序号）． (2)添加条件后，请证明平行四边形为矩形． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是 （写出一种情况即可）． 考点讲练十一 证明四边形是矩形 【典例分析】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，，交于点，交于点，是上的一点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，为中点，求的长； (3)若，现有以下个结论： ， ， ．请你看一看，想一想，证一证以上个结论中正确的一个． 【变式训练】如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 考点讲练十二 根据矩形的性质与判定求角度 【典例分析】（24-25八年级下·江苏淮安·月考）已知中，点E为上一点，且，的延长线交于点F，连． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，M是的中点，求的度数． 【变式训练】在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕．把纸片展开，再一次折叠纸片，使点A落在N上，得到折痕．    (1)若点N刚好落在折痕上时， ①如图1，过N作，求证：； ②如图2，求的度数； (2)如图3，当M为射线上的一个动点时，已知，，若的直角三角形时，求的长． 考点讲练十三 根据矩形的性质与判定求线段长 【典例分析】（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，在中，，，，为边上（不与、重合）的动点，过点分别作于点，于点，则线段的最小值是 ． 【变式训练】（24-25八年级下·湖北十堰·月考）如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作于点E，交于点F，连接，则的最小值为 ． 考点讲练十四 根据矩形的性质与判定求面积 【典例分析】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【变式训练】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3．若点P是CD上任意一点，如图①，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F． (1)猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出你的理由． (2)当点P是AD上任意一点时，如图②，猜想PE和PF之间的数量关系 (3)当点P是DC上任意一点时，如图③，猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出推理过程． 【演练1】（2025·四川·中考真题）如图，在矩形中，对角线相交于点O，则的长为 ． 【演练2】（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的长． 【演练3】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且，连接、． 求证： (1)； (2)． 【演练4】（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【演练5】（2024·湖北恩施·中考真题）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．      (1)若，求的度数； (2)连接EF，试判断四边形的形状，并说明理由． 基础夯实 能力提升 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．所在直线为矩形的对称轴 2．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，，是的高，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江·模拟预测）如图，在中，，为边上的中线，且，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，把一张矩形纸片沿对折，使点C落在E处，与相交于点O，若，则的长为 ． 6．如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，则的长为 ． 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是的中点，则的值为 ． 8．（24-25八年级下·广东江门·月考）如图，矩形的对角线相交于点O，的周长为9，，求的长． 9．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在中，点为的中点，过点作直线，请利用尺规作图法在直线上作点，（在的左侧），连接，，，，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 10．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，BF，CE，CF． (1)请你在①；②中选择一个作为条件，证明． (2)在（1）的条件下，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由． 创新拓展 拔尖冲刺 1．如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（   ） A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，，．将矩形沿AC折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在矩形中，，过对角线的中点作的垂线交于点，交于点，且，是上的动点，连接，，则的最小值为 ． 5．如图所示，梯形中，，，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，如果，那么 ． 6．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在四边形中,平分，，，，当面积最大时,的长为 ． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，点在上，平分． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的长． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，过点作，过点作，垂足为．求证：四边形是矩形． 9．（25-26八年级下·全国·周测）如图，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 10．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，过点作，交的延长线于点，为的中点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求四边形的面积． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $